71823

Разработка алгоритма управления трёхколёсной подвижной платформы

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами).

Русский

2014-11-12

471 KB

8 чел.

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»        Факультет энергетики и систем управления                                                         Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

«Разработка алгоритма управления трёхколёсной подвижной платформы»

Выполнил: студент гр. АТР-131                                                                             Таболин Иван

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Условие задачи………………………………………………………………………..….3

Теоретическое введение………………………………………………………………....4

Решение…………………………………………………………………………………...9

Заключение……………………………………………………………………………….12

Список литературы………………………………………………………………………13


Условие задачи

Разработать схему управления подвижной платформы с тремя независимыми ведущими электродвигателями-колёсами. Органы управления: кнопки «Вперёд», «Назад», «Вращение».


Теоретическое введение

Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы , синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами  выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы  и , то выводима и формула .

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики), что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания. Высказывания строятся над множеством {B, , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

 отрицание (унарная операция),

 конъюнкция (бинарная),

 дизъюнкция (бинарная),

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Дизъю́нкт — пропозициональная формула, являющаяся дизъюнкцией одного или более литералов (например ). Конъюнкт — пропозициональная формула, являющаяся конъюнкцией одного или более литералов (например ).

Аксиомы.

  1.  инволютивность отрицаниязакон снятия двойного отрицания
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  

Логические операции.

Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B, состоящее всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквиваленция («тогда и только тогда, когда»), импликация  («следовательно»), сложение по модулю два  («исключающее или»), штрих Шеффера стрелка Пирса  и другие.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция  приобретает смысл вычитания из единицы;  — немодульного сложения; & — умножения;  — равенства;  — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR);  — непревосходства суммы над 1 (то есть A  B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логикукубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.

Свойства логических операций.

  1.  Коммутативность: xy = yx, {&, }.
  2.  Идемпотентность: xx = x, {&, }.
  3.  Ассоциативность: (xy)z = x(yz), {&, }.
  4.  Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю два соответственно:
    •  ,
    •  ,
    •  .
  5.  Законы де Мо́ргана:
    •  ,
    •  .
  6.  Законы поглощения:
    •  ,
    •  .
  7.  Другие (1):
    •  .
    •  .
    •  .
    •  .
    •  инволютивность отрицаниязакон снятия двойного отрицания.
  8.  Другие (2):
    •  .
    •  .
    •  .
    •  .
  9.  Другие (3) (Дополнение законов де Мо́ргана):
    •  .
    •  .

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями  (аналог конъюнкции),  (аналог дизъюнкции), унарной операцией  (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех ab и c из множества A верны следующие аксиомы:

ассоциативность

коммутативность

законы поглощения

дистрибутивность

дополнительность

Первые три аксиомы означают, что (A) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.

Основные тождества.

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

коммутативность,  переместительность

ассоциативность,        сочетательность

дистрибутивность,       распределительность

комплементность,       дополнительность          (свойства отрицаний)

законы де Моргана

6 законы поглощения

7 Блейка-Порецкого

Идемпотентность

инволютивность отрицаниязакон снятия двойного отрицания

10 свойства констант

дополнение 0 есть 1 

дополнение 1 есть 0 

11 Склеивание

Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики) от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества {1, 0} обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определённого смысла. Неотрицательное целое число n называют арностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу. Элементы декартова произведения (n-я прямая степень) Bn называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа аргументов часто обозначается P2, а от n аргументов — P2(n). Переменные, принимающие значения из булева множества называются булевыми переменными. Булевы функции названы по фамилии математика Джорджа Буля.

При работе с булевыми функциями происходит полное абстрагирование от содержательного смысла, который имелся в виду в алгебре высказываний[2]. Тем не менее, между булевыми функциями и формулами алгебры высказываний можно установить взаимно-однозначное соответствие, если:

  •  установить взаимно-однозначное соответствие между булевыми переменными и пропозициональными переменными,
  •  установить связь между булевыми функциями и логическими связками,
  •  оставить расстановку скобок без изменений.

Дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ. Для этого можно использовать закон двойного отрицаниязакон де Морганазакон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Алгоритм построения ДНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: закон двойного отрицаниязакон де Морганадистрибутивность.

Алгоритм построения КНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

  •  в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
  •  в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
  •  каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.

Соверше́нная конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СКНФ) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

  •  в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
  •  в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
  •  каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.


Решение

Для начала обозначим кнопки управления иксами, а движение колёс – игреками:

x1 – кнопка «Вперёд»;

x2 – кнопка «Назад»;

x3 – кнопка «Вращение»;

y1 – левое колесо вращается вперёд;

y2 – левое колесо вращается назад;

y3 – правое колесо вращается вперёд;

y4 – правое колесо вращается назад;

y5 – переднее колесо вращается вперёд;

y6 – переднее колесо вращается назад.

При нажатии кнопки «Вперёд» (x1), левое колесо вращается вперёд (y1), правое колесо вращается вперёд (y3), переднее колесо вращается вперёд (y5) – платформа едет вперёд.

При нажатии кнопки «Назад» (x2), левое колесо вращается назад (y2), правое колесо вращается назад (y4), переднее колесо вращается назад (y6) – платформа едет назад.

При нажатии кнопки «Вращение» (x3), левое колесо вращается назад (y2), правое колесо вращается вперёд (y3), переднее колесо вращается вперёд (y5) – платформа вращается против часовой стрелки.

Исходя из вышесказанных данных, составим таблицу истинности y(x):

x1

x2

x3

y1

y2

y3

y4

y5

y6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

Используя таблицу истинности, составим СДНФ и приведём их к ПФ с минимальным количеством операций:

y1 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3;

y2 = ¬x1 ᴧ x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x1 ᴧ (x2 ᴧ ¬x3 v ¬x2 ᴧ x3) = ¬x1 ᴧ (x2 ∆ x3);

y3 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x2 ᴧ (x1 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ x3) = ¬x2 ᴧ (x1 ∆ x3);

y4 = ¬x1 ᴧ x2 ᴧ ¬x3;

y5 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x2 ᴧ (x1 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ x3) = ¬x2 ᴧ (x1 ∆ x3);

y6 = ¬x1  x2  ¬x3.

Из формул видно, что правое и переднее колёса вращаются по одинаковым алгоритмам.

А теперь построим таблицу истинности для каждой формулы:

y1(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x2

¬x3

x1 ᴧ ¬x2

y1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

y2(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x1

x2 ∆ x3

y2

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

y3,5(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x2

x1 ∆ x3

y3,5

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

y4,6(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x1

¬x3

¬x1 ᴧ x2

y4,6

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

Заметим, что игреки получились такие же, как и в первой таблице истинности.

Заключение

В ходе Курсовой Работы я освоил метод построения алгоритма управления подвижной платформы способом формирования логических функций. Я использовал таблицу истинности для построения СДНФ. Затем, некоторые СДНФ привёл к ПФ с минимальным количеством операций, используя свойства логических функций (а именно «дистрибутивность» и «исключающее ИЛИ»).

y1 = x1  ¬x2  ¬x3;

y2 = ¬x1  (x2x3);

y3,5 = ¬x2  (x1x3);

y4,6 = ¬x1  x2  ¬x3.

В конце концов выяснилось, что правое и переднее колёса вращаются по одинаковым алгоритмам:    y3 = y5 , y4 = y6 .

Литература

  •  Владимиров Д. А. Булевы алгебры. — М.: «Наука», 1969.
  •  Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Расширенный курс. — М.: «Известия», 2011.
  •  Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. — М.: Энергоатомиздат, 1988.
  •  Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. — М.: Либроком, 2013.
  •  Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008.

PAGE   \* MERGEFORMAT11


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1003. Тенденции маркетинговой среды, развитие и изменение ее факторов 515.5 KB
  Микросреда среда фирмы и ее основные факторы. Маркетинговыми посредниками называют фирмы, которые помогают ей в продвижении, сбыте и распространении ее продукции. Контактные аудитории. Макросреда фирмы и ее основные факторы.
1004. Проектирование здания, блок-секция 2-этажная 6-квартирная в городе Ровно 426 KB
  Местом строительства является город Ровно, который расположен в климатическом районе-І.Глубина промерзания грунта в районе строительства составляет 1,2 м. Перечень зданий и сооружений показанных на участке. Теплотехнический расчет вертикальной ограждающей конструкции. Внутренняя отделка помещений, отделка фасадов.
1005. Влияние телевидения и компьютеров на психическое и физическое здоровье детей. 397 KB
  Hасширение представлений педагогов о влиянии компьютеров и телевидения на здоровье детей путем обмена опытом и принятии роли защитника или противника СМИ.
1006. Доходная и расходная часть региональных бюджетов Российской Федерации 408 KB
  Теоретические основы функционирования региональных бюджетов. Роль региональных бюджетов в бюджетной системе РФ. Характеристика современного состояния региональных бюджетов. Пути укрепления доходной базы региональных бюджетов и пути совершенствования использования бюджетных средств.
1007. Расчет электромагнитного поля и волн 286 KB
  Взаимодействие электромагнитного поля с электронами. Вероятность перехода в поле электромагнитной волны. Собственные значения и собственные функции гамильтониана Рашбы. Правила отбора для внутризонных переходов в квантовых ямах. Правила отбора для межзонных переходов. Спиновый эффект Холла (с гамильтонианом Рашбы).
1008. Избранные лекции по теории и практике религиозного мистицизма 1.47 MB
  Обзор буддийских практик. Внутренняя мистика - буддовость. Всецелая чистота окружающей обстановки. Основы Дзен. Введение в христианский мистицизм. Особенности Древнецерковной мистики. Основы православного Исихазма. Буддизм в Китае и Японии. Краткий обзор. Католический мистицизм.
1009. Методичні вказівки щодо виконання економічної частини дипломного проекту для студентів денної форми навчання 346.5 KB
  Загальні вимоги щодо змісту та оформлення економічної частини дипломного проекту. Оцінка конкурентоспроможності програмного продукту (ІС, КМ) Розрахунок інтеґрального показника конкурентоспроможності базового і нового варіантів програмного продукту
1010. Технологические особенности переработки полимерных материалов методом экструзии 492.5 KB
  Методы переработки термопластичных полимеров. Общая характеристика полимеров, перерабатываемых методом экструзии. Течение расплава через сетки и формующую оснастку. Технологические свойства полимеров перерабатываемых методом экструзии. Влияние параметров переработки на свойства рукавных пленок. Виды брака при производстве рукавной пленки.
1011. Разработка микропроцессорного устройства управления шаговым биполярным двигателем 517 KB
  Разработка схемы электрической принципиальной. Выбор микросхемы и интерфейса связи. Выбор силового драйвера управления. Характеристика устройств используемых в разрабатываемой схеме. Разработка блока управления биполярным шаговым двигателем на микроконтроллере Atmega8535.