71829

Разработка логических функций для управления подвижной площадки с тремя электродвигателями-колесами

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Русский

2014-11-12

181 KB

2 чел.

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»        Факультет энергетики и систем управления                                                         Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

«Разработка логических функций для управления подвижной площадки с тремя электродвигателями-колесами»

Выполнил: студент гр. АТР-131                                                                                Попов Андрей

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Условие задачи………………………………………………………………………..….3

Теоретическое введение………………………………………………………………....4

Практическая  часть……………………………………………………………………...9

Заключение……………………………………………………………………………….12

Список литературы………………………………………………………………………13


Условие задачи

Вывести логические функции для управления подвижной площадки с тремя ведущими электродвигателями-колёсами, если имеются следующие кнопки управления: «Вперёд», «Назад», «Вращение по часовой стрелке».

Теоретическое введение

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.

 Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

 Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

 В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

 отрицание;

 конъюнкция;

 дизъюнкция;

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

 Отрицание (НЕ) — логическая операция над суждениями, результатом которой является суждение противоположное» исходному. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

 Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

Не А, Ā, not A, ¬А.

 Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A

не А

0

1

1

0

 Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

 Дизъюнкция (ИЛИ) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу».

 Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

 Применяемые обозначения: А или В,    А V В,    A or B.

 Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

A

B

А или B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

 Конъюнкция (И) — логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «и». Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

 Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A  & B, A and B.

 Результат  операции  И  определяется  следующей таблицей истинности:

A

B

А и B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

 Импликация (ЕСЛИ-ТО) —  логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «еслито…». Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

 Применяемые обозначения:

если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.

 Таблица истинности:

A

B

А → B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Булева алгебра

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями  (аналог конъюнкции),  (аналог дизъюнкции), унарной операцией  (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина).

Следующие соотношения могут быть проверены прямым сравнением значений функций в левой и правой части соотношения на всевозможных наборах аргументов.

  1.  x y = y x
  2.  Ú y = y Ú x
  3.  Å y = y Å x
  4.  x  (y z) = (x y)  z
  5.  Ú (Ú z) = (Ú yÚ z
  6.  Å (Å z) = (Å yÅ z
  7.  Ú (y z) = (Ú y) (Ú z)
  8.  x  (Ú z) = (x yÚ (x z)
  9.  ¬¬x = x
  10.  ¬(x y) = ¬x Ú ¬y
  11.  ¬(Ú y) = ¬x ¬y
  12.  x x = x
  13.  x ¬x = 0
  14.  x  0 = 0
  15.  x  1 = x
  16.  Ú x = x
  17.  Ú ¬x = 1
  18.  Ú 0 = x
  19.  Ú 1 = 1
  20.  Å y = (x ¬yÚ (¬x y)
  21.  É y = ¬x Ú y
  22.  º y = (x yÚ (¬x ¬y)

Булева функция

Булева функция  от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество.

Булева функция задаётся конечным набором значений, что позволяет представить её в виде таблицы истинности, например:

x1

x2

xn-1

xn

f(x1,x2,…,xn)

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

  •  в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
  •  в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
  •  каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов 

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

  •  в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
  •  в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
  •  каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.


Практическая часть

Пусть кнопки управления будут иксами, а движение колёс – игреками:

x1 – кнопка «Вперёд»;

x2 – кнопка «Назад»;

x3 – кнопка «Вращение по часовой стрелке»;

y1 – левое колесо вращается вперёд;

y2 – левое колесо вращается назад;

y3 – правое колесо вращается вперёд;

y4 – правое колесо вращается назад;

y5 – переднее колесо вращается вперёд;

y6 – переднее колесо вращается назад.

При нажатии кнопки «Вперёд» (x1), левое колесо вращается вперёд (y1), правое колесо вращается вперёд (y3), переднее колесо вращается вперёд (y5) – платформа едет вперёд.

При нажатии кнопки «Назад» (x2), левое колесо вращается назад (y2), правое колесо вращается назад (y4), переднее колесо вращается назад (y6) – платформа едет назад.

При нажатии кнопки «Вращение по часовой стрелке» (x3), левое колесо вращается вперёд (y1), правое колесо вращается назад (y4), переднее колесо вращается вперёд (y5) – платформа вращается по часовой стрелки.

Составим таблицу истинности:

x1

x2

x3

y1

y2

y3

y4

y5

y6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

Используя таблицу истинности, составим СДНФ и приведём их к ПФ с минимальным количеством операций:

y1 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x2 ᴧ (x1 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ x3) = ¬x2 ᴧ (x1 ∆ x3);

y2 = ¬x1 ᴧ x2 ᴧ ¬x3;

y3 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3;

y4 = ¬x1 ᴧ x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x1 ᴧ (x2 ᴧ ¬x3 v ¬x2 ᴧ x3) = ¬x1 ᴧ (x2 ∆ x3);

y5 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x2 ᴧ (x1 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ x3) = ¬x2 ᴧ (x1 ∆ x3);

y6 = ¬x1  x2  ¬x3.

А теперь построим таблицу истинности для каждой формулы:

y3(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x2

¬x3

x1 ᴧ ¬x2

y1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

y4(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x1

x2 ∆ x3

y2

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

y1,5(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x2

x1 ∆ x3

y3,5

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

y2,6(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x1

¬x3

¬x1 ᴧ x2

y4,6

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

Заметим, что игреки получились такие же, как и в первой таблице истинности.

Заключение

В ходе Курсовой Работы я освоил метод формирования логических функций для управления подвижной. Я использовал таблицу истинности для построения СДНФ. Затем, минимизировал их, используя свойства логических функций.

y3 = x1  ¬x2  ¬x3;

y4 = ¬x1  (x2x3);

y1,5 = ¬x2  (x1x3);

y2,6 = ¬x1  x2  ¬x3.

y1 = y5 , y2 = y6 .

Литература

  •  Владимиров Д. А. Булевы алгебры. — М.: «Наука», 1969.
  •  Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Расширенный курс. — М.: «Известия», 2011.
  •  Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. — М.: Энергоатомиздат, 1988.
  •  Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. — М.: Либроком, 2013.
  •  Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008.

PAGE   \* MERGEFORMAT12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39942. Требования к системе связи 39.5 KB
  По перечисленным свойствам к системе военной связи предъявляются требования: высокая боевая готовность; устойчивость; пропускная способность; мобильность; разведзащищенность; доступность; управляемость. Высокая боевая готовность системы военной связи Высокая боевая готовность системы военной связи ее способность в любое время и в различных условиях обстановки выполнять задачи по обеспечению управления войсками. Требование высокой боевой готовности относится прежде всего к стационарным системам связи мирного времени и полевым системам...
39943. Войска связи Сухопутных войск, их назначение и состав 30 KB
  Соединения части и подразделения связи или в дальнейшем коротко войска связи являются специальными войсками и входят в состав всех видов Вооруженных сил РФ. Эти войска предназначены для развертвования и эксплуатации систем связи и обеспечения управления войсками силами во всех видах их боевой деятельности. На них также возлагаются задачи по развертвованнию и эксплуатации средств автоматизации управления проведению и организации технических мероприятиях по обеспечению связи и АСУ мероприятий по обеспечению безопасности связи Войска...
39944. Условия, влияющие на организацию и обеспечение связи в мотострелковом (танковом) батальоне в бою и специальной войсковой операции 24.5 KB
  Кроме этого на организацию связи в батальоне существенное влияние оказывает наличие сил и средств связи.
39945. Организация связи в мсб (тб) 25.5 KB
  Организация связи в бою в мсбтб зависит от многих факторов: условия перехода к обороне в наступление; роль и место батальона в боевом порядке полка боевой порядок и задачи батальона; принятая система управления; организация взаимодействия; наличие и состояние сил и средств связи; построение обороны средства усиления; характер местности и т. Основным способом организации проводной связи в мсб является направление проводной связи. Связь с командиром и штабом полка обеспечивается силами и средствами роты связи полка кабелем П274М согласно...
39946. Организация связи проводными средствами МСБ(ТБ) 16.08 KB
  При организации проводной связи необходимо рассчитывать потребное количество кабеля. По опыту войск на рельеф местности и эксплуатационное покрытие линий проводной связи необходимо выделять дополнительное количество кабеля: на среднепересеченной местности до 20 в горнотаежной местности до 200 Количество кабеля выделяемое на направление связи принято рассчитывать по формуле: Lпотр=LизмKLизм где: Lпотр потребное количество кабеля для обеспечения связи на определенном направлении; Lизм расстояние измеренное на рабочей карте...
39947. Роль и место военной связи в системе управления войсками 16.8 KB
  Простейшая система управления включает: орган управления ОУ каналы прямой и обратной связи управляемый объект УО. Процесс управления складывается из циклов управления. Каждый такой цикл включает: сбор органом управления информации от управляемых объектов; обработку информации и принятие решения выработку управляющего воздействия; постановку задач управляемым объектам командная информация воздействия.
39948. Задачи связи 14.7 KB
  В системе управления войсками на каждый пункт управления замыкается не одно а большое количество информационных направлений значительно отличающихся друг от друга по своим характеристикам поэтому общую задачу связи реализовать процесс передачи сообщений на информационных направлениях принято рассматривать как совокупность четырех задач: обеспечение связи командования; обеспечение связи оповещения; обеспечение связи взаимодействия; обеспечение связи тыла. Значение этой задачи связи заключается в том что победа в современном бою...
39949. Требования связи 17.94 KB
  Своевременность связи способность связи обеспечить получение передачу и подтверждение донесений в определенные временные сроки. Своевременность связи достигается: готовностью связи к действию; высокой квалификацией личного состава и четкой организацией дежурства на узлах и линиях связи; правильным выбором средств и способов организации связи для передачи информации с учетом ее срочности формы представления и объема; контролем на узлах связи времени прохождения сообщений и предоставлением переговоров в установленные...
39950. Виды военной связи 15.66 KB
  При использовании соответствующей оконечной аппаратуры по каналам радио радиорелейных тропосферных спутниковых проводных кабельных линий связи обеспечиваются следующие виды связи: телефонная связь телеграфная связь факсимильная связь передача данных видеотелефонная связь телевизионная связь. Телефонная связь это вид электросвязи обеспечивающий передачу прием речевой информации переговоры должностным лицам органов управления. Телефонная связь создает условия близкие к личному общению поэтому является наиболее удобной в...