71829

Разработка логических функций для управления подвижной площадки с тремя электродвигателями-колесами

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Русский

2014-11-12

181 KB

2 чел.

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»        Факультет энергетики и систем управления                                                         Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

«Разработка логических функций для управления подвижной площадки с тремя электродвигателями-колесами»

Выполнил: студент гр. АТР-131                                                                                Попов Андрей

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Условие задачи………………………………………………………………………..….3

Теоретическое введение………………………………………………………………....4

Практическая  часть……………………………………………………………………...9

Заключение……………………………………………………………………………….12

Список литературы………………………………………………………………………13


Условие задачи

Вывести логические функции для управления подвижной площадки с тремя ведущими электродвигателями-колёсами, если имеются следующие кнопки управления: «Вперёд», «Назад», «Вращение по часовой стрелке».

Теоретическое введение

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.

 Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

 Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

 В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

 отрицание;

 конъюнкция;

 дизъюнкция;

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

 Отрицание (НЕ) — логическая операция над суждениями, результатом которой является суждение противоположное» исходному. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

 Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

Не А, Ā, not A, ¬А.

 Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A

не А

0

1

1

0

 Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

 Дизъюнкция (ИЛИ) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу».

 Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

 Применяемые обозначения: А или В,    А V В,    A or B.

 Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

A

B

А или B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

 Конъюнкция (И) — логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «и». Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

 Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A  & B, A and B.

 Результат  операции  И  определяется  следующей таблицей истинности:

A

B

А и B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

 Импликация (ЕСЛИ-ТО) —  логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «еслито…». Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

 Применяемые обозначения:

если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.

 Таблица истинности:

A

B

А → B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Булева алгебра

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями  (аналог конъюнкции),  (аналог дизъюнкции), унарной операцией  (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина).

Следующие соотношения могут быть проверены прямым сравнением значений функций в левой и правой части соотношения на всевозможных наборах аргументов.

  1.  x y = y x
  2.  Ú y = y Ú x
  3.  Å y = y Å x
  4.  x  (y z) = (x y)  z
  5.  Ú (Ú z) = (Ú yÚ z
  6.  Å (Å z) = (Å yÅ z
  7.  Ú (y z) = (Ú y) (Ú z)
  8.  x  (Ú z) = (x yÚ (x z)
  9.  ¬¬x = x
  10.  ¬(x y) = ¬x Ú ¬y
  11.  ¬(Ú y) = ¬x ¬y
  12.  x x = x
  13.  x ¬x = 0
  14.  x  0 = 0
  15.  x  1 = x
  16.  Ú x = x
  17.  Ú ¬x = 1
  18.  Ú 0 = x
  19.  Ú 1 = 1
  20.  Å y = (x ¬yÚ (¬x y)
  21.  É y = ¬x Ú y
  22.  º y = (x yÚ (¬x ¬y)

Булева функция

Булева функция  от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество.

Булева функция задаётся конечным набором значений, что позволяет представить её в виде таблицы истинности, например:

x1

x2

xn-1

xn

f(x1,x2,…,xn)

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

  •  в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
  •  в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
  •  каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов 

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

  •  в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
  •  в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
  •  каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.


Практическая часть

Пусть кнопки управления будут иксами, а движение колёс – игреками:

x1 – кнопка «Вперёд»;

x2 – кнопка «Назад»;

x3 – кнопка «Вращение по часовой стрелке»;

y1 – левое колесо вращается вперёд;

y2 – левое колесо вращается назад;

y3 – правое колесо вращается вперёд;

y4 – правое колесо вращается назад;

y5 – переднее колесо вращается вперёд;

y6 – переднее колесо вращается назад.

При нажатии кнопки «Вперёд» (x1), левое колесо вращается вперёд (y1), правое колесо вращается вперёд (y3), переднее колесо вращается вперёд (y5) – платформа едет вперёд.

При нажатии кнопки «Назад» (x2), левое колесо вращается назад (y2), правое колесо вращается назад (y4), переднее колесо вращается назад (y6) – платформа едет назад.

При нажатии кнопки «Вращение по часовой стрелке» (x3), левое колесо вращается вперёд (y1), правое колесо вращается назад (y4), переднее колесо вращается вперёд (y5) – платформа вращается по часовой стрелки.

Составим таблицу истинности:

x1

x2

x3

y1

y2

y3

y4

y5

y6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

Используя таблицу истинности, составим СДНФ и приведём их к ПФ с минимальным количеством операций:

y1 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x2 ᴧ (x1 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ x3) = ¬x2 ᴧ (x1 ∆ x3);

y2 = ¬x1 ᴧ x2 ᴧ ¬x3;

y3 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3;

y4 = ¬x1 ᴧ x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x1 ᴧ (x2 ᴧ ¬x3 v ¬x2 ᴧ x3) = ¬x1 ᴧ (x2 ∆ x3);

y5 = x1 ᴧ ¬x2 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ ¬x2 ᴧ x3 = ¬x2 ᴧ (x1 ᴧ ¬x3 v ¬x1 ᴧ x3) = ¬x2 ᴧ (x1 ∆ x3);

y6 = ¬x1  x2  ¬x3.

А теперь построим таблицу истинности для каждой формулы:

y3(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x2

¬x3

x1 ᴧ ¬x2

y1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

y4(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x1

x2 ∆ x3

y2

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

y1,5(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x2

x1 ∆ x3

y3,5

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

y2,6(x1,x2,x3)

x1

x2

x3

¬x1

¬x3

¬x1 ᴧ x2

y4,6

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

Заметим, что игреки получились такие же, как и в первой таблице истинности.

Заключение

В ходе Курсовой Работы я освоил метод формирования логических функций для управления подвижной. Я использовал таблицу истинности для построения СДНФ. Затем, минимизировал их, используя свойства логических функций.

y3 = x1  ¬x2  ¬x3;

y4 = ¬x1  (x2x3);

y1,5 = ¬x2  (x1x3);

y2,6 = ¬x1  x2  ¬x3.

y1 = y5 , y2 = y6 .

Литература

  •  Владимиров Д. А. Булевы алгебры. — М.: «Наука», 1969.
  •  Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Расширенный курс. — М.: «Известия», 2011.
  •  Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. — М.: Энергоатомиздат, 1988.
  •  Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. — М.: Либроком, 2013.
  •  Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008.

PAGE   \* MERGEFORMAT12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69143. Датчики 178.5 KB
  Датчики реагируют на различные виды воздействий. Датчики температуры. Таблица 1 Датчики температуры Виды датчиков Типы датчиков Диапазон сопротивлений Ом Диапазон рабочих температур оС Достоинства Недостатки Проволочные термосопротивления ТСМ Линейная...
69145. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЭЛЕКТРОНИКИ И КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ 84 KB
  Этапы и направления развития электроники. Классификация и области применения устройств компьютерной электроники. Значительные изменения во многих отраслях науки и техники обусловлены развитием электроники.
69146. ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА КОМПЬЮТЕРНОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ 328.5 KB
  Постоянные резисторы подразделяют на резисторы общего и специального назначения. Резисторы общего назначения имеют диапазон номинальных значений сопротивлений от 1 Ом до 10 МОм с номинальной мощностью рассеяния от 0125 до 100 Вт.
69147. Полупроводниковые диоды. Принцип работы. Основные классификации и характеристики 44.5 KB
  Полупроводниковые диоды. Обозначение: Uпр = 0608 В для Si Si кремний Uпр = 0304 В для Ge Ge германий Вольт-амперная характеристика идеального диода прямая ветвь прямой ток обусловлено движение основных носителей; обратный ток движение неосновных носителей...
69148. Биполярные транзисторы, принцип работы, основные параметры и характеристики 88 KB
  Движение тока осуществляется за счет перемещения двух носителей. Типы включения транзистора режимы работы: Активный режим рабочий. 1 режим отсечки 2 активный режим 3 точка насыщения 4 зона насыщения С точки зрения схемотехники различают 2 режима...
69149. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК 1.12 MB
  Срединная плоскость пластинки плоскость делящая толщину пластинки пополам. Изогнутой срединной поверхностью пластинки называют поверхность в которую переходит срединная плоскость при деформации. Нагрузки действующие на пластинку...
69151. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК 779.5 KB
  Основной особенностью пластинки является её способность воспринимать только распределённую нагрузку действующую главным образом в её плоскости рис. Нагружение пластины граничные условия для пластинки более разнообразны так как включают опирание продольных кромок рис.