71830

Пульт телеуправления подвижным объектом

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Логические операции булевой алгебры подобны арифметическим операциям элементарной алгебры. В такой таблице в колонках стоят операнды операции и сама операция а в строках   различные значения операндов и результат применения к ним данной операции.

Русский

2014-11-12

156 KB

5 чел.

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»        Факультет энергетики и систем управления                                                         Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

«Пульт телеуправления подвижным объектом»

Выполнил: студент гр. АТР-131                                                                                          Елфимов А.В.

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Условие задачи…………………………………………………………………………….3

Теоретические сведения…………………………………………………………………..5

Практическая часть……………………………………..................................…………..13

Заключение……………………………………………………………………………….??

Список литературы………………………………………………………………………??


Условие задачи

Пульт телеуправления подвижным объектом предусматривает подачу команд: "Вперёд", "Назад", "Вправо", "Влево", "Стоп" тремя одновременно работающими независимыми операторами. Разработать схему, обеспечивающую прохождение любой из этих команд только тогда, когда она подана по крайней мере двумя операторами.

 

В

 Л П

Н


Список переменных

A,B,C - операторы, подающие команды.

Направления движения объекта
:

В
- вперёд

 Н - назад

 Л - влево

П - вправо

 С - стоп

Теоретическое введение


Булева алгебра — частично упорядоченное множество специального вида; дистрибутивная решётка, имеющая наибольший элемент 1 — единицу булевой алгебры, наименьший элемент 0 — нуль булевой алгебры, и содержащая единственное дополнение каждого своего элемента \ x — элемент \ x^c, удовлетворяющий соотношениям: x \cup x^c = 1, \ x \cap x^c = 0; введена Дж. Булем (1847, 1854) как аппарат символической логики; в последствии нашла широкое применение в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и других разделах математики.


Булевы функции

Определение. Переменная x называется булевой, если она способна принимать только два значения 0 и 1. В качестве примера интерпретации такого рода переменных может выступать обычный настенный выключатель света на два положения. Здесь 1 соответствует положению переключателя вверх и 0 — положению вниз.

Определение. Функция f(x1,x2,…,xn) называется булевой (или логической, или функцией алгебры логики, или переключательной), если все ее аргументы x[i] являются булевыми, а сама функция также может принимать только два значения 0 и 1. Множество всех булевых функций от переменных x1,x2,…,xn обозначают через P2.

Способы задания булевых функций

Способы задания булевых функций не отличаются от способов задания обычных функций анализа. К таковым способам задания стандартно относятся:


1) табличный;


2) графический;


3) аналитический.

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь»  ( либо ,  либо ).

Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики.


Логические операции

Логические операции булевой алгебры подобны арифметическим операциям элементарной алгебры. Если последние применяются к числам, то первые — к логическим значениям соответствующих высказываний. Составные высказывания можно получать с помощью логических операций так же, как в элементарной алгебре — формулы. И, если известны значения исходных высказываний, значение составного высказывания можно вычислить, прибегая лишь к формальным правилам. Уравнения, составленные в алгебре логики можно формально решать. Все это обеспечивает широкие возможности по применению математического аппарата к суждениям из реальной жизни (там, где не хватает аппарата булевой алгебры, применяются более сложные методы математической логики, в частности,исчисление предикатов первого порядка и др.).

Логические операции можно описывать с помощью таблиц истинности. В такой таблице в колонках стоят операнды операции и сама операция, а в строках — различные значения операндов и результат применения к ним данной операции.

Основные логические операции

Основными логическими операциями являются операции отрицаниялогического И и логического ИЛИ. Именно с помощью них наиболее удобно оперировать с логическими выражениями. Производные логические операции могут быть выражены через них.

Отрицание НЕ

Отрицание — операция, применяемая к одному операнду, т.е. унарная операция. Выражение не A записывается как ¬AA¯¯¯ или !A. Операции отрицания задается следующей таблицей истинности:

A

¬A

0

1

1

0

Соответственно, операции отрицания можно дать следующее истолкование: истинность выражения, построенного с помощью отрицания, противоположнаистинности исходного выражения. Если A истинно, ¬A ложно, и наоборот.

В некотором роде операция отрицания подобна операции отрицания в элементарной алгебре. Последняя меняла значение числа на противоположное: положительное на отрицательное и наоборот.

Логическое И

Логическое И (конъюнкция) — операция, применяемая к двум операндам, т.е. бинарная операция. Выражение A и B записывается как ABAB или A&&B. Конъюнкция задается следующей таблицей истинности:

A

B

AB

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Логическое И, как не сложно понять из названия, образует выражение, которое истинно только тогда, когда истинны оба исходных выражения, входящих в его соста:и первое, и второе.

Операция конъюнкции подобна умножению. Это легко заметить по таблицы истинности. Конъюнкция дает такой же результат, как если бы мы просто перемножали ее операнды.

Логическое ИЛИ

Логическое ИЛИ (дизъюнкция) — еще одна бинарная операция. Выражение A или B записывается как ABA+B или A||B. Дизъюнкция задается следующей таблицей истинности:

A

B

AB

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Логическое ИЛИ образует выражение, которое истинно тогда, когда истинно хотя бы одно исходных выражение, входящее в его состав: или первое, или второе.

Операция дизъюнкции подобна сложению. Как и в случае с конъюнкцией, это можно заметить по таблице истинности. Единственным исключением тут является правило 1+1=1, а не 2, как можно было бы ожидать. Но это нормальное явление, учитывая, что пространство логических значений ограничено нулем и единицей.

Производные логические операции

К производным логическим операциям относятся операции исключающего илиимпликацииэквивалентности. Они могут применяться при составлении логических выражений, но при дальнейшем анализе выражаются с помощью основных логических операций.

Исключающее ИЛИ

Операция исключающего ИЛИ похожа на обычную дизъюнкцию. Ее обозначают как AB или A^B. Операция задается следующей таблицей истинности:

A

B

AB

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Как видно из таблицы, отличие исключающего ИЛИ от дизъюнкции заключается в том, что полученное выражение будет ложным, если истинны оба исходных выражения, а не только одно из них.

Высказывание вида AB в логическом выражении можно заменить на A¬BB¬A.

Операция импликации

Бинарная операция импликации выражается связками если… , тоиз … следуетвлечет. Операция записывается как AB или AB и задается следующей таблицей истинности:

A

B

AB

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

В импликации A называется посылкой, а B — следствием. Выражение, образованное импликацией, ложно только в том случае, когда посылка истинна, а следствие ложно. При ложной посылке состояние следствия может быть каким угодно.

Высказывание вида AB в логическом выражении можно заменить на ¬AB, при этом оно останется тождественно исходному, то есть будет истинно или ложно ровно в тех же самых случаях, что и оригинальное.

Операция эквивалентности

Данная операция выражается связками тогда и только тогданеобходимо и достаточноравносильно. Операция имеет следующие обозначения: ABABA==B. Таблица истинности выглядит так:

A

B

AB

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Выражение, образованное эквивалентностью, истинно, если истинность обоих операндов совпадает.

Эквивалентность можно заменить на две импликации, а те, в свою очередь, раскрыть по правилам, указанным выше. Получится, что высказывание вида ABможно заменить на AB¬A¬B.

Приоритеты операций

Приоритеты основных логических операций соответствуют приоритетам аналогичных операций в элементарной алгебре. Приоритет исключающего ИЛИ совпадает с приоритетом дизъюнкции. Импликация и эквивалентность обладают равными низшими приоритетами.

Приоритеты логических операций

Отрицание

Конъюнкция

Дизъюнкция, исключающее ИЛИ

Импликация, эквивалентность

Законы булевой алгебры

Как и в элементарной алгебре, логические выражения можно упрощать, чтобы облегчить задачу последующих вычислений или решения уравнений. Эта возможность обусловлена наличием у логических операций и их комбинаций различных свойств, которые позволяют переходить от исходного выражения к тождественному, упрощая его при этом.

В качестве первого шага к упрощению рекомендуется избавиться от всех производных операций в логическом выражении. Поэтому далее будут перечислены только свойства основных логических операций.

Ассоциативность

Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции выражается следующими формулами:

(AB)C=A(BC)=ABC,

(AB)C=A(BC)=ABC.

На практике это означает, что можно опускать те скобки, которые определяют, в каком порядке должна выполняться конъюнкция в выражениях вида A1A2∧⋯∧An и дизъюнкция в выражениях вида A1A2∨⋯∨An.

Коммутативность

Если операция коммутативна, то результат ее применения не зависит от того, какой из операндов был первым, а какой — вторым. Операнды коммутативных операций можно менять друг с другом местами, получая тождественный результат.

Конъюнкция и дизъюнкция являются коммутативными операциями:

AB=BA,

AB=BA.

Дистрибутивность

Свойство дистрибутивности одной операции относительно другой позволяет «раскрывать» скобки аналогично процедуре из элементарной алгебры. Конъюнкция и дизъюнкция дистрибутивны друг относительно друга, что выражается в следующих формулах:

A(BC)=ABAC,

ABC=(AB)(AC).

Свойства единицы и нуля

Конъюнкция и дизъюнкция «по-особому» реагируют на единицу или ноль в качестве одного из операндов независимо от значения второго. Эти свойства похожи на знакомые из элементарной алгебры умножение на единицуумножение на нольсложение с нулем:

A0=0,A1=A,

A0=A,A1=1.

Идемпотентность

Операция называется идемпотентной, если, применяя ее к двум равным операндам, получается тот же самый операнд. Идемпотентность позволяет «выкидывать» лишние повторные применения операции из формулы. Конъюнкция и дизъюнкция идемпотентны:

AA=A,

AA=A.

Поглощение

Если к выражению применяется с одним и тем же операндом сначала одна операция, а потом, с тем же самым операндом, поглощающая ее, то значение выражения поглощается, становясь равно операнду. Таким образом поглощающие друг друга пары операций можно «выкидывать» во время упрощения. Конъюнкция и дизъюнкция поглощают друг друга:

ABB=B,

(AB)B=B.

Законы де Моргана

Законы де Моргана позволяют применять отрицания к целой скобке, позволяя перейти к так называемым тесным отрицаниям, когда ни одно отрицание не стоит перед скобкой.

¬(AB)=¬A¬B,

¬(AB)=¬A¬B.

Дополнение

Отрицание операнда называется его дополнением. Конъюнкция или дизъюнкция операнда со своим дополнением дает однозначные результат независимо от значения операнда:

A¬A=0,

A¬A=1.

Двойное отрицание

Двойное отрицание компенсирует само себя. Таким образом в форме с тесными отрицаниями у каждой переменной в выражении либо не стоит ни одного отрицания, либо только одно.

¬¬A=A.

Советы по упрощению логических выражений

Как уже было сказано выше, сперва рекомендуется избавиться от всех производных логических операций. Так же полезно раскрыть все скобки, перейти к форме с тесными отрицаниями. В процессе полезно применить свойства идемпотентности, поглощения, дополнений, нуля и единицы. Иногда, чтобы упростить выражение, необходимо, наоборот, что-то вынести за скобку, чтобы сократить то, что в скобках останется. В целом, необходимо добиться минимального числа переменных, операций конъюнкции и дизъюнкции. При этом в упрощенной формуле должны быть тесные отрицания и не должно быть производных операций.

Связь между логическими операциями и операциями над множествами

При анализе логических выражений полезно применять круги Эйлера. Но перед тем, как их использовать, необходимо разобраться, как связаны логические операции с операциями над множествами.

Будем обозначать множества строчными латинскими буквами: abc… Представим, что есть некоторое универсальное множество u, такое, что в него входят все элементы из всех остальных рассматриваемых множеств. Каждому элементу x множества u сопоставим высказывания A(x)=xaB(x)=xbC(x)=xc

Пересечение

Множество c=ab называется пересечением множеств a и b, если для всех элементов x универсального множества u выполнено C(x)≡A(x)B(x). То есть пересечению множеств принадлежат только те элементы, которые принадлежат сразу всем множествам, входящим в пересечение.

Объединение

Множество c=ab называется объединением множеств a и b, если для всех элементов x универсального множества u выполнено C(x)≡A(x)B(x). То есть объединению множеств принадлежат все те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, входящих в объединение.

Дополнение

Множество c=a¯ называется дополнением множества a, если для всех элементов x универсального множества u выполнено C(x)≡¬A(x). То есть дополнению множества принадлежат все элементы универсального множества, но только не элементы исходного множества.

Практическая часть

Схема управления объектом

                A B C Y

В1

Н1

Л1

П1

С1

В2

Н2

Л2

П2

С2

В3

Н3

Л3

П3

С3

В

Н

Л

П

С

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1





PAGE   \* MERGEFORMAT13


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59473. Українці – співтворці європейської культури 411 KB
  До списку Світової культурної спадщини було включено собор Софії Київської Києво-Печерську Лавру та історичний центр міста Львова. Собор Святої Софії у Києві Красуня-церква біла наречена Що загубилась на стежках небесних...
59474. Проблеми війни і миру та їхній прояв в історії Європи 41 KB
  Свого часу Леонардо да Вінчі зробив досить невтішний прогноз щодо розвитку людства: €œНа землі завжди будуть відбуватися руйнівні війни Ні на землі ні під нею ні під водою не залишиться нічого не ушкодженого. Та серед цієї безлічі воєн гігантськими вершинами височать дві...
59475. Демографічна проблема 39 KB
  Потім відбулося неймовірне: кількість населення Землі почала збільшуватись фантастичними вибухоподібними темпами. Зявились песимістичні прогнози перенаселення планети. населення світу уже складали 4 млрд.
59476. Екологічні проблеми та їхні наслідки 46 KB
  Характеризуючи стан навколишнього середовища вони дають йому такі визначення як €œдеградація глобальної екологічної системи екологічна дестабілізація €œруйнування екологічних систем €œекологічна криза. Виникла екологічна криза в основному під впливом трьох чинників...
59477. Небезпечні хвороби та їхнє поширення в Європі 50.5 KB
  У результаті численних досліджень вчені дійшли висновку що серед чинників від яких залежить здоровя людини котра проживає в цивілізованій країні в умовах миру і за відсутності природних катаклізмів приблизно 2022 припадає на екологічні та соціальні чинники; 2022 на спадковість і генетичні порушення...
59478. Місце України в європейській історії 54.5 KB
  Що спільне і що відмінне в тезах їхніх авторів На які визначальні чинники в історії України вони звертають увагу Джерело За фокусну точку України на дніпровських порогах де степовий шлях перетинався з річковою торговельною магістраллю люто билися всі новоприбульці...
59479. Роль права у світовому та європейському суспільстві 56.5 KB
  Вони є такими собі загальними правилами гри які дають можливість узгодити інтереси всіх членів суспільства зрівняти можливості таких різних людей захистити їх від сваволі більш сильних індивідів чи держави.
59480. Оновлена Європа 51 KB
  Ще більше вражають зміни які відбулись у внутрішньому житті цих країн. Завдання: Назвіть нові країни які зявилися в Європі за цей час. Країни цього регіону звільнились від радянського контролю в них було встановлено демократичні режими.
59481. Cценарій. Свято осені 580.5 KB
  Хлібомсіллю Вас вітаєм і здоровя Вам бажаєм. В народі хліб мов матір поважають. І дорогих гостей завжди стрічають З хлібиною в барвистих рушниках. І тому завжди в пошані Хліб і в нашому селі Запашний пухкий румяний Він лежить на рушничку.