71833

Разработка логической функции управления тепловым прибором

Курсовая

Математика и математический анализ

Для понятия высказывание иногда используют термин пропозиция а говоря пропозициональный подразумевают относящийся к логике высказываний. По аналогии с элементарной алгеброй где любое число является константой высказывание является логической константой величина которой равна 1 или 0.

Русский

2014-11-13

154.5 KB

2 чел.

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»        Факультет энергетики и систем управления                                                         Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

«Разработка логической функции управления тепловым прибором».

Выполнил: студент гр. АТР-131                                                                                          Еремина А.Б.

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Теоретическая часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Условие задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


Введение

Фен — электрический прибор (Blowdryer или Hair dryer), выдающий направленный поток нагретого воздуха. Важнейшей особенностью фена является возможность подачи тепла точно в заданную область. Происхождение слова «фен» связано с немецкой маркой Fön, зарегистрированной в 1908 году производителем электрооборудования компанией AEG.

Фен обычно выполняется в виде отрезка трубы, внутри которой располагаются вентилятор и электронагреватель. Часто корпус фена оснащается пистолетной рукояткой.

Вентилятор втягивает воздух через один из срезов трубы, поток воздуха проходит мимо электронагревателя, нагревается и покидает трубу через противоположный срез. На выходной срез трубы фена могут быть установлены различные насадки, изменяющие конфигурацию воздушного потока. Входной срез обычно закрыт решёткой для того, чтобы предотвратить попадание внутрь корпуса фена крупных предметов, например пальцев.

Ряд моделей фенов позволяет регулировать температуру и скорость потока воздуха на выходе. Регулировка температуры достигается либо включением параллельно различного числа нагревателей, либо с помощью регулируемого термостата, либо изменением скорости потока.


Теоретическая часть

Высказывания и операции над ними.

Логическими высказываниями являются утвердительные предложения, о которых можно судить, истинны они или ложны. Причем они не могут быть истинными и ложными одновременно. Логика высказываний рассматривает эти предложения не с точки зрения их смысла, содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности. Для понятия «высказывание» иногда используют термин «пропозиция», а говоря «пропозициональный», подразумевают относящийся к логике высказываний.

Вопросительные, повелительные и бессмысленные предложения не являются логическими высказываниями.

Говорят, что если предложение истинно, то его значение истинности равно 1, если ложно — то 0. По аналогии с элементарной алгеброй, где любое число является константой, высказывание является логической константой, величина которой равна 1 или 0.

В качестве примера отметим, что предложение «x2 =4», вообще говоря, не является высказыванием. Для того чтобы имело смысл говорить об его истинности или ложности, необходимы некоторые дополнительные сведения. Конечно, достаточно знать, какое именно число обозначено буквой x.

Каждому значению переменной x будет соответствовать либо истинное, либо ложное высказывание; например, высказывания (-2)2 =4, 22=4 истинны, остальные ложны.

Будем называть высказывание простым (элементарным, атомарным), если оно рассматривается нами как некое неделимое целое. Обычно к ним относят высказывания, не содержащие логических связок.

Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

В логике над высказываниями производятся следующие основные операции (логические связки): отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, неравнозначность. Они рассматриваются как средство вычисления логического значения сложного высказывания по логическим значениям составляющих его простых высказываний.

Отрицание (логическая связка «не»)

Отрицанием (инверсией) высказывания A называется высказывание, которое истинно, если высказывание A ложно, и ложно, когда A истинно. Записывается: A или ¬ A. Читается: «не A» («не верно, что A»). Отметим, что отрицание является логической операцией, выполняемой над одним аргументом.

Эта логическая связка может быть проиллюстрирована следующей

A

¬ A

0

1

1

0

таблицей (таблицей истинности):

Логическое умножение (конъюнкция)

Конъюнкция двух высказываний A и B — это сложное логическое высказывание, которое истинно только в случае истинности всех составляющих высказываний, в противном случае оно ложно. Обозначения: A& B, A B . Читается: «A и B».

Эта логическая связка может быть также проиллюстрирована таблицей истинности, в которой показаны значения истинности сложного высказывания в зависимости от значений истинности составляющих его простых высказываний A и B.

A

B

A& B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Логическое сложение (дизъюнкция)

Дизъюнкция двух высказываний A и B — это сложное логическое высказывание, которое ложно только в случае ложности всех составляющих высказываний, в противном случае оно истинно. Таким образом, это высказывание считается истинным, когда истинно хотя бы одно из составляющих высказываний. Обозначается: A B . Иногда встречается обозначение A +B . Читается: «A или B».

Дизъюнкция иллюстрируется следующей таблицей истинности:

A

B

A B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Логическое следование (импликация)

В математических доказательствах часто пользуются сложными высказываниями, образованными с помощью слов «если…, то…». Здесь высказывание, расположенное после слова «если», называется основанием или посылкой, а высказывание, расположенное после слова «то», называется следствием или заключением. Импликацией двух высказываний A и B называется высказывание, обозначаемое символом A→ B  , которое ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. Иногда встречается обозначение A B  . Читается: «если A, то B» («A влечет B», «из A следует B»).

Импликация проиллюстрирована таблицей истинности:

A

B

A→ B

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

Определение импликации вынуждает считать истинными такие предложения, как: «если 2×2 =4 , то Москва столица России»; «если 2× 2 = 5 , то 3×3 = 6 ». Это связано с тем, что определениями логических операций смысл составляющих высказываний не учитывается, они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством — быть истинными, либо ложными.

Истинность высказывания «если 2×2= 5 , то 3× 3= 6 » кажется парадоксальной. Но объяснение этому, во-первых, следует искать в том, что сами высказывания 2×2= 5 и 3×3= 6 мало связаны между собой, а во-вторых, в том, что использование сослагательного наклонения несколько точнее отражало бы смысл указанной импликации. В самом деле, утверждение «если бы 2×2 =5 , то 3×3= 6 » не кажется противоречивым, то есть истинность нашей импликации означает, что «3×3 =6 не менее истинно, чем 2×2= 5 ».

Логическое тождество (эквиваленция)

Эквиваленцией (эквивалентностью, равнозначностью) двух высказываний A и B называется высказывание, обозначаемое символом A↔B, которое истинно когда истинностные значения высказываний A и B совпадают, и ложно— в противном случае.

A

B

A↔B

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Таблица истинности для эквивалентности имеет вид:

Логическая операция A↔B соответствует союзу «тогда и  только тогда, когда» и читается: «A эквивалентно B» («A равнозначно B», «для того, чтобы A необходимо и достаточно, чтобы B»).Когда мы говорим «A тогда и только тогда, когда B», то имеем в виду, что оба предложения A и B одновременно истинны, либо одновременно ложны. Например, говоря: «Я поеду в Ленинград тогда и только тогда, когда ты поедешь в Киев», мы утверждаем, что: либо произойдет и то и другое, либо ни того, ни другого.

Исключающее «или» (неравнозначность)

Неравнозначностью двух высказываний A и B называется высказывание, истинное, когда истинностные значения A и B не совпадают, и ложное — в противном случае. Обозначается: A B  . Читается: «либо A, либо B» (понимается — в разделительном смысле). Таблица истинности для неравнозначности имеет вид:

A

B  

A B  

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Итак, в математической логике для записи сложных высказываний используются следующие логические операции над простыми высказываниями:

¬    − не;

&,  −и;

   − или;

→  − влечет;

↔  − эквивалентно;

− либо, либо.

Равносильность формул

Назовем эквивалентными (или равносильными) формулы, которые представляют равные функции. Равносильность формул в алгебре логики обозначается знаком тождественного равенства ≡. Стандартный метод установления равносильности двух формул:

1) по каждой формуле восстанавливается таблица истинности;

2) полученные таблицы сравниваются по каждому набору значений переменных.

Нужно различать символы ↔ и ≡. Знак ↔ является символом формального языка, с помощью которого строятся формулы, а знак ≡ обозначает отношение на множестве формул.

В логике выделяют следующие равносильные формулы —основные эквивалентные соотношения (законы):

1. A ≡  A  (закон тождества);

2. A&0 ≡ 0  ;

3. A0 ≡ A ;

4. A&1 ≡ A;

5. A 1≡ 1;

6. ¬(¬ A  ) ≡ A (закон двойного отрицания);

7. A&(¬ A)  ≡0 (закон логического противоречия);

8. A (¬ A)  ≡1 (закон исключенного третьего);

9. A& A ≡ A (идемпотентность конъюнкции);

10. A   A ≡ A (идемпотентность дизъюнкции);

11. A& B ≡ B & A (коммутативность конъюнкции);

12. AB≡  BA (коммутативность дизъюнкции);

13. A&(B &C ) ≡ (A & B)&C (ассоциативность конъюнкции);

14. A ∨(BC)≡ (AB) C (ассоциативность дизъюнкции);

15. A& (BC) ≡(A & B) ∨(A&C) (дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции);

16. A ∨(B&C) ≡ (A B) & (A C) (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции);

17. A&( AB) ≡ A (первый закон поглощения);

18. A ( A & B) ≡ A (второй закон поглощения);

19. ¬(A& B) ≡ ¬ A¬B (первый закон де Моргана);

20. ¬( A B) ≡¬ A&¬B (второй закон де Моргана);

21. A ≡ (A & B) (A &¬B) (первый закон расщепления);

22. A  ≡ (AB)&(A ¬ B) (второй закон расщепления);

23. A →B ≡¬B→ ¬ A (закон контрапозиции);

24. A →B ≡¬ AB ≡¬(A&¬B);

25. A↔B≡ ( ¬AB )&(¬ BA) ≡ (A & B) (¬ A&¬B);

26. AB ≡ (A &¬B)(¬ A& B);

27. A B ≡¬ A→ B  ≡¬(¬ A&¬B);

28. A& B ≡ ¬(A→ ¬B) ≡ ¬(¬ A ¬B).

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций. (Говорят, что формула находится в дизъюнктивной нормальной форме.)

ДНФ A называется совершенной и обозначается СДНФ, если каждая переменная формулы A входит с отрицанием или без отрицания в каждый конъюнкт точно один раз.

¬X1 ∨( X 2& X 3) (¬X1 & X 2  & X 3)

Кроме ДНФ, употребляются также конъюнктивные нормальные формы. Произвольная дизъюнкция литералов называется элементарной дизъюнкцией (или дизъюнктом). Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется произвольная конъюнкция дизъюнктов.

Конъюнктивные нормальные формы можно получить из ДНФ путем замены в них знаков на &, а & на . Символы & и называются двойственными друг другу.

Известно, что каждую логическую формулу можно привести эквивалентными преобразованиями к КНФ.

КНФ A называется совершенной и обозначается СКНФ, если каждая переменная формулы A входит с отрицанием или без отрицания в каждый дизъюнкт точно один раз. Например,

(¬ X1 X2) & (X1 ¬ X 2) &(¬ X1 ¬ X 2)


Условие задачи

Разработать схему управления феном, предусматривающую следующие режимы его работы.

Положение переключателя

Схема включения двух спиралей

0

Нагревательные спирали отключены

1

Спирали включены последовательно

2

Включена только длинная спираль

3

Включена только короткая спираль

4

Спирали включены параллельно


Решение

X1

X2

X3

X4

Y0

Y1

Y2

Y3

Y4

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

2

0

0

0

1

1

0

0

0

0

3

0

0

1

0

1

0

0

0

0

4

0

0

1

1

1

0

0

0

0

5

0

1

0

0

1

0

0

0

0

6

0

1

0

1

0

0

1

0

0

7

0

1

1

0

0

1

0

0

0

8

0

1

1

1

0

0

1

0

0

9

1

0

0

0

0

0

0

1

0

10

1

0

0

1

0

0

0

1

0

11

1

0

1

0

0

0

0

1

0

12

1

0

1

1

-

-

-

-

-

13

1

1

0

0

0

0

0

1

0

14

1

1

0

1

0

0

0

0

1

15

1

1

1

0

0

0

0

1

0

16

1

1

1

1

-

-

-

-

-


Y0 = ¬X1 ¬X2 ∧ ¬X3 ∧ ¬X4 ∨ ¬X1 ∧ ¬X2 ∧ ¬X3 ∧ X4 ∨ ¬X1 ∧ ¬X2 ∧ X3 ∧ ¬X4 ∨ ¬X1 ∧ ¬X2 ∧ X3 ∧ X4 ∨ ¬X1 ∧ X2 ∧ ¬X3 ∧ ¬X4 =

= ¬X1 ¬X2 (¬X3 ¬X4 ¬X3 X4)¬X1 ¬X2 (X3 ¬X4 X3 X4) ∨(¬X1 X2¬X3 ¬X4)=

= ¬X1 ¬X2 ¬X3 ¬X1 ¬X2 X3 (¬X1 X2 ¬X3 ¬X4)=

=¬X1 ¬X2 (¬X3 X3) (¬X1 X2 ¬X3 ¬X4) =

= ¬X1 ¬X2 (¬X1 X2 ¬X3 ¬X4) =

=¬X1 (¬X2 X2 ¬X3 ¬X4)

X1

X2

X3

X4

¬X1

¬X2

¬X3

¬X4

X2¬X3

X2¬X3¬X4

¬X2X2¬X3¬X4

¬X1(¬X2X2¬X3¬X4)

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

Y1 = ¬ X1 X2 X3 ¬X4

X1

X2

X3

X4

¬ X1

¬ X4

¬ X1X2

¬X1X2X3

¬X1X2X3¬X4

0

1

1

0

1

1

1

1

1

Y2 = ¬X1 X2 ¬X3 X4 ¬X1 X2 X3 X4 = ¬X1 X2 (¬X3 X4X3 X4 ) = ¬X1 X2 X4

X1

X2

X3

X4

¬X1

¬X1X2

¬X1X2X4

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Y3 = X1 ¬X2 ¬X3 ¬X4 X1 ¬X2 ¬X3 X4 X1 ¬X2 X3 ¬X4 X1 X2 ¬X3 ¬X4 X1 X2 X3 ¬X4 =

= ¬X3 ¬X4∧( X1 ¬X2 X1 X2) X3 ¬X4∧( X1 ¬X2 X1 X2) ∨( X1 ¬X2 ¬X3 X4)=

= X1 ¬X3 ¬X4 X1 X3 ¬X4 X1 ¬X2 ¬X3 X4=

= X1 (¬X4 ¬X2 ¬X3 X4)

X1

X2

X3

X4

¬X2

¬X3

¬X4

¬X2 ¬X3

¬X2 ¬X3 X4

¬X4 ¬X2 ¬X3 X4

X1 (¬X4 ¬X2 ¬X3 X4)

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

Y4 = X1 X2 ¬X3 X4

X1

X2

X3

X4

¬X3

X1X2

X1X2¬X3

X1X2¬X3X4

1

1

0

1

1

1

1

1


Заключение

Разрабатывая схему управления феном, использовались материалы математической логики. По условию задачи составляется электрическая схема и таблица истинности. Исходя из этого пишется СДНФ для ПФ, после чего минимизируем с помощью равносильности формул. Эти функции будут являться решением этого задания.

Y0 =¬X1X2 X2 ¬X3 ¬X4)

Y1 = ¬ X1  X2  X3 ¬X4

Y2 = ¬X1  X2  X4

Y3 = X1X4 ¬X2 ¬X3 X4)

Y4 = X1  X2 ¬X3  X4


Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика.  ( 2006 г.)

2. Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика.( 2006 г.)

3. Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов. (2003 г.)

PAGE   \* MERGEFORMAT 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42157. Изучение магнитного поля соленоида (катушки с однонаправленными витками) 90 KB
  Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей создаваемых круговыми токами расположенными вплотную и имеющими общую ось. Сечение соленоида схематически показано на рис. Распределение магнитной индукции по длине соленоида вдоль его оси описывается выражением.
42158. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА С ПОМОЩЬЮ МАГНЕТРОНА 119 KB
  Пусть частица с зарядом q движется в электрическом поле напряженности . Сила действующая на частицу в поле равна . Нетрудно видеть что ускорение заряженной частицы в электрическом поле зависит от ее удельного заряда .
42159. ИЗУЧЕНИЕ СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ КРУГОВЫХ КОНТУРОВ С ТОКОМ 105 KB
  Механическое взаимодействие контуров с током под действием силы Ампера можно представить следующим образом: один контур создает магнитное поле которое воздействует на проводники с током второго контура и наоборот. Таким образом задача анализа взаимодействия контуров расчленяется на две: первая расчет магнитного поля создаваемого первым контуром в месте расположения витков второго и вторая определение силы действующей на второй контур. 3 показаны силы действующие на два произвольных симметрично...
42160. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ДИА- И ПАРАМАГНЕТИКОВ 84 KB
  4 Тогда вектор результирующей магнитной индукции будет определяться с учетом 3 и 4: 5 где 0 = 4 107 Гн м магнитная постоянная  = 1  относительная магнитная проницаемость вещества показывающая во сколько раз изменяется магнитное поле в веществе по сравнению с магнитным полем в вакууме: ....
42161. ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОНТУРЕ 115.5 KB
  Простейшими колебаниями являются гармоничные колебания происходящие по закону синуса или косинуса:    Сos t или  =  Sin t  где  мгновенное значение колеблющейся величины отклонение наблюдаемой величины от положения равновесия в момент времени t  амплитуда колебания наибольшее отклонение колеблющейся величины от её равновесного значения;  циклическая или круговая частота колебаний  начальная при t = 0 фаза колебаний. Гармонические колебания являются...
42162. ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОНТУРЕ 134 KB
  Явление резонанса в колебательном контуре. 6 Графики зависимости I0 = f  при различных значениях сопротивления R называемые резонансными кривыми колебательного контура представлены на рис. Эта амплитуда как видно из 5 будет максимальна при частоте отвечающей условию и называемой резонансной частотой РЕЗ. Выражая отсюда РЕЗ получаем .
42163. Эффект Холла в полупроводниках 97 KB
  Изучить эффект Холла в полупроводниках с электронном n тип типом проводимости In Sb а также сделать оценочный расчет некоторых параметров этого полупроводника. Эффект Холла наблюдается при одновременном воздействии на вещество металл или полупроводник электрического и магнитного полей. Эффект Холла несет информацию о таких важнейших характеристиках проводника как концентрация и знак носителей тока.
42164. НЕОБРАТИМЫЙ МАГНИТОУПРУГИЙ ЭФФЕКТ ФЕРРОМАГНЕТИКА ПРИ УДАРЕ. ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ УДАРА 81 KB
  У магнитотвердых материалов таких как кобальтовые стали альнико бариевые ферриты SmCo5 NdFeB и другие из которых делаются постоянные магниты требующие огромные поля чтобы междоменные границы начали двигаться. Под действием магнитного поля весь каркас границ приходит в движение и в результате домены с намагниченностью ориентированной вдоль поля увеличиваются в размерах за счет антипараллельных или поперечных доменов. В больших полях МДГ исчезают и материал намагничивается до насыщения. Зависимость намагниченности I от поля для...
42165. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ 118.5 KB
  ls logy c x1 x2 x3 x4 x5 Логарифмическое уравнение . ls y c logx1 logx2 logx3 logx4 logx5 Гиперболическое уравнение . ls logy c logx1 logx2 logx3 logx4 logx5 Показательное уравнение βi 0 βi≠1. ls logy=c1logc2x1logc3x2logc4x3 Примечание: Переменные содержащие в наблюдениях значения 0 нельзя логарифмировать и брать обратную величину.