71834

Схема управления электродвигателем объекта

Курсовая

Математика и математический анализ

Орган управления: ключ Пуск Теоретические сведения Булевы функции Булевы функции находят применение в конструировании и упрощении логических схем. Множества всех булевых функции n переменных обозначается т. Количество всех булевых функции n переменных находится по формуле...

Русский

2014-11-13

745 KB

3 чел.

ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Схема управления электродвигателем объекта»  

                                                              Выполнил: студент группы АТР-131

                                                                          Колядинцев Иван

                                                                    Принял:  доц. Купцов Валерий Семенович

Воронеж

2013г.

Содержание

Условие задачи _____________________________________________

Теоретические сведения ______________________________________

Решение ___________________________________________________

Анализ решения _____________________________________________

Список используемой литературы ______________________________

Условие задачи

Разработать схему управления электродвигателем объекта. Цель управления - выставить объект в центре рабочего участка. Положение объекта относительно центра определяется датчиками «Слева» и «Справа». Остановка происходит при отсутствии сигналов с обоих датчиков. Орган управления: ключ «Пуск»

Теоретические сведения

 Булевы функции

   Булевы функции находят применение в конструировании и упрощении логических схем. Такие схемы встречаются в электронных устройствах, используемых в компьютерах, калькуляторах, телефонных системах и ряде других устройств.

Обозначим множество {0;1} через  , т. е. .

Функция f из множества  называется булевой функцией n переменных.  Напомним, что

Переменные булевых функций могут принимать только значения 0 или 1 и называются булевыми переменными.

Множества всех булевых функции n переменных обозначается , т.е.

 .

Количество всех булевых функции n переменных находится по формуле

 .

Например, булевых функции 1 переменной

,

булевых функции 2 переменных

,

 булевых функции 3 переменных

 .

Булевы функции часто задаются таблично. Эти таблицы напоминают таблицы истинности логических операций, поэтому сами булевы функции часто называют булевыми операциями, а соответствующие им таблицы - таблицами истинности.

Булевы функции одной переменной

 

 

Значения

переменной   х

0

1

 

Название функции

Обозначение функции

Значения  функции

f1

Тождественный нуль

0

0

0

f2

Тождественная

х

0

1

f3

Отрицание

1

0

f4

Тождественная единица

1

1

1

Булевы  функции двух переменных

 

 

Значения   переменных                            

x1

0

0

0

1

1

0

1

1

x2

 

Название функции

Обозначение функции

Значения  функции

f1

Тождественный нуль

0

0

0

0

0

f2

Конъюнкция

&, ·

0

0

0

1

f3

Отрицание импликации

0

0

1

0

f4

Тождественная первой переменной

0

0

1

1

f5

Отрицание импликации

0

1

0

0

f6

Тождественная второй переменной

0

1

0

1

f7

Сумма по модулю два, строгая дизъюнкция

,   

0

1

1

0

f8

Дизъюнкция

0

1

1

1

f9

Стрелка Пирса

1

0

0

0

f10

Эквиваленция

,  ,  ~

1

0

0

1

f11

Инверсия второй переменной

1

0

1

0

f12

Импликация

1

0

1

1

f13

Инверсия первой переменной

1

1

0

0

f14

Импликация

1

1

0

1

f15

Штрих Шеффера

1

1

1

0

f16

Тождественная единица

1

1

1

1

1

Как уже говорилось ранее, имеется 256 булевых функции 3 переменных. Перечислять их все нет необходимости, приведем лишь примеры задания такой функции:

 ,

 (тождественная единица) и др.

 

Тема 3.2. Реализация функций формулами

    Так же, как составные высказывания строятся из более простых, с помощью логических операций, можно комбинировать булевы переменные с помощью булевых операций, получая булевы выражения, которые называются формулами.

Всякой формуле однозначно соответствует некоторая функция, при этом говорят, что формула реализует функцию.

ПРИМЕР

Построить таблицу истинности для формулы  .

x1

x2

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

 

Таким образом, формула   реализует функцию  (тождественная единица).

ПРИМЕР

Построить таблицу истинности для формулы  .

x1

x2

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

 

Таким образом, формула  реализует функцию  (дизъюнкция).

Тема 3.3. Равносильные формулы

Формулы называются равносильными, если реализуют одну и ту же функцию.

Формула называется тождественно-истинной или тавтологией, если она реализует тождественную единицу.

Формула называется тождественно-ложной, если она реализует тождественный ноль.

Законы булевой алгебры

Законами булевой алгебры называются следующие равносильности:

1.          Идемпотентность  

   .

2.          Коммутативность  

   .

3.          Ассоциативность  

 .

4.          Дистрибутивность 

  .

5.          Закон поглощения  

    .

6.          Закон склеивания  

     .

7.          Закон нуля              

      .

8.          Закон единицы        

       .

9.          Закон дополнения 

     .

10.      Инволютивность    

 .

11.      Законы де Моргана 

   .

 

Тема 3.4 Принцип двойственности

Двойственной для булевой функции  называется  булева функция

.

ПРИМЕР

,  ,   ,

,

.

Функция  f  называется самодвойственной если .

ПРИМЕР

 Функция  является самодвойственной, т.к.  .

 

ТЕОРЕМА (Закон двойственности)

Если формула f1 равносильна формуле f2 ,  то формула f1* равносильна формуле  f2*.

(Если две равносильные формулы заменить двойственными, то равносильность сохранится).

 

ТЕОРЕМА  (Принцип двойственности)

Двойственная к булевой формуле может быть получена заменой констант 0 на 11 на 0Ù на ÚÚ на Ù и сохранением структуры формулы (т.е. соответствующего порядка действий).

Тема 3.5. СДНФ и СКНФ

Определим степень следующим образом:

 , т.е. ,  .

Выражение вида

 

 называется полной совершенной элементарной конъюнкцией.

Можно дать другое определение: полной совершенной элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных функции или их отрицаний, причем никакая из переменных не входит вместе с отрицанием этой переменной.

Выражение вида

  

называется полной совершенной элементарной дизъюнкцией.

Можно дать другое определение: полной совершенной элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция  переменных функции или их отрицаний, причем никакая из переменных не входит вместе с отрицанием этой переменной.

Совершенной нормальной конъюнктивной формой (СКНФ) функции  называется конъюнкция полных совершенных элементарных дизъюнкций.

Совершенной нормальной дизъюнктивной формой (СДНФ) функции  называется дизъюнкция  полных совершенных элементарных конъюнкций.

ПРИМЕР

Составим  СДНФ и СКНФ для функции .

В первой главе была приведена формула:

 ,

таким образом, получили СКНФ для функции, состоящую из одной элементарной дизъюнкции.

Продолжим преобразования, получим

.

Таким образом, получили СДНФ для функции, состоящую из трех элементарной конъюнкции.

 

На этом примере покажем связь между таблицей истинности функции и ее совершенными нормальными формами:

х1

х2

 0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 

 

 

 

СДНФ:

СКНФ:

 .

 

При нахождении СДНФ пользуемся правилом:  каждый набор аргументов определяет элементарную конъюнкцию, в которой значению 0 соответствует инверсия переменной, а значению 1 – сама переменная. СДНФ функции образуют те элементарные конъюнкции, которые соответствуют наборам аргументов, дающим 1.

 

х1

х2

элементарные конъюнкции

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 

При нахождении СКНФ пользуемся правилом:   каждый набор аргументов определяет элементарную дизъюнкцию, в которой значению 1 соответствует инверсия переменной, а значению 0 – сама переменная. СКНФ функции образуют те элементарные конъюнкции, которые соответствуют наборам аргументов, дающим 0.

 

х1

х2

элементарные дизъюнкции

 0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 

Переключательные схемы.


      В современных компьютерных технологиях булева алгебра является математической моделью цифровых логических схем. В алгебре логике рассматриваю коммутационные и переключательные схемы. Мы остановимся на переключательных схемах.

   Переключательная схема – это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подается и с которых принимается электрический сигнал.

На рисунках показаны переключательные схемы последовательного и параллельного соединения переключателей  и  и проводов, соединяющих полюса  и .


Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Будем считать, что два переключателя  и  связаны таким образом, что когда  замкнут, то  разомкнут и наоборот.

Сопоставим переключателю  переменную , которая принимает значение 1 в случае, когда переключатель  замкнут, и значение 0 в случае, когда переключатель  разомкнут. Переключателю соответствует переменная , которая принимает значение 1 в случае, когда переключатель  замкнут, и значение 0 в обратном случае. Тогда сеть на рис. 1 пропускает ток, если  и , то есть, если функция . Сеть на рис. 2 пропускает ток, если  или , то есть, если функция .

Всей переключательной схеме можно поставить в соответствие некоторую функцию, принимающую значение 1, если устройство проводит ток, и – значение 0, если не проводит. Эта функция зависит от переменных, соответствующих всем переключателям и называется функцией проводимости. Функцию проводимости записывают в виде формулы с использованием булевых переменных, логических операций и скобок левой и правой.

Рассмотрим одну из задач прикладного характера, которую можно решить средствами булевой алгебры.

Пример 6.5. По данной функции проводимости



построить переключательную схему с помощью трёх переключателей . Определить, при каких положениях переключателей ток в сети отсутствует.

Решение. Формуле  соответствует переключательная схема вида:





Формуле  соответствует переключательная схема:




Из рисунков следует, что данной функции соответствует схема:


Определим, при каких положениях переключателей ток в сети на последнем рисунке отсутствует. В таблицу запишем все возможные наборы значений переменных  и , и найдем для них соответствующие значения функции проводимости.
























1


1


1


0


0


0


0


0


0


0


0


1


1


0


0


0


1


1


0


0


0


1


1


0


1


0


0


0


0


1


1


0


0


1


0


0


0


0


1


1


1


1


1


1


0


0


1


1


0


0


0


1


1


0


0


0


1


0


1


1


1


1


0


1


1


1


0


1


1


1


1


0


1


0


1


0


1


0


0


0


1


0


1


1


1


1


1


1



Вывод. Из последнего столбца таблицы следует, что ток в сети отсутствует в трех случаях:

  1.  
    все переключатели замкнуты;
  2.  
    переключатели 
     и  замкнуты, а переключатель  разомкнут;
  3.  
    переключатель 
     замкнут, а переключатели  и  разомкнуты.

Практическая часть (Решение)

Если K=0 – сигнал есть, движение в центре.

K1

K2

S

Y

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

Y=K1^K2^SvK1^K2^S=K1^K2(S^S)=K1^K2^1=K1^K2

K1

K2

S

Y

1

1

0

1

1

1

1

1

Y=K1^K2

Заключение:

В процессе написания курсовой работы по дискретной математике, я разработал схему управления электродвигателем, который совершает поступательные движения на рабочем участке, а именно перемещается влево и вправо. Освоил булевы функции. С помощью метода СДНФ я минимизировал получившиеся уравнения булевой функции, которые я получил из таблицы истинности. В конце работы мы получаем уравнения:

Y=K1^K2 – двигатель находится в центре

Список используемой литературы

В.В.Глаголев "Методы дискретной математики" Уч.пособие.2000г., 220 стр.

В.В.Тишин "Дискретная математика в примерах и задачах" 2008г. 354ст.

С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова «Дискретная математика» 2005г.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53337. Методична розробка виховного заходу «Було колись на Хортиці…» 1.74 MB
  Звучить мелодія української пісні Реве та стогне Дніпр широкий Ведучий: Було колись на Хортиці ревіли гармати Було колись запорожці вміли панувати. Ій ведучий: Розмовляють розказують Як Січ будували Як козаки на байдарках Пороги минали Як гуляли по синьому Грілися в скутарі то як люльки запалили В Польщі на пожарі В Україну верталися Як бенкетували. 2ий...
53338. Помешкання. Житло в оренду 1016 KB
  Maria lives in a chalet on a mountain in Switzerland. These houses are made of wood. They have usually got two floors and an attic. Greg lives in a huge block of flats in Boston. His flat is on the fifteenth floor and it is in the center of the city. He lives at 332 Newbury Street. There are a lot of expensive shops in the area.
53340. HOUSEHOLD CHORES 122.5 KB
  Today we have some word–combinations on our topic. You can see many pictures on the blackboard. Please, tell me what the people in the pictures are doing. Use The Present Continuous Tense. Use the expressions...
53341. Домогосподарювання. (Householding) 367 KB
  Warming-up Yesterday I had a very hard day. I had a lot of homework. I cooked, I washed the dishes, cleaned the rooms, went shopping and ironed. I was very tired but nobody helped me. Usually my daughter helps me but yesterday she wasn’t at home. And what about you?
53343. Doing housework (Робота по дому) 143 KB
  How are you? Are you ready for the lesson? Please, mark your mood before starting our lesson. If you are fine, raise green cards. If you’re so-so, raise yellow cards. If you’re bad, raise red cards. (Учні підіймають свої картки відповідного кольору.) Cl: We are fine. We are ready for the lesson. Teacher: I am glad to hear you are fine. Today we are happy to have our English lesson in this classroom where you will do a lot of different tasks.