71836

Разработка схемы включения-выключения светильника

Курсовая

Математика и математический анализ

Разработать схему включения-выключения светильника, предусматривающую 3 независимых пункта управления. На каждом пункте установлен переключатель на два положения: перевод любого переключателя из одного положения в другое вызывает изменение состояния светильника.

Русский

2014-11-13

219 KB

2 чел.

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»        Факультет энергетики и систем управления                                                         Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

«Разработка схемы включения-выключения светильника»

Выполнила: студентка гр. АТР-131                                                                                      Юдина А.В

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Условие задачи…………………………………………………………………………….3

Теоретическое введение…………………………………………………………………..4

Решение…………………………………………………………………………………  10

Заключение……………………………………………………………………………….12

Список литературы………………………………………………………………………13


Условие задачи

Разработать схему включения-выключения светильника, предусматривающую 3 независимых пункта управления. На каждом пункте установлен переключатель на два положения: перевод любого переключателя из одного положения в другое вызывает изменение состояния светильника.


Теоретическое введение

Дискретная математика, или дискретный анализ – область математики, которая занимается исследованием структур и задач на конечных множествах. Поэтому в качестве синонима иногда используется термин «конечная математика». Можно считать общепринятым деление математики на непрерывную и дискретную. Последняя представляет собой важное направление, имеющее характерные для него предмет исследований, методы и задачи. Специфика задач дискретной математики в первую очередь предполагает отказ от основных понятий классической математики – предела и непрерывности. Поэтому для задач дискретной математики обычные средства классического анализа являются вспомогательными.

Дискретная и непрерывная математика взаимно дополняют друг друга. Понятия и методы одной часто используются в другой. Один и тот же объект может рассматриваться с двух точек зрения и в зависимости от этого выбирается непрерывная или дискретная математика.

При исследовании, анализе и решении управленческих проблем, моделировании объектов исследования и анализа широко используются дискретные методы формализованного представления, являющиеся предметом рассмотрения в дискретной математике. К ним относятся методы, основанные на теоретико-множественных представлениях, графы, алгоритмы, математическая логика и др.

 
Дискретная математика предлагает:

  • универсальные средства (языки) формализованного представления;

  • способы корректной переработки информации, представленной на этих языках;

  • возможности и условия перехода с одного языка описания явлений на другой с сохранением содержательной ценности моделей.


Сегодня дискретная математика является важным звеном математического образования. Умение проводить анализ, композицию и декомпозицию информационных комплексов и информационных процессов – обязательное квалификационное требование к специалистам в области информатики.

Элементы математической логики.

Математическая логика — раздел науки, истоки которого восходят к Аристотелю (384 -322 г. до н. э.). Как математическая дисциплина начала формироваться в середине XIX в., благодаря работам английского логика и математика Дж. Буля (1815-1864).

Целью логики является анализ методов рассуждений, при этом логика, прежде всего, интересуется формой, а не содержанием рассуждений, то есть выясняет, следует истинность заключения из истинности посылок. Это время характеризовано кризисом в физике, обусловленным ломкой старых представлений о материальном объекте, не учитывающих, что всякий материальный объект неисчерпаем по своим свойствам; кризисом в математике, обусловленных открытием порядков, то - есть рассуждений, приводящих к противоречиям. Известны и логические парадоксы.

1. Примером множеств являются множество всех студентов группы, множество преподавателей, множество всех людей. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множество могут быть и элементами множеств. Например, множество студенческих групп в качестве элементов содержит множество студентов отдельных групп. Большинство множеств не являются элементами самих себя. Например, множество всех людей не являются элементом себя, так как само не человек. Однако множество всех множеств — элемент самого себя.

Рассмотрим теперь множество А всех таких множеств Х, что Х не есть элемент х. Согласно определению, если А есть элемент А, то А также и не есть элемент А, а если А не есть элемент А, то А есть элемент А. В любом случае А есть элемент А и А не есть элемент А. Этот парадокс открыт Б. Расселом в 1902г.

Семантический парадокс «лжеца» таков.

Некоторое лицо говорит: «Высказывание, которое я сейчас произнесу, ложно». Стоящее в кавычках высказывание не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот парадокс был хорошо известен в древности (парадокс Эвбулида — IV в. до н.э.).

Так как логические рассуждения составляют скелет всей математики и теория множеств лежит в ее основе, то парадоксы побудили математиков к поиску решения проблем и были предложены различные аксиоматические теории.

Главная цель применение в логике математической символики заключалась в том, чтобы свести операции с логическими заключениями к формальным действиям над символами. При этом исходные положения записываются формулами, которые преобразуются по определенным законам, а полученные результаты истолковываются в соответствующих понятиях.

Логика нашла энергичные применение в вычислительной технике в теории преобразовании и передачи информации, в экономике, биологии, психологии и т.д.

Математическая логика разделяется на ряд отдельных разделов: двузначная, многозначная, пороговая, непрерывная, нечеткая, порядковая логики.

Объектом математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача — структурное моделирование таких систем.

ПОНЯТИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

В логике под высказыванием понимают предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно в настоящее время.

Примеры: 1.Дон впадает в Азовское море. 2.Два больше трех. 3.Я лгу.

Первые два предложения являются высказываниями, первое из них — истинно, второе — ложно. Третье предложение не является высказыванием. Допустим, что это предложение истинно тогда в силу его смысла, оно должно быть ложным. Аналогично, из ложности этого предложения вытекает его истинность.

В алгебре высказываний не рассматривают внутреннюю структуру и содержание высказываний, а ограничиваются рассмотрением их свойства представляет истину или ложь.

Из высказываний путем соединения их различными способами можно составлять новые, более сложные высказывания. Для образования таких комбинаций будем использовать логические операции, основные из которых вводятся следующим образом.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Пусть даны два произвольных высказывания А и В.

1.                         Выражение АΛВ означает высказывание, истинное только тогда, когда А и В истинны. Такое высказывание называется конъюнкцией высказывания А и В. Символ Λ означает операцию, называемую конъюнкцией. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний союзом «И», «А», «ДА». Будем считать, что если А, В истинны, то они соответственно принимают значение 1, ложно — 0.

Таблица истинности данной операции имеет вид Λ?&

А

В

 АΛВ

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

Логические операции называются конъюнкцией.

2.                         Выражение А В означает высказывание, истинное, когда, по крайне мере одно из высказывание А или В истинно.

Такое высказывание называется дизъюнкцией высказываний А и В. Символ  означает операцию, называемой дизъюнкцией. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказыванием связкой «ИЛИ».

Таблица истинности

А

В

 А В

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

3. Выражение А>В означает высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Такое высказывание называется импликацией высказываний А и В. Символ > означает операцию, называемую импликацией. Читается «А влечет В» или «если А, то В»

Таблица истинности (А>В) = ( В)

А

В

 А>В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

4. Выражение А~В означает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны, или оба ложны. Такое высказывание называется эквивалентностью. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказывания «тогда и только тогда, когда». (АВ ) = А~В

А

В

 А~В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

5.                         Выражение А означает высказывание, которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А — истинно.

Такое высказывание называется отрицательным высказыванием А. Черточка над буквой означает операцию, называемую отрицанием. В обычной речи этой операции соответствует образование нового высказывания с помощью частицы НЕ.

А

В

0

1

1

0

6.Операцией неравнозначности (равноименности) высказываний А,В называют составное высказывание, обозначаемое АВ, которое истинно тогда и только тогда, когда значение истинности высказываний А,В противоположны и ложно в противном случае, что отражается таблицей истинности

А

В

 А В

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

В составленном высказывании порядок выполнения логических операций определяется круглыми скобками, а при их отсутствии сначала выполняется отрицание, а затем конъюнкция, далее дизъюнкция, а потом все остальное. При отсутствии скобок порядок операции совпадает с порядком их перечисления.

Два высказывания называются равносильными, если равны их истинностные функции, рассматриваемые как функции от всех значений переменных, т.е. на каждом наборе значений оба высказывания принимают одинаковые значения.

Основы равносильности:

1. Коммутативность.

а)  (для конъюнкции);

б)  (для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а)  (для конъюнкции);

б)   (для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а)  (для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б)  (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) ┐┐┐ (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) ┐┐┐ (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность.

а)  (для конъюнкции);

б)  (для дизъюнкции).

6. Поглощение.

.

7. Расщепление (склеивание).

а) (1–ый закон расщепления);

б)  (2–ой закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

┐┐х=х

9. Свойства констант.

а)

б)

в)

г)

д)

е) .

10. Закон противоречия.

11. Закон “исключенного третьего”.

  1.  Другие законы

.

 .

 .

 .

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “”. Докажем, например, равносильность 4а. Для этого составим таблицу.

Таблица

х

у

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

Из таблицы видно, что   , что и требовалось доказать.

Булевы функции

Функция f, зависящая от n переменных x1, x2, ...., xn, называется булевой, если функция f и любой из ее аргументов Xi, (i=1..n) принимают значения только из множества {0, 1}. Аргументы булевой функции также называются булевыми. Иначе говоря, булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежит множеству {0, 1}.

Основные булевы функции

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

Все функции f являются одноместными:

x

y

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0


Решение:

  1.  Обозначим первый переключатель  Х1, второй переключатель Х2, третий переключатель Х3, Y- состояние светильника. Положение включено и выключено 1 и 0 соответственно.
  2.  

2. Исходя из условия задачи составим  следующую таблицу истинности:

Х1

Х2

Х3

Y

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

3. На основании таблицы истинности можно сделать вывод, что светильник работает только в том случае, если все три переключателя включены или один из трёх переключателей включен.


  1.  Записываем положение включенного светильника в виде следующих формул:

Y= X1 & ¬ X2 &  ¬X3 = 1

Y= X1 &  X2 &  X3 = 1

Y= ¬X1 &  ¬X2 &  X3 = 1

Y= ¬X1 &  X2 &  ¬X3 = 1

    5. Исходя из этого составляем функцию:

F = (X1 & ¬ X2 &  ¬X3)  v ( X1 &  X2 &  X3)  v  (¬X1 &  ¬X2 &  X3)  v (¬X1 &   X2 &  ¬X3) = 1

Выносим за скобки Х1 и  ¬X1, получаем:

F = X1 & (¬ X2 &  ¬X3 v &  X2 &  X3) v ¬X1 ( ¬X2 &  X3  v X2 &  ¬X3) = 1

Согласно законам логики:

¬ X2 &  ¬X3 v &  X2 &  X3 = X2<=> X3

¬X2 &  X3  v X2 &  ¬X3 =  X2 ∆  X3

Тогда, F = X1 & (X2<=> X3)  v ¬X1 & (X2 ∆  X3)

Х1

Х2

Х3

¬X1

X2<=> X3

X1&(X2<=> X3)

X2∆X3

X1&(X2∆ X3)

F= X1&(X2<=>X3)v ¬X1 & (X2 ∆  X3)

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0


Заключение

           Тема, затронутая в данном реферате, имеет практическое значение. Каждый мыслящий человек должен иметь представление о законах логики. Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления.Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом растет глубокое проникновение идей и ме тодов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику, философию. Мощным импульсом для развития и расширения области применения математической логики стало появление электронно-вычислительных машин. Оказалось, что в рамках математической логики уже есть готовый аппарат для  проектирования вычислительной техники. Методы и понятия математической логики является основой, ядром интеллектуальных информационных систем. Средства математической логики стали эффективным рабочим инструментом для специалистов многих отраслей науки и техники.
        Логические операции  помогают решать сложные логические задачи математики и информатики и техники. Примером может служить задача данной работы, в ходе которой выяснился принцип работы светильника. Это осуществилось при помощи логических операции и таблицы истинности.

Применение компьютера при работе над данной темой еще раз подтверждает возможность использования вычислительной техники в различных сферах науки, и жизни человека.

Список, использеумой литературы

Д. П. Горский, А. А. Ивин, А. Л. Никифоров. Краткий словарь по логике. М.: Просвещение, 1991. С. Д. Шапорев. Дискретная математика

Шафрин Ю.А. Информационные технологии: В 2 ч. Ч. 2: Офисная технология и информационные системы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

Аляев Ю.А. Тюрин С. Ф. Дискретная математика и математическая логика. 2006 г.

PAGE 12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73872. Дипольна теплова поляризація в кристалах і текстурах 616.5 KB
  У реальній ситуації можливість теплової дипольної поляризації в активних діелектриках обмежена визначеною кількістю сталих орієнтацій диполів відповідно до симетрії кристала або текстури. Теплові механізми поляризації очевидно повільніші порівняно з пружною поляризацією табл. Навпаки у випадку теплової поляризації відбувається термоелектродифузія напіввільних електронів або іонів через потенціальні...
73873. Діелектричний спектр – загальна картина 27 KB
  Діелектричний спектр загальна картина У широкому діапазоні частот і в різних кристалографічних напрямах найчастіше спостерігаються кілька діапазонів дисперсії ЄО які утворюють діелектричнuй спектр. Підвищений інтерес становить також дослідження впливу напруженості електричного поля на властивості діелектрика в діапазоні дисперсії ε тобто дослідження складного комплексу залежностей εω Т Е. Глибиною дисперсії ε можна вважати відносний внесок у величину ε0 того механізму поляризації що виключається у процесі дисперсії тобто...
73874. Тензор механічних деформацій 614 KB
  Тензор механічних деформацій У кристалі під дією механічних напружень відбувається механічна деформація. Таким чином деформація безрозмірна. У деяких кристалах під дією збільшуваних напружень перед механічним руйнуванням кристала деформація може досягати значень...
73875. Тензоры упругости и податливости 14.46 KB
  Тензоры упругости и податливости Приложенные извне механические напряжения Х упруго и обратимо изменяют форму кристалла происходит его деформация х. Поскольку xmn и Xmn тензоры второго ранга в анизотропных кристаллах или текстурах можно ожидать что каждая из девяти компонентов деформаций xkp индуктирована девятью компонентами тензора напряжения Xkp : xmn = smnkpXkp В тензорном представлении xmn имеют ввиду девять уравнений правая часть которых имеет по девять членов. Очевидно что тензор упругой податливости как и тензор упругой...
73876. Тензор пьезомодуля 28 KB
  Целесообразно перейти к более удобной сокращенной матричной записи тензора третьего ранга: так же как выше, в матричной форме, уже были представлены тензоры четвертого ранга (упругой жесткости и податливости). Однако в данном случае первый индекс
73877. Пєзомодулі кварцу – графічна інтерпритація 52 KB
  Компоненти dmnk являють собою компоненти тензора третього рангу; за індексами n і k у виразі малось на увазі підсумовування. У повному записі з цього рівняння випливає, що для кристалів найнижчої симетрії тензор dmnk відповідно до рівняння міг би мати
73878. Прямий пєзоелектричний eфeкт 53.5 KB
  Прямий пєзоефект спонукає нецентросиметричні кристали або текстури перетворювати механічну енергію в електричну. Цей ефект може бути описаний різними лінійними співвідношеннями залежно від поєднання тих чи тих граничних умов, відповідно до яких використовують або досліджують пєзоелектрик
73879. Обратный пьезоелектрический эффект 32.86 KB
  Пъезоэффект возникает только в 20 кристаллах из 32 возможных каждый из которых отличается своей группой симметрии. Эти группы включают в себя элементы симметрии оси после поворота кристалла на определенный угол новое его положение точно совпадает с выходным плоскости зеркально отображает все элементы кристалла по обе ее стороны и центры симметрии. Используется в современной технике это структура что характеризируется осью симметрии бесконечного порядка и плоскостью m проходящую через эту ось. Полярнаю ось симметрии направлена по...