ID: 71838

Название работы: Разработка алгоритма управления подвижной четырехколесной платформой

Категория: Курсовая

Предметная область: Экономическая теория и математическое моделирование

Описание: Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. Результатом операции НЕ является следующее: если исходное выражение истинно то результат его отрицания будет ложным; если исходное выражение ложно то результат его отрицания будет истинным.

Язык: Русский

Дата добавления: 2014-11-13

Размер файла: 138 KB

Работу скачали: 3 чел.

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»        Факультет энергетики и систем управления                                                         Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

« Разработка алгоритма управления подвижной

четырехколесной платформой »

Выполнил: студент гр. АТР-131                                                                                                Жученко Е.А

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Условие задачи…………………………………………………………………………….3

Теоретическое введение…………………………………………………………………..4

Решение…………………………………………………………………………………....8

Заключение……………………………………………………………………………….11

Список литературы………………………………………………………………………12

Условие задачи

 Разработать схему управления подвижной платформы с четырьмя независимыми ведущими электродвигателями-колёсами. Органы управления: кнопки – «Вперёд», «По часовой», «Против часовой».

 

Теоретическое введение

Алгебра логики

 Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.

 Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

 Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

 В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

 отрицание;

 конъюнкция;

 дизъюнкция;

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

 Отрицание (НЕ) — логическая операция над суждениями, результатом которой является суждение противоположное» исходному. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

 Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

Не А, Ā, not A, ¬А.

 Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A	не А
0	1
1	0

 Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

 Дизъюнкция (ИЛИ) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу».

 Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

 Применяемые обозначения: А или В,    А V В,    A or B.

 Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А или B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

 Конъюнкция (И) — логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «и». Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

 Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A  & B, A and B.

 Результат  операции  И  определяется  следующей таблицей истинности:

A	B	А и B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

 Импликация (ЕСЛИ-ТО) —  логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…то…». Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

 Применяемые обозначения:

если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.

 Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

 Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Булева алгебра

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями  (аналог конъюнкции),  (аналог дизъюнкции), унарной операцией  (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина).

Следующие соотношения могут быть проверены прямым сравнением значений функций в левой и правой части соотношения на всевозможных наборах аргументов.

1.  x ∧ y = y ∧ x
2.  x Ú y = y Ú x
3.  x Å y = y Å x
4.  x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
5.  x Ú (y Ú z) = (x Ú y) Ú z
6.  x Å (y Å z) = (x Å y) Å z
7.  x Ú (y ∧ z) = (x Ú y) ∧ (x Ú z)
8.  x ∧ (y Ú z) = (x ∧ y) Ú (x ∧ z)
9.  ¬¬x = x
10.  ¬(x ∧ y) = ¬x Ú ¬y
11.  ¬(x Ú y) = ¬x ∧ ¬y
12.  x ∧ x = x
13.  x ∧ ¬x = 0
14.  x ∧ 0 = 0
15.  x ∧ 1 = x
16.  x Ú x = x
17.  x Ú ¬x = 1
18.  x Ú 0 = x
19.  x Ú 1 = 1
20.  x Å y = (x ∧ ¬y) Ú (¬x ∧ y)
21.  x É y = ¬x Ú y
22.  x º y = (x ∧ y) Ú (¬x ∧ ¬y)

Булева функция

Булева функция  от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество.

Булева функция задаётся конечным набором значений, что позволяет представить её в виде таблицы истинности, например:

x1	x2	…	xn-1	xn	f(x1,x2,…,xn)
0	0	…	0	0	0
0	0	…	0	1	0
0	0	…	1	0	1
0	0	…	1	1	0
1	1	…	0	0	1
1	1	…	0	1	0
1	1	…	1	0	0
1	1	…	1	1	0

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

•  в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
•  в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
•  каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов.  

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

•  в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
•  в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
•  каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.

Решение

 

 Пусть:

Х1 – кнопка «Вперед»;

Х2 – кнопка «По часовой стрелке»;

Х3 – кнопка «Против часовой стрелки».

 Для упрощения объединим левую пару колес в одну переменную, а правую – в другую.

 Пусть:

Y1 – Левая пара колес, движение вперед;

Y2 – Левая пара колес, движение назад;

Y3 – Правая пара колес, движение вперед;

Y4 – Правая пара колес, движение назад;

 Составим таблицу истинности:

Х1	Х2	Х3	Y1	Y2	Y3	Y4
0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	1	0
0	1	0	1	0	0	1
0	1	1	0	0	0	0
1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0

 Используя метод СДНФ, и, выбирая «1»,  получим:

Х1	Х2	Х3	Y1	Y2	Y3	Y4
0	0	1	0	1	1	0
0	1	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	0

Для каждой операции получим следующие выражения: ∧ ¬ ⊕ Ú

Y1 = X1 ∧ ¬ X2 ∧ ¬ X3 Ú ¬ X1 ∧ X2 ∧ ¬ X3 = ¬ X3 ∧ (X1 ∧ ¬ X2 Ú ¬ X1 ∧ X2) =

= ¬ X3 ∧ (X1⊕ X2);

Х1	Х2	Х3	¬X3	X1⊕X2	¬ X3 ∧ (X1⊕ X2)
0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	1	1

Y2 = ¬X1 ∧ ¬X2 ∧X3;

Х1	Х2	Х3	¬X1	¬X2	¬X1 ∧ ¬X2	¬X1 ∧ ¬X2 ∧X3
0	0	1	1	1	1	1

Y3 = X1 ∧ ¬X2 ∧ ¬X3 Ú ¬X1 ∧ ¬X2 ∧ X3 = ¬X2 ∧ (X1¬ ∧ X3 Ú ¬X1 ∧ X3) = =

=¬X2 ∧ (X1⊕X3);

Х1	Х2	Х3	¬X2	X1⊕X3	¬X2 ∧ (X1⊕X3)
0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1

Y4 = ¬X1 ∧ X2 ∧ ¬X3;

Х1	Х2	Х3	¬X1	¬X3	¬X1 ∧ X2	¬X1 ∧ X2 ∧ ¬X3
0	1	0	1	1	1	1

Заключение

 В ходе курсовой работы я освоил метод построения алгоритма управления подвижной платформы способом формирования логических функций. Составив таблицу истинности для моей задачи, используя её для построения СДНФ и минимизировав полученные операции, привел к ПФ и в итоге для каждой команды получил следующие уравнения:

Y1 = ¬ X3 ∧ (X1⊕ X2);

Y2 = ¬X1 ∧ ¬X2 ∧X3;

Y3 = ¬X2 ∧ (X1⊕X3);

Y4 = ¬X1 ∧ X2 ∧ ¬X3;

Список литературы

•  Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике. — М.: Наука, 1969.
•  Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. — М.: Энергия, 1980
•  Владимиров Д. А. Булевы алгебры. — М.: «Наука», 1969
•  Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008.