71838

Разработка алгоритма управления подвижной четырехколесной платформой

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. Результатом операции НЕ является следующее: если исходное выражение истинно то результат его отрицания будет ложным; если исходное выражение ложно то результат его отрицания будет истинным.

Русский

2014-11-13

138 KB

3 чел.

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»        Факультет энергетики и систем управления                                                         Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

« Разработка алгоритма управления подвижной

четырехколесной платформой »

Выполнил: студент гр. АТР-131                                                                                                Жученко Е.А

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Условие задачи…………………………………………………………………………….3

Теоретическое введение…………………………………………………………………..4

Решение…………………………………………………………………………………....8

Заключение……………………………………………………………………………….11

Список литературы………………………………………………………………………12


Условие задачи

 Разработать схему управления подвижной платформы с четырьмя независимыми ведущими электродвигателями-колёсами. Органы управления: кнопки – «Вперёд», «По часовой», «Против часовой».

 

Теоретическое введение

Алгебра логики

 Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.

 Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

 Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

 В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

 отрицание;

 конъюнкция;

 дизъюнкция;

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

 Отрицание (НЕ) — логическая операция над суждениями, результатом которой является суждение противоположное» исходному. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

 Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

Не А, Ā, not A, ¬А.

 Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A

не А

0

1

1

0

 Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

 Дизъюнкция (ИЛИ) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу».

 Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

 Применяемые обозначения: А или В,    А V В,    A or B.

 Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

A

B

А или B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

 Конъюнкция (И) — логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «и». Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

 Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A  & B, A and B.

 Результат  операции  И  определяется  следующей таблицей истинности:

A

B

А и B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

 Импликация (ЕСЛИ-ТО) —  логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «еслито…». Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

 Применяемые обозначения:

если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.

 Таблица истинности:

A

B

А → B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Булева алгебра

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями  (аналог конъюнкции),  (аналог дизъюнкции), унарной операцией  (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина).

Следующие соотношения могут быть проверены прямым сравнением значений функций в левой и правой части соотношения на всевозможных наборах аргументов.

  1.  x y = y x
  2.  Ú y = y Ú x
  3.  Å y = y Å x
  4.  x  (y z) = (x y)  z
  5.  Ú (Ú z) = (Ú yÚ z
  6.  Å (Å z) = (Å yÅ z
  7.  Ú (y z) = (Ú y) (Ú z)
  8.  x  (Ú z) = (x yÚ (x z)
  9.  ¬¬x = x
  10.  ¬(x y) = ¬x Ú ¬y
  11.  ¬(Ú y) = ¬x ¬y
  12.  x x = x
  13.  x ¬x = 0
  14.  x  0 = 0
  15.  x  1 = x
  16.  Ú x = x
  17.  Ú ¬x = 1
  18.  Ú 0 = x
  19.  Ú 1 = 1
  20.  Å y = (x ¬yÚ (¬x y)
  21.  É y = ¬x Ú y
  22.  º y = (x yÚ (¬x ¬y)

Булева функция

Булева функция  от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn  B, где B = {0,1} — булево множество.

Булева функция задаётся конечным набором значений, что позволяет представить её в виде таблицы истинности, например:

x1

x2

xn-1

xn

f(x1,x2,…,xn)

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

  •  в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
  •  в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
  •  каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) в булевой логике  нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов.  

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

  •  в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
  •  в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
  •  каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.


Решение

 

 Пусть:

Х1 – кнопка «Вперед»;

Х2 – кнопка «По часовой стрелке»;

Х3 – кнопка «Против часовой стрелки».

 Для упрощения объединим левую пару колес в одну переменную, а правую – в другую.

 Пусть:

Y1 – Левая пара колес, движение вперед;

Y2 – Левая пара колес, движение назад;

Y3 – Правая пара колес, движение вперед;

Y4 – Правая пара колес, движение назад;

 Составим таблицу истинности:

Х1

Х2

Х3

Y1

Y2

Y3

Y4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

 Используя метод СДНФ, и, выбирая «1»,  получим:

Х1

Х2

Х3

Y1

Y2

Y3

Y4

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

Для каждой операции получим следующие выражения: ¬ Ú

Y1 = X1  ¬ X2 ¬ X3 Ú ¬ X1  X2 ¬ X3 = ¬ X3 (X1  ¬ X2 Ú ¬ X1  X2) =

= ¬ X3 (X1X2);

Х1

Х2

Х3

¬X3

X1X2

¬ X3 (X1X2)

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

Y2 = ¬X1 ¬X2 X3;

Х1

Х2

Х3

¬X1

¬X2

¬X1 ¬X2

¬X1 ¬X2 X3

0

0

1

1

1

1

1

Y3 = X1 ¬X2 ¬X3 Ú ¬X1 ¬X2 X3 = ¬X2 (XX3 Ú ¬X1 X3) = =

=¬X2  (X1X3);

Х1

Х2

Х3

¬X2

X1X3

¬X2  (X1X3)

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

Y4 = ¬X1 X2 ¬X3;

Х1

Х2

Х3

¬X1

¬X3

¬X1 X2

¬X1 X2 ¬X3

0

1

0

1

1

1

1


Заключение

 В ходе курсовой работы я освоил метод построения алгоритма управления подвижной платформы способом формирования логических функций. Составив таблицу истинности для моей задачи, используя её для построения СДНФ и минимизировав полученные операции, привел к ПФ и в итоге для каждой команды получил следующие уравнения:

Y1 = ¬ X3 (X1X2);

Y2 = ¬X1 ¬X2 X3;

Y3 = ¬X2 (X1X3);

Y4 = ¬X1 X2 ¬X3;


Список литературы

  •  Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике. — М.: Наука, 1969.
  •  Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. — М.: Энергия, 1980
  •  Владимиров Д. А. Булевы алгебры. — М.: «Наука», 1969
  •  Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8593. Основные идеи феноменологии 31 KB
  Основные идеи феноменологии. Феноменология - течение западной философии 20 в. Хотя сам термин Феноменология использовался еще Кантом и Гегелем, широкое распространение он получил благодаря Гуссерлю, который создал масштабный проект феноменологи...
8594. Основные идеи русской религиозной философии 31 KB
  Основные идеи русской религиозной философии. Самобытная русская философия в своих новаторских исканиях теснейшим образом была связана с религиозным мировоззрением, за которым стояли века духовного опыта России. И не просто с религиозным, а именно с ...
8595. Метафизика всеединства В.С. Соловьева. 31 KB
  Метафизика всеединства В.С. Соловьева. Философская теория всеединства восходит к античности, к таким изречениям древнегреческих философов V-VI вв. до н.э., как: И из всего одно, и из одного - все (Гераклит) Все едино, единое же есть Бог (К...
8596. Экзистенциализм Н.А. Бердяева 30.5 KB
  Экзистенциализм Н.А. Бердяева. Экзистенциализм, философия существования - направление в философии XX века, рассматривающее человека как уникальное духовное существо, способное к выбору собственной судьбы. Экзистенция трактуется как противополо...
8597. Структура и признаки сознания. Природа идеального 35 KB
  Структура и признаки сознания. Природа идеального. Структура сознания. Одни из первых представлений о структуре сознания принадлежат З. Фрейду. Его иерархическая структура: подсознание, сознание, сверхсознание, - видимо, уже исчерпала свой...
8598. Проблема источника знания. Единство чувственного и рационального в познании 34 KB
  Проблема источника знания. Единство чувственного и рационального в познании. Проблема источника знания. Все попытки определить источник человеческих знаний можно разделить на два направления. Первое можно обозначить, как подход...
8599. Основные концепции истины. Истина как процесс. Проблема объективности истины 32 KB
  Основные концепции истины. Истина как процесс. Проблема объективности истины. Основные концепции истины. В современной философии особенно отчетливо выделяются три концепции истины: концепция соответствия (корреспонденции, классическая), когеренции и...
8600. Специфика научного познания и критерии научности. Функции науки. Уровни научного исследования 34.5 KB
  Специфика научного познания и критерии научности. Функции науки. Уровни научного исследования. Специфика научного познания. Наука как своеобразная форма познания начала развиваться относительно самостоятельно в эпоху становления капиталистического с...
8601. Эволюция науки и проблема научных революций 29.5 KB
  Эволюция науки и проблема научных революций. Эволюция науки. Наука отпочковалась от обыденного знания в глубокой древности. В течение длительного времени происходил процесс накопления единичных эмпирических фактов. И уже в древнем Египте, Месопотами...