72036

СТАБІЛЬНИЙ РАНГ ТА ПОВ’ЯЗАНІ З НИМ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ КІЛЕЦЬ І МОДУЛІВ

Автореферат

Математика и математический анализ

У дисертаційній роботі встановлюються принципові зв’язки методів теорії матриць над кільцями з сучасними досягненнями алгебраїчної К-теорії. При дослідженні проблем алгебри матриць над кільцями неможливо обійтись без застосування результатів К-теорії.

Украинкский

2014-11-17

405.5 KB

2 чел.

PAGE  2

Міністерства освіти молоді та спорту України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Білявська Софія Іванівна

УДК 512.552.12

СТАБІЛЬНИЙ РАНГ ТА ПОВ'ЯЗАНІ З НИМ ЗАДАЧІ

ТЕОРІЇ КІЛЕЦЬ І МОДУЛІВ

01.01.06 - алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2011


Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри і логіки

Львівського національного університету імені Івана Франка

Міністерства освіти, науки, молоді та спорту України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Забавський Богдан Володимирович,

професор кафедри алгебри і логіки

Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, Петравчук Анатолій Петрович

завідувач кафедри алгебри Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

доктор фізико-математичних наук, Петричкович Василь Михайлович,

завідувач відділу алгебри Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Захист відбудеться 22 вересня 2011 р. о 15 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради — Д 35.051.18

у Львівському національному університеті імені Івана Франка

за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеціЛьвівського національного університету імені Івана Франка за адресою м.Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий  15 серпня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Фединяк С.І.


ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Тематика дисертації відноситься до теорії кілець та модулів. Вивчаючи вплив спектру на стуктурну будову кільця І.Коен1 показав, що якщо в комутативному кільці довільний простий ідеал є головним (скінченно породженим), тоді довільний ідеал даного кільця є головним (скінченно породженим). Згодом, Н.Дубровіним2, Р.Чандраном3, Г.Міхлером4 та Б.Забавським5 було отримано узагальнення цих теорем для матрично-локальних кілець, односторонніх дуо-кілець, односторонніх нетерових кілець, кілець головних однобічних ідеалів та мультиплікаційних модулів (А.Гаур, А.Малоо і А.Паркаш)6. Серед сучасних результатів, що стосуються узагальнень теорем Коена можна видылити роботу М.Реэса7, в якій не тільки отримано нові результати, але й зроблено найбільш широкий огляд матеріалів, що стосуються узагальнень теорем Коена.

У дисертаційній роботі встановлюються принципові зв’язки методів теорії матриць над кільцями з сучасними досягненнями алгебраїчної К-теорії. При дослідженні проблем алгебри матриць над кільцями неможливо обійтись без застосування результатів К-теорії. Ця тематика опинилася на перехресті різних напрямків теорії кілець та модулів, а також інших областей математики (топології, К-теорії, і т.д.). Так, наприклад, одним з важливих інваріантів К-теорії є стабільний ранг кільця, таке поняття виявилося надзвичайно корисниму дослідженнях матриць над кільцями, зокрема в задачах діагоналізації матриць.

Поняття стабільного рангу кільця було введено у 1964році Х.Басом8 і сучасні дослідження з теорії матриць над кільцями лише підтверджують важливість цього поняття в теорії кілець та модулів. Такого роду дослідженнями займались М.Ларсен, У.Левіс, Т.Шорес, Р.Вігант, У.МакГоверн, А.Кашу, П.Менал, Дж.Монказі, П.Ара, К.Гудьорл, М.Комарницький, В.Петричкович, А.Гаталевич, О.Романів, Б.Забавський. Отже, ці дослідження об’єднують давно відомі результати з сучасними досягненнями теорії кілець.

Це стало мотивацією для більш глибокого дослідження стабільного рангу різних класів кілець, зокрема:адекватних кілець, всюди адекватних кілець, кілець матриць над регулярним кільцем та їх узагальнень. Крім того, в різний час різними авторами (А.Степанов9, П.Менал10, Дж.Монказі10, В.Камілло11, Х.Чен12, У.МакГоверн13) вводяться всеможлтві узагальнення поняття стабільного рангу. Так, чисте кільце можна визначити, як кільце ідемпотентного стабільного рангу 1, а кільце одиничного стабільного рангу 1 є кільцем, в якому довільний елемент є сумою двох оборотних елементів. Подібні узагальнення вводяться і у дисертаційній роботі, що дозволило розв’язати деякі задачі з теорії матриць над кільцями, зокрема задачу про представлення довільної матриці у вигляді суми двох чи більше оборотних матриць над певними класами кілець.

Дослідження такого роду беруть свій початок ще у 1953-1954роках, коли К.Волфсон14 і Д.Зелінський15, незалежно один від одного, показали погодженість одиницями деяких класів кілець матриць.

В наш час відомо достатньо багато класів кілець, які володіють такою властивістю, що носять назву – кільця породженого одиницями (М.Хенріксен)16. Зауважимо, що до таких кілець відносяться кільця неперервних функцій над цілком регулярним Гаусдорфовим простором (Л.Скорняков)17. Мотивацією для дослідження таких кілець послужив результат М.Хенріксена, який показав, який показав, що над довільним комутативним кільцем довільна матриця є сумою трьох оборотних матриць, а над кільцем елементарних дільників довільна матриця є сумою двох оборотних матриць.

Дослідження кілець елементарних дільників почалося ще в 1861році Х.Смітом18. Він довів, що довільну матрицю з цілочисельними елементами можна звести до діагонального вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків та стовпців, причому кожен діагональний елемент є дільником наступного (у зв’язку з цим таку діагональну форму матриці з умовою подільності діагональних елементів часто називають формою Сміта). Згодом, теорема Сміта була поширена на різні класи кілець. Так, Л.Діксон19,Дж.Ведерберн20, Б.Ван дер Варден21 і Н. Джекобсон22 поширили цю теорему на різні класи комутативних та некомутативних кілець Евкліда, а також на комутативні області головних ідеалів. Варто виділити результати І.Капланського23, П.Кона24, С.Аміцура25, Л.Гілмана26 та М.Хенріксена26, які стосуються кілець елементарних дільників.

Для довільного кільця головних ідеалів теорема про можливу діагональну редукцію матриць була доведена Л.Леві27 та Дж.Робсоном28. Ці результати в найбільш повному обсязі викладено у монографії Н.Джекобсона.

У 1949році І. Капланський29 ввів поняття кільця елементарних дільників і показав, що над таким кільцем довільний скінченно зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів. Для випадку комутативних кілець має місце і обернене твердження: якщо довільний скінченно зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів, то таке кільце є кільцем елементарних дільників34. Цей результат є частковим розв’язком проблеми Уорфілда: над якими кільцями довільний скінченно зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів. Таке питання еквівалентне проблемі описання кілець елементарних дільників, яка неодноразово ставилась І.Капланським, П.Коном та М.Хенріксеном. Зауважимо, що не комутативні кільця елементарних дільників мало досліджені та описані лише частково.

Враховуючи те, що кільце елементарних дільників є кільцем Безу, тоді природньо виникає запитання: чи довільне кільце Безу є кільцем елементарних дільників? У роботі Л.Гілмана та М.Хенріксена30 у класі кілець функцій С(Х) визначеним над певним топологічним простором Х було побудовано приклад комутативного кільця Безу (з дільниками нуля), яке не є кільцем елементарних дільників, а це дозволило звузити дане питання про кільця елементарних дільників до класу областей Безу.

Більшість відомих класів кілець елементарних дільників суттєво залежать від умов обриву зростаючих ланцюгів ідеалів. Перший приклад кільця елементарних дільників без умов на ланцюги ідеалів був вказаний  Дж.Вандерберном20 ще в 1915році, а саме таким є кільце аналітичних функцій. В більш абстрактній формі, цей приклад дозволив О.Хелмеру31 ввести новий клас кілець елементарних дільників, який отримав назву класу адекватних кілець. З вивченням адекватних кілець пов’язані дослідження таких математиків, як І.Капланський, Дж.Ведерберн, М.Ларсен, Л.Гілман, М.Хенріксен. В той же час, структурна будова таких кілець мало досліджена. Можемо лише сказати, що в адекватному кільці довільний ненульовий простий ідеал міститься в єдиному максимальному ідеалі26. Тому, на перший погляд,дослідження даної теми вичерпували себе і нових результатів отримати не вдавалося.Проте, у дисертаційній роботі, встановлено тісний зв'язок адекватних кілець з чистими.

Протягом уже 30 років багато авторів у все можливих контекстах вивчають чисті кільця, які вперше були введені У.Ніколсоном32. Наша увага зосереджується в основному на комутативних чистих кільцях. Виявилося, що скінченні гомоморфні образи адекватних та всюди адекватних кілець є чистими кільцями та кільцями з властивістю заміни. Показано, що адекватне кільце э акуратним. Зауважимо, що акуратні кільця були введені У.МакГоверном33, як клас кілець Безу, всі нетривіальні гомоморфні образи яких є чистими.  

Підсумовуючи зауважимо, що тематика дисертаційної роботи відноситься до тих розділів математики, які перебувають у стадії постійного розвитку і мають багато теоретичних та прикладних застосувань. Це дозволяє зробити висновок про актуальність цих досліджень.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.  Тематика дисертації знаходиться в руслі основних досліджень кафедри  алгебри  та  логіки, а також пов’язана з науковими дослідженнями,  які  проводяться  в галузі математики у Львівському національному університеті імені Івана Франка. Матеріал дисертацій є складовою частиною досліджень держбюджетної теми (номер державної реєстрації: №0108U004135), яка виконувались на кафедрі алгебри і логіки.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є обчислення стабільного рангу різних класів кілець, а також пов’язані з даним поняттям задачі теорії кілець та модулів. Зокрема, ставилися задачі: довести узагальнення теореми Коена на випадок модулів та не комутативних кілець односторонніх головних ідеалів, а також описати структурну будову різних класів кілець.

Завданнямидослідження є:

  •  На основі вивчення структури максимально нескінченно породжених підмодулів, максимально нескінченно породжених однобічних ідеалів та максимально неголовних однобічних ідеалів отримати узагальнення теорем Коена для модулів та некомутативних кілець.
  •  Обчислити стабільний ранг адекватних і всюди адекватних кілець, зокрема адекватних і всюди адекватних кілець, а також визначити стабільні ранги та їх узагальнення для різних класів кілець.
  •  Описати скінченні гомоморфні образи адекватних та всюди адекватних кілець, з метою дати відповіді на запитання поставлені М.Ларсеном, У.Левісом та Т.Шоресом34.
  •  Oписати нові класи як комутативних так і некомутативних кілець елементарних дільників.   

Методи дослідження: у дисертаційній роботі використано методи, які використовуються у теорії кілець та модулів, алгебраїчної K – теорії та лінійній алгебрі.

Наукова новизна одержаних результатів.У дисертаційній роботі вперше:

  •  введенно поняття майже первинного підмодуля, за допомогою якого отримано узагальнення теореми Коена для модулів;
  •  введено поняття dr–первинного однобічного ідеалу, на основі якого отримано некомутативне узагальнення теореми Коена для кільця головних однобічних ідеалів;
  •  обчислено узагальнений стабільний ранг кільця матриць над кільцем елементарних дільників, а також над одинично-регулярним кільцем. Ці результати дозволили показати і уточнити породженість одиницями даних кілець;
  •  обчислено стабільний ранг всюди адекватних кілець. Введено поняття елемента майже стабільного рангу 1 та кільця майже стабільного рангу 1 і встановлено існування таких елементів у кільці. Як наслідок, отримано результати про доповнення унімодулярного рядка до оборотної матриці над кільцем майже стабільного рангу 1;
  •  показано, що адекватне кільце є акуратним і встановлено зв’язок скінченних гомоморфних образів адекватних кілець з чистими кільцями, кільцями з властивістю заміни та кільцями ідемпотентного стабільного рангу 1. Це дозволило дати відповідь на деякі відкриті запитання поставлені М.Ларсеном, У.Левісом та Т.Шоресом;
  •  на основі вивчення структури двобічних ідеалів кільця, описано області елементарних дільників зі скінченним числом двобічних ідеалів, як 2-прості області Безу.

Наукове та практичне значення одержаних результатiв. Одержанi в дисертації результати мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у задачах, пов’язаних з поняттями стабiльного рангу та узагальненого стабiльного рангу кiлець, а також у задачах дiагоналiзацiї матриць.

Особистий внесок здобувача. Усi основнi наведенi у роботi результати отриманi здобувачем самостiйно. У спiльних статтях з Б.Забавським [2,4,5,7] спiвавтору належить постановка задачi, обговорення результатiв та загальне керiвництво.

Апрбація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на:

  •  II-iй Мiжнароднiй науковiй конференцiя "Сучаснi проблеми механiки та математики". (25-29 травня 2008 р., Львiв);
  •  Конференцiї молодих учених iз сучасних проблем механiкиi математики Iнституту прикладних проблем механiкиi математики iменi академiка Я. С. Пiдстригача НАН України. (25–27 травня 2009 р.,Львiв);
  •  7th International Algebraic Conference in Ukraine. (18-23 August 2009, Kharkow);

Мiжнароднiй науковiй конференцiї, присвяченiй 50-рiччю кафедри алгебри i математичної логiки, Київського нацiонального унiверситету iменi Т.Г.Шевченка (22-23 грудня 2009 р., Київ);

  •  Науковiй конференцiї "Пiдстригачiвськi читання – 2010"в Iнститутi прикладних проблем механiкиi математики iм.Я.С.Пiдстригача, НАН України (25–26 травня 2010 р., Львiв);
  •  VII-iй лiтнiй школi з алгебри, топологiї, функцiонального та математичного аналiзу (5-16 липня 2010 р., м.Верховина);
  •  Мiському алгебраїчному семiнарi (Львiвський національний університет iм. Iвана Франка, керiвник- проф. М. Я. Комарницький);
  •  Алгебраїчному семiнарi "Problems of elementary divisor rings" (Львiвський національний університет iм. Iвана Франка).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 7 наукових статтях (3 без співавторів) у виданнях, затверджених у ВАК України та 7 тезах доповідей наукових конференцій.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти роздiлiв (перший з яких складає попереднi вiдомостi) подiлених на пiдроздiли, висновкiв та списку використаних джерел,який займає 15 сторiнок i включає 170 найменувань. Загальний обсяг роботи 130 сторiнок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовано вивчення дисертаційного матерiалу автора, визначенi мета, актуальнiсть та методи дослiджень, вказано наукову новизну отриманих результатiв та наведено форми їх апробацiї.

У першому роздiлi, який має допомiжний характер, зiбранi необхiднi означення та факти, пов’язанi з тематикою дослiджень, що використовуються у дисертацiї. Перелiченi необхiднi позначення та термiнологiя. Наведенi посилання на першоджерела дослiджень кандидатської роботи. Крім того, у даному розділі сформульовано уже відомі результати, які є необхідними для подальшого викладу матеріалу.

У другому роздiлi пропонується узагальнення теореми Коена для скiнченно породжених модулiв. Описавши основнi властивостi максимально нескiнченно породжених пiдмодулiв, отримано узагальнення теореми Коена. По аналогiї з теорією кiлець у розгляд введено поняття

майже первинного пiдмодуля.

Означення 2.1.1. Пiдмодуль N модуля M називається майже первинним пiдмодулем, якщо

(N:M) ={r|rR, rMN}

є майже первинним лівим ідеалом кiльця R.

Зауважимо, що якщо  у кільці відсутні нетривіальні дуо-елементи, то довільний лівий ідеал є майже первинним лівим ідеалом. Встановлено існування майже первинних під модулів.

В першому підрозділі даного розділу доведена наступна теорема:

 Теорема 2.1.3.(Модульне узагальнення теореми Коена)

Якщо кожен майже первинний під модуль скінченно породженого модуля є скінченно породженим підмодулем, тоді  довільний під модуль цього модуля є скінченно породженим.

Також, наведено приклад, який показує суттєвість обмеження того, що модуль повинен бути скінченно породженим.

В другому підрозділі описуються максимально нескінченно породжені ідеали кілець.

У третьому підрозділі доводиться узагальнення теореми Коена для не комутативних кілець однобічних головних ідеалів. Для цього вводиться нове поняття dr-первинного одностороннього ідеалу кільця R.

Означення 2.3.7. Лівий(правий) ідеал P асоціативного кільця R називатимемо dr-первинним лівим(правим) ідеалом, якщо PRc(PcR), де c – дуо-елемент і для кожного pP з умови p=yc=cx(p=cx=yc)

завжди випливає, що xP(yP).

До основних результатів даного підрозділу відносимо дві наступні теореми:

 Теорема 2.3.16. (Некомутативне узагальнення теореми Коена) Якщо довільний dr-первинний лівий(правий) ідеал кільця R є головним, то кожен лівий(правий) ідеал з R головний.

Теорема 2.3.17. Якщо довільний максимально нескінченно породжений лівий(правий) ідеал асоціативного кільця R є двобічним, то він є цілком простим ідеалом.

 Третій розділ дисертації присвячений дослідженню все можливих узагальнень кілець стабільного рангу 1, а також обчисленню стабільного рангу адекватних та всюди адекватних кілець. Зокрема вводиться поняття узагальненого стабільного рангу.

Нехай R – асоціативне кільце з 1, позначимо

Означення 3.1.1. Кільце  має узагальнений стабільний ранг , якщо для довільного унімодулярного рядка довжини ,  елементів з кільця R існують  елементи  ,…такі,  що рядок  

є унімодулярним.

Обчислено узагальнений стабільний ранг кілець матриць над кільцем елементарних дільників та одинично-регулярним кільцем, зокрема, мають місце наступні результати..

Теорема 3.1.1. Кільце матриць над кільцем елементарних дільників має узагальнений  стабільний ранг  (2,2).

Теорема 3.1.2. Кільце матриць над одинично регулярним кільцем має узагальнений стабільний ранг (2,1).

Отримана наступна властивість кільця узагальненого стабільного рангу   , що підкреслює важливість цього поняття.

Теорема 3.1.3. Якщо  є кільцем узагальненого стабільного рангу , тоді довільний елемент з  є сумою  оборотних елементів.

Крім того показано, що у випадку кільця з елементарною редукцією матриць довільна квадратна матриця є сумою двох матриць, які належать групі елементарних матриць (теорема 3.1.4).

Вище викладені результати є основними у першому підрозділі третього розділу.

Другий підрозділ цього розділу присвячений обчисленням стабільного рангу адекватного та всюди адекватного кілець. В ньому показано наступне:

Теорема 3.2.9. Нехай R–адекватне кільце таке, що його радикал Джекобсона J(R) є ненульовий. Тоді стабільний ранг кільця R дорівнює 1.

Теорема 3.2.10. Стабільний ранг всюди адекватного кільця дорівнює 1.

У третьому підрозділі цього розділу на основі елемента стабільного рангу 1, вводиться наступне поняття:

Означення 3.3.3. Назвемо ідеал I кільця R ідеалом стабільного рангу 1, якщо I містить хоча б один елемент стабільного рангу 1. В іншому випадку ідеал I назвемо ідеалом нестабільного рангу 1.

Вводиться поняття ідеалу максимально нестабільного рангу 1. Встановлено існування таких ідеалів і отримано наступний результат:

Теорема 3.3.14. Довільний ідеал максимально нестабільного рангу 1 кільця Безу R є простим ідеалом.

Вводиться нове поняття кільця майже стабільного рангу 1, яке є узагальненням кільця введеного У.Мак Говерном.

Означення 3.4.5. Комутативне кільце R є кільцем майже стабільного рангу 1, якщо для довільного ідеалу І, такого що IJ(R),  ст.р.(R/I)=1.

Теорема 3.4.15. Нехай R є кільцем майже стабільного рангу 1. Тоді довільний унімодулярний рядок над R доповнюється до оборотної матриці.

Вводяться поняття елемента майже стабільного рангу 1, а саме елемент а називається елементом майже стабільного рангу 1, якщо ст.р.(R/aR)=1.

Теорема 3.4.19. Нехай R - кільце, в якому довільний ненульовий і необоротний елемент є елементом майже стабільного рангу 1. Якщо J(R)0, то R є кільцем стабільного рангу 1.

Цей результат дозволяє уточнити відомі результати У.Мак Говерна, що стосуються кілець майже стабільного рангу 1 (в сенсі Мак Говерна).

У п’ятому підрозділі третього розділу розглядається поняття кільця квазістабільного рангу 1, що дозволило встановити наступний основний результат цього підрозділу.

Теорема 3.5.22. Адекватне кільце R є кільцем квазістабільного рангу 1.

У четвертому розділі дисертації досліджується зв'язок адекватних кілець з чистими, акуратними, кільцями з властивістю заміни, PM-кільцями та кільцями ідемпотентного стабільного рангу 1.

Теорема 4.1.3. Адекватне кільце є акуратним.

Наступна теорема дає часткову відповідь на питання М.Ларсена, У.Левіса, та Т.Шореса щодо замкнутості адекватного кільця стосовно гомоморфних образів. 

Теорема 4.1.6. Нехай R – комутативна область Безу, в якій для довільного необоротного і ненульового елемента a, фактор-кільце R/aR є всюди адекватним. Тоді R – адекватна область.

У другому підрозділі дається часткова відповідь на запитання поставлені М.Ларсеном, У.Левісом таТ.Шорес:чи буде комутативна область Безу, в якій довільний ненульовий простий ідеал міститься в єдиному максимальному ідеалі адекватною областю? У випадку комутативних областей Безу з нетеровим спектром відповідь на це питання позитивна, а саме має місце наступний результат:

Теорема 4.2.8. Нехай R - комутативна область Безу з нетеровим спектром. Тоді R - адекватна область тоді і лише тоді, коли довільний ненульовий простий ідеал кільця міститься в єдиному максимальному ідеалі.

Б.Забавським було охарактеризовано прості області елементарних дільників, як 2-прості області Безу. У п’ятому розділі ці результати поширюються для випадку області Безу зі скінченним числом двобічних ідеалів.

Теорема 5.1.2. Область Безу зі скінченним числом двобічних ідеалів є областю елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли вона є 2-простою областю Безу.

Нагадаємо, що під умовою Дубровіна розуміють умову, за якою для довільного елемента aR існує такий елемент a*R, що

RaR=a*R=Ra*.

Також до основних результатів цього розділу відносимо наступну теорему.

Теорема 5.2.4. Нехай R – обмежена область Безу стабільного рангу 1, в якій виконується умова Дубровіна, а також з умови

RaR=R

випливає,що a-факторіальний елемент. Тоді R – область елементарних дільників.

Теорема 5.2.6. Нехай R – обмежена область Безу стабільного рангу 1, в якій виконується умова Дубровіна і довільний максимально неголовний лівий ідеал є ідеалом. Тоді R є кільцем елементарних дільників.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячено стабільному рангу і його узагальнень для різних класів кілець, а також некомутативних узагальнень теорем Коена на основі вивчення максимально нескінченно породжених підмодулів та максимально неголовних однобічних ідеалів. За допомогою скінченних гомоморфних образів адекватних кілець вдалось дати відповіді на відкриті запитання поставлені М.Ларсеном, У.Левісом та Т.Шоресом.

У дисертації автором отримано такі нові результати:

  1.  доведено узагальнення теорем Коена для модулів та кілець головних однобічних ідеалів;
  2.  вказано зв'язок між максимально нескінченно породженими ідеалами та скінченними елементами комутативного кільця;
  3.  досліджено узагальнений стабільний ранг матричних кілець над кільцем елементарних дільників та одинично-регулярним кільцем;
  4.  показано, що над кільцем з елементарною редукцією матриць довільна квадратна матриця є сумою двох оборотних матриць з групи елементарних матриць, тобто дане кільце є 2-добрим;
  5.  обчислено стабільний ранг адекватного кільця з ненульовим радикалом Джекобсона та всюди адекватного кільця;
  6.  на основі введеного у розгляд поняття кільця майже стабільного рангу 1, встановлено, що довільний унімодулярний рядок над таким кільцем доповнюється до оборотної матриці;
  7.  встановлено зв'язок адекватних кілець з чистими та акуратними кільцями, кільцем з властивістю заміни, кільцем ідемпотентного стабільного рангу 1, PM-кільцем;
  8.  дано часткову відповідь на питання, поставлене у роботі М.Ларсена, У.Левіса та Т.Шореса щодо гомоморфних образів адекватного кільця. А також дається позитивна відповідь на питання поставлене у тій же роботі (чи буде комутативна область Безу, в якій довільний ненульовий простий ідеал міститься в єдиному максимальному ідеалі адекватною), за умови нетеровості спектру кільця;
  9.  показано, що область Безу зі скінченним числом двобічних ідеалів є областю елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли вона є 2-простою областю Безу;
  10.   доведено, що обмежена область Безу стабільного рангу 1, в якій виконується умова Дубровіна і довільний максимально неголовний лівий ідеал є двобічним ідеалом є кільцем елементарних дільників.

Автор вдячний своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Забавському Богдану Володимировичу за підтримку в процесі виконання кандидатської роботи, цінні поради та постійну увагу і допомогу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

  1.  Білявська С. І. Узагальнений стабільний ранг кілець / Білявська С. І. // Прикл. пробл. механ. та матем.  – 2008. –  6. – С. 88 – 90.
  2.  Білявська С.І. Стабільний ранг адекватного кільця / Білявська С.І., Забавський Б.В.  // Математ. Студії. –  2008. – 33. – №2.  – С. 31 – 37.
  3.  Білявська  С І. Елементи стабільного та майже стабільного рангу 1/ Білявська С. І. // Вісник ЛНУ – 2009. –  71. – С. 5 – 12.
  4.  Білявська С.І. Особливості структури двобічних ідеалів області елементарних дільників / Білявська С.І., Забавський Б.В. // Укр. Матем. Журнал. – 2010 р. – 62. –№6. – С. 854–856.
  5.  Білявська С. І.  Зв’язок адекватних кілець з чистими / Білявська С.І., Забавський Б.В.  // Прикл. пробл. механ. та матем.  – 2010. –  8. – С. 28 – 32.
  6.  Bilavska S.I. Bounded elementary divisor domains of stable range 1/ Bilavska S.I. // Mathem. Studii. – 2010. – 34. – №1. – C.44 – 47.
  7.  Bilavska S.I. On the structure of maximal non-finitely generated ideals of ring and Cohens Theorems / Bilavska S.I., Zabavsky B.V. //  Buletinul Acad.destin. a republ. Moldova – 2011. –№1. – Р. 33 –41.
  8.  Білявська С.І. Кільце елементарних дільників є 2-добре кільце / Білявська С. І./  // ІІ Міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми механ. та матем.»  наук. конф., 25 – 29 трав. 2008р.: тези допов. – Львів, 2008. – C. 180 -  181.
  9.  Білявська С.І. Стабільний ранг адекватного кільця/ Білявська С. І. // Конференція молодих учених із сучасних проблем механ. та матем. ім. академіка Я.С.Підстригача наук. конф., 25 – 29 трав. 2009 р.: тези допов. – Львів, 2009. –  С. 167 – 168.
  10.  Bilavska S.I.  Analog of Cohen’s theorem for distributive Bezout domains / Bilavska S.I. //  7th International Algebraic Conference in Ukraine, 18 – 23 August 2009: Abstract of talks. – Kharkov, 2009. – Р. 28.
  11.  Bilavska S.I.  The speciality of the structure of two-sided ideals of elementary divisor domain/ Білявська С.І., Забавський Б.В. // 7th International Algebraic Conference in Ukraine, 18 – 23 August 2009: Abstract of talks. – Kharkov, 2009. – Р. 28.
  12.  Bilavska S.I.  Two analogues of Cohens// Міжнародна наукова конференція присвячена / Білявська С. І. //  50-річчю кафедри алгебри і матем. логіки. Київ – 22-23 грудня. –  2009. – Р. 26.
  13.  Білявська С.І. Максимально нескінченно породжені ідеали комутативних кілець/ Білявська С. І. // Наукова конференція «Підстригачівські читання - 2010» інститут прикл. пробл. механ. і матем. ім. Я.С. Підстригача. Львів – 25-26 травня (електронна версія тез: http://www.iapmm.lviv.ua/chyt2010/materials/pc2010-02-B-02.pdf).
  14.  Bilavska S.I. An element of stable range 1 and a ring of an almost stable range 1// 7th Summer school. Algebra, topology and Analysis. 5 – 16 July 2010: Abstract of talks. –  Verhovina,  2010. – Р. 9-14.

АНОТАЦІЯ

Білявської С.І. Стабільний ранг та пов’язані з ним задачі теорії кілець та модулів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня  кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2011.

Дисертація присвячена обчисленню стабільного рангу різних класів кілець, зокрема: адекватних кілець, всюди адекватних кілець, кілець матриць над регулярним кільцем та їх узагальнень. Введено поняття кільця майже стабільного рангу 1 і показано, що в цьому кільці довільний унімодулярний рядок доповнюється до оборотної матриці. Встановлюється зв'язок адекватних кілець з чистими і акуратними кільцями, кільцями з властивістю заміни та кільцями ідемпотентного стабільного рангу 1. Описані скінченні гомоморфні образи адекватних кілець. Дана позитивна відповідь на питання М.Ларсена, У.Левіса та Т.Шореса про адекватність комутативних областей Безу, в яких довільний ненульовий простий ідеал міститься в єдиному максимальному ідеалі у класі областей з нетеровим спектром. Також описуються нові класи некомутативних областей елементарних дільників. На основі введених понять майже первинного під модуля отримано модульне узагальнення теореми Коена для скінченно породженого модуля над асоціативним кільцем. А на основі введеного поняття dr-первинного однобічного ідеалу отримано узагальнення теореми Коена для некомутативних кілець однобічних головних ідеалів.

Ключові слова: стабільний ранг, узагальнений стабільний ранг, теорема Коена, кільце Безу, кільце елементарних дільників, адекватне кільце, всюди адекватне кільце, акуратне кільце, мінімальний простий ідеал, просте кільце, умова Дубровіна.

АННОТАЦІЯ

Билявская С.И. Стабильный ранг и связаные с ним задачи теории колец и модулей. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2011.

Диссертация посвящена вычислению стабильного ранга разных классов колец, в частности: адекватных колец, везде адекватных колец, колец матриц над регулярным кольцом и их обобщений. Вводится понятие кольца почти стабильного ранга 1 и показано, что над этим кольцом произвольная унимодулярная строка дополняется до обратимой матрицы. Установлено  связь адекватных колец с чистыми и аккуратными кольцами, кольцами со свойством замены и кольцами идемпотентного стабильного ранга 1. Описаны конечные гомоморфные образы адекватных колец. Получен положительный ответ на вопрос М.Ларсена, У.Левиса и Т.Шореса об адекватности коммутативных областей Безу, в которых произвольный ненулевой простой идеал содержится в единственном максимальном идеале в классе областей с нетеровым спектром. Также описаны новые классы некоммутативных областей элементарных делителей. На основании введенного понятия почти первичного подмодуля получено модульное обобщение теоремы Коэна для конечно порожденного модуля над ассоциативным кольцом. Также на основании введенного понятия dr-первичного одностороннего идеала получено обобщение теоремы Коэна для некоммутативных колец односторонних главных идеалов.

Ключевые слова: стабильный ранг, обобщенный стабильный ранг, теорема Коэна, кольцо Безу, кольцо элементарных делителей, адекватное кольцо, везде адекватное кольцо, аккуратное кольцо, минимальный простой идеал, простое кольцо, условие Дубровина.

ABSTRACT

 Bilavska S.I. Stable range and connection rings theory and modules. – Manuscript.

The thesis for obtained the Candidate of Physical and Mathematical Science degree on the speciality 01.01.06 – algebra and numbers theory. – Lviv national university by Ivan Franko, Lviv, 2011.

The thesis is devoted to the calculation of a stable range different classes of a ring, partially the next classes of a ring: an adequate ring, an always adequate ring, a matrix ring over a regular ring and their generalization. The stable range of an adequate ring with non-zero Jacobson’s radical is equal 1. It is showed, that a generalized stable range of matrice ring over an elementary divisor ring is (2,2). There is a generalized stable range of a matrice ring over a unit-regular ring equal (2,1). It is proved that in a ring of a generalized stable range (n,1) every element can be present as a sum of (n+1) invertible elements. It is introduced the notion of an almost stable range 1. Also showed that any unimodular row is complemented to invertible matrice over a ring of an almost stable range 1. It is showed? If any non-zero and non-invertible element in a ring is an element of almost stable range 1 and Jacobson’s radical is non-zero, then a stable range of this ring equal 1. It is establish a connection an adequate ring with a clean ring with a clean ring, a neat ring and an exchange ring. An adequate ring is an neat ring. There are describe a finite homomorphic image of an adequate ring. It is given a positive answer on a question M.Larsen, W.Levis, and T.Shores about an adequation of a commutative Bezout domain, in which any non-zero prime ideal contains in a unique ma[imal ideal in a class of domain with noetherian spectrum. Also consider an elementary divisors domain with finite number of two-side ideals as 2-simple domain. There are describe a new classes of non-commutative elementary divisors domain. Using a new notion of an almost prime submodule obtained modular generalization of Cohen’s theorem for a finite generated module over an associative rings. Also on a basis of introduction notion of dr-prime one-side ideal is obtained generalization of Cohen’s theorem for one-side principal ideals of a non-commutative ring.

Key words: a stable rang, a generalized rang, Cohen’s theorem, Bezout ring, an elementary divisor ring, an adequate ring, an always adequate ring, a neat ring, minimal prime ideal, simple ring, prime ideal, Dubrovin’s condition.

Підписано до друку 11.08.2011.

Формат 6084 1/16. Папір офсетний № 1. Умовн. друк. арк. 0,9.

Зам. №08/11. Тираж 100 прим.

Видрукувано у Дослідно-видавничому центрі

Наукового товариства ім.Шевченка

79008, Львів, вул.Винниченка, 26

Тел.(032)2765155

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру

суб’єктів видавничої справи ДК № 884 від 04.04.2002р.

1 Cohen I.S. Commutative rings with restricted minimum conditions.DukeMath.J.-1950.-17.-C.27-42.

2 Дубровин Н.И. О кольцах главных правых идеалов. Известия вузов.Матем.-1981.-№2.-С.30-37.

3ChandranR.On two analogues of Cohen’s theorem.Indian J. Pure Appl. Math.-1977.-8.-P.54-59.

4Mihler G.  Prime right ideals and right Noetherian rings. Ring Theory London.-1972.-P.251-255.

5Забавский Б.В. Некоммутативный аналог теоремы Коэна.Укр.Мат.журн.-1996.-48.-№5.-С.707-710.

6Gaur A., Maloo A., Parkash A. Prime submodule in multiplication modules.Intern.Lorn.of Algebra.-2007.-v.1.-№8.-Р.375-380.

7 Reyes M. Non commutative generalizations of theorems of Cohen’s and Kaplansky.arxiv:1007.3701v.-2010.-P.1-41.

8Bass H. K-theory and stable algebra.Inst.Hautes.Edutes.Sci.Publ.Math.-1964.-22.-№1.-P.5-60.

9Степанов А.В. Идеальный стабильный ранг колец. Вестник. Ленингр.у-та.-1986.-сер.1-№3.-С.46-51.

10Menal P., Moncasi J. On regular rings with stable range 2.J.Pure Appl.Alg.-1982.-24.-P.25-40.

11Camillo V., Yu H.-P. Stable range one for rings with many idempotents.Trans.Amer.Math.Soc.-1995.-37.-№8.-Р.3141-3147.

12 Chen H. Generalized exchange stable ring. Sout.Asian.Bull.Math.-2000.-24.-P.19-24.

13 McGovern W. Bezout ring with almost stable range 1 are elementary divisor rings. J.Pure.and Appl.Algebra.-2007.-212.-P.340-348.

14Wolfson K. An ideal theoretic characterization of the ring of all linear of all lineartransformations.Amer.J.Math.-1953.-75.-P.358-386.

15Zelinsky D.Every transformation in a sum of non-singular ones.Proc.Amer.Math.Soc.-1954.-v.5.-№4.-P.627-630.

16Henriksen M. Two classes of rings generated by their units.J.Algebra.-1974.-31.-P.182-193.

17Skornyakow I. Complemented modular lattices and regular rings. Oliver and Boyd,London.-1954.

18Smith H.On systems of linear indeterminate equation and congruences.Philos.Trans.Roy.Soc.London.-1861.-151.-№2.-Р.293-326.

19Dickson L. Algebras and their arithmetics.University of Chicago.-1923.

20Wedderburn J.H.M. On matrices whose coefficient  are functions of a single variable. Trans.Amer.Math.Soc.-1915.-16.-№3.-Р.328-332.

21Van der Warden B. Modern Algebra.Berlin,New York, Springer.-1930.

22Джекобсон Н. Теорияколец. М.:Издательствоиностранной л-ри.-1947.

23Kaplansky I. Commutative rings. The university Michigan of Chicago Press, Chicago and London.-1974.

24Cohn.P. Right principal Bezout domains.J.London.Math Soc.-1987.-35.-№2.-Р.251-262.

25Amitsur S. Remark of principal ideal ring.Osaka.Math.Jorn.-1963.-15.-P.59-69.

26 Gilman L., Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings.Trans.Amer.Math.Soc.-1965.-82.-P.362-365.

27 Levy L.S. Sometimes only square matrices can be diagonalized. Proc.Amer.Math.Soc.-1975.-52.-P.18-22.

28Robson J. Rings in which finitely generated right ideals are principal.Proc.London Math.Soc.-1967.-3-17(4).-P.617-628.

29Kaplansky I. Elementary divisors and modules.Trans.Amer.Math.Soc.-1949.-66.-P.464-491.

30 Gilman L., Henriksen M. Rings of continuous functions in which every finitely generated ideal is principal.Trans.Amer.Math.Soc.-1956.-82.-P.366-391.

31Helmer O.The elementary divisor for certain rings without chain condition.Bull.Amer.Math.Soc.-1943.-49.-№4.-P.225-236.

32 Nicholson W. Lifting idempotents  and exchange rings. Trans.Amer.Math.Soc.-1977.-229.-P.269-278.

33McGovern W. Neat ring.J.Pure and Appl.Algebra.-2006.-205.-P.243-265.

34Larsen M., Levis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules. Trans.Amer.Math.Soc.-1974.-187.-P.231-248.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75325. Население и внешний вид средневековых городов. Борьба городов с сеньорами 36 KB
  В Западной Европе средневековые города раньше всего появились в Италии Венеция Генуя Пиза Неаполь Амальфи и др. Крестьяне бежавшие от своих господ или уходившие в города на условиях выплаты господину оброка становясь горожанами постепенно освобождались отличной зависимости феодалу. Лишь в дальнейшем в городах появились купцы новый общественный слой сферой деятельности которого являлось уже не производство а только обмен товаров. В отличие от странствующих купцов существовавших в феодальном обществе в предшествующий период и...
75327. Христианство, церковь, ереси в XI-XV вв. Раскол христианской церкви. Особенности греко-православной и римско-католической церкви 52.5 KB
  Раскол христианской церкви. Особенности грекоправославной и римскокатолической церкви. Единство христианской церкви уже задолго до её окончательного разделения было лишь видимым. За этими богословскими спорами скрывались совершенно реальные церковнополитические разногласия и в частности столкновения изза деятельности церковных миссий восточной церкви в IX Х вв.
75328. Феодально-рыцарская культура Западной Европы в XII-XV веков 37 KB
  Феодальнорыцарская культура Западной Европы в XIIXV вв. Рыцарские турниры имитировавшие настоящие сражения приобрели особую пышность в XIII XIV вв. В XII в. Магистром поэтов называли Гираута де Борнейля последняя треть XII начало XIII в.
75329. Торговля в средние веки, ее эволюция и роль 32.5 KB
  Возрождение торговли В XI в феодальное общество начало медленно просыпаться от тяжелого сна Страсть к путешествиям приключениям сразу рассеяла общее оцепенение таково завоевание Англии обеих Сицилии. Некоторые из этих предприятий носили политический другие религиозный характер; но все они способствовали развитию торговли потому что благодаря им устанавливались сношения между теми странами откуда выходили завоеватели и теми где они водружали свои знамена С этого времени руанские купцы пользуются правом свободной торговли в Лондоне где...
75330. Раннее Возрождение и гуманизм в Италии XIV-XV веков 36.5 KB
  Возникновение культуры Возрождения было подготовлено рядом общеевропейских и локальных исторических условий. Богатый процветающий итальянский город стал главной базой формирования культуры Возрождения светской по своей общей направленности и во многом отвечавшей потребностям его общественного развития. означал духовное обновление подъем культуры после ее тысячелетнего упадка в средние века: отношение деятелей новой культуры к средневековому варварству было подчеркнуто негативным. Идейной основой ренессансной культуры был гуманизм...
75331. Государство периода феодальной раздробленности 32.5 KB
  Феодальная анархия аристократический стройПо мере разветвления правящей династии в раннефеодальных государствах расширения их территории и административного аппарата представители которого осуществляют власть монарха над местным населением собирая дань и войско увеличивается количество претендентов на центральную власть периферийные военные ресурсы увеличиваются а контрольные возможности центра ослабевают. Верховная власть становится номинальной и монарх начинает избираться крупными феодалами из своей среды при этом ресурсы избранного...
75332. Испания и Португалия в XIV-XV веках 42 KB
  Испания и Португалия в XIVXV вв. Пиренейский полуостров в XIV XV вв. Арагон на протяжении всего периода осуществлял планомерную экспансию в Средиземноморье: он подчинил Балеарские острова в конце XIII первой половине XIV в. Крайне неблагоприятные последствия для полуострова как и для остальной Европы имела эпидемия чумы в середине XIV в.
75333. Особенности социально-экономического и политического развития Англии в XII-XIII веках 39 KB
  Развитие товарно-денежных отношений в деревне в целом тяжело отразилось на широких массах крестьянства. С развитием рынка росли потребности феодалов. Коммутация ренты ускорила и углубила начавшееся задолго до XIII в. имущественное расслоение крестьянства