72239

Логит- и пробит-модели

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Как мы уже обсуждали в эконометрическом моделировании работают с переменными которые могут быть измерены в: Метрической шкале являться количественными. В этой главе мы рассмотрим в частности эконометрические модели которые используют в том случае когда...

Русский

2014-11-19

532 KB

37 чел.

4.6 Логит- и пробит-модели

Как мы уже обсуждали, в эконометрическом моделировании  работают с переменными, которые могут быть измерены в:

  1.  Метрической шкале (являться количественными).
  2.  Порядковой шкале.
  3.  Номинальной шкале.

В этой главе мы рассмотрим, в частности,  эконометрические модели, которые используют в том случае, когда ЗАВИСИМАЯ  переменная измерена в номинальной или порядковой шкале.

Предположим, что результирующий показатель у, «поведение» которого существенно зависит от количественных объясняющих переменных (матрица Х)

Х = (1, х1, ,...,хm-1) ,

является качественной переменной, определяющей одно из двух возможных состояний характеризуемого ею объекта, то есть переменной измеренной в номинальной шкале (в общем случае этих состояний может быть больше). Например, результирующему показателю

yi  может быть приписано значение равное 0, если i-й индивидуум оказался безработным в обследуемом периоде времени, и 1 — в противном случае.

То есть:

В подобных ситуациях вектор

Y = (у1, y2,…,yn)T

исходных статистических данных зависимой переменной будет состоять только из: «0» или «1

 Можно ли построить линейную регрессионную модель, описывающую зависимость у от х в данном случае?

Ответ:  вряд ли.  Неясно, как интерпретировать в этом случае оцененные при помощи регрессии значения у,  которые будут уже измерены в метрической непрерывной (количественной) шкале и могут принимать различные значения.

Поэтому для исследования статистической связи между у и Х строят некоторую специальную регрессионную модель зависимости вероятности

Р{у = 1|Х}

от линейной функции наблюдаемых факторов.

Модель бинарного выбора обосновывают при помощи скрытой (латентной) переменной. Например, предположим, что мы изучаем информацию о том, какое решение принимает замужняя женщина: работать ей, или нет. Считают, что ее потребительское и трудовое поведение описывается некоторой  функцией полезности. Эта функция зависит от многих характеристик: дохода, свободного времени, наличия детей, образования. Женщина может принять решение выйти на работу, чтобы увеличить доход семьи, но при этом произойдет уменьшение времени, уделяемого детям, домашней работе и т.п. Или, она может принять решение не работать. Каждой из рассмотренных ситуаций, соответствует своя величина функции полезности. Предположим, что   это величина полезности, если женщина работает, а - величина полезности, если женщина не работает.

Если

>,

то женщине выгоднее пойти работать, так как  получаемый дополнительный доход перевешивает уменьшение времени на детей и домашние дела.

Если

<,

то женщина не выходит на работу.

Обозначим разность

-=

и предположим, что эта величина является линейной функцией от наблюдаемых характеристик хi: величины заработной платы, возраста, наличия детей и т.д.

Предположим, что

=0+1х1+...m-1xm- 1   +

Тогда 

Р{у = 1}= Р{у*0}=

= Р{0+1х1+...m-1xm-1  + 0}=

= Р{ - (0+1х1+...m-1xm-1)}=

Р{- <0+1х1+...m-1xm-1}=

=F(0+1х1+...m-1xm-1).

Таким образом,

Р{у = 1/х}= F(0+1х1+...m-1xm-1),

где, F-это функция распределения случайной величины (- )

Во многих экономических задачах, скрытую переменную вводят сразу, считая, что:

Отметим, что случайные величины i предполагаются независимыми друг от друга, а также независимыми от хi.

 Описывать вероятность непосредственно линейной функцией (то есть, выбирать в качестве F-линейную функцию), нецелесообразно, так как в этом случае значения предсказанной (вычисленной по модели) вероятности могут быть как отрицательными, так и превосходящими единицу. Вместо этого для моделирования значений 

Р{у = 1|Х}

подбирают функции, область значений которых определяется отрезком [0,1], а линейная функция

z=0+1х1+...m-1xm-1

играет роль аргумента этой функции, т.е.

Р{у =1|Х} =F(0+1х1+...m-1xm-1) =F(z)

(4.6.1)

причем функции F(z)(какую бы мы не выбрали!!!) должны удовлетворять следующим требованием

(4.6.2)

График одной из функций данного вида приведен на рисунке:

.

Модели рассмотренного типа для оценивания вероятности указанного события     называют обычно моделями бинарного выбора. Наиболее распространенными моделями бинарного выбора являются так называемые логит- и пробит-модели.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.6.1. Логит-модель. Модель вида (4.6.1) при условиях (4.6.2) для функции F(z), называется логит-моделью, если в качестве F(z) рассматривается логистическая функция, т. е.

(4.6.3)

Нетрудно проверить, что эта функция удовлетворяет условиям (4.6.2), ее часто обозначают через Λ(z).  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.4.1.2 Пробит-модель. Модель вида (4.6.1) называется пробит-моделью, если в качестве F(z) рассматривается  функция распределения стандартного нормального распределения, т.е.

(4.6.4)

Так же, как и функция Λ(z), нормальная  функция распределения F(z) удовлетворяет всем условиям (4.6.2) и является симметричной относительно z = 0.

Figure 4.1: Relationship between latent variable yand Pr(y = 1) for the BRM.

Рисунок заимствован из книги «REGRESSION MODELS FORCATEGORICAL DEPENDENT VARIABLES USING STATA»

Оценивание параметров в логит- и пробит- моделях.

Роль функции регрессии играет функция Λ(z) в логит-модели и функция F(z) в пробит-модели. Для того, чтобы оценить параметры j, например, в логит-модели, используют метод максимального правдоподобия.

Что такое функция правдоподобия?

Согласно определению, функцией правдоподобия называют функцию вида:

L=L(y1,y2,..,yn)=P{Y=y1}P{Y=y2}P{Y=yn} =

(например!)=P{Y=1}P{Y=0}…P{Y=0}

(4.6.5)

В нашем случае, исходя из (4.6.1), мы можем записать эту функцию в виде:

L(y1,y2,…,yn)=

(4.6.6)

Неизвестные параметры I и для логит и для пробит модели ищут из условия максимума функции (4.6.6). Полученные при этом оценки вi  называют оценками максимального правдоподобия.

Запишем формулы для оценивания вероятности события Р{У=1/х}, она имеет вид:

Для логит модели:

Для пробит модели,

где Ф-это функция Лапласа.

Реализация процедур оценивания параметров логит и пробит моделей проводится, например, в программе Stata.

Рассмотрим, как выглядит вывод итогов в Стате.

 

  

 401K.DES

prate     mrate     totpart   totelg    age       totemp    sole      ltotemp

 Obs:  1534

     

 1. prate                       participation rate, percent

 2. mrate                       401k plan match rate

 3. totpart                     total 401k participants

 4. totelg                      total eligible for 401k plan

 5. age                         age of 401k plan

 6. totemp                      total number of firm employees

 7. sole                        = 1 if 401k is firm's sole plan

 8. ltotemp                     log of totemp

4.7. Статистическая значимость логит и пробит - моделей и факторов этих моделей

Проверка значимости модели при помощи теста отношения правдоподобия(тест Вальда), начинается с выдвижения основной гипотезы:

Для проверки данной гипотезы вычисляется выборочная статистика

Z*=LR

(4.7.1)

LR=2(lnL-lnL0).

Здесь lnL величина  максимального значения логарифма функции правдоподобия, а lnL0- величина логарифма функции правдоподобия в случае справедливости основной гипотезы.

Если основная гипотеза верна, то выборочная статистика (4.7.1)  распределена по закону 2 с (m-1) степенью свободы. Границу правосторонней  критической области  К2  ищут по таблицам критических точек хи-квадрат по  уровню значимости (1-α) и (m-1)  степени свободы. Если  выполняется неравенство:

Z*≥ К2,

то основную гипотезу отвергают, принимают альтернативную гипотезу и говорят, что модель статистически значима. В противном случае принимают гипотезу о не значимости модели и переходят к ее пересмотру.

Для моделей бинарного выбора, значимость факторов проверяется при помощи тестирования для каждого фактора    хi, i=1,…, (m-1)  гипотез вида:

Н0:  i=0,

Ha:  i≠ 0.                                            

(4.7.2)

Выборочные статистики, которые используются для тестирования этих гипотез,    имеют асимптотически нормальное распределение и называются z-статистиками. Границу двусторонней критической области ищут по таблицам Лапласа по заданному уровню значимости (1-α).

Если  выполняется неравенство:

К 1<Z*<К2

то принимают основную гипотезу о незначимом отличии от нуля  коэффициента i и делают вывод, что соответствующий ему  фактор незначим для модели.

Для моделей бинарного выбора не определяется  понятие коэффициента детерминации. Однако для них определяют так называемый псевдо коэффициент детерминации, который уже не характеризует объясняющую силу модели 

Определение 4.7.1.  Псевдо - коэффициентом детерминации называют следующую величину:

 Определение  4.7.2.  Индексом отношения правдоподобия Макфаддена (McFadden)  называют характеристику:

Следует подчеркнуть, что если параметры модели бинарного выбора незначимо отличаются от нуля, то оба введенных коэффициента равны нулю.

 

На лекции мы рассмотрели нелинейные регрессионные модели, в частности, модели для бинарной зависимой переменной. Эти модели мы рассмотрели для двух функций регрессий: логит (использовали логистическую функцию) и пробит (использовали функцию распределения стандартного нормального закона распределения). Оценки параметров таких функций регрессии получают при помощи метода максимального правдоподобия. Модель тестируют при помощи теста Вальда, в основе которого статистика, имеющая хи-квадрат распределение.

При изучении многофакторных регрессионных моделей мы интерпретировали оценки параметров вj, как предельный эффект влияния независимых переменных на у.

Вернемся к моделям бинарного выбора. Если мы попытаемся найти производную от P{Y=1|X}, то придем к следующему выражению:

P{Y=1|X}=

где Z= 0+1х1+...m-1xm-1.

По теореме о производной сложной функции, и из свойства плотности   (производная от функции распределения это плотность распределения f(Z)), получаем:

P{Y=1|X}=

или, используя второе обозначение для оценок параметров:

P{Y=1|X}=

P{Y=1|X}=вjf(Z)

Как и раньше, через вj обозначены оценки неизвестных параметров.

Тогда, мы можем рассуждать следующим образом: плотность распределения всегда неотрицательна, поэтому знак  производной P{Y=1|X} будет зависеть только от знака оценки параметров, но будет являться функцией всех независимых переменных. Причем, если оценка параметра будет положительной, то увеличение  переменной xj будет приводить к увеличению вероятности P{Y=1|X}, а если оценка параметра будет отрицательной, то, соответственно, к уменьшению указанной вероятности.  

Замечание. Если фактор х является бинарной переменной, то для него нельзя ввести понятие предельного эффекта.

Для каждой переменной х (количественной!!!)  вводят так называемый средний предельный эффект. Для этого вычисляют выборочные средние для количественных переменных и процент «1» для бинарных, и подставляют их в выражение для плотности распределения вместо переменных.

Еще один вопрос для обсуждения: как после оценивания параметров логит (пробит) модели прогнозировать значение у? Поступают, например, следующим образом. Подставляют найденные значения оценок параметров  и значения хj в Z  и вычисляют значение переменной. Если Z>0, то считают, что У=1, если  Z<0, то считают, что У=0. Замечание. Мы рассмотрели ситуацию, когда переменная у была измерена в номинальной шкале, но принимала всего два значения: 0 и 1. В общем случае, когда у может принимать несколько значений, например 0, 1, 2, 3, используют множественный (по у!!) логит или пробит. Кроме того, у может быть измерен в порядковой шкале, тогда в Стате используют  порядковый логит (пробит) ologit (oprobit).

Замечание. Очень часто в исследованиях приходится проводить исследования на усеченной выборке. Например, если изучают доходы домохозяйств, то бывают ситуацию, когда респондентов с очень большим доходом (например, больше 1 млн.рубл.) следует исключить из исследования, то есть

То в таких случаях используют Тобит-модели.

Yi

0

1

Pi

  1.  F(0+1х1+...m-1xm-1)

F(0+1х1+...m-1xm-1)

E[Y]

F(0+1х1+...m-1xm-1)

V[Y]

F(0+1х1+...m-1xm-1) - (F(0+1х1+...m-1xm-1))2 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55349. МОЄ СЕРЦЕ ВІДКРИТЕ ДЛЯ ДОБРА 304.5 KB
  Мета проекту: привернути увагу учнів Манвелівської школи, батьків, вчителів до проблем соціально-незахищених категорій населення сіл Манвелівка, Нововасильківка, Красне, Зоря, Іванівка та поліпшення умов їх життя;
55350. Край, у якому ти живеш. Старожитня Кам’янка 5.42 MB
  Мета: збагачувати знання учнів про рідний край, а також активний словниковий запас учнів; пробудити інтерес до вивчення історії Кам’янки; розширити знання про історичне минуле рідного краю;...
55352. Я ХОЧУ БІЛЬШЕ ЗНАТИ ПРО МОЮ БАТЬКІВЩИНУ - УКРАЇНУ 67 KB
  За кількістю учасників: груповий За характером контактів: зовнішній. привчати дітей самостійно працювати в бібліотеці; Очікувані результати Учні навчаться знаходити необхідну інформацію в бібліотеці та навчаться працювати з каталогами;
55353. Зимующие птицы Донбасса 399 KB
  Проблемные вопросы: Как живут птицы зимой Что мы знаем о зимующих птицах Донбасса Как реально помочь птицам зимой Учебные вопросы: Чем питаются зимующие птицы Почему птицы улетают на зиму в теплые края Какие птицы остаются зимовать в нашем городе Есть ли разница во внешнем виде...
55354. Чарівний світ Наталі Забіли 136 KB
  Мета: формування ключових компетентностей: вміння вчитися самоорганізовуватися до навчальної діяльності у взаємодії; загальнокультурної дотримуватися норм мовленнєвої культури звязно висловлюватися в контексті змісту вникати в суть прочитаного...
55355. Енергозбереження в школі: крок за кроком 646 KB
  Виключаючи світло там, де воно непотрібне, та використовуючи енергозберігаючі технології, можна економити власні кошти та зменшувати негативний вплив на природу. В побуті енергозберігаючі методи допомагають зберігати до 30% енергії.
55356. МІЙ КРАЙ – МОЯ ІСТОРІЯ ЖИВА 488.5 KB
  Дана робота містить методичні та учнівські матеріали з теми проекту. Цей творчий проект формує навички групової та колективної роботи, виховує в учнях полікультурні, загальнолюдські інності як основи формування громадянина–патріота Батьківщини.
55357. Перлини рідної мови 584 KB
  Мета: формувати соціальну компетентність; зацікавити учнів інформаційно-творчим проектом, навчати дітей збирати фольклорний матеріал, співпрацювати в групі, визначати коло обов’язків, привчати відповідально відноситися до своїх обов’язків...