7234

Статистические оценки параметров распределения. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Статистические оценки параметров распределения Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения....

Русский

2015-01-18

56 KB

40 чел.

Лекция 2.

Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения. Следовательно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен нормально, то необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.  

Числовые характеристики вариационных рядов называют статистическими оценками.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней  называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней  называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

При увеличении объема выборки выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объема  из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство  устойчивости выборочных средних.

Для того, что бы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Выборочной дисперсией  называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака выборочной совокупности от их среднего значения .

Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии

.

В качестве оценки генеральной дисперсии   используют исправленную дисперсию.

Исправленной дисперсией называется величина

.

Пример 1.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

xi

0

1

2

3

4

ni

5

2

1

1

1

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем исправленную дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

=1,37.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

Для оценки математического ожидания a нормально распределенного количества признака X по выборочной средней  при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где   - точность оценки, n – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

Пример 2.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя  и объем выборки n=25.

Решение:

В выражении

все величины, кроме t известны. Из соотношения 2Ф(t)=0.95 получим Ф(t)=0.475. С помощью таблиц находим t=1,96. После подстановки получаем искомый доверительный интервал:

12.04<a<15.96.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой m0 называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант

нечетно, то есть n=2k+1, то m0=xk+1  

четно, то есть n=2k, то m0=(xk+xk+1)/2.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами.

R=xmax-xmin

Средним абсолютным отклонением θ называют среднее арифметическое абсолютных отклонений

θ=Σni| xi-xв|/n

Коэффициентом вариации V называют выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней

V=σвв·100%

Пример


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55161. Вікові та індивідуальні особливості розвитку школярів та їх врахування в навчально-виховному процесільні особливості розвитку школярів та їх врахування в навчально-виховному процесі 71 KB
  Мета: розкрити необхідність врахування вікових та індивідуальних особливостей учнів у вихованні і навчанні. Знати: визначення виховання освіта навчання розвиток формування теорії розвитку особистості чинники рушійні сили розвитку і виховання особистості. Періодизація розвитку особистості у педагогіці. Нерівномірність розвитку.
55162. Социальная политика. Политика доходов и занятости 23.34 KB
  Цели социальной политики: повышение качества жизни населения, обеспечение приоритета социальных критериев создания и расширения производства, укрепление трудовой мотивации, обеспечение занятости, обеспечение благосостояния и социальной справедливости, полная реализация личных свобод и прав граждан, регулирование доходов, смягчение социальной напряженности.
55163. Робота з об'єктами в ОС Windows 2.11 MB
  Мета: Формування умінь та навичок по створенню, копіюванню, перейменуванню, знищенню та відновленню обєктів в операційній системі Windows. Постановка загальної проблеми: Як створювати, копіювати, перейменовувати, знищувати та відновлювати об'єктів в операційній системі Windows?
55164. Планування як функція управління 48.5 KB
  Мета: зясувати сутність планування як функції управління виділити основні етапи процесу планування та типи планів в організації класифікувати цілі управлінського планування зясувати механізм управління за цілями та визначити його сильні та слабкі сторони...
55166. Використання фреймів в html-документах 488 KB
  Мета роботи: навчитись застосовувати фрейми при створенні html-документів. 1 Підготовка до заняття 1. Вивчити відповідні розділи теоретичної частини методички та відповідного лекційного курсу. 2. Підготувати малюнки в Pаint та зберегти їх як fon1.bmp та fon2.bmp.
55167. Використання службових програм для обслуговування операційної системи Windows 52.5 KB
  У вікні що відкриється прочитати інформацію і клацнути на кнопці Далее; У наступному вікні буде відображено список програм і утиліт для вибору і запуску. Можна скористатися кнопкою Обзор для пошуку програми якої нема у списку; В наступному вікні...