7234

Статистические оценки параметров распределения. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Статистические оценки параметров распределения Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения....

Русский

2015-01-18

56 KB

36 чел.

Лекция 2.

Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения. Следовательно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен нормально, то необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.  

Числовые характеристики вариационных рядов называют статистическими оценками.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней  называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней  называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

При увеличении объема выборки выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объема  из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство  устойчивости выборочных средних.

Для того, что бы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Выборочной дисперсией  называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака выборочной совокупности от их среднего значения .

Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии

.

В качестве оценки генеральной дисперсии   используют исправленную дисперсию.

Исправленной дисперсией называется величина

.

Пример 1.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

xi

0

1

2

3

4

ni

5

2

1

1

1

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем исправленную дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

=1,37.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

Для оценки математического ожидания a нормально распределенного количества признака X по выборочной средней  при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где   - точность оценки, n – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

Пример 2.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя  и объем выборки n=25.

Решение:

В выражении

все величины, кроме t известны. Из соотношения 2Ф(t)=0.95 получим Ф(t)=0.475. С помощью таблиц находим t=1,96. После подстановки получаем искомый доверительный интервал:

12.04<a<15.96.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой m0 называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант

нечетно, то есть n=2k+1, то m0=xk+1  

четно, то есть n=2k, то m0=(xk+xk+1)/2.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами.

R=xmax-xmin

Средним абсолютным отклонением θ называют среднее арифметическое абсолютных отклонений

θ=Σni| xi-xв|/n

Коэффициентом вариации V называют выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней

V=σвв·100%

Пример


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27997. Отрицательное воздействие промышленного животноводства на природные комплексы и их компоненты 3.22 KB
  При переходе животноводства на промышленную основу возникла проблема утилизации навозных стоков и безподстилочного навоза. Вблизи животноводческих ферм образуется огромное скопление навоза происходит нитратное и микробное загрязнение почв растительности поверхностных и грунтовых вод которое в 810 раз превышает естественный фон загрязнения почвенного и снежного покрова. При выборе места для размещения живких комплексов должны быть учтены возможности утилизации навоза и производственных стоков с учетом...
27998. Оценка изменения агроэкологических показателей плодородия почв и их функций: природная сопротивляемость, буферность, способность к биологическому, физическому и химическому самоочищению 5.3 KB
  Это связано со следующими обстоятельствами: охватом антропогенными нагрузками больших площадей иногда практически на 100; малой лесистостью и небольшими площадями луговостепных участков; значительной обнаженностью дефдированностью и эродированностью почвенного покрова; преобладанием определенных видов загрязнения в почве воде и грунтах связанных с удобрениями. Наибольшей буферной емкостью и способностью снижать негативное влияние загрязняющих веществ на растительные и животные организмы обладают почвы с...
27999. Поллютанты в почве и с/х продукции. Основные факторы, влияющие на их поведение в системе «почва-растение-животное-человек» 9.67 KB
  Главным природным источником тяжелых металлов являются породы магматические и осадочные и породообразующие минералы. Поступление тяжелых металлов в биосферу вследствие техногенного рассеивания осуществляется разнообразными путями. Кроме того источником загрязнения биоценозов могут служить орошение водами с повышенным содержанием тяжелых металлов внесение осадков бытовых сточных вод в почвы в качестве удобрения. Вторичное загрязнение происходит также вследствие выноса тяжелых металлов из отвалов рудников или...
28000. Почвенно-биотический комплекс как основа агроэкосистем. Биогеоценотическая деят-ть микробного биокомплекса и ее экологическое значение. Биоиндикация, ее достоинства и недостатки 15.6 KB
  Численность микроорганизмов сильно колеблется в зависимости от почвенноэкологических факторов. Роль микроорганизмов в круговороте веществ. Практически нет ни одного элемента который не подвергался бы воздействию микроорганизмов или их метаболитов. Минеральная часть почвы разрушается под воздействием различных неорганических и органических кислот щелочей ферментов и других соединений продуктов жизнедеятельности почвенных микроорганизмов.
28001. Проблемы производства экологически безопасной с/х продукции. Экономический механизм стимулирования производства экологически безопасной продукции 8.6 KB
  Экономический механизм стимулирования производства экологически безопасной продукции. Принципы экономического стимулирования выработаны и продолжают вырабатываться практикой. Комплексность системность всесторонность стимулирования означающая обязательность стимулирования использования современных технологических процессов если они имеют целью ресурсосбережение и проводятся экологически приемлемыми методами а также и собственно природоохранных мероприятий утилизация отходов строительство очистных сооружений в целях...
28002. Радионуклиды в агроэкосистеме: перенос радионуклидов по с/х цепочкам и их миграция в агроценозах 2.32 KB
  Основными источниками техногенных радионуклидов в агросфере являются остаточные количества долгоживущих радв поступивших в нее в результате испытаний ядерного взрыва выбросов и сбросов радов при работе атомных электростанций и др предприятий полного ядерного топливного цикла. Рост химизации с х ведет к увеличению применения удобрений и мелиорантов с повышенным содержанием естественных радов. Почва обладает уникальной сорбционной способностью по отношению к поступающим в нее радов.
28003. Сравнительный анализ функционирования естественных экосистем и агроэкосистем. Устойчивость эко(агроэко)системы: толерантность, уязвимость, гетерогенность агроценозов 5.26 KB
  Экосистемы исторически сложившееся в биосфере и на той или иной территории открытые но целостные и устойчивые системы живых организмов. Агроэкосистемы вторичные измененные человеком биогеоценозы основу которых составляют искусственно созданные биотические сообщества объединяемые видами живых организмов. Особенность агросистем в отличии от экосистем их неусточивость то есть к способности саморегуляции.
28004. Формирование биогенной нагрузки в природных аграрных системах. Естественные потери биогенных веществ в земледелии, животноводстве и селитебных территорий 4.24 KB
  Естественные потери биогенных веществ в земледелии животноводстве и селитебных территорий. Интенсивно развивающееся сельское хозяйство это наиболее активный источник поступления биогенных элементов. Влияние с х как источника поступления биогенных веществ в природные ресурсы возрастает в связи с увеличением распаханности территорий трансформацию угодий мощной техникой развитием процессов химизации на основе минеральных и органических удобрений. Потери биогенных веществ в растениеводстве условно можно разделить на...
28005. Функционирование агроэкосистем в условиях техногенеза 4.85 KB
  Функционирование агроэкосистем в условиях техногенеза. Агроэкосистема АЭС совокупность биогенных и абиогенных компонентов участков суши преобразованных человеком используемых для производства сельхозпродукции. Основа АгроЭкоСистем почва с х угодия. Типы АгроЭкоСистем: Пропашное земледелие Многолетнее земледелие Многоурожайное земледелие МезоАЭС крупномасштабная МикроАЭС грядка Суша занимает площадь 149 млрд.