7234

Статистические оценки параметров распределения. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Статистические оценки параметров распределения Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения....

Русский

2015-01-18

56 KB

33 чел.

Лекция 2.

Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения. Следовательно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен нормально, то необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.  

Числовые характеристики вариационных рядов называют статистическими оценками.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней  называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней  называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

При увеличении объема выборки выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объема  из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство  устойчивости выборочных средних.

Для того, что бы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Выборочной дисперсией  называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака выборочной совокупности от их среднего значения .

Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии

.

В качестве оценки генеральной дисперсии   используют исправленную дисперсию.

Исправленной дисперсией называется величина

.

Пример 1.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

xi

0

1

2

3

4

ni

5

2

1

1

1

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем исправленную дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

=1,37.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

Для оценки математического ожидания a нормально распределенного количества признака X по выборочной средней  при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где   - точность оценки, n – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

Пример 2.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя  и объем выборки n=25.

Решение:

В выражении

все величины, кроме t известны. Из соотношения 2Ф(t)=0.95 получим Ф(t)=0.475. С помощью таблиц находим t=1,96. После подстановки получаем искомый доверительный интервал:

12.04<a<15.96.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой m0 называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант

нечетно, то есть n=2k+1, то m0=xk+1  

четно, то есть n=2k, то m0=(xk+xk+1)/2.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами.

R=xmax-xmin

Средним абсолютным отклонением θ называют среднее арифметическое абсолютных отклонений

θ=Σni| xi-xв|/n

Коэффициентом вариации V называют выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней

V=σвв·100%

Пример


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64238. Общение у высших позвоночных 27.5 KB
  Общение с помощью запахов играет большую роль в половом поведении. У млекопитающих ольфакторное общение часто сочетается с оптическим. Оптическое общение как уже отмечалось осуществляется у позвоночных с помощью выразительных поз и телодвижений.
64239. Ригидность и пластичность в поведении высших позвоночных 27 KB
  Прогресс инстинктивного поведения у животных в том числе и у позвоночных неразрывно связан с прогрессом индивидуально-изменчивого поведения. Поэтому позвоночные с их высокоразвитыми формами научения обладают и не менее развитыми сложными формами инстинктивного поведения.
64240. Предпосылки и элементы интеллектуального поведения животных 28.5 KB
  Для интеллектуального поведения первостепенное значение имеют зрительные восприятия и особенно зрительные обобщения сочетающиеся с кожно-мышечной чувствительностью передних конечностей.
64241. Критерии интеллектуального поведения 30.5 KB
  Обычно первая подготовительная фаза интеллектуального действия заключается в приготовлении орудия. Важно отметить что подготовительная фаза интеллектуального действия запускается не самим предметом используемым в дальнейшем...
64242. Формы мышления животных 27 KB
  Примером этой формы мышления может служить выбор обезьяной предметов пригодных для употребления в качестве орудия с учётом их величины плотности формы и так далее.
64243. Биологическая ограниченность интеллекта животных 30 KB
  Очень редко обезьяны пользуются на воле и орудиями. Но как и другие человекообразные обезьяны шимпанзе вполне обходятся в повседневной жизни без орудий. Причины ограниченности интеллекта животных: Ладыгина-Котс на основе экспериментальных данных пришла к выводу...
64244. Общая характеристика сравнительной психологии, ее связь с другими науками 36.5 KB
  Сравнительная психология исследует закономерности становления человеческого сознания изучает общее и различное в психической деятельности человека и животных анализирует и сравнивает социальные и биологические факторы определяющие поведение человека.
64245. Сравнительный анализ теорий, описывающих поведение животных и человека 69.5 KB
  Сущность всех таких теорий сводится к признанию у животных внетелесной детерминированной программы поведения. Наличие у животных качеств превосходящих человеческие объясняется развитием или редукцией определенных органов.
64246. Эволюция гаптических и сенсорных функций высших млекопитающих 32.5 KB
  В процессе эволюционного развития человеческая рука как орган и продукт труда: развилась из руки обезьяны и достигла высокой степени совершенства. Развитие и качественные преобразования руки занимают центральное место в антропогенезе как в физическом так и в психическом отношении.