7234

Статистические оценки параметров распределения. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Статистические оценки параметров распределения Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения....

Русский

2015-01-18

56 KB

40 чел.

Лекция 2.

Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения. Следовательно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен нормально, то необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.  

Числовые характеристики вариационных рядов называют статистическими оценками.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней  называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней  называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

При увеличении объема выборки выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объема  из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство  устойчивости выборочных средних.

Для того, что бы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Выборочной дисперсией  называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака выборочной совокупности от их среднего значения .

Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии

.

В качестве оценки генеральной дисперсии   используют исправленную дисперсию.

Исправленной дисперсией называется величина

.

Пример 1.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

xi

0

1

2

3

4

ni

5

2

1

1

1

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем исправленную дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

=1,37.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

Для оценки математического ожидания a нормально распределенного количества признака X по выборочной средней  при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где   - точность оценки, n – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

Пример 2.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя  и объем выборки n=25.

Решение:

В выражении

все величины, кроме t известны. Из соотношения 2Ф(t)=0.95 получим Ф(t)=0.475. С помощью таблиц находим t=1,96. После подстановки получаем искомый доверительный интервал:

12.04<a<15.96.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой m0 называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант

нечетно, то есть n=2k+1, то m0=xk+1  

четно, то есть n=2k, то m0=(xk+xk+1)/2.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами.

R=xmax-xmin

Средним абсолютным отклонением θ называют среднее арифметическое абсолютных отклонений

θ=Σni| xi-xв|/n

Коэффициентом вариации V называют выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней

V=σвв·100%

Пример


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69187. Измеритель относительного расширения ротора турбины 36 KB
  Изменение выходного напряжения датчика ОРР осуществляется вторичным прибором КСД1049 и основано на компенсационном принципе измерения. Первичные обмотки датчика ОРР и дифференциально-трансформаторного датчика прибора соединяются последовательно...
69188. Измерение механических величин 46.5 KB
  Это привело к необходимости измерений основных механических величин параметров турбины: осевого сдвига; относительного расширения ротора; прогиба ротора; прослушивания уплотнений ТГ; сигнализатора валоповорота; теплового расширения корпуса турбины; измерение оборотов турбины...
69189. Измерение температуры тел по их тепловому излучению 39 KB
  Спектр электромагнитного излучения большинства твердых и жидких тел является непрерывным и содержит волны всех длин от λ=0 до λ=∞. Суммарная энергия полного излучения и энергия излучения волн определенной длины тела зависит от температуры тела.
69190. Измерение давления 59.5 KB
  Средства измерения давления в атомной энергетике составляют около половины общего количества средств измерений. На АЭС существуют специфические условия роботы приборов для измерения давления: широкий диапазон измерений 05 50 Мпа 5 500 кгс см2; высокая температура и радиационные...
69191. Электрические уровнемеры 51.5 KB
  Принцип действия этих уровнемеров основан на зависимости от уровня жидкости электрических параметров преобразователей: емкости индуктивности и активного сопротивления. Емкостной преобразователь уровня это электрический конденсатор емкость которого изменяется в зависимости...
69192. Измерение расхода жидкости, газа и пара 37.5 KB
  В соответствии с применяемыми методами измерений расхода и количества вещества измерительные приборы применяемые на АЭС разделяют на следующие группы: расходомеры постоянного перепада давления ротаметрические ; расходомеры переменного перепада давления; крыльчатые...
69193. Уровнемеры с дистанционной передачей показаний 38.5 KB
  Принцип действия: в поплавковом уровнемере чувствительный элемент это поплавок плавающий на поверхности жидкости. Поплавок перемещается в верх или в низ вместе с перемещением контролируемого уровня жидкости его перемещение передается на показывающее устройство или на преобразователь...
69194. Анализ состава газов 88 KB
  Но водород обладает с точки зрения использования его для охлаждения одним отрицательным свойством он взрывоопасен в смеси с воздухом от 25 до 95. Шкалы газоанализаторов градируются в процентах объемного содержания отдельных компонентов газовой смеси г м3 мг л.
69195. Конструктивно-силові схеми фюзеляжу літака 8.65 MB
  По конструктивно-силових схемах фюзеляжі підрозділяються на фермові, балочні і змішані. Силовий каркас фермової схеми (рис. 3.11) представляє собою просторову ферму, створену лонжеронами 3, розташованими по всій довжині або частині довжини фюзеляжу, стійками 1 і розкосами 5 у вертикальній площині...