7234

Статистические оценки параметров распределения. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Статистические оценки параметров распределения Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения....

Русский

2015-01-18

56 KB

33 чел.

Лекция 2.

Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения. Следовательно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен нормально, то необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.  

Числовые характеристики вариационных рядов называют статистическими оценками.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней  называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней  называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

При увеличении объема выборки выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объема  из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство  устойчивости выборочных средних.

Для того, что бы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Выборочной дисперсией  называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака выборочной совокупности от их среднего значения .

Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии

.

В качестве оценки генеральной дисперсии   используют исправленную дисперсию.

Исправленной дисперсией называется величина

.

Пример 1.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

xi

0

1

2

3

4

ni

5

2

1

1

1

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем исправленную дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

=1,37.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

Для оценки математического ожидания a нормально распределенного количества признака X по выборочной средней  при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где   - точность оценки, n – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

Пример 2.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя  и объем выборки n=25.

Решение:

В выражении

все величины, кроме t известны. Из соотношения 2Ф(t)=0.95 получим Ф(t)=0.475. С помощью таблиц находим t=1,96. После подстановки получаем искомый доверительный интервал:

12.04<a<15.96.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой m0 называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант

нечетно, то есть n=2k+1, то m0=xk+1  

четно, то есть n=2k, то m0=(xk+xk+1)/2.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами.

R=xmax-xmin

Средним абсолютным отклонением θ называют среднее арифметическое абсолютных отклонений

θ=Σni| xi-xв|/n

Коэффициентом вариации V называют выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней

V=σвв·100%

Пример


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37461. Конституционное право России – ведущая отрасль Российского права 281.5 KB
  Конституционное право – это ведущая отрасль национального права, представляющая систему правовых норм, закрепляющих основы конституционного строя, регулирующих отношения между государством и человеком, устройство государства, организацию государственной власти.
37462. Концепции современного естествознания 1.07 MB
  Социокультурный статус науки. Естествознание в системе науки и культуры. Именно через общенаучную картину мира осуществляется взаимопроникновение идей развиваемых в гуманитарных науках в естествознание и наоборот естественнонаучные идеи и принципы приобретая характер общенаучных методологических регулятивов начинают внедряться в гуманитарные науки.Выявление основных парадигм естествознания анализ их смены в динамике культуры эволюционных и революционных преобразований науки.
37463. Экологическое право. Концепции экологического права 667.5 KB
  Эта концепция была подвергнута резкой критике во всем мире. Призывы к торможению экономического развития человечества оценивались как утопичные и реакционные.
37464. Антропология права 2.94 MB
  Ковлер Антропология права Учебник для вузов Издательство НОРМА Издательская группа НОРМА ИНФРА М Москва 2002 УДК 340. руководитель Центра сравнительного правоведения Института государства и права РАН и главный редактор журнала Государство и право в настоящее время судья Европейского Суда по правам человека избранный от Российской Федерации. Специалист в области теории и истории права сравнительного правоведения.
37468. ФИЛОСОФСКИЕ СКАЗКИ ДЛЯ ОБДУМЫВАЮЩИХ ЖИТЬЕ или Веселая книга о свободе и нравственности 683 KB
  Как называется Истинная правда или Учебник для психолога по жизни . Про Клуб Синтон то есть тоже про жизнь и про психологов то есть про отношение к жизни. Она для повседневности для живого и чувствующего человека с утра до вечера его дня и жизни в привычном окружении близких и далеких для работы и праздников болезней и телевизора. Клуб этот мир созданный мною двенадцать лет назад попрежнему занимает в моей душе и жизни большое место: он много требует но и много дает.