7234

Статистические оценки параметров распределения. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Статистические оценки параметров распределения Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения....

Русский

2015-01-18

56 KB

40 чел.

Лекция 2.

Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения. Следовательно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен нормально, то необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.  

Числовые характеристики вариационных рядов называют статистическими оценками.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней  называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней  называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

При увеличении объема выборки выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объема  из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство  устойчивости выборочных средних.

Для того, что бы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Выборочной дисперсией  называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака выборочной совокупности от их среднего значения .

Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии

.

В качестве оценки генеральной дисперсии   используют исправленную дисперсию.

Исправленной дисперсией называется величина

.

Пример 1.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

xi

0

1

2

3

4

ni

5

2

1

1

1

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем исправленную дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

=1,37.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

Для оценки математического ожидания a нормально распределенного количества признака X по выборочной средней  при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где   - точность оценки, n – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

Пример 2.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя  и объем выборки n=25.

Решение:

В выражении

все величины, кроме t известны. Из соотношения 2Ф(t)=0.95 получим Ф(t)=0.475. С помощью таблиц находим t=1,96. После подстановки получаем искомый доверительный интервал:

12.04<a<15.96.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой m0 называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант

нечетно, то есть n=2k+1, то m0=xk+1  

четно, то есть n=2k, то m0=(xk+xk+1)/2.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами.

R=xmax-xmin

Средним абсолютным отклонением θ называют среднее арифметическое абсолютных отклонений

θ=Σni| xi-xв|/n

Коэффициентом вариации V называют выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней

V=σвв·100%

Пример


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54795. Удосконалення організації навчальної діяльності під час вивчення історії 55.5 KB
  Можеш розпочати з опису подій в найголовніших їх рисах а потім поставити ряд питань: з чим пов язана дана подія які протилежності закономірності в основі чому воно виявилось можливим Перерахувавши ці проблеми дай кожній аргументовану відповідь а в кінці розкрий значення І характер даної події. Інтереси якої соціальної групи виражав В чому полягала мета І прагнення цієї групи 2. В якій послідовності краще розмістити ці ознаки Чому 3. В чому причини даного явища В чому полягає соціальна сутність цього явища.
54796. Способи розкладання многочленів на множники 43.5 KB
  Розкласти многочлен на множники означає подати його як добуток кількох многочленів аb c = аb аc помножили одночлен на многочлен; результат многочлен аb аc = аb c розклали многочлен на множники; результат добуток одночлена і многочлена Порівняйте: Спосіб винесення спільного множника за дужки. Многочлен x2 xy розклали на два множники x та x y. Щоб розкласти многочлен x2 xy на множники досить у його членах x2 та xy виділити спільний множник x: x2 xy = x  x x  y а потім на основі розподільної властивості...
54797. Спрос на ресурсы и факторы, его определяющие 18.49 KB
  Спрос на ресурсы, в отличие от спроса на потребительские товары, связан с производством, осуществляемым конкретным предприятием (фирмой). В связи с тем, что целью предприятия является максимизация прибыли, ею определяется и объем спроса на ресурсы.
54798. Рынок труда. Спрос и предложение на рынке труда 46.26 KB
  В соответствии с теорией рыночной экономики, рынок труда рассматривается в единой системе рынков экономических факторов. Однако, необходимо учитывать существенные отличия труда от иных экономических ресурсов...
54799. Памятка по подготовке к пробным урокам русского языка и их проведению (материалы для студентов) 79.5 KB
  Уточнить как учитель обычно выстраивает работу по развитию речи и мышления типы заданий упражнения; выяснить проводится ли в данном классе дифференцированная работа с учащимися; выяснить наличие наглядного дидактического материала по данной теме познакомиться с ним.
54800. Заработная плата как цена труда. Монопсония на рынке труда 18.75 KB
  Монопсония — ситуация на рынке, когда фирма (или другая организация), называемая “монопсонистом”, полностью контролирует спрос на определенное благо (товар или услугу), являясь единственным возможным его покупателем. При монопсонии наниматель обладает монополистической возможностью нанимать работников.
54802. Paparazzi and Celebrities 37 KB
  The sun is shining outside! The weather is awesome. I’d like you to be in good mood. If you aren’t, we’ll rise it. So, your first task is to tell your classmates couple nice words. For instance: Julia, you look amazing! This new skirt really suits you!
54803. Рынок земли и его особенности 18.58 KB
  Особенность рынка земли. Особенностью этого рынка является ограниченность (иногда и невозможность) воспроизводства. В силу ограниченности данного ресурса собственность на землю является самым доходным видом собственности.