7234

Статистические оценки параметров распределения. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Статистические оценки параметров распределения Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения....

Русский

2015-01-18

56 KB

35 чел.

Лекция 2.

Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак некоторой совокупности. Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о виде распределения. Следовательно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен нормально, то необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.  

Числовые характеристики вариационных рядов называют статистическими оценками.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней  называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней  называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

При увеличении объема выборки выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объема  из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство  устойчивости выборочных средних.

Для того, что бы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Выборочной дисперсией  называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака выборочной совокупности от их среднего значения .

Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии

.

В качестве оценки генеральной дисперсии   используют исправленную дисперсию.

Исправленной дисперсией называется величина

.

Пример 1.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

xi

0

1

2

3

4

ni

5

2

1

1

1

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем исправленную дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

=1,37.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

Для оценки математического ожидания a нормально распределенного количества признака X по выборочной средней  при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где   - точность оценки, n – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) при котором Ф(t)=γ/2.

Пример 2.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя  и объем выборки n=25.

Решение:

В выражении

все величины, кроме t известны. Из соотношения 2Ф(t)=0.95 получим Ф(t)=0.475. С помощью таблиц находим t=1,96. После подстановки получаем искомый доверительный интервал:

12.04<a<15.96.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой m0 называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант

нечетно, то есть n=2k+1, то m0=xk+1  

четно, то есть n=2k, то m0=(xk+xk+1)/2.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами.

R=xmax-xmin

Средним абсолютным отклонением θ называют среднее арифметическое абсолютных отклонений

θ=Σni| xi-xв|/n

Коэффициентом вариации V называют выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней

V=σвв·100%

Пример


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72757. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СВЕЧИ 72.5 KB
  Так заведено что на новогодние праздники люди часто дарят друг другу декоративные свечи с образом символа года. Во многих семьях эти свечи стоят без надобности пылятся на полочке это в лучшем случае а иной раз и валяются где-то в ящиках комода.
72758. История моей школы в истории Отечества 470 KB
  На старых планах города эта школа именовалась как Александровское шоссе и вела она к Александровскому вокзалу железнодорожной станции. Маленькая деревянная школа не могла принять всех желающих учиться да и обучение оставалось платным.
72760. Почему нельзя пить сырую воду из-под крана? 53 KB
  Говорят, что гномики давно перевелись. Может это и так. Но однажды со мной произошел такой случай. Я играл, бегал, а потом захотел пить. Чайник был горячий , поэтому я взял стакан и налил воды из-под крана. Я уже хотел попить и поднес стакан ко рту. Вдруг кто-то сел ко мне на плечо. От неожиданности я выронил стакан.
72761. Перечень и анализ современных субкультур 198 KB
  Почему я выбрала именно эту тему? Я взяла эту тему потому, что эта тема довольно близка мне. Ведь неформалы это в основном молодёжь, а я сама отношусь к этой категории. Я попытаюсь изложить суть неформальных движений, их понятия, цели, которые они преследуют, их стремления, идеологию и т. д.
72763. Научно-исследовательское общество «Росток» 61 KB
  В соответствии с этим были определены следующие задачи: на основе имеющейся научной литературы выяснить какая наука занимается изучением личных имён; уточнить сколько девочек и мальчиков учится в нашей школе; определить сколько одинаковых имён девочек и мальчиков в каждом классе...
72764. СМС-мания 150.5 KB
  Актуальность: СМС придумали в начале 90-х годов специалисты одной английской компании. В Англии СМС настолько популярны, что для них появилось даже отдельное слово: texting и глагол: to text. Популярность приводит к хорошим заработкам.
72765. История Братска 304 KB
  Цель: Закреплять знания детей об истории родного города, о людях его прославивших. Учить узнавать и сравнивать знакомые места на старинных и современных фотографиях. Развивать связную речь, логическое мышление, навыки межличностного общения.