7236

Элементы теории корреляции

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Лекция 4. Элементы теории корреляции. Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от случайной величины X. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение р...

Русский

2013-01-20

57 KB

68 чел.

Лекция 4.

Элементы теории корреляции.

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от случайной величины X.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. В этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.

Условным средним yx называют среднее арифметическое наблюдавшихся значении Y , соответствующих X=x.

Пример.

Если при x1=2 величина Y приняла значения y1=5, y2=6, y3=10, то условное среднее yx=(5+6+10)/3.

Выборочным уравнением регрессии Y на X называют уравнение вида

yx=f(x).

Случай 1.

Пусть в результате n независимых опытов получены n пар чисел (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn). Так как различные значения признака х и соответствующие им значения признака у наблюдались по одному разу, то нет надобности группировать данные и использовать понятие условной средней.

Представим одну из величин как функцию другой. Для простоты ограничимся приближенным представлением величины Y как линейной функции величины X.

Будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида:

.

Угловой коэффициент ρyx прямой линии регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии.

Параметры ρxy и b подбираются так, чтобы точки (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn), построенные по данным наблюдений, на плоскости xOy лежали как можно ближе к прямой . То есть сумма квадратов отклонений (Yiyi) должна быть минимальной. Здесь Yi - вычисленная по уравнению ордината, соответствующая xi, а yi – наблюдаемая ордината, соответствующая xi. В этом состоит сущность метода наименьших квадратов.

,

.

Случай 2. (обобщенный)

При большом числе наблюдений одно и тоже значение x может встретиться nx раз, одно и тоже значение yny раз, одна и та же пара чисел (x,y) может наблюдаться nxy  раз. Поэтому данные наблюдений группируют и записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Пример

10

20

30

ny

0.4

5

-

7

12

0.6

-

2

6

8

0.8

3

10

-

13

nx

8

12

13

n=33

В данном случае выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид

где  и  - выборочные средние, σx и σy – выборочные средние квадратические отклонения, rв – выборочный коэффициент корреляции.

Пример

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X

по данным n=4 наблюдений

x

5

9

10

12

y

3

6

4

7

Решение:

Составим расчетную таблицу.

xi

yi

xi2

xiyi

5

9

10

12

3

6

4

7

25

81

100

144

15

54

40

84

Вычислим параметры ρxy и b:

Искомое выборочное уравнение прямой линии регрессии будет иметь вид:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66759. ВЛИЯНИЕ ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА НА ЗДОРОВЬЕ НАСЕЛЕНИЯ г. ЧИТА (ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ КРАЙ) 6.2 MB
  По качеству атмосферного воздуха г. Чита относится к числу наиболее загрязненных городов России. За период с 2005 по 2010 гг. уровень загрязнения воздушного бассейна оценивался, как «чрезвычайно высокий» и «очень высокий». Среднегодовые концентрации превышают ПДКсс по...
66761. Оптимизация диагностики и лечения внутрибрюшных кровотечений в неотложной абдоминальной хирургии 2.8 MB
  Тяжелые и профузные ВБК требуют выполнения неотложного оперативного вмешательства и восполнения острой кровопотери путем переливания излившейся в брюшную полость крови. В этой связи важным является изучение биохимических и микробиологических свойств крови излившейся в брюшной полость в зависимости от локализации повреждения и сроков нахождения крови в брюшной полости.
66762. ИНФАНТЕЛИЗМ, КАК КЛИНИЧЕСКИЙ СИНДРОМ СТРУКТУРЫ ЛИЧНОСТИ 304.5 KB
  При работе с детьми с задержкой психического развития следует избегать очевидной ловушки – сведения коррекционной работы к применению определенного набора методов. Простое увеличение количества применяемых методик и техник не спасает положения, это тот случай, когда количество не переходит в качество
66763. ГРАЖДАНСКО - ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ДОГОВОРА АРЕНДЫ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ В РОССИИ 1.07 MB
  Выявить особенности и проблемы гражданско-правового регулирования договора аренды земельных участков в России, а также сформулировать предложения по совершенствованию законодательства в исследуемой сфере
66764. Оптимизация минерального питания в семеноводстве различных сортов лука репчатого (Allium cepa L.) 6.74 MB
  В связи с изменением климата а также обновлением сортов лука репчатого требуется разработка систем применения удобрений отвечающих требованиям сорта. В связи с этим можно сделать вывод что выявление сортовых особенностей применения минеральных макро и микроудобрений...