7236

Элементы теории корреляции

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Лекция 4. Элементы теории корреляции. Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от случайной величины X. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение р...

Русский

2013-01-20

57 KB

69 чел.

Лекция 4.

Элементы теории корреляции.

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от случайной величины X.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. В этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.

Условным средним yx называют среднее арифметическое наблюдавшихся значении Y , соответствующих X=x.

Пример.

Если при x1=2 величина Y приняла значения y1=5, y2=6, y3=10, то условное среднее yx=(5+6+10)/3.

Выборочным уравнением регрессии Y на X называют уравнение вида

yx=f(x).

Случай 1.

Пусть в результате n независимых опытов получены n пар чисел (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn). Так как различные значения признака х и соответствующие им значения признака у наблюдались по одному разу, то нет надобности группировать данные и использовать понятие условной средней.

Представим одну из величин как функцию другой. Для простоты ограничимся приближенным представлением величины Y как линейной функции величины X.

Будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида:

.

Угловой коэффициент ρyx прямой линии регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии.

Параметры ρxy и b подбираются так, чтобы точки (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn), построенные по данным наблюдений, на плоскости xOy лежали как можно ближе к прямой . То есть сумма квадратов отклонений (Yiyi) должна быть минимальной. Здесь Yi - вычисленная по уравнению ордината, соответствующая xi, а yi – наблюдаемая ордината, соответствующая xi. В этом состоит сущность метода наименьших квадратов.

,

.

Случай 2. (обобщенный)

При большом числе наблюдений одно и тоже значение x может встретиться nx раз, одно и тоже значение yny раз, одна и та же пара чисел (x,y) может наблюдаться nxy  раз. Поэтому данные наблюдений группируют и записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Пример

10

20

30

ny

0.4

5

-

7

12

0.6

-

2

6

8

0.8

3

10

-

13

nx

8

12

13

n=33

В данном случае выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид

где  и  - выборочные средние, σx и σy – выборочные средние квадратические отклонения, rв – выборочный коэффициент корреляции.

Пример

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X

по данным n=4 наблюдений

x

5

9

10

12

y

3

6

4

7

Решение:

Составим расчетную таблицу.

xi

yi

xi2

xiyi

5

9

10

12

3

6

4

7

25

81

100

144

15

54

40

84

Вычислим параметры ρxy и b:

Искомое выборочное уравнение прямой линии регрессии будет иметь вид:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15677. История Георгиевской ленты 42 KB
  История Георгиевской ленты Георгиевская лента двухцветная лента к ордену Святого Георгия За победу над Германией или как ее еще называют Гвардейская лента Цвета ленты чёрный и жёлтооранжевый означают дым и пламя и являются знаком личной доблести ...
15678. Великая Отечественная война глазами немцев 18.86 KB
  Великая Отечественная война глазами немцев Как немцы оценивали и оценивают войну против Советского Союза Как нечто неизбежное но необходимое Разумеется до войны и после нее оценки во многом поменялось. Историки уже не пытаются доказать что немецкая агрессия пр
15679. Великая Отечественная Война. 22 июня 1941 - 9 мая 1945 17.02 KB
  Великая Отечественная Война. 22 июня 1941 9 мая 1945 Вторая Мировая война составной частью которой была Великая Отечественная Война по своим масштабам разрушениям и жертвам не имеет себе равных в истории человечества. Рассмотрим основные битвы и сражения войны: Бр
15680. Пермь во время Великой Отечественной войны 12.81 KB
  Пермь во время Великой Отечественной войны Сражения войны прошли далеко за пределами Пермского края но вклад который внесли пермяки в общую победу над врагом поистине неоценим. Пермские формирования прошли славный путь и приняли участие во всех решающих сражениях
15681. Повесть о настоящем человеке 52.95 KB
  Повесть о настоящем человеке Великая Отечественная Война II Мировая Война Мы со слезами на глазах произносим эти слова но и с гордостью за то что выстояли это испытаниечто не сломалисьмы русский народ А как же создавалась победа А создавалась она героизмом и
15682. Причины и повод Второй мировой войны 73.68 KB
  А с чего все началось Прошло уже шесть с половиной десятилетий после окончания Великой Отечественной войны но до сих пор остаются нерешенными некоторые вопросы. До сих пор мы помним и с интересом рассуждаем о причинах Великой Отечественной Войны. Почему страна была
15683. УДОСКОНАЛЕННЯ СИСТЕМ РОЗПОДІЛУ ТА ЗРОСТАННЯ ДОХОДІВ НАСЕЛЕННЯ В УКРАЇНІ 339.5 KB
  Розподіл доходів - це стадія відтворення, яка займає проміжне місце між виробництвом і споживанням. Реалізована на ринку про-дукція перетворюється на грошову виручку. Після вилучення з неї вартості спожитих засобів виробництва залишається грошовий...
15684. Методы политического влияния и манипулирования 203 KB
  Методы политического влияния и манипулирования Методы политического влияния Усиление роли политического влияния в жизни общества являясь симптомом перехода от тоталитарных форм правления к демократическим предопределяет интерес к механизмам осуществления влиян
15685. Психология воздействия 41.5 KB
  В современную эпоху главным орудием воздействия на массы стало телевидение. Как заявил в 1972 году директор французского ведомства по радио и телевидению ...в умелых руках телевидение превращается в невиданное ранее оружие. Тот кто владеет им может направлять общественн