72362

Элементарная математика: Общие методы решения уравнений и неравенств (Часть 1): Учебно-методическое пособие

Книга

Математика и математический анализ

В пособии представлены первые две части раздела «Общие методы решения уравнений и неравенств» курса «Элементарная математика». В нём содержится тематический план, базовые теоретические положения с выделением основных типов и методов решения задач, список задач для индивидуальной работы...

Русский

2014-11-21

2.96 MB

8 чел.

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО «Нижегородский государственный педагогический университет»

Элементарная математика:

Общие методы решения

уравнений и неравенств

Часть 1

Учебно-методическое пособие

 

Нижний Новгород

2007

Печатается по решению редакционно-издательского совета Нижегородского государственного педагогического университета

Элементарная математика: Общие методы решения уравнений и неравенств. Ч. 1: Учеб.-метод. пособие. Н. Новгород: НГПУ, 2007, 55с.

В пособии представлены первые две части раздела «Общие методы решения уравнений и неравенств» курса «Элементарная математика». В нём содержится тематический план, базовые теоретические положения с выделением основных типов и методов решения задач, список задач для индивидуальной работы, варианты самостоятельных работ по темам, список рекомендуемой литературы.

Предназначено для студентов педагогических вузов, обучающихся по специальности «Математика».

Авторы-составители: С.В. Кириллова, канд. пед. наук, доцент

                                     О.К. Огурцова, канд. пед. наук, доцент

                                    Н.А. Серова, канд. пед. наук, доцент

                                   Н.Н. Егорова, канд. пед. наук, старший преподаватель

Рецензент: Л.И. Кузнецова, канд. пед. наук, доцент кафедры теории и  

                   методики обучения математике НГПУ

Ответственный за выпуск: Т.А. Иванова, доктор пед. наук, профессор,

                                             зав. кафедрой теории и методики обучения

                                             математике НГПУ

Предисловие

Цель данного учебно-методического пособия – оказание помощи студентам факультета математики, информатики и физики в усвоении курса элементарной математики, в частности раздела «Общие методы решения уравнений и неравенств». Разработка данного пособия  была вызвана отсутствием единого учебника, доступного студентам, в котором содержались бы все необходимые сведения по данному разделу. Пособие содержит систематизированный материал по теории и по типам, методам,  способам и приёмам решения уравнений и неравенств.

В пособии представлены темы «Уравнения и неравенства. Корни уравнения (решения неравенства). Равносильные уравнения (неравенства). Теоремы о равносильности уравнений (неравенств)» и «Целые и дробно-рациональные уравнения и неравенства. Приёмы их решения. Возвратные уравнения.»

Пособие включает в себя:

  •  примерный тематический план изучения тем;
  •  требования к знаниям и умениям студентов по темам;
  •  содержание тем;
  •  варианты самостоятельных работ по темам;
  •  упражнения для индивидуальной работы по темам;
  •  список рекомендуемой литературы.

В содержательной части темы I рассмотрены определения уравнения (неравенства), корня уравнения (решения неравенства), области определения (ОДЗ) уравнения (неравенства), уравнения (неравенства) – следствия, равносильных уравнений (неравенств), рассмотрен вопрос, что значит решить уравнение (неравенство); выделены приёмы равносильных преобразований уравнений и неравенств. В содержательной части темы II представлены основные методы решения алгебраических уравнений высших степеней; рассмотрены дробно-рациональные уравнения (неравенства) и приёмы их решения; изложен теоретический материал по решению возвратных (симметрических) уравнений. Теоретические положения дают основания для решения соответствующих уравнений и неравенств. Типы, методы, способы и приёмы решения уравнений (неравенств) выделены и иллюстрируются примерами.

Самостоятельные работы по темам отражают уровень требований к знаниям и умениям студентов и предназначены для подготовки к аудиторной контрольной работе.

К каждой теме приведён список задач для индивидуальной работы. Задачи частично заимствованы из литературы, частично составлены авторами.  Ответы к задачам прилагаются.

Теоретический и задачный материал представлен в пособии в избыточном количестве. Это объясняется необходимостью организации индивидуальной работы студентов на различных уровнях.

Примерный тематический план

п/п

Темы занятий

Число часов

лекционных

практич. занятий

1-2.

Тема I: Уравнения и неравенства. Корни уравнения (решения неравенства). Равносильные уравнения (неравенства). Теоремы о равносильности уравнений (неравенств).

2

2

3-4.

Тема II: Целые и дробно-рациональные уравнения и неравенства. Приёмы их решения. Возвратные уравнения.

1

3

Всего:

8

Тема I: «Уравнения и неравенства. Корни уравнения (реше-ния неравенства). Равносильные уравнения (неравенства). Теоремы о равносильности уравнений (неравенств)»

Требования к знаниям и умениям студентов

 Цель изучения темы – систематизировать и обобщить знания студентов, связанные с понятиями уравнения и неравенства, процессом их решения.

В результате изучения темы студент

 знает

  •  определение уравнения (неравенства);
  •  определение корня уравнения (решения неравенства);
  •  понятие области определения (ОДЗ) уравнения (неравенства);
  •  что значит решить уравнение (неравенство);
  •  определения понятий: уравнение (неравенство) – следствие, равносильные уравнения (неравенства);
  •  приёмы равносильных преобразований уравнений и неравенств;
  •  о возможностях протекания процесса решения уравнения (неравенства);
  •  о преобразованиях, приводящих к расширению или сужению ОДЗ уравнения (неравенства);

- о преобразованиях, приводящих к потере или приобретению корней уравнения (решений неравенства);

умеет

  •  находить ОДЗ уравнения (неравенства);
  •  устанавливать, является ли указанное число корнем уравнения (решением неравенства);
  •  доказывать равносильность уравнений (неравенств);
  •  устанавливать, какое уравнение (неравенство) является следствием другого уравнения (неравенства);
  •  осуществлять проверку найденных корней на принадлежность множеству решений исходного уравнения.

Содержание темы

1.1. Понятие уравнения (неравенства). Корни уравнения (решения неравенства). Решение уравнения (неравенства)

Определение 1: Уравнением с одной переменной называется предикат (предложение с переменной) , где f и g – некоторые функции от х.

Это означает, что равенство  рассматривается как неопределённое высказывание: при одних значениях х истинное, при других – ложное.

Определение 2: Предикаты , , ,  называются неравенствами с одной переменной.

Аналогично можно дать определение уравнению (неравенству) с двумя, тремя и т.д. переменными.

Следует отметить, что в общем случае переменная, входящая в уравнение (неравенство), может принимать любые значения, в том числе и комплексные. Но в школьном курсе математики уравнения (неравенства) рассматриваются на более узком множестве - множестве действительных чисел. Поэтому далее будем считать, что числа и буквы, входящие в уравнение (неравенство), принимают все возможные действительные значения.

Все уравнения и неравенства можно разбить на две группы:

  •  алгебраические уравнения и неравенства;
  •  трансцендентные уравнения и неравенства.

Уравнение (неравенство) является алгебраическим, если каждая из его частей  f и g есть многочлен или одночлен по отношению к неизвестным величинам. Соответственно, все другие уравнения (неравенства) являются трансцендентными. Например,  - алгебраическое уравнение с двумя неизвестными. Уравнение же  не является алгебраическим, потому что правая часть равенства  не является многочленом (одночленом) относительно переменных х, у; это трансцендентное уравнение.

В свою очередь алгебраические уравнения (неравенства) делятся на:

  •  рациональные (целые, если многочлены (одночлены), их составляющие, содержат только знаки алгебраической суммы, произведения и возведения в натуральную степень; дробные, если присутствует также степень с отрицательным целым показателем, содержащая неизвестное в основании);
  •  иррациональные, когда присутствует также степень с рациональным дробным показателем.

К трансцендентным относятся показательные, логарифмические, тригонометрические, смешанные и т.д. уравнения и неравенства.

Определение 3: Корень уравнения – это такое значение переменной, которое обращает предикат в истинное высказывание.

Таким образом, корнем уравнения является всякое действительное число, при подстановке которого вместо неизвестного в обе части уравнения получается верное числовое равенство. Это означает, во-первых, что при подстановке этого числа вместо неизвестного все действия, обозначенные в левой и правой частях уравнения, оказываются выполнимыми и, во-вторых, в результате выполнения этих действий в левой и правой частях получается одно и то же число.

Иначе говоря, число х0 называется корнем уравнения , если, во-первых, это число принадлежит как области определения функции, так и области определения функции  и, во-вторых, значения этих функций в точке х0 совпадают, т.е. .

Пример 1. Для уравнения  любое действительное число является корнем, так как равенство  имеет место для любого действительного числа х0.

Пример 2. Для уравнения  всякое неотрицательное число является корнем, так как  и тогда, исходя из понятия модуля числа, равенство  имеет место для любого неотрицательного числа х0 (других корней нет).

Пример 3. Уравнение не имеет корней, так как левая часть этого уравнения определена при положительных значениях х, а правая – при отрицательных, т.е. области определения левой и правой частей уравнения не имеют общих точек.

Определение 4: Решение неравенства – это такое значение переменной, которое обращает предикат в истинное высказывание.

Таким образом, решением неравенства является всякое действительное число, при подстановке которого вместо неизвестного в обе части неравенства получается верное числовое неравенство.

Определение 5: Областью определения уравнения  (соответствующих ему неравенств) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество всех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл (определены) обе функции  и .

Пример 4. ОДЗ уравнения  состоит из тех х, для которых имеют смысл его левая часть  и правая часть . Левая часть уравнения определена при любом действительном х, а правая – при . Поэтому ОДЗ уравнения есть множество неотрицательных чисел.

Определение 6: Решить уравнение –  значит, найти все его корни или установить, что их нет. Множество решений (корней) уравнения – есть множество всех его корней.

Определение 7: Решить неравенство –  значит, найти все его решения или установить, что их нет. Множество решений неравенства – есть множество всех его решений.

1.2. Понятие равносильного перехода. Равносильные уравнения (неравенства). Уравнение (неравенство) – следствие

Для каждого вида уравнений (неравенств) можно указать простейшие уравнения (неравенства), решение которых осуществляется по некоторому алгоритму. Например, линейные, квадратные и т.д. уравнения (неравенства). В общем же случае процесс решения уравнения (неравенства) состоит в замене данного уравнения (неравенства) другим, более простым, корни (решения) которого не всегда совпадают с корнями (решениями) исходного. Может произойти приобретение посторонних корней (решений) или, наоборот, потеря корней (решений). Самое лучшее, когда от данного уравнения (неравенства) переходят к более простому уравнению (неравенству) с теми же корнями (решениями) – равносильному уравнению (неравенству). Такой переход называется равносильным.

Определение 8: Два уравнения  и  (соответствующие им неравенства) называются равносильными (эквивалентными) на заданном множестве М, если они имеют на этом множестве одни и те же корни (решения), т.е. множества их решений совпадают.

Замечание 1: Два уравнения (неравенства), не имеющие корней (решений), являются равносильными.

Обозначение: ,  и т.п.

Пример 1. Уравнения  и равносильны на множестве действительных чисел, так как они оба имеют только по два корня: 2 и –2.

.

Пример 2. Неравенства  и  равносильны на множестве действительных чисел, так как множества решений каждого из этих неравенств есть  или .

.

Как видно из приведённых примеров, в качестве множества М обычно выступает множество R всех действительных чисел. Поэтому в дальнейшем вместо слов «уравнения (неравенства) равносильны на множестве действительных чисел» будем употреблять слова «уравнения (неравенства) равносильны».

Пример 3. Уравнения  и  равносильны, поскольку оба они не имеют действительных корней.

.

В рассмотренном примере ОДЗ уравнений различны: уравнение  имеет в качестве ОДЗ множество всех действительных чисел, в то время как уравнение  - множество неотрицательных чисел. Таким образом, равносильные уравнения могут иметь различные ОДЗ.

Аналогично, равносильные неравенства могут иметь различные ОДЗ. Например, , но ОДЗ первого неравенства есть множество всех действительных чисел, а второго – множество положительных чисел.

Замечание 2: Два уравнения (неравенства) могут быть равносильными на одном множестве и не быть равносильными на другом.

Уравнения  и  равносильны на множестве положительных чисел:  , но не являются равносильными на множестве всех действительных чисел.

Аналогично, неравенства  и  равносильны на множестве положительных чисел: , но не являются равносильными на множестве всех действительных чисел.

Понятие равносильности обладает свойством транзитивности. Если уравнение  равносильно уравнению  на множестве М и уравнение  равносильно уравнению  на множестве М, то уравнение  равносильно уравнению  на множестве М.

Уравнение (неравенство) может быть заменено в процессе решения равносильной системой или совокупностью уравнений, неравенств и их систем (совокупностей).

Итак, самый лучший способ решения уравнения (неравенства) – переход к равносильному уравнению (неравенству, системе, совокупности). Но этот идеальный путь на практике зачастую неосуществим. Часто уравнение (неравенство) заменяют ему не равносильным уравнением (неравенством) – уравнением (неравенством)-следствием.

Определение 9: Уравнение  (соответствующее неравенство) называется следствием уравнения  (соответствующего неравенства), если все корни уравнения  (решения соответствующего неравенства) являются корнями уравнения  (решениями соответствующего неравенства).

Обозначение: , , и т.п.

Замечание 3: Любое из двух равносильных уравнений (неравенств) является следствием другого.

Пример 4. Уравнение  имеет корень , а уравнение  имеет два корня:  и . Корень уравнения  является одним из корней уравнения . Значит, уравнение  - следствие уравнения : .

Пример 5. Множество решений неравенства  состоит из всех чисел промежутка . Множество решений неравенства  состоит из всех чисел промежутка . Число  больше –1. Значит .

Этот пример, в частности, показывает, что посторонние решения (для исходного неравенства) могут возникнуть даже тогда, когда происходит сужение ОДЗ исходного неравенства. Чаще всего посторонние решения при замене одного неравенства другим происходят за счёт расширения ОДЗ исходного неравенства.

В процессе решения уравнения допустим переход к уравнению-следствию, но тогда необходима проверка найденных корней на принадлежность множеству решений исходного уравнения. При решении неравенства такая проверка не может быть выполнена. Поэтому при решении любого неравенства необходимо учитывать условия перехода от данного неравенства к следующему и не допускать приобретение, а тем более потерю решений.

1.3. Теоремы о равносильности уравнений (неравенств)

В этом пункте постараемся разобраться какие преобразования можно выполнять над уравнениями (неравенствами) в процессе их решения и к каким последствиям они могут приводить.

Первое преобразование: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, т. е. переход от уравнения  к уравнению . Докажем, что указанный переход всегда приводит к равносильному уравнению: .

ТЕОРЕМА 1. Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Доказательство: Пусть х0 – корень уравнения , т. е. верно равенство  и число х0 принадлежит области определения каждой из функций . Тогда, прибавляя к обеим частям верного равенства  число , получаем  или  (поскольку для любого числа а, в частности а=, имеем а-а=0).

Таким образом, число х0 обращает уравнение  также в верное числовое равенство , значит х0 – есть также корень уравнения .

Итак, каждый корень уравнения  является также корнем уравнения , т. е. .

Аналогично доказывается, что  . Значит .

Итак, при переносе любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получается равносильное уравнение.

В частности, можно перенести все слагаемые из одной части уравнения в другую, т. е.   . Таким образом, любое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением вида .

Рассмотренное преобразование (перенос членов из одной части уравнения в другую) очень часто применяется как при решении уравнений, так и при решении неравенств.

ТЕОРЕМА 1’. Если какой-нибудь член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

В частности,   .

Подчеркнём, что речь выше шла только о перенесении членов из одной части уравнения (неравенства) в другую без последующего приведения подобных членов, что зачастую приходится делать. Поэтому рассмотрим второе преобразование: приведение подобных членов, т. е. переход от уравнения  к уравнению .

Пример 1. Уравнение  после приведения подобных членов в левой его части заменяется уравнением , ему равносильным. Действительно, число 7 является единственным корнем как уравнения , так и исходного уравнения.

Пример 2. Уравнение после приведения подобных членов в левой его части заменяется уравнением , ему не равносильным. Действительно, число 2 является корнем уравнения   и не является корнем исходного уравнения.

Появление постороннего корня при переходе от первого уравнения ко второму связано с расширением ОДЗ исходного уравнения, а именно с появлением корня последующего уравнения, принадлежащего дополнению ОДЗ исходного уравнения () до . Очевидно, что обратный переход не допустим, так как может привести к потере корней.

Итак, можно сделать следующий вывод: каковы бы ни были функции , уравнение  является следствием уравнения .

 

Чтобы данное преобразование приводило к равносильному уравнению, необходимо накладывать дополнительное условие на функцию : ОДЗ уравнения  должна содержаться в области определения функции .

Заметим, что уравнение  по теореме 1 равносильно уравнению , т. е. переход от уравнения  к уравнению  означает то же самое, что и переход от уравнения  к уравнению . Таким образом, мы параллельно рассмотрели ещё одно преобразование, а именно прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения (в данном случае выражения ) или вычёркивание (взаимное уничтожение) одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения. Значит можно утверждать, что .

Пример 3. Являются ли уравнения  и  равносильными?

Решение: Второе уравнение получено из первого уравнения прибавлением к обеим частям одного и того же выражения , которое не определено при . Это означает, что число ½ не может быть корнем первого уравнения, но может быть корнем второго. Легко проверить, что число ½ является корнем второго уравнения.

Итак, корень второго уравнения  не является корнем первого уравнения. Следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

В данном примере .

Чтобы указанное преобразование приводило к равносильному уравнению, необходимо накладывать соответствующее дополнительное условие на функцию : .

В частности, уравнения  и  равносильны для любого действительного числа .

Аналогичные преобразования выполняются и над неравенствами, т. е. каковы бы ни были функции , неравенство  является следствием неравенства  и неравенства .

Неравенства  и  () равносильны, если функция (х) определена на ОДЗ неравенства.

В частности, неравенства  и равносильны для любого действительного числа .

Пример 4. Являются ли неравенства

и  равносильными?

Решение: Второе неравенство получено из первого неравенства прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения , которое не определено при . Это означает, что число  не может быть решением первого неравенства. Однако  является решением второго неравенства. Итак, существует решение второго неравенства, которое не является решением первого неравенства. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными. Второе неравенство является следствием первого, так как любое решение первого неравенства является решением второго: .

Проведённые выше рассуждения в некоторой степени иллюстрируют справедливость следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Пусть в некотором уравнении (неравенстве) выражение  заменено тождественным ему выражением. Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения (неравенства), то мы переходим к равносильному уравнению (неравенству); если ОДЗ расширяется, то мы переходим к уравнению(неравенству)-следствию (возможно приобретение посторонних корней (решений), причём посторонними могут быть только такие корни (решения), которые не входят в ОДЗ исходного уравнения (неравенства)).

Истинность данного утверждения очевидна, так как некоторое выражение  заменяется тождественно равным ему выражением. Поэтому, если тождественное равенство рассматривается только на ОДЗ исходного уравнения (неравенства), то появиться посторонние корни (решения) или потеряться корни (решения) не могут; если тождественное равенство  рассматривается на более широком множестве, чем ОДЗ исходного уравнения (неравенства) (ОДЗ расширяется), то возможно только приобретение посторонних корней (решений). Последнее нами наблюдалось в примере 2 в случае использования слева направо тождества  без учёта условия его выполнимости.

Здесь также возможен случай рассмотрения тождественного равенства  на более узком множестве, чем ОДЗ исходного уравнения (неравенства) (ОДЗ сужается). Тождественные преобразования, сужающие ОДЗ уравнения (неравенства), могут привести к потере корней (решений), а потому таких преобразований следует избегать. Если этого сделать не удаётся, то следует отдельно исследовать возможность наличия корней (решений) исходного уравнения (неравенства) среди отброшенных чисел.

Рассмотрим, какие ещё тождественные равенства и как могут быть использованы в ходе решения уравнений (неравенств).

Пример 5. Уравнение  после сокращения левой его части на общий множитель , заменяется уравнением , равносильным исходному. Действительно, число 4 является единственным корнем как уравнения , так и исходного уравнения.

Пример 6. Уравнение  после сокращения левой его части на общий множитель , заменяется уравнением , не равносильным исходному. Действительно, число 1 является единственным корнем уравнения, но не является корнем исходного уравнения.

В рассмотренных примерах использовалось слева направо тождество  без учёта условия . Таким образом, если в уравнении (неравенстве), содержащем дробь, произвести её сокращение, то получится уравнение(неравенство)-следствие.

К уравнениям(неравенствам)-следствиям также приводит использование слева направо следующих тождеств, если не учитываются условия их выполнимости:

а) , где ;

б) , где ;

в) , где ;

г) , где ;

д) , где ;

е) , где , и т.д.

Рассмотрим следующее преобразование: умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, т. е. переход от уравнения  к уравнению .

Пример 7. Являются ли уравнения  и   равносильными?

Решение: Переходя от первого уравнения ко второму (освобождаясь от знаменателя), т. е. умножая обе части исходного уравнения на выражение , получаем уравнение , равносильное уравнению . Множество всех корней этого уравнения состоит из двух чисел:  и . Проверим, появились ли в результате проведённого преобразования посторонние корни, т. е. сделаем проверку. Она показывает, что число 10 не является корнем исходного уравнения, а число 5 является его корнем, т. е. первое уравнение имеет единственный корень . Сравнивая множество корней данных уравнений, получаем: второе уравнение является следствием первого, т. е. уравнения не равносильны.

Пример 8. Рассмотрим уравнение . Умножив обе части этого уравнения на , получаем уравнение , которое не является следствием исходного уравнения. В самом деле, исходное уравнение имеет корни  и , а уравнение  - лишь корень . Потеря корня связана с тем, что функция  не определена при , а как раз это значение х является корнем заданного уравнения.

Итак, можно сделать следующие выводы:

  1.  переход от уравнения  к уравнению  может привести как к появлению посторонних корней, так и к потере корней;
  2.  если на ОДЗ уравнения  определена и функция , то уравнение  является следствием уравнения :  ;
  3.  если на ОДЗ уравнения  функция  не только определена, но всегда отлична от нуля, то уравнение  равносильно уравнению :

.

В частности, верны следующие утверждения:

а) Уравнение  является следствием уравнения : .

б) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля действительное число, то получится уравнение, равносильное данному:    для любого действительного числа 0.

Рассмотрим, можно ли аналогичное преобразование выполнять над неравенствами.

Пример 9. Являются ли неравенства

и   равносильными?

Решение: ОДЗ первого неравенства есть множество . На этом множестве . В результате множество решений первого неравенства есть .

Второе неравенство  равносильно неравенству . Уравнение  имеет два корня:  и . Следовательно, множество решений неравенства  состоит из двух промежутков: .

Таким образом, данные неравенства не являются равносильными и, более того, ни одно из них не является следствием другого.

Разобранный пример показывает, что при решении неравенства нельзя обе его части умножать на знаменатель без выяснения знака принимаемых им значений.

Умножив обе части последнего неравенства на выражение , получили неравенство, не равносильное исходному.

Докажем следующее утверждение:

Если функция (х) определена и положительна при всех значениях х из ОДЗ неравенства , то неравенство  и неравенство  равносильны. Если функция (х) определена и отрицательна при всех значениях х из ОДЗ неравенства , то неравенство  равносильно неравенству .

Доказательство: Пусть х0 – решение неравенства , т. е.  - верное числовое неравенство  и число х0 принадлежит ОДЗ неравенства . Тогда, умножая обе части верного неравенства  на число , получаем: , если , или  , если .

Таким образом, число х0 обращает соответственно неравенство   или  также в верное числовое неравенство  или , значит х0 – есть также решение неравенства или  соответственно.

Итак, каждое решение неравенства  является также решением соответственно неравенства  или , т. е. , при ; , при .

Аналогично доказывается, что, при ; , при . Значит , при ; , при .

В частности, если - положительное число, то , а если - отрицательное число, то .

Верно также следующее утверждение: неравенство  является следствием неравенства , где  принимает только неотрицательные значения на ОДЗ неравенства .

Пример 10. Докажите, что неравенства  и  равносильны.

Доказательство: Неравенство  получается из неравенства  в результате переноса членов неравенства из одной части в другую () и умножения обеих частей неравенства на число –1. В силу выше доказанного все указанные преобразования являются равносильными, т. е. .

Пример 11. Докажете, что неравенства  и  равносильны.

Доказательство: Неравенство  получается из неравенства  в результате умножения обеих частей неравенства на  () и использования слева направо тождества . В силу существования неравенства  функция  определена и положительна при всех значениях х из ОДЗ неравенства , значит . Использование слева направо тождества  приводит к неравенству-следствию, т. е. . Докажем обратное, что . Действительно, если число х0 является решением неравенства , то имеем верное числовое неравенство  и . Тогда верно неравенство , получаемое из верного неравенства  умножением  и делением его левой части на число . Таким образом, число х0 – есть также решение неравенства . Итак, каждое решение неравенства  является также решением неравенства , т. е. . Значит все выполняемые преобразования были равносильными, т. е. .

Следующее возможное преобразование: возведение обеих частей уравнения в степень, т. е. переход от уравнения  к уравнению . Такой переход нередко используется при решении уравнений, особенно при решении иррациональных уравнений.

Пример 12. Уравнение  после возведения обеих частей в квадрат и использования слева направо формулы  заменяется уравнением , равносильным исходному. Действительно, число ½ является единственным корнем как уравнения , так и исходного уравнения.

Пример 13. От уравнения  после возведения обеих частей в квадрат и использования слева направо формулы  переходим к уравнению , которое имеет корни , ,. Однако число 0 не является корнем первого уравнения. Таким образом, уравнение  является следствием уравнения : .

Этот пример показывает, что посторонний (для первого уравнения) корень  появился вследствие того, что ОДЗ второго уравнения (R) шире ОДЗ первого уравнения (). Этот корень не входит в ОДЗ исходного уравнения в отличие от остальных корней и корня примера 12.

Пример 14. Являются ли уравнения  и  равносильными?

Решение: Множество всех корней второго уравнения состоит из двух чисел:  и . Проверка показывает, что число –2 не принадлежит ОДЗ первого уравнения, а именно не удовлетворяет условию . Поэтому число -2 не может быть корнем первого уравнения, следовательно, эти уравнения не равносильны.

Второе уравнение данного примера получено из первого в результате возведения обеих частей уравнения в квадрат и использования слева направо формулы , второе уравнение есть следствие первого: . При этом данные уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения: .

Пример 15. Являются ли уравнения  и  равносильными?

Решение: Второе уравнение  равносильно уравнению  , поэтому множество всех корней второго уравнения состоит из двух чисел:  и . Однако проверка показывает, что число –4 не является корнем первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными. При этом число –4 удовлетворяет условию , т. е. входит в ОДЗ первого уравнения. Следовательно, эти уравнения не равносильны и на ОДЗ первого уравнения.

Последний пример показывает, что посторонние корни могут появиться не только в результате расширения ОДЗ исходного уравнения, но и как следствие выполнения самого преобразования возведения обеих частей уравнения в степень (в квадрат).

Выясним, что же происходит при переходе от уравнения  к уравнению . Очевидно, что уравнение  является следствием уравнения . Действительно, если х0 – корень уравнения , то имеем верное числовое равенство . Тогда возводя обе части верного равенства  в квадрат, получаем верное равенство . Тогда х0 – есть также корень уравнения . Итак, каждый корень уравнения  является также корнем уравнения , т. е. .

Но обратное в общем случае неверно, так как уравнению  удовлетворяют также корни уравнения . Таким образом, при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут. В общем случае верно следующее утверждение:

уравнение , где nN, является следствием уравнения .

Пример 16. Уравнение  после возведения обеих частей в квадрат заменяется уравнением-следствием . Действительно, единственный корень исходного уравнения – число  - является корнем уравнения , но корень этого уравнения, полученный как корень уравнения , – число 5 – не является корнем исходного уравнения.

Пример 17. Решите уравнение.

Решение: 1 способ. ОДЗ данного уравнения задаётся условием . Учитывая, что , имеем

Таким образом, корни исходного уравнения содержатся среди чисел  и . Прежде чем сделать проверку, обратим внимание на часто встречающуюся ошибку. Переходя от данного уравнения к его следствию, находят корни. Затем проверяют, входят ли найденные корни в ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не входят в ОДЗ, отбрасывают, а остальные (входящие в ОДЗ исходного уравнения) выписывают в ответ. В этом и состоит ошибка. Нельзя ограничиться проверкой принадлежности найденных корней ОДЗ уравнения. Необходимо проверять, удовлетворяют ли корни следствия, входящие в ОДЗ исходного уравнения, самому исходному уравнению. Это подтверждается данным примером.

Действительно, оба корня совокупности удовлетворяют ОДЗ, но число 5 удовлетворяет исходному уравнению, а число –2 – нет. Итак исходное уравнение имеет единственный корень .

2 способ. Уравнение  равносильно системе

, так как , и равенство  накладывает на  условие неотрицательности.

Тогда, решая данным равносильным переходом уравнение , можно не находить ОДЗ этого уравнения. Имеем

Итак,  - единственный корень исходного уравнения.

 Ответ: .

В рассмотренных примерах при возведении обеих частей уравнения в квадрат (чётную степень) мы всегда переходили как минимум к уравнению-следствию. Это происходило из-за того, что появлялась возможность приобретения посторонних корней либо как результата расширения ОДЗ исходного уравнения, либо как следствие выполнения самого преобразования возведения в степень. При этом неявно использовался тот факт, что возведение в квадрат есть преобразование, определённое на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. (Функция  определена на всей числовой оси.) В примере 14 было также указано, что данное преобразование приводит к равносильному уравнению, если выполняется на некотором множестве, а именно на промежутке монотонности функции  (в примере 14 это луч ). Аналогичные рассуждения проводились при решении 2 способом уравнения примера 17. Таким образом, проведённые выше рассуждения в некоторой степени иллюстрируют справедливость следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 3. Пусть от уравнения  мы перешли к уравнению . Если функция F определена на общей части А множеств значений функций f и g (и тем более на всей числовой оси), то получаем уравнение-следствие (возможно приобретение посторонних корней). Если, кроме того, функция F монотонна на А, то получаем равносильное уравнение.

Доказательство: Пусть х0 – корень исходного уравнения , тогда имеем верное числовое равенство . Так как функция F определена на общей части А множеств значений функций f и g, то существуют значения ,  и . Значит х0 – есть также корень уравнения . Итак, каждый корень уравнения  является также корнем уравнения , т. е. .

Пусть теперь функция F монотонна на А. Рассмотрим х’ – корень уравнения , т. е. имеем верное числовое равенство . Предположим, что х’ не является корнем уравнения , т. е. . Тогда если для определённости , то в силу монотонности функции F   (F возрастает на А) или  (F убывает на А). Но . Таким образом, получаем противоречие, т. е. наше предположение неверно и . Значит х’ – есть также корень уравнения . Итак, если функция F монотонна на А, то , т. е. .

В результате, проводя такие преобразования, как возведение в степень, потенцирование, логарифмирование и т.д., следует учитывать условия выполнимости этих преобразований на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях исходного уравнения. Тогда на основе теоремы 3 можно утверждать, что верно следующее:

  1.  Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

В частности:

2. Если обе части уравнения  неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень получится уравнение , равносильное данному.

В частности:

В общем случае:

Тогда

Следует отметить, что на практике обычно осуществляют переход от уравнения  () к равносильному ему уравнению  (), понижая таким образом степень уравнения.

В итоге: , где А - общая часть множеств значений функций f и g, на которой определена функция F= zp.

3. Уравнение , где а 0, а 1, равносильно уравнению .

Действительно, потенцирование обеих частей уравнения  приводит (по теореме 3) к равносильному уравнению , так как функция  определена и монотонна на всей числовой оси.

Следует отметить, что на практике обычно осуществляют переход от уравнения  к равносильному ему уравнению , таким образом как бы выполняя обратное преобразование – логарифмирование. Но последнее можно также рассматривать как переход от уравнения  к уравнению . В данном случае этот переход оказался равносильным, так как показательная функция определена и монотонна на всей числовой оси. В частности, если b>0, то на основе выполнимости равенства   можно утверждать равносильность уравнений  и .

4. Уравнение , где а 0, а 1, равносильно уравнению .

Уравнение  получается из уравнения  в результате логарифмирования. Логарифмическая функция определена и монотонна  на положительной части числовой оси. В результате, учитывая тот факт, что   (значит , иначе уравнение  не имеет корней), можно утверждать (по теореме 3), что .

Но следует отметить, что на практике обычно осуществляют переход от уравнения  к равносильному ему уравнению , таким образом как бы выполняя обратное преобразование – потенцирование. Последнее можно также рассматривать как переход от уравнения  к уравнению . В данном случае этот переход оказался равносильным, так как логарифмическая функция определена и монотонна на положительной части числовой оси (, а значит и ).

 5. Если  и , то уравнение , где а 0, а1, равносильно уравнению .

Действительно, уравнение  получается из уравнения  в результате логарифмирования. Логарифмическая функция определена и монотонна  на положительной части числовой оси. В результате, учитывая условия  и , можно утверждать (по теореме 3), что   .

Следует отметить, что на практике обычно осуществляют переход от уравнения  к уравнению (переход от уравнения  к уравнению ). В общем случае , где а 0, а 1, так как логарифмическая функция определена и монотонна только на положительной части числовой оси. Легко доказать, что .

Пример 18. Являются ли уравнения  и  равносильными?

Решение: Второе уравнение  равносильно уравнению , поэтому множество всех корней второго уравнения состоит из двух чисел:  и . Однако число 1 не является корнем первого уравнения, так как не принадлежит ОДЗ первого уравнения. Поэтому данные уравнения не являются равносильными.

Данные уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения: .

Пример 19. Решите уравнение .

Решение: 1 способ. ОДЗ уравнения есть любое . Применяя формулу , получаем уравнение , откуда находим .

Проделанное преобразование позволило решить данное уравнение только на части его ОДЗ, а именно для положительных х, где справедлива формула . На множестве  уравнение не решалось, поэтому нельзя считать найденный корень единственным решением уравнения.

Решим уравнение на множестве . Поскольку  и , то для  получим уравнение , откуда находим . Этот корень удовлетворяет условию .

На каждом из двух подмножеств ОДЗ делались равносильные преобразования, поэтому исходное уравнение имеет два корня:  и .

2 способ. Учитывая справедливость равенства  при любом , имеем

3 способ. Уравнение  равносильно системе  Учитывая, что , получаем  Таким образом, решением исходного уравнения являются  и .

Ответ: .

Рассмотрим, можно ли выполнять аналогичные преобразования (возведение в степень, логарифмирование, потенцирование) над неравенствами.

Пример 20. Являются ли неравенства  и  равносильными?

Решение: ОДЗ первого неравенства определяется системой  Значит, ОДЗ первого неравенства состоит из всех чисел отрезка .

Решением второго неравенства являются все числа из промежутка . Таким образом, данные неравенства не являются равносильными, так как, например, число  является решением второго неравенства, но не входит в ОДЗ первого неравенства.

Второе неравенство является следствием первого:

.

Данные неравенства равносильны на ОДЗ первого неравенства:

.

Таким образом, при возведении в степень (в рассмотренном примере, в квадрат) могут появиться посторонние решения, т. е. переходим к неравенству-следствию. Но возможно и обратное – потеря решений. Это было показано ранее в пункте 2 в примере 5, а именно переход от неравенства  к неравенству  приводит к потере решений, так как .

Поэтому при решении неравенств следует в каждом конкретном случае отдельно решать вопрос о допустимости выполнения того или иного преобразования.

Исходя из условий существования и монотонности соответствующих функций, легко убедиться в справедливости следующих утверждений:

1. Неравенство  является следствием неравенства , где nN.

В частности, легко доказать, что

2. Неравенства , где nN, и  равносильны.

3. Пусть функции  и  неотрицательны на множестве А. Тогда на этом множестве неравенства  и , где nN, равносильны.

В частности:   

4. Неравенства  и  равносильны для любого фиксированного числа а из промежутка .

Неравенства  и  равносильны для любого фиксированного числа а из промежутка .

5. Пусть а – фиксированное число из промежутка . Тогда неравенство  является следствием неравенства .

В частности, легко доказать, что если , то

Пусть а – фиксированное число из промежутка . Тогда неравенство  является следствием неравенства .

В частности, легко доказать, что если , то

 В итоге:

1) Пусть  а – фиксированное число из промежутка  и функции  и  положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве равносильны неравенства  и .

2) Пусть а – фиксированное число из промежутка  и функции  и  положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве равносильны неравенства  и .

Пример 21. Являются ли неравенства  и  равносильными?

Решение: Поскольку , то множество решений второго из данных неравенств состоит из всех чисел промежутков . Однако, например, число  из промежутка  не является решением неравенства , так как оно не входит в его ОДЗ, которое задаётся системой условий  Поэтому данные неравенства не являются равносильными.

Второе неравенство является следствием первого:

.

Данные неравенства равносильны на ОДЗ первого неравенства:

.

Наконец рассмотрим очень часто применяемый переход от уравнения  к совокупности уравнений .

Так, например, выше было отмечено, что переход от уравнения  к уравнению  в общем случае недопустим. При решении уравнения  следует переходить к равносильному уравнению . Далее обычно переходят к совокупности .

 Пример 22. Решите уравнение .

 Решение: Уравнение  равносильно уравнению . Тогда возможны случаи:  или . Но число 0 не может быть корнем исходного уравнения, так как не входит в его ОДЗ (). Поэтому корнями исходного уравнения являются только числа 1 и 2. Таким образом, .

 Ответ:  , .

Итак, в общем случае совокупность уравнений  является следствием уравнения . Посторонними для уравнения  будут те значения х, полученные при решении уравнений , для которых хотя бы одна из функций  не определена. Поэтому, чтобы рассматриваемый переход был равносильным, следует осуществлять его на ОДЗ уравнения , т. е. на пересечении областей определений всех функций .

 

 Пример 23. Решите уравнение .

 Решение: 1 способ. Уравнение  есть следствие уравнения , поэтому

Поскольку исходное уравнение решалось переходом к уравнению-следствию, то необходимо сделать проверку. Проверкой устанавливаем, что числа 2 и 3 являются корнями исходного уравнения, а число 1 – нет.

 2 способ. Учитывая, что совокупность уравнений  является следствием уравнения , имеем

 

Делая проверку, устанавливаем, что  и  - корни исходного уравнения.

 3 способ. Находим ОДЗ исходного уравнения: . Учитывая, что уравнение  равносильно системе  имеем

Следовательно, множество всех решений исходного уравнения состоит из чисел 2 и 3.

 Ответ:  , .

 

Основные выводы

Итак, перенос слагаемых из одной части уравнения (неравенства) в другую, прибавление к обеим частям уравнения (неравенства) одного и того же числа, умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число приводит к равносильному уравнению (неравенству). К равносильному уравнению (неравенству) переходим также при замене выражения, входящего в уравнение (неравенство), тождественно равным ему выражением, если при этом не происходит изменения ОДЗ уравнения (неравенства). Наконец, переход от уравнения  к уравнению  (и обратно) является равносильным, если функция F определена на общей части А множеств значений функций f и g и, кроме того, функция F монотонна на А.

Главная причина перехода от уравнения (неравенства) к уравнению(неравенству)-следствию - расширение ОДЗ уравнения (неравенства). Преобразования, которые могут привести к расширению ОДЗ уравнения (неравенства):

  •  приведение подобных членов;
  •  взаимное уничтожение одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения (неравенства) (прибавление к обеим частям уравнения (неравенства) одного и того же выражения);
  •  замена выражения, входящего в уравнение (неравенство), тождественно равным ему выражением, если при этом происходит расширение ОДЗ уравнения (неравенства);
  •  умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, определённое на ОДЗ уравнения, в частности, освобождение от знаменателей;
  •  переход от уравнения  к совокупности уравнений ;

- отбрасывание знака корня, логарифмов и т.д.

Посторонние корни (решения) могут появиться не только в результате расширения ОДЗ исходного уравнения (неравенства), но и как следствие выполнения самого преобразования, такого, как, например, возведение обеих частей уравнения (неравенства) в степень. При этом может произойти и обратное – потеря решений. Потеря корней (решений) также может произойти при замене выражения, входящего в уравнение (неравенство), тождественно равным ему выражением, если при этом происходит  сужение ОДЗ уравнения (неравенства). Нельзя также допускать деления обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(x) (кроме случаев, когда точно известно, что h(x)0).

Таким образом,  решение уравнения можно осуществлять двумя путями:

1) от уравнения всегда переходить к равносильному уравнению (неравенству, системе, совокупности) на некотором фиксированном множестве; при этом посторонние корни не появляются и не может произойти потери корней;

2) не учитывая условий равносильности переходов, осуществлять цепочку упрощений и прийти к отысканию корней последнего (самого простого) уравнения этой цепочки; тогда следует провести анализ решения в плане возможности появления посторонних корней или потери корней.

Решение же любого неравенства необходимо осуществлять только первым путём, учитывая условия перехода от данного неравенства к следующему неравенству (системе, совокупности) и не допускать приобретение, а тем более потерю решений.

Самостоятельная работа

№ 1. Выясните, какое из данных уравнений (неравенств) является следствием другого:

а)  и ;

б)  и .

№ 2. Являются ли данные уравнения (неравенства) равносильными?

а)   и ;

б)  и .

№ 3. Докажите, что уравнение равносильно системе:

.

Упражнения

№ 1. Найдите ОДЗ уравнений (неравенств):

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

№ 2. Какое из двух уравнений является следствием другого?

а)  и ; б)  и ;

в) и ; г)  и ;

д)  и ; е)  и ;

ж)  и ;

з)  и ; и)  и ;

к)  и ;

л)  и ;

м)  и ;

н)  и ; о)  и ;

п)  и .

№ 3. Являются ли уравнения равносильными?

а)  и ; б)  и ;

в) и ;

г)  и ;

д)  и ; е)  и ;

ж)  и ;

з)  и ;

и)  и ; к)  и ;

л) и ; м)  и ; н)  и ;

о)  и ; п)  и ;

р)  и ; с)  и ;

т)  и ;

у)  и; ф)  и .

№ 4. Равносильны ли уравнения?

а) и ; б)  и ;

в)  и ; г)  и ;

д)  и ;

е)  и .

№ 5. Приведите пример, когда уравнения вида  и :

1) равносильны; 2) первое уравнение является следствием второго;

3) второе уравнение является следствием первого.

№ 6. Докажите, что:

а) ;б) ;

в) 

г) 

№ 7. Равносильны ли следующие неравенства?

а) и ;

б)  и ;

в)  и ;

г)  и ;

д)  и ; е)  и ; ж)  и ;

з) и ; и)  и ;

к)  и ; л)  и ;

м) и ; н)  и ;

о)  и ; п)  и ;

р)  и ; с)  и ;

т)  и ; у)  и .

№ 8. Являются ли равносильными неравенство и система?

а) и ; б)  и ;

в) и ; г) и ;

д)  и .

№ 9. Докажите, что:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

Ответы: №1 а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; №2 б), в), ж), и), к), о), п) – второе уравнение является следствием первого; а), г), е), л), н) – первое уравнение является следствием второго; д), з), м) – между уравнениями нет связи; №3 б), г), е), з), и), м), р), ф) – уравнения равносильны; а), в), д), ж), к), л), н), о), п), с), т), у) – уравнения не являются равносильными; №4 а), в), г) – уравнения равносильны; б), д), е) – уравнения не являются равносильными; №7 а), в), д), ж), и), л), н), с) – неравенства равносильны; б), г), е), з), к), м), о), п), р), т), у) – неравенства не являются равносильными; №8 а), в) – неравенство равносильно системе; б), г), д) – неравенство не равносильно системе.

Тема II: «Целые и дробно-рациональные уравнения и неравенства. Приёмы их решения. Возвратные уравнения»

Требования к знаниям и умениям студентов

 Цель изучения темы – формирование умений в решении целых, дробно-рациональных уравнений и неравенств.

В результате изучения темы студент

 знает

  •  определение целого рационального уравнения (неравенства) степени ;
  •  теорему Безу;
  •  способ отыскания рациональных корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами;
  •  о возможности сокращения перебора возможных корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами;
  •  два основных способа разложения многочлена на множители: основанный на применении теоремы Безу и метод неопределённых коэффициентов;
  •  определение однородного уравнения;
  •  схему решения однородного уравнения;
  •  основные методы решения алгебраических уравнений и неравенств: разложение на множители, введение нового неизвестного, рассмотрение уравнения как однородного;
  •  условия чередования (не чередования) знака выражения при переходе через точку;
  •  определение возвратного, симметрического уравнения;
  •  свойства возвратного, симметрического уравнения;
  •  приёмы решения возвратного, симметрического уравнения;
  •  понятие дробно-рационального уравнения (неравенства);
  •  о двух подходах к решению дробно-рациональных уравнений (неравенств);
  •  о возможности решения дробно-рационального уравнения с помощью подходящей замены переменной и группировки его членов;
  •  частные виды целых, дробно-рациональных уравнений и приёмы их решения;

умеет

  •  применять схему Горнера для деления многочлена на двучлен;
  •  применять метод неопределённых коэффициентов для разложения многочлена на множители;
  •  применять основные методы для решения целых, дробно-рациональных уравнений и неравенств;
  •  применять метод интервалов для решения целых, дробно-рациональных неравенств.

Содержание темы

2.1. Методы решения целых рациональных уравнений и неравенств

 

 Определение 1: Целым рациональным уравнением степени  называется уравнение вида

                                ,  где , .

Рассмотрим основные методы решения целых рациональных уравнений и неравенств.

А. Разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, на множители.

В школьном курсе математики представлены следующие способы разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя, способ группировки, использование формул сокращённого умножения. Они обычно используются для разложения многочлена на множители в стандартных ситуациях. Поэтому далее рассмотрим два основных способа разложения многочлена на множители, которые могут быть использованы в общих случаях.

Первый способ. Этот способ основан на применении теоремы Безу: если число  является корнем многочлена , имеющего степень , то этот многочлен можно представить в виде , где  - частное от деления  на , многочлен степени .

Способ отыскания рациональных корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами даёт следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы несократимая дробь  была корнем уравнения   с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы  было делителем свободного члена , а  было делителем старшего коэффициента .

 Доказательство: Пусть несократимая дробь  - корень уравнения , т.е. имеет место тождество . Умножим обе части тождества на , получим                              .  

Из тождества  имеем  . Левая часть равенства – целое число. Значит,  - целое. По условию дробь  несократима, т.е. ни одно простое число, являющееся делителем , делителем  не является. По этой причине ни одно простое число, являющееся делителем , не может быть и делителем числа . Следовательно,  делится на .

Из тождества  имеем   .  Так как ни одно простое число, являющееся делителем , не может быть делителем , число  может быть целым только тогда, когда  делится на .

 Следствие 1. Если целое рациональное уравнение имеет целые коэффициенты, а старший из них равен единице, то рациональными корнями такого уравнения могут быть только целые числа.

Действительно, ,  - делитель . Значит, , а тогда  - целое.

 Следствие 2. Целые корни целого рационального уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Итак, если найден хотя бы один корень  уравнения  степени , то  по теореме Безу можно решение данного уравнения свести к решению уравнения степени  (т.е. понизить степень исходного уравнения). Деление многочлена   на двучлен  можно выполнять, применяя схему Горнера.

Обозначим неполное частное при делении  на  через , а остаток – через . Так как , то имеет место тождество

                     .

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях  в левой и правой частях тождества. Получим, что  и при  имеют место соотношения . Отсюда следует, что  и  при .

Вычисление коэффициентов многочлена  и остатка  записывают в виде таблицы (схема Горнера):

- в первой строке таблицы записываются коэффициенты многочлена ;

-  во второй строке слева стоит число ,   коэффициенты частного и остаток;

-  старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого;

-  начиная с третьей, клетки второй строки заполняются  так: берут стоящее над ней число первой строки и прибавляют к нему произведение  и предыдущего элемента второй строки;

 - в последней клетке второй строки под свободным членом делимого получается остаток от деления.

Так же схема Горнера позволяет находить значение многочлена  при , т.к. по теореме Безу .

Продемонстрируем применение всех вышеизложенных теоретических положений на примере.

 Пример 1. Решите уравнение .

 Решение: Находим целые корни среди делителей свободного члена: . Подходит . Делим  на :

.

Отыскиваем целые корни кубического многочлена среди делителей его свободного члена: . Вычисления показывают, что целых корней нет. Так как старший коэффициент  многочлена не равен , то многочлен может иметь дробные рациональные корни. Дробными корнями могут быть только числа  и . Подходит :

Получим: .

Осталось решить уравнение . Его корнями являются числа .

Ответ: , , .

 Однако, при решении уравнений высших степеней значений дроби  может получиться много и проверять каждое значение, применяя схему Горнера, не рационально. Отсечь часть значений дроби  позволит следующая теорема.

 ТЕОРЕМА 2.  Если несократимая дробь  является корнем целого рационального уравнения   с целыми коэффициентами, то  при любом целом  делится на .

Доказательство: Разложим  по степеням . С этой целью заменим в  переменную  тождественно равным ей выражением . Получим

.

По формуле Ньютона имеем равенства

;

;

……………………………………………………

……………………………………………………

;

.

Умножим обе части первого равенства на , обе части второго равенства на  , …, обе части последнего равенства на  и сложим полученные равенства почленно. Получим

                  ,   

где все коэффициенты  - целые числа, причём , то есть .

В тождестве  положим , тогда получим

.

Умножим обе части на , получим

.

Отсюда

.

Видно, что  - целое число.

По условию, ни один простой множитель, входящий в , в  не входит. Значит, ни один простой множитель, входящий в , не может входить в число . Значит,  делится на .

Пример 2. Решите уравнение  .

Решение: Свободный член имеет следующие делители: . Значит, . Выпишем все делители старшего коэффициента: . Следовательно, , отрицательные значения  не берем, так как если , то будем считать, что , а . Для несократимой дроби  получаем такие значения:

.

Только среди этих чисел находятся рациональные корни уравнения.

Подставляем в уравнение вместо  число , получаем . Значит,  не является корнем уравнения. Применим теорему 2. Если  - корень уравнения, то  делится на .

Число  делится на , поэтому число  остается для дальнейшей проверки.

Число  не делится на , поэтому число  можно больше не испытывать. Так же можно не проверять значения . Эти числа не будут являться корнями данного уравнения.

Для проверки остались такие значения: .

Находим . Число  не является корнем данного уравнения. Воспользуемся теоремой 2. Если  - корень уравнения, то  делится на .

Число  не делится на , поэтому значение  можно не проверять. Число  не делится на , на , поэтому можно не испытывать .

Остались для проверки следующие числа: .

Находим, что . Значит,  - корень данного уравнения. Делением на  понижаем степень уравнения. Получаем уравнение третьей степени .

Находим , значит,  - корень исходного уравнения. Делением на  понижаем степень уравнения. Получаем квадратное уравнение , решая его, находим .

Ответ: , , .

Второй способ.  Метод неопределённых коэффициентов.

Он опирается на следующие утверждения:

- два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях ;

- любой многочлен третьей степени раскладывается в произведение линейного и квадратного множителей;

-  любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух многочленов второй степени.

Поясним применение этого метода примером.

Пример 3. Решите уравнение  .

Решение: Предположим, что левая часть уравнения раскладывается на множители второй степени с целыми коэффициентами. Обозначим один из множителей , а другой - . Коэффициенты ( - целые) пока не определены. Попытаемся их найти.

Имеем         

 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях  в левой и правой частях равенства. Получим систему:

Из последнего уравнения можно сделать вывод, что  может принимать следующие значения: . Предположим, что , тогда . Второе и третье уравнения в этом случае дадут систему:

Из первого равнения выразим , подставим во второе и после преобразований получим . Это уравнение не имеет решения в целых числах, но  должно быть целым, значит, .

Проверим следующее значение . Пусть , тогда . Второе и третье уравнения в этом случае дадут систему:

Исключая из этой системы , получим   . Находим, что , тогда . Первое уравнение системы также обращается в верное числовое равенство при , . Тогда имеем

.

Следовательно, заданное уравнение можно записать:

.

Решим два квадратных уравнения:   и . Получим ; .

Ответ: ; .

В. Введение нового неизвестного.

Это метод проиллюстрируем примерами.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение: Введем новое неизвестное . Тогда получим для  следующее уравнение: . Решив уравнение для , получаем  ; . Теперь остается решить уравнения ; . Корни первого уравнения . Второе уравнение корней не имеет.

 Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение .

Решение: Подстановкой убеждаемся в том, что число  не является корнем данного уравнения, поэтому при делении обеих частей уравнения на  получим равносильное уравнение

,

или                                                  .

Производя замену , имеем , или . Решив последнее уравнение, получим , . Теперь остается решить уравнения , . Корни первого уравнения  . Второе уравнение корней не имеет.

 Ответ: .

С. Однородные уравнения.

Определение 2:Уравнение вида

                 ,

где , , ,  и  - некоторые функции, называется однородным степени n.

Решение однородного уравнения можно свести к рассмотрению следующей совокупности:  

где   - все корни уравнения .

 Пример 6. Решите уравнение .

Решение: Это уравнение является однородным уравнением третьей степени относительно функций  и . Проверив, что система   решений не имеет, а значит  не является корнем данного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим уравнение

.

Положив , решим уравнение . Последнее уравнение имеет корни , . Теперь остаётся решить уравнения , .Первое уравнение имеет корень . Второе уравнение корней не имеет.

Ответ: .

Пример 7. Решите уравнение .

Решение: Заметим, что , , . Преобразуем данное уравнение к виду

.

Это уравнение является однородным уравнением второй степени относительно функций  и , не равных 0 ни при каких значениях . Разделим обе части уравнения  на . Получим уравнение

.

Обозначив , имеем . Последнее уравнение имеет корни , . Возвращаясь к переменной , получим уравнения , . Первое из этих уравнений не имеет действительных корней. Корень второго уравнения .

Ответ: .

D. Частные виды  целых рациональных уравнений и приёмы их решения.

Приведём некоторые частные виды целых рациональных уравнений и приёмы  их решения, которые позволяют понижать степень исходного уравнения [16]:

  1.  уравнение , где действительные числа   таковы, что  и , заменой неизвестной  сводится к биквадратному уравнению;
  2.  уравнение  , где  и , не имеет корня , поэтому, разделив исходное уравнение на , получим равносильное ему уравнение , которое после замены  перепишется в виде квадратного уравнения;
  3.  уравнение , где действительные числа  таковы, что , , можно переписать, перемножив первую скобку со второй, а третью с четвертой, в виде , т.е. в виде , а его решение известно;

4) уравнение , где действительные числа  таковы, что , , , , , не имеет корня , поэтому, разделив исходное уравнение на , получим равносильное ему уравнение , которое после замены  перепишется в виде квадратного уравнения;

5) уравнение вида  сводится к биквадратному уравнению с помощью замены .

Отметим, что в статье [20] подробно рассматривается вопрос решения уравнений вида , где  - некоторые функции, в частности рассматриваются целые рациональные уравнения. Решение их зачастую основано на том факте, что если  - многочлены, то многочлен  делится на многочлен .

 Пример 8. Решите уравнение .

 Решение: Данное уравнение можно рассматривать как уравнение вида , где . Разделив многочлен  на многочлен , получаем . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

 Первое уравнение имеет корни  второе: .

 Ответ: .

Аналогичен подход к решению целых рациональных уравнений вида , что также подробно рассматривается в статье [20].

Е. Решение  целых рациональных неравенств.

 Определение 3: Если функции  и  заданы целыми рациональными выражениями, то неравенства , , ,  называют целыми рациональными неравенствами.

От любого из целых рациональных неравенств можно перейти к равносильным неравенствам вида , , , . Левая часть этих неравенств  представляет собой многочлен .  Используя теорему Безу,  для любого многочлена , имеющего корни , неравенство, например,   можно записать в виде

.

Если  - все действительные корни многочлена , то многочлен  действительных корней не имеет, а значит, сохраняет один и тот же знак на всей числовой прямой. Каждый из множителей  при  и  при . Тогда выражение  может изменить знак только при переходе переменной  через одну из точек . Точки  делят числовую прямую на несколько интервалов, на каждом из которых рассматриваемое произведение знака не меняет. Значит, достаточно знать знак произведения в какой-то одной точке внутри интервала, и этот же знак будет иметь произведение во всех точках данного интервала. Рассмотренный метод называется методом интервалов. Проиллюстрируем применение этого метода на примере.

 Пример 9.  Решите неравенство .

 Решение: Решение  уравнения  рассмотрено в примере 1, тогда данное неравенство можно переписать в виде . Нанесём найденные корни на числовую прямую и расставим знаки на интервалах.

Ответ: ;   .

2.2. Возвратные (симметрические) уравнения

А. Возвратные уравнения.

Определение 4: Возвратным уравнением называется целое рациональное уравнение вида

          , если степень уравнения нечётная, и уравнение вида   , если степень его чётная ( - некоторое число).

Примеры. Уравнение  возвратное пятой степени (), так как его можно записать в виде

.

Уравнение  возвратное шестой степени (), так как его можно записать в виде             

                         .

ТЕОРЕМА 3. Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень .

Доказательство: Возвратное уравнение  можно переписать так:

. При  каждое слагаемое левой части обращается в нуль.

 ТЕОРЕМА 4. В результате деления левой и правой частей возвратного уравнения нечётной степени  на  получается возвратное уравнение чётной степени.

 Доказательство: Разделим левую часть уравнения  на . Частное обозначим . Имеем тождество

.

Докажем, что ; ; ; ; .

Доказательство проведем методом математической индукции. Сравним коэффициенты при  в левой и правой частях тождества . Получим  . Сравним свободные члены в левой и правой частях тождества . Получим  . Из равенств  и   имеем   .

Предположим, что ; ; ; ; , где . Докажем, что тогда  . Сравним коэффициенты при  в левой и правой частях тождества . Получим           .

Сравним коэффициенты при  в левой и правой частях тождества . Получим  . Из равенств  и   имеем . Но так как , то .

Из теоремы 4 следует, что решение возвратного уравнения нечётной степени сводится к решению возвратного уравнения чётной степени.

 ТЕОРЕМА 5. Возвратное уравнение чётной степени  вида  подстановкой  сводится к уравнению степени  и к  уравнениям второй степени.

 Доказательство: Разделим обе части уравнения  на . Получим

. Объединив первое слагаемое с последним, второе – с предпоследним, третье – с третьим от конца и т. д., получим

                                .   

Введём новое неизвестное . Докажем, что сумму  при любом натуральном  можно представить в виде многочлена  степени . Доказательство проведём методом математической индукции.

При  имеем .

При        , т.е.  .

Допустим, что сумму  и , где , можно представить в виде многочленов  и  степеней  и  соответственно. Докажем, что тогда и сумму  тоже можно представить в виде многочлена  степени . Имеем

,

или                                 .

То есть                           ,

где                                  .

Подставим в уравнение  вместо сумм, стоящих в скобках, их выражения через . В результате получим уравнение степени  от . Это уравнение имеет  корней: .

Неизвестное  найдем из  уравнений

                           ;  ;   …   ;  .

Каждое из этих уравнений легко преобразуется в квадратное уравнение.

Таким образом, решение возвратного уравнения степени  свелось к решению уравнения степени  и к решению  квадратных уравнений.

 Пример 1. Решите уравнение .  

Решение: Разделим обе части уравнения  на . При этом корней не теряем, так как  не является корнем данного уравнения. Получим

                      .

Объединим первое слагаемое с последним, второе с предпоследним. Получим                  .              

Введём новое неизвестное . Тогда имеем

                                            ,

откуда                                 .

Подставив в уравнение  вместо  и  их выражения через , получим уравнение . Это уравнение может иметь два действительных корня  и . Неизвестное  найдём из уравнений  и  , т.е. из уравнений    и .

Таким образом, решение возвратного уравнения четвёртой степени свелось к решению трёх квадратных уравнений.

 Пример 2. Решите уравнение .   

 Решение: Уравнение  является возвратным уравнением нечётной (пятой) степени, . Согласно теореме 3 это уравнение имеет корень . Разделим обе части уравнения на . Получим уравнение четвёртой степени: .  

Это уравнение является возвратным уравнением чётной степени с . Так как  не является корнем уравнения , то разделим его на  и сгруппируем члены уравнения следующим образом:

                                         .   

Понизим степень уравнения  с помощью подстановки , получим . Корни последнего уравнения есть числа . Остаётся решить уравнения  и . Первое из этих уравнений не имеет действительных корней. Корни второго уравнения есть .

.

 Ответ: , .

В. Симметрические уравнения.

 Определение 5: Целое рациональное уравнение -й степени называется симметрическим, если у него равны коэффициенты при  и при . Таким образом, симметрическое уравнение имеет вид

.

Симметрическое уравнение является частным видом возвратного уравнения ().

 Примеры.  ,  - симметрические уравнения.

Из теорем 3-5  о возвратных уравнениях  следуют такие теоремы.

ТЕОРЕМА 6. Симметрическое уравнение нечётной степени имеет корень .

ТЕОРЕМА 7. В результате деления левой и правой частей симметрического уравнения нечётной степени на  получается симметрическое уравнение чётной степени.

ТЕОРЕМА 8. Симметрическое уравнение чётной степени  подстановкой  сводится к уравнению степени  и к  уравнениям второй степени.

Решаются симметрические уравнения тем же приёмом, что и возвратные уравнения.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение:  Разделим обе части уравнения на , так как  не является корнем уравнения. Получим

,

откуда имеем                          .

Положим . Тогда . Получим уравнение . Находим ; . Остаётся решить два уравнения:  и . Первое уравнение имеет корни  . Второе уравнение действительных корней не имеет.

 Ответ: .

 Пример 4. Решите уравнение .

Решение: Это уравнение имеет корень , так как это симметрическое уравнение нечётной степени. Разделим обе части уравнения на . Получим симметрическое уравнение чётной степени

.

Разделим обе части полученного уравнения на  и объединим первый член с последним, второй с предпоследним и т.д. Получим уравнение                   .

Положим  . Тогда  и . Для неизвестного  имеем уравнение . Это уравнение имеет единственный действительный корень .   Уравнение  не имеет действительных корней.

 Ответ: .

2.3. Дробно-рациональные уравнения и неравенства

 Дробно-рациональное уравнение (неравенство) можно преобразовать к виду , где ,  - некоторые многочлены. Вместо знака  может быть любой другой знак неравенства.

А. Дробно-рациональные уравнения.

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы числитель этой дроби равнялся нулю, а знаменатель был отличен от нуля. На этом свойстве дроби и основан подход к решению дробно-рациональных уравнений.

Решение дробно-рационального уравнения можно вести двумя способами.

 Первый способ.  Уравнение вида равносильно системе

 Пример 1. Решите уравнение .

 Решение: Приведём уравнение к виду, когда в его правой части будет лишь :                                .

Приведём дроби, стоящие в левой части уравнения, к общему знаменателю и сложим их:             ,

,

,

Получаем, что исходное уравнение равносильно системе

                                    

В процессе решения исходного уравнения получались равносильные между собой уравнения. Поэтому  - корень исходного уравнения.

Ответ: 

Второй способ.    Область допустимых значений для неизвестного не определяется, проводится проверка найденных значений неизвестного непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение: Допустим, что данное уравнение имеет корень. Обозначим его . Тогда справедливо тождество

.

Умножим обе части тождества на . Получим тождество

или                                                      

Отсюда следует, что  или .

Значит, если  данное уравнение имеет корни, то это  или . Никаких других корней, кроме  и , быть не может.

Выясним, будут ли  и  корнями исходного уравнения. Для этого подставим в исходное уравнение вместо неизвестного число ; получим тождество. Значит, число  является корнем исходного уравнения. Подставим вместо неизвестного число ; знаменатель  обращается в ноль, т.е. число  корнем не является.  - посторонний корень для данного уравнения, появился он в результате умножения обеих частей уравнения на .

Ответ: .

В. Решение дробно-рациональных уравнений с помощью подходящей замены переменной или группировки их членов.

В некоторых случаях уравнение упрощается, если ввести новую переменную или удачно сгруппировать его члены.

Пример 3. Решите уравнение

.

Решение: Перенесём все члены уравнения в левую часть и сгруппируем: .

Выполним действия в скобках, в результате получим уравнение

,

или             .

Один возможный корень уравнения равен .

Решим уравнение  .

Положим , тогда последнее уравнение примет вид

.

Выполним указанные действия и получим уравнение

.

Но уравнение  не имеет действительных корней. Проверкой убеждаемся, что  корень исходного уравнения.

 Ответ: .

С. Частные виды  дробно-рациональных уравнений и приёмы их решения.

Приведём некоторые частные виды дробно-рациональных уравнений и приёмы  их решения. Более подробно о них можно прочитать в  [16]:

  1.  уравнение   при некоторых условиях на действительные числа ,  и  можно решать так: группируем члены уравнения по два и суммируем каждую пару с целью – получить в числителе многочлены первой или нулевой степени, отличающиеся только числовыми множителями, а в знаменателях – трехчлены с одинаковыми двумя членами, содержащими , тогда после замены переменных полученное уравнение будет либо иметь также вид  , но с меньшим числом слагаемых, либо будет равносильно совокупности двух уравнений, одно из которых будет первой степени, а второе будет уравнением вида , но с меньшим числом слагаемых;
  2.  уравнение   при некоторых условиях на действительные числа , ,  и  можно решить так: выделить целую часть в каждой из дробей уравнения, т.е. заменить данное уравнение уравнением вида , а это уравнение легко сводится к виду , приём решения уравнения  описан выше;
  3.  уравнение вида

 

при некоторых условиях на действительные числа  , , , ,  и  можно решать так: разложив, если возможно, каждую из дробей в левой части данного уравнения в сумму простейших дробей , свести уравнение  к виду ;

  1.  уравнение   при некоторых условиях на действительные числа , , , ,  и  после представления каждого слагаемого левой части в виде   может быть сведено к виду ;
  2.  уравнение вида   при некоторых условиях на действительные числа , ,  и  заменой неизвестного  можно свести к уравнению вида , решение которого не представляется трудным.

Отметим, что в статье [20] подробно рассматривается решение, в том числе и дробно-рациональных, уравнений вида , где - некоторые функции.

D.  Дробно-рациональные неравенства.

Решение дробно-рационального неравенства можно также вести двумя способами.

 Первый способ. Неравенство заменяется равносильной совокупностью систем.

Проиллюстрируем этот способ примером.

Пример 4. Решите неравенство .

Решение: Заменим данное неравенство равносильной совокупностью систем  Решая первую систему из совокупности, получаем , а из второй - .

 Ответ: , .

 Второй способ.   Метод интервалов.

Метод интервалов, применяемый для решения неравенств вида

 

основан на следующих утверждениях:

  1.  если  - наибольшее из чисел , то в промежутке  функция  положительна;
  2.  если (соответственно ) – такая точка, что показатель степени  выражения  есть число нечётное, то справа и слева от  () функция  имеет противоположные знаки, значит, при переходе через эту точку функция  меняет знак на противоположный;
  3.  если (соответственно ) – такая точка, что показатель степени   выражения   есть число чётное, то справа и слева от  () функция  имеет одинаковые знаки, значит, при переходе через эту точку функция  не меняет знака.

Пример 5. Решите неравенство   .

Решение: После переноса числа  в левую часть и приведения к общему знаменателю получим равносильное неравенство .

Функция  определена на всей числовой прямой за исключением «нулей» знаменателя – это точки  и  . Нуль числителя – точка . Отметим все точки на числовой прямой. На каждом из образовавшихся промежутков  сохраняет определённый знак.

Ответ: , .

Пример 6. Решите неравенство   .

Решение: На числовой прямой отметим нули числителя и знаменателя дроби: точки , , , , . На каждом из образовавшихся промежутков  сохраняет определённый знак.

Ответ: ,  ,  .

Самостоятельная работа

№ 1. Решите уравнения:

а) ;

б) ;

в) .

№ 2. Решите неравенства:

а)  ;

б)  ;

в) .

Упражнения

№ 1. Найдите рациональные корни уравнений:

а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) ; е) .

№ 2. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ;

к)  ;

л) ; м) ;

н)  ;

о) ;

п) ; р) ;

с) ; т) .

№ 3. Решите неравенства:

а)  ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м) .

Ответы: № 1 а) ; ; ; б) ; в) ; ; ; г) ; ; ; д) ; ; ; ; е) ; ; № 2. а) ; ; б) ; ; в) ; ; г) ; ; д) ; е) ;           ж) ; з) ; ; и) ; ; к) ; л) ;  ; м) ; ; ; н) ; о) ; ; п) ; ; ; р) ; ; с) ; ; т) ; № 3. а) ; ; ; б) ; ;            в) ; ; г) ; д) ; е) ; ж) ; ; з) ; ; и) ; ; к) ; ; ; л) нет решений; м) ; ; .

Литература:

  1.  Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред. шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 1993.
  2.  Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 1994.
  3.  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2000.
  4.  Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1974.
  5.  Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1986.
  6.  Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидакт. материалы: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1990.
  7.  Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по элементарной математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1976.
  8.  Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ В.В. Вавилов и др. – М.: Наука, 1987.
  9.  Колягин Ю. Многочлены и уравнения высших степеней.// Математика. – 2005. - № 2.
  10.  Ларионов В., Петихина А. Однородные уравнения и их системы.// Математика. – 2005. - № 15.
  11.  Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – М.: «ABF», 1995.
  12.  Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. - М.: Высшая школа, 1960.
  13.  Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл. Учебник. – М.: Мнемозина, 1999.
  14.  Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Ч. 1. Учебник. – М.: Мнемозина, 2003.
  15.  Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: Учеб.-метод. пособие. – М.: Мир и образование, 2005.
  16.  Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: Учебно-метод. пособие. – М.: Дрофа, 2001.
  17.  Петров В.А. К вопросу о равносильности уравнений.// Математика в школе. – 1991. - № 3.
  18.  Пособие по элементарной математике: методы решения задач/ Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова, Е.Н. Перевощикова, А.Н. Пыжьянова, Ч. I. – Н. Новгород: НГПУ, 2000.
  19.  Туманов С.И. Элементарная алгебра. – М.: Просвещение, 1970.
  20.  Чучаев И.И., Мещерякова С.И. Уравнение вида  и нестандартные методы решения// Математика в школе. – 1995. - № 3.

Оглавление

Предисловие.........................................................................................................3

Примерный тематический план изучения тем..................................................4

Тема I: Уравнения и неравенства. Корни уравнения (решения неравенства). Равносильные уравнения (неравенства). Теоремы о равносильности уравнений (неравенств).......................................................................................4

Требования к знаниям и умениям студентов..........................................4

Содержание темы......................................................................................5

1.1. Понятие уравнения (неравенства). Корни уравнения (решения неравенства). Решение уравнения (неравенства).............................................5

1.2. Понятие равносильного перехода. Равносильные уравнения (неравенства). Уравнение(неравенство)-следствие.........................................7

1.3. Теоремы о равносильности уравнений (неравенств)......................9

Самостоятельная работа.........................................................................28

Упражнения.............................................................................................28

Ответы......................................................................................................31

Тема II: Целые и дробно-рациональные уравнения и неравенства. Приёмы их решения. Возвратные уравнения................................................................31

Требования к знаниям и умениям студентов........................................31

Содержание темы....................................................................................32

2.1. Методы решения целых рациональных уравнений и

неравенств..........................................................................................................32

2.2. Возвратные (симметрические) уравнения.....................................42

2.3. Дробно-рациональные уравнения и неравенства..........................47

Самостоятельная работа.........................................................................51

Упражнения.............................................................................................52

Ответы......................................................................................................53

Список литературы...........................................................................................53

Учебное издание

Кириллова Светлана Владимировна

Огурцова Ольга Константиновна

Серова Наталья Александровна

Егорова Наталья Николаевна

Элементарная математика:

Общие методы решения

уравнений и неравенств

Часть 1

Учебно-методическое пособие

Редактор Л.И.Опарина

Подписано в печать 25.06.2007 г.  Печать оперативная.  Объем 3,5 п.л.

Тираж 150 экз.  Заказ

Нижегородский государственный педагогический университет

Полиграфический участок АНО «МУК НГПУ»

603950, Нижний Новгород, ГСП-37, ул. Ульянова,1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84989. Обеспечение личной безопасности на улице 30.24 KB
  Обеспечение личной безопасности на улице Цель урока. Познакомить учащихся с общими правилами безопасного поведения в случаях возникновения криминогенных ситуаций на улице. Сформировать убеждение в необходимости совершенствовать свои знания и умения в вопросах безопасного поведения на улице с учетом складывающейся криминогенной обстановки. Изучаемые вопросы Общие рекомендации по безопасному поведению на улице.
84990. О культуре здоровья и безопасности школьника 28.04 KB
  Сформировать у учащихся общее понятие о здоровье и здоровом образе жизни. Обозначить основные составляющие здорового образа жизни; выработать убеждения в том что режим дня является определяющей составляющей здорового образа жизни. Общие понятия о здоровом образе жизни и его составляющих. Режим дня как определяющая составляющая здорового образа жизни.
84991. Двигательная активность и закаливание организма - необходимые 29.51 KB
  Двигательная активность и закаливание организма необходимые условия укрепления здоровья Цель урока. Сформировать убеждение в необходимости систематических занятий физической культурой и закаливанием организма умения дозировать физические нагрузки с учетом индивидуальных особенностей максимально использовать погодные условия в различное время года для занятий на свежем воздухе. Роль закаливания организма в укреплении здоровья. Довести до учащихся что закаливание это повышение устойчивости организма к неблагоприятному воздействию...
84992. Рациональное питание. Гигиена питания 28 KB
  Гигиена питания Цель урока. Познакомить учащихся с понятием рациональное питание основными питательными веществами и их значением в рационе питания человека. Разобрать общепринятые правила питания сформировать убеждение в необходимости соблюдать правила рационального питания в повседневной жизни. Некоторые общепринятые правила рационального питания.
84993. Вредные привычки и их влияние на здоровье человека 29.07 KB
  Вредные привычки и их влияние на здоровье человека Цель урока. Влияние алкоголя на здоровье человека. Эволюция обеспечила организм человека неисчерпаемыми резервами прочности и надежности которые обусловлены избыточностью элементов всех его систем их взаимодополняемостью взаимодействием способностью к адаптации и компенсации. Природа создала человека для долгой и счастливой жизни.
84994. Здоровый образ жизни и профилактика вредных привычек 27.76 KB
  Сформировать убеждение в том что привычка курить и употреблять алкоголь зачастую начинается с первой пробы выработать у них твердую привычку говорить Нет любому кто предложит закурить или попробовать спиртное. Разобрать с учащимися ситуационные задачи: Если вам в кругу сверстников предложат закурить как вы поступите Если у вас в доме гости и вас пригласили к столу и предложили выпить спиртного как вы поступите В заключение предложить четыре правила Нет для профилактики курения и употребления спиртных напитков. Постоянно...
84995. Первая медицинская помощь при различных видах повреждений 28.12 KB
  Познакомить учащихся с назначением и содержанием первой медицинской помощи. Разобрать последовательность в оказании первой медицинской помощи: довести но них рекомендации службы скорой медицинской помощи в каких ситуациях необходимо вызывать скорую медицинскую помощь. Общие правила в последовательности оказания первой медицинской помощи. Подчеркнуть что от своевременности и качества оказания первой медицинской помощи в значительной степени зависит дальнейшее состояние здоровья пострадавшего и даже его жизнь.
84996. Оказание первой медицинской помощи при ушибах, ссадинах, носовом кровотечении 27.31 KB
  Оказание первой медицинской помощи при ушибах ссадинах носовом кровотечении Цель урока. Познакомить учащихся с правилами оказания первой медицинской помощи при ушибах сформировать умение оказания первой медицинской помощи при ушибах ссадинах. Разъяснить учащимся что такое носовое кровотечение и отработать практически последовательность оказания первой медицинской помощи. Познакомить учащихся с первой помощью при носовом кровотечении.
84997. Первая медицинская помощь при отравлениях 29.5 KB
  Первая медицинская помощь при отравлениях Цель урока. Вызвать скорую медицинскую помощь. Если яд попал через кожу то ее промыть большим количеством воды физиологическим раствором слабым раствором питьевой соды или раствором лимонной кислоты в зависимости от ядовитого вещества; из желудка яд удалить промыванием или с помощью рвотных средств. Первая медицинская помощь: вывести пострадавшего на свежий воздух; дать обильное питье.