7238

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Дов...

Русский

2013-01-20

450.5 KB

49 чел.

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Доверительный интервал для вероятности. Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Теоретический материал

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины.

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными знаниями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью α и рассмотрим выборку x1, x2, …..,xn из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине ξ, имеющей распределение Fξ (x,θ), где θ – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две такие функции θ1(x1, x2, …..,xn) и θ2 (x1, x2, …..,xn) , для которых:

1) θ1(x1, x2, …..,xn) < θ2 (x1, x2, …..,xn) при всех x1, x2, …..,xn ;

2) Р (θ1<θ<θ2) = 1 – α

В этом случае интервал (θ1, θ2) называется доверительным интервалом для параметра θ, соответствующим доверительной вероятности 1-α.

Распределение статистических оценок в большинстве случаев достаточно точно описывается такими законами распределения, как нормальный, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора. Нормальное распределение было рассмотрено ранее. Рассмотрим остальные виды распределения.

1. Распределение хи - квадрат

Определение. Пусть Х1, Х2,…Хп - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равным единице. Тогда закон распределения суммы квадратов случайных величин

называется законом хи-квадрат с n степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид

где  - гамма – функция, для которой выполняется равенство Г(n+1)=n!.

Для случайной величины  плотность распределения имеет вид

  

2. Распределение Стьюдента

Определение. Пусть X012,…,Хn -  независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (T - распределение) с n степенями свободы.

В практических задачах используется также случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Плотность вероятность случайной величины Т имеет вид

где

3. Распределение Фишера—Снедекора

Определение. Пусть Х12,…,Хn, У1, Y2,…Ym - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Фишера - Снедекора сn и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины Fnm имеет вид

где

Если случайные величины X и Y связаны, например, с помощью выборочных средних, то случайная величина

имеет распределение Фишера—Снедекора с числом степеней свободы:

k=n-1, l=m-1.

Практическое задание №1.

Найдите доверительные интервалы для математического ожидания  и дисперсии

по заданной выборке x1, x2, …..,xn из нормального распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите точечные оценки  и .

3. Вычислите 95%-ный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

4. Вычислите 90%-ный доверительный интервал для дисперсии.

Практическое задание №2.

Найдите доверительный интервал для параметра λ по заданной выборке x1, x2, …..,xn из пуассоновского распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром λ по первым 100, 150,200,….,500 элементам выборки.

2. Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

3. Найдите точечную оценку параметра λ.

4. Вычислите доверительный интервал для λ с заданным значением доверительной вероятности α.

5. Постройте график зависимости Δλ=λright – λleft от n для различных α.

Практическое задание №3

Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний n и числа m появлений события в серии из n испытаний.

Порядок выполнения работы:

1. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

2. Найдите точечную оценку параметра p.

3. Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности α.

Практическое задание №4.

Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn) из двумерной случайной величины.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите выборочные средние для x, y.

3. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня стандартного нормального распределения.

4. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции.

5. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности. 

7. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции по другой формуле.

8. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности α, используя точечную оценку коэффициента корреляции, найденную в п.7.

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76462. Соглашения в семейном праве (понятие, виды, особенности) 16.85 KB
  Соглашений в СК РФ немного это: соглашение об уплате алиментов; соглашение об имени ребенка; соглашение о месте жительства ребенка; соглашение о порядке осуществления родительских прав родителем проживающим отдельно от ребенка; соглашение о разделе имущества. этой же статьи звучит другая формулировка: Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей. Соглашение в семейном праве средство добровольного разрешения наиболее важных как для членов семьи так и для общества...
76463. Сроки в семейном праве и их правовое значение 19.31 KB
  следующие виды сроков: сроки существования имущественных семейных прав пресекательные сроки: так право на алименты на содержание несовершеннолетних детей сохраняется до достижения ими восемнадцатилетнего возраста; сроки ожидания испытательные сроки до истечения которых не могут быть совершены отдельные семейно-правовые акты: согласно п. 11 СК РФ заключение брака производится по истечении месячного срока со дня подачи заявления в органы загса; сроки до наступления которых не допускается возникновение определенных прав и...
76464. Осуществление и защита семейных прав 16.22 KB
  7 СК граждане вправе по своему усмотрению распоряжаться принадлежащими им правами если иное не установлено СК. Пределы осуществления семейных прав имеют свои ограничения. Так семейные права могут быть ограничены требованиями закона.
76465. Семейно-правовая ответственность (понятие и особенности) 17.48 KB
  Специфика семейно-правовой ответственности заключается в том что во-первых ее субъекты связаны уже возникшим семейным правоотношением во-вторых к ней не могут быть привлечены третьи лица не участвующие в данном правоотношении. Основания наступления семейно-правовой ответственности зависят от того какая сфера пострадавшего лица личная или имущественная подверглись воздействию в результате правонарушения. Семейное законодательство не содержит указания на формы вины но на практике они играют важную роль особенно при определении объема...
76466. Меры защиты в семейном праве и их отличие от семейно-правовой ответственности 16.31 KB
  Защита нарушенных или оспариваемых семейных прав происходит в судах в порядке искового производства взыскание алиментов раздел совместно нажитого супружеского имущества; защита охраняемых интересов происходит в порядке особого производства установление факта признания отцовства фактов регистрации рождения усыновления брака развода. В административном порядке защита семейных прав осуществляется путем обращения в государственные органы или к конкретному должностному лицу органы исполнительной власти органы опеки и...
76467. Понятие брака, условия и порядок его заключения 19.11 KB
  Основаниями для брака признаются правовые нормы а не моральные: брачный союз лишь определяет систему прав и обязанностей. Современный институт брака находится в состоянии трансформации. Заключение брака Брак заключается в государственных органах записи актов гражданского состояния по истечении месячного срока после подачи женихом и невестой совместного заявления.
76468. Прекращение брака. Основание, причины и мотивы развода 16.87 KB
  В случае смерти супруга или объявления судом одного из супругов умершим не требуется какого-либо специального оформления прекращения брака. В таких случаях брак считается прекращенным с момента смерти супруга или с момента вступления в законную силу решения суда об объявлении супруга умершим
76469. Расторжение брака в органах загса 17.21 KB
  Расторжение брака в органах загса по заявлению обоих супругов. 19 СК расторжение брака в органах загса по заявлению обоих супругов производится при наличии двух оснований: супруги выразили взаимное согласие на расторжение брака; супруги не имеют общих несовершеннолетних детей. Взаимное согласие супругов на расторжение брака выражается в их совместном письменном заявлении установленной формы в орган загса.
76470. Расторжение брака в судебном порядке 19.54 KB
  У супругов имеются общие несовершеннолетние дети кроме случаев когда один из супругов признан судом безвестно отсутствующим недееспособным или осужден за совершение преступления к лишению свободы на срок свыше трех лет; отсутствует согласие одного из супругов на расторжение брака; в один из супругов несмотря на отсутствие у него возражений уклоняется от расторжения брака в органе загса например отказывается подать совместное заявление. Рассмотрение дел о расторжении брака осуществляется судом в порядке искового...