7238

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Дов...

Русский

2013-01-20

450.5 KB

48 чел.

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Доверительный интервал для вероятности. Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Теоретический материал

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины.

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными знаниями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью α и рассмотрим выборку x1, x2, …..,xn из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине ξ, имеющей распределение Fξ (x,θ), где θ – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две такие функции θ1(x1, x2, …..,xn) и θ2 (x1, x2, …..,xn) , для которых:

1) θ1(x1, x2, …..,xn) < θ2 (x1, x2, …..,xn) при всех x1, x2, …..,xn ;

2) Р (θ1<θ<θ2) = 1 – α

В этом случае интервал (θ1, θ2) называется доверительным интервалом для параметра θ, соответствующим доверительной вероятности 1-α.

Распределение статистических оценок в большинстве случаев достаточно точно описывается такими законами распределения, как нормальный, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора. Нормальное распределение было рассмотрено ранее. Рассмотрим остальные виды распределения.

1. Распределение хи - квадрат

Определение. Пусть Х1, Х2,…Хп - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равным единице. Тогда закон распределения суммы квадратов случайных величин

называется законом хи-квадрат с n степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид

где  - гамма – функция, для которой выполняется равенство Г(n+1)=n!.

Для случайной величины  плотность распределения имеет вид

  

2. Распределение Стьюдента

Определение. Пусть X012,…,Хn -  независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (T - распределение) с n степенями свободы.

В практических задачах используется также случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Плотность вероятность случайной величины Т имеет вид

где

3. Распределение Фишера—Снедекора

Определение. Пусть Х12,…,Хn, У1, Y2,…Ym - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Фишера - Снедекора сn и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины Fnm имеет вид

где

Если случайные величины X и Y связаны, например, с помощью выборочных средних, то случайная величина

имеет распределение Фишера—Снедекора с числом степеней свободы:

k=n-1, l=m-1.

Практическое задание №1.

Найдите доверительные интервалы для математического ожидания  и дисперсии

по заданной выборке x1, x2, …..,xn из нормального распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите точечные оценки  и .

3. Вычислите 95%-ный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

4. Вычислите 90%-ный доверительный интервал для дисперсии.

Практическое задание №2.

Найдите доверительный интервал для параметра λ по заданной выборке x1, x2, …..,xn из пуассоновского распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром λ по первым 100, 150,200,….,500 элементам выборки.

2. Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

3. Найдите точечную оценку параметра λ.

4. Вычислите доверительный интервал для λ с заданным значением доверительной вероятности α.

5. Постройте график зависимости Δλ=λright – λleft от n для различных α.

Практическое задание №3

Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний n и числа m появлений события в серии из n испытаний.

Порядок выполнения работы:

1. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

2. Найдите точечную оценку параметра p.

3. Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности α.

Практическое задание №4.

Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn) из двумерной случайной величины.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите выборочные средние для x, y.

3. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня стандартного нормального распределения.

4. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции.

5. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности. 

7. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции по другой формуле.

8. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности α, используя точечную оценку коэффициента корреляции, найденную в п.7.

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8834. Економічна система. Сутність та структура економічної системи 506 KB
  Економічна система Лекція 1 Сутність та структура економічної системи. Відносини власності. Домогосподарства, підприємства (фірми), сектори економіки, кластери, внутрішні регіони, регулятивні інститути Лекція. Типи і моделі економ...
8835. Исследование систем управления ООО ТАТУ САЛОН 1.07 MB
  Введение Сложно сказать когда появилась первая татуировка в нашей жизни, но в истории древнейшей очень много заметок о нательных рисунках, даже на мумиях были татуировки. Представляете насколько эта культура развита и сколько насчитывает тысяч...
8836. Відкриття салону татуювання і пірсингу Znak 314.14 KB
  Відкриття салону татуювання і пірсингу Znak Резюме Бізнес-план підкреслює характер підприємницької діяльності розкриває всі сторони запропонованого комерційного заходу, яким планується займатися та обґрунтовує економічну ефективність та доцільність...
8837. Бизнес - план Тату-салона: Рене Магритт 94 KB
  Бизнес - план Тату-салона: Рене Магритт Резюме. Данный проект разработан Ольшевской А.О. для оказания таких услуг как: нанесение художественных татуировок, перманентный макияж. Тату салон открывается в городе Москв...
8838. Тату салон SNAKE EYE 66.76 KB
  1 Описание предприятия 1. Тату салон SNAKEEYE 2. Адрес: Площадь помещения для Тату салона. Тату салон предоставляет услуги: татуирование, пирсинг. Организационная структура аппарата управления...
8839. Економічне мислення 140.5 KB
  Економічне мислення Сучасна дійсність висуває високі вимоги до підготовки студентів, майбутніх фахівців-економістів. Організація навчання та подальшої роботи в нових соціально-економічних умовах вимагає опори на науково-обґрунтований, а не емпірични...
8840. Економічний розвиток. Типи та моделі економічного розвитку 202 KB
  Економічний розвиток. Типи та моделі економічного розвитку. Сталий економічний розвиток. Цивілізаційний вимір економічного розвитку 1. Типи та моделі економічного розвитку Характеристика типів і моделей економічного розвитку вимагає, на...
8841. Економічні потреби та інтереси 126.5 KB
  Економічні потреби та інтереси. Центральною ланкою, головним субєктом економічних відносин суспільства є людина з її потребами та інтересами. Без людини немає економіки, так само як і життя сучасної людини неможливо уявити поза економічними ін...
8842. Економічна діяльність. Сутність та види економічної діяльності 139 KB
  Економічна діяльність. Сутність та види економічної діяльності Однією з головних відмінностей людини від тварин є його відносини з природою: якщо тварина є елементом живої природи, який пристосовується до умов навколишнього середовища, то людина не ...