7238

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Дов...

Русский

2013-01-20

450.5 KB

48 чел.

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Доверительный интервал для вероятности. Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Теоретический материал

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины.

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными знаниями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью α и рассмотрим выборку x1, x2, …..,xn из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине ξ, имеющей распределение Fξ (x,θ), где θ – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две такие функции θ1(x1, x2, …..,xn) и θ2 (x1, x2, …..,xn) , для которых:

1) θ1(x1, x2, …..,xn) < θ2 (x1, x2, …..,xn) при всех x1, x2, …..,xn ;

2) Р (θ1<θ<θ2) = 1 – α

В этом случае интервал (θ1, θ2) называется доверительным интервалом для параметра θ, соответствующим доверительной вероятности 1-α.

Распределение статистических оценок в большинстве случаев достаточно точно описывается такими законами распределения, как нормальный, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора. Нормальное распределение было рассмотрено ранее. Рассмотрим остальные виды распределения.

1. Распределение хи - квадрат

Определение. Пусть Х1, Х2,…Хп - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равным единице. Тогда закон распределения суммы квадратов случайных величин

называется законом хи-квадрат с n степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид

где  - гамма – функция, для которой выполняется равенство Г(n+1)=n!.

Для случайной величины  плотность распределения имеет вид

  

2. Распределение Стьюдента

Определение. Пусть X012,…,Хn -  независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (T - распределение) с n степенями свободы.

В практических задачах используется также случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Плотность вероятность случайной величины Т имеет вид

где

3. Распределение Фишера—Снедекора

Определение. Пусть Х12,…,Хn, У1, Y2,…Ym - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Фишера - Снедекора сn и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины Fnm имеет вид

где

Если случайные величины X и Y связаны, например, с помощью выборочных средних, то случайная величина

имеет распределение Фишера—Снедекора с числом степеней свободы:

k=n-1, l=m-1.

Практическое задание №1.

Найдите доверительные интервалы для математического ожидания  и дисперсии

по заданной выборке x1, x2, …..,xn из нормального распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите точечные оценки  и .

3. Вычислите 95%-ный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

4. Вычислите 90%-ный доверительный интервал для дисперсии.

Практическое задание №2.

Найдите доверительный интервал для параметра λ по заданной выборке x1, x2, …..,xn из пуассоновского распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром λ по первым 100, 150,200,….,500 элементам выборки.

2. Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

3. Найдите точечную оценку параметра λ.

4. Вычислите доверительный интервал для λ с заданным значением доверительной вероятности α.

5. Постройте график зависимости Δλ=λright – λleft от n для различных α.

Практическое задание №3

Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний n и числа m появлений события в серии из n испытаний.

Порядок выполнения работы:

1. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

2. Найдите точечную оценку параметра p.

3. Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности α.

Практическое задание №4.

Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn) из двумерной случайной величины.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите выборочные средние для x, y.

3. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня стандартного нормального распределения.

4. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции.

5. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности. 

7. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции по другой формуле.

8. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности α, используя точечную оценку коэффициента корреляции, найденную в п.7.

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41363. Градуирование электроизмерительных приборов с помощью потенциометра собранного из двух магазинов сопроти 159 KB
  Градуирование электроизмерительных приборов с помощью потенциометра собранного из двух магазинов сопротивления Приборы приспособления: вольтметр магазины сопротивлений нормальный элемент реостаты ключи гальванометр батарея вольтметр.
41364. Определение эдс в термопаре 200.5 KB
  Схема для измерения малых эдс: где g гальванометр класс точности 05; АВ реохорд rАВ = 12  01 Ом lАВ = 1 м.; 1 источник тока для реохорда 15 В; Э эталонная эдс элемент Вестона 101795 В; х измеряемая эдс; r1 реостат для регулировки цены деления реохорда; r2 сопротивление; r3 реостат; М1 опорный спай термопары 00С; М2 рабочий спай термопары.
41365. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкостей 224.5 KB
  Задание 1: метод компенсации разности давлений поверхностного слоя жидкости. d плотность жидкости налитой в манометр в данном случае это вода и d = 10 г см. Задание 2: метод отрыва пузыря внутри жидкости. Установка: где Т насос; Б бутыль для создания давления; Н разность высот жидкости в двух коленах манометра; D глубина на которую опущен капилляр радиус которого равен 002 см.
41366. Определение удельной теплоёмкости жидкости методом лучеиспускания 68 KB
  Определение водяного эквивалента калориметра M0 масса калориметра M1 масса калориметра с холодной водой MI=M1M0 масса холодной воды TI температура холодной воды M2 масса калориметра с горячей и холодной водой T температура смеси MII=M2M1 масса горячей воды TII температура горячей воды M0= 179 г M1= 297 г MI = 118 г TI = 23 C M2 = 332 г Т = 31 С MII = 35 г ТII = 61 С II Основные измерения...
41367. Градуирование электроизмерительных приборов с помощью потенциометра собранного из двух магазинов сопротивления 50.5 KB
  Цель работы: проградуировать вольтметр. Приборы и приспособления: вольтметр , магазины сопротивлений – 4, нормальный элемент – 1, реостаты – 4, ключи –3 , гальванометр – 1, батарея на 2.5-3 В, источник постоянного напряжения для питания градуируемого прибора.
41368. Основные измерения с электронным осциллографом 75.5 KB
  Задание 1: Проверка линейности усилителей осциллографа. U В Y см 6 035 7 05 8 06 10 08 12 085 14 095 18 12 22 15 Задание 2: Градуировка усилителей. U=18 В Задание 3: Проверка внутреннего калибратора напряжения. 17 11 01 18 115 011 20 12 012 21 125 013 23 135 016 Задание 4: Определение чувствительности трубки.
41369. Определение плотности тела правильной формы 70.62 KB
  Цель работы: ознакомление с простейшими измерительными инструментами (штангенциркулем, микрометром, техническими весами, аналитическими весами) и отработка техники вычисления погрешностей, ведения записей, составления отчета.
41370. Определение плотности твердого тела способом гидростатического взвешивания 35.5 KB
  Приборы и материалы: весы типа АДВ200; стакан для воды; подставка; стремя; проволока для подвешивания тела. m1 = 74798  00005 г масса тела в воздухе m2 = 60017  00005 г масса тела проволоки и стремени в воде m3 = 12479  00005 г масса проволоки и стремени в воде m4 = m2 m3 = 47538  00005 г масса тела в воде Формула плотности тела с поправкой на потерю веса в воздухе: где  плотность воздуха; плотность тела без поправки на потерю веса в воздухе.
41371. Исследование генератора электрического тока 182.71 KB
  Цель работы: сравнение две возможные схемы включения амперметра и вольтметра; определение сопротивления амперметра и вольтметра. Приборы: три реостата (30 Ом, 5А; 30 Ом, 5А; 100 Ом, 2А), амперметр (класс точности 1,0; цена деления 0,01 А), вольтметр (точность 1,0; цена деления 0,2 В), выключатель и два переключателя.