7238

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Дов...

Русский

2013-01-20

450.5 KB

45 чел.

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Доверительный интервал для вероятности. Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Теоретический материал

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины.

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными знаниями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью α и рассмотрим выборку x1, x2, …..,xn из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине ξ, имеющей распределение Fξ (x,θ), где θ – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две такие функции θ1(x1, x2, …..,xn) и θ2 (x1, x2, …..,xn) , для которых:

1) θ1(x1, x2, …..,xn) < θ2 (x1, x2, …..,xn) при всех x1, x2, …..,xn ;

2) Р (θ1<θ<θ2) = 1 – α

В этом случае интервал (θ1, θ2) называется доверительным интервалом для параметра θ, соответствующим доверительной вероятности 1-α.

Распределение статистических оценок в большинстве случаев достаточно точно описывается такими законами распределения, как нормальный, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора. Нормальное распределение было рассмотрено ранее. Рассмотрим остальные виды распределения.

1. Распределение хи - квадрат

Определение. Пусть Х1, Х2,…Хп - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равным единице. Тогда закон распределения суммы квадратов случайных величин

называется законом хи-квадрат с n степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид

где  - гамма – функция, для которой выполняется равенство Г(n+1)=n!.

Для случайной величины  плотность распределения имеет вид

  

2. Распределение Стьюдента

Определение. Пусть X012,…,Хn -  независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (T - распределение) с n степенями свободы.

В практических задачах используется также случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Плотность вероятность случайной величины Т имеет вид

где

3. Распределение Фишера—Снедекора

Определение. Пусть Х12,…,Хn, У1, Y2,…Ym - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Фишера - Снедекора сn и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины Fnm имеет вид

где

Если случайные величины X и Y связаны, например, с помощью выборочных средних, то случайная величина

имеет распределение Фишера—Снедекора с числом степеней свободы:

k=n-1, l=m-1.

Практическое задание №1.

Найдите доверительные интервалы для математического ожидания  и дисперсии

по заданной выборке x1, x2, …..,xn из нормального распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите точечные оценки  и .

3. Вычислите 95%-ный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

4. Вычислите 90%-ный доверительный интервал для дисперсии.

Практическое задание №2.

Найдите доверительный интервал для параметра λ по заданной выборке x1, x2, …..,xn из пуассоновского распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром λ по первым 100, 150,200,….,500 элементам выборки.

2. Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

3. Найдите точечную оценку параметра λ.

4. Вычислите доверительный интервал для λ с заданным значением доверительной вероятности α.

5. Постройте график зависимости Δλ=λright – λleft от n для различных α.

Практическое задание №3

Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний n и числа m появлений события в серии из n испытаний.

Порядок выполнения работы:

1. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

2. Найдите точечную оценку параметра p.

3. Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности α.

Практическое задание №4.

Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn) из двумерной случайной величины.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите выборочные средние для x, y.

3. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня стандартного нормального распределения.

4. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции.

5. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности. 

7. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции по другой формуле.

8. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности α, используя точечную оценку коэффициента корреляции, найденную в п.7.

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71008. РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННОГО WEB-ПРИЛОЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ JS ФРЕЙМВОРКОВ 446.77 KB
  Целью данной курсовой работы является создание клиентского приложения с использованием одного из существующий JS-фреймворков. Поэтому в процессе выполнения курсовой работы необходимо решить следующие задачи: Дать общее определение JavaScript библиотеки и рассмотреть виды этих библиотек.
71011. Дослідження однофазного асинхронного двигуна та випробування трифазного асинхронного двигуна в режимі однофазного 534 KB
  Вивчити будову і принцип дії однофазного асинхронного двигуна та дослідити його робочі характеристики. У випадку коли недоцільно влаштовувати трифазну мережу битові приміщення одинокі споживачі невеликої потужності тощо прокладають однофазну мережу...
71012. Дослідження перехідних процесів в колі з послідовним з’єднанням r, L і C елементів 550.5 KB
  Вивчити перехідні процеси при включенні кола з послідовним з’єднанням резистора, котушки індуктивності та конденсатора на постійну напругу і дослідити вплив активного опору і ємності конденстора на характер перехідних процесів.
71014. Арифметические основы ЭВМ 173 KB
  Совокупность цифр символов значков с их названиями которые позволяют выразить письменно или устно любое число вместе с правилами выполнения арифметических действий над числами называется системой счисления.
71015. Исследование модели шинной ЛВС со случайным доступом 26 KB
  Цель работы: Исследование особенностей построения и функционирования шинной ЛВС со случайным методом доступа и определение основных характеристик сети. Студент получает знания по структуре форматам кадров и протоколам физического и канального уровней для ЛВС данного типа и навыки...