7238

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Дов...

Русский

2013-01-20

450.5 KB

45 чел.

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Доверительный интервал для вероятности. Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Теоретический материал

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины.

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными знаниями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью α и рассмотрим выборку x1, x2, …..,xn из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине ξ, имеющей распределение Fξ (x,θ), где θ – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две такие функции θ1(x1, x2, …..,xn) и θ2 (x1, x2, …..,xn) , для которых:

1) θ1(x1, x2, …..,xn) < θ2 (x1, x2, …..,xn) при всех x1, x2, …..,xn ;

2) Р (θ1<θ<θ2) = 1 – α

В этом случае интервал (θ1, θ2) называется доверительным интервалом для параметра θ, соответствующим доверительной вероятности 1-α.

Распределение статистических оценок в большинстве случаев достаточно точно описывается такими законами распределения, как нормальный, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора. Нормальное распределение было рассмотрено ранее. Рассмотрим остальные виды распределения.

1. Распределение хи - квадрат

Определение. Пусть Х1, Х2,…Хп - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равным единице. Тогда закон распределения суммы квадратов случайных величин

называется законом хи-квадрат с n степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид

где  - гамма – функция, для которой выполняется равенство Г(n+1)=n!.

Для случайной величины  плотность распределения имеет вид

  

2. Распределение Стьюдента

Определение. Пусть X012,…,Хn -  независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (T - распределение) с n степенями свободы.

В практических задачах используется также случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Плотность вероятность случайной величины Т имеет вид

где

3. Распределение Фишера—Снедекора

Определение. Пусть Х12,…,Хn, У1, Y2,…Ym - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Фишера - Снедекора сn и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины Fnm имеет вид

где

Если случайные величины X и Y связаны, например, с помощью выборочных средних, то случайная величина

имеет распределение Фишера—Снедекора с числом степеней свободы:

k=n-1, l=m-1.

Практическое задание №1.

Найдите доверительные интервалы для математического ожидания  и дисперсии

по заданной выборке x1, x2, …..,xn из нормального распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите точечные оценки  и .

3. Вычислите 95%-ный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

4. Вычислите 90%-ный доверительный интервал для дисперсии.

Практическое задание №2.

Найдите доверительный интервал для параметра λ по заданной выборке x1, x2, …..,xn из пуассоновского распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром λ по первым 100, 150,200,….,500 элементам выборки.

2. Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

3. Найдите точечную оценку параметра λ.

4. Вычислите доверительный интервал для λ с заданным значением доверительной вероятности α.

5. Постройте график зависимости Δλ=λright – λleft от n для различных α.

Практическое задание №3

Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний n и числа m появлений события в серии из n испытаний.

Порядок выполнения работы:

1. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

2. Найдите точечную оценку параметра p.

3. Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности α.

Практическое задание №4.

Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn) из двумерной случайной величины.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите выборочные средние для x, y.

3. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня стандартного нормального распределения.

4. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции.

5. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности. 

7. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции по другой формуле.

8. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности α, используя точечную оценку коэффициента корреляции, найденную в п.7.

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9853. Россия в начале 21 века. Новые тенденции политической жизни 25.75 KB
  Россия в начале 21 века. Новые тенденции политической жизни. Руководство страны проводит активную внешнюю политику за своё утверждение на международной арене. Россия, став правопреемницей СССР, отстаивает статус сильного государства, с которым должн...
9854. Просвещенный абсолютизм Екатерины 2. Расцвет дворянской империи 26.54 KB
  Просвещенный абсолютизм Екатерины 2. Расцвет дворянской империи. Эпоха Екатерины II (1762-1796) составляет значительный этап в истории России. Данный период российской истории всегда вызывал живой интерес исследователей. Представители советской исто...
9855. Экономическая перестройка М.С. Горбачева: трудные поворот к рынку 25.94 KB
  Экономическая перестройка М.С. Горбачева: трудные поворот к рынку. К концу 70-х гг. для части советского руководства стала очевидной невозможность сохранения без изменений существовавших в стране порядков. На экономической ситуации неблагоприятно ск...
9856. Эволюция промышленного производства в России 9-17 век 23.45 KB
  Эволюция промышленного производства в России 9-17 век. Ремесло первоначально зарождалось в патриархальных семьях как домашние промыслы для обслуживания себя и своих родственников. Эти изделия не выходили за рамки семьи и не поступали в продажу. В XI...
9857. Гражданская война в России: причины, этапы, характеристика противоборствующих сил 73 KB
  Местные государственные администрации – это звено исполнительной власти в областях, районах, городах Киеве и Севастополе. В границах своих полномочий они осуществляют исполнительную власть на территории соответствующей административно-территориальной единицы, а также реализуют полномочия, делегированные им соответствующими советами.
9858. Реформы политической системы в первой половине 19 века 38.19 KB
  Реформы политической системы в первой половине 19 века. Ограничение самодержавия являлось важнейшим условием перехода России к индустриальному обществу. Эта проблема была осознана верховной властью и передовой общественностью уже в начале ХГХ века. ...
9859. Мягкая модель сталинизма: власть и общество в 1964-1984гг. от стагнации к кризису 27.49 KB
  Мягкая модель сталинизма: власть и общество в 1964-1984гг. от стагнации к кризису. После смещения Н.С. Хрущева на октябрьском (1964) Пленуме ЦК КПСС Первым секретарем ЦК партии был избран Л.И. Брежнев. Новые веяния в политике начались сразу же после...
9860. Реформирование политической системы России во второй половине 19 века: земская, городская, судебная, военная реформы 60-70-х гг 38.44 KB
  Реформирование политической системы России во второй половине 19 века: земская, городская, судебная, военная реформы 60-70-х гг. Ограничение самодержавия являлось важнейшим условием перехода России к индустриальному обществу. Эта проблема была осозн...
9861. Становление рыночной экономики в постсоветской России (1992-2000 гг.) 27.92 KB
  Становление рыночной экономики в постсоветской России (1992-2000 гг.). Российская экономика требовала дальнейших преобразований. Были продолжены экономические мероприятия по переходу от командно-административных принципов к рыночной системе регулиро...