7238

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Дов...

Русский

2013-01-20

450.5 KB

45 чел.

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Доверительный интервал для вероятности. Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Теоретический материал

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины.

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными знаниями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью α и рассмотрим выборку x1, x2, …..,xn из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине ξ, имеющей распределение Fξ (x,θ), где θ – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две такие функции θ1(x1, x2, …..,xn) и θ2 (x1, x2, …..,xn) , для которых:

1) θ1(x1, x2, …..,xn) < θ2 (x1, x2, …..,xn) при всех x1, x2, …..,xn ;

2) Р (θ1<θ<θ2) = 1 – α

В этом случае интервал (θ1, θ2) называется доверительным интервалом для параметра θ, соответствующим доверительной вероятности 1-α.

Распределение статистических оценок в большинстве случаев достаточно точно описывается такими законами распределения, как нормальный, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора. Нормальное распределение было рассмотрено ранее. Рассмотрим остальные виды распределения.

1. Распределение хи - квадрат

Определение. Пусть Х1, Х2,…Хп - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равным единице. Тогда закон распределения суммы квадратов случайных величин

называется законом хи-квадрат с n степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид

где  - гамма – функция, для которой выполняется равенство Г(n+1)=n!.

Для случайной величины  плотность распределения имеет вид

  

2. Распределение Стьюдента

Определение. Пусть X012,…,Хn -  независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (T - распределение) с n степенями свободы.

В практических задачах используется также случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Плотность вероятность случайной величины Т имеет вид

где

3. Распределение Фишера—Снедекора

Определение. Пусть Х12,…,Хn, У1, Y2,…Ym - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Фишера - Снедекора сn и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины Fnm имеет вид

где

Если случайные величины X и Y связаны, например, с помощью выборочных средних, то случайная величина

имеет распределение Фишера—Снедекора с числом степеней свободы:

k=n-1, l=m-1.

Практическое задание №1.

Найдите доверительные интервалы для математического ожидания  и дисперсии

по заданной выборке x1, x2, …..,xn из нормального распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите точечные оценки  и .

3. Вычислите 95%-ный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

4. Вычислите 90%-ный доверительный интервал для дисперсии.

Практическое задание №2.

Найдите доверительный интервал для параметра λ по заданной выборке x1, x2, …..,xn из пуассоновского распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром λ по первым 100, 150,200,….,500 элементам выборки.

2. Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

3. Найдите точечную оценку параметра λ.

4. Вычислите доверительный интервал для λ с заданным значением доверительной вероятности α.

5. Постройте график зависимости Δλ=λright – λleft от n для различных α.

Практическое задание №3

Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний n и числа m появлений события в серии из n испытаний.

Порядок выполнения работы:

1. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

2. Найдите точечную оценку параметра p.

3. Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности α.

Практическое задание №4.

Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn) из двумерной случайной величины.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите выборочные средние для x, y.

3. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня стандартного нормального распределения.

4. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции.

5. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности. 

7. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции по другой формуле.

8. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности α, используя точечную оценку коэффициента корреляции, найденную в п.7.

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81020. Идеализм как школа международных отношений 35.05 KB
  Основной целью стало выработка моделей нормативного ведения мировых отношений. Идеалисты отрицали силовые и военные средства как регуляторы международных отношений ориентируясь на институты международного права. Однако послевоенный мир и вторая мировая война выявили несостоятельность идеалистической концепции регулирования международных отношений.
81021. Традиционализм и модернизм как направление дискуссии в теории международных отношений 32.17 KB
  Модернисты рассматривали национальные государства в качестве автономных властных систем которые испытывает влияние других субъектов международных отношений и определенным образом реагирует на уровне внешней политики. Основная задача в ТМО – смоделировать поведение того или иного государства при воздействии внешних субъектов и спрогнозировать поведение. Традиционалисты акцентируют внимание на необходимости учета в анализе МО тех факторов которые относятся к культурным особенностям государств: влияние традиций обычаев национального...
81022. Неомарксизм как школа международных отношений 35.5 KB
  Были введены такие понятия как страны 3го мира страны 2го мира мирэкономика и мирсистема. Мирэкономика отображает самую общую систему взаимодействия международных акторов где ведущую роль играют самые экономически сильные государства. Основные черты мирэкономики: всемирная организация и универсализация общества координация производственных комплексов из единого центра интернализация капиталов и уменьшение государственного вмешательства в мир финансов В условиях мирэкономики ослабляется защита суверенных государств правительства...
81023. Французская социологическая школа в теории международных отношений 36.25 KB
  В основе полемологии комплексное изучение войн конфликтов и других форм коллективной агрессивности с привлечением методов демографии математики биологии и других точных и естественных наук.
81024. Геополитические теории международных отношений 36.52 KB
  Спайкман как представитель геополитической теории высказывает мнение что глобальная безопасность в мире может быть обеспечена контролем за материковой каймой т. Современные геополитические теории дополнены культурологическим материалом спор цивилизации хантингтона а также теорией золотого миллиарда.
81025. Основания глобализации. Этапы глобализации 38.97 KB
  Этапы глобализации. Первая фаза глобализации относятся к рубежу 1920 веков в результате научнотехнической революции роста экономики появления СМК и возможности свободного перемещения в пространстве. Предпосылки второй стадии глобализации складываются после второй мировой войны.
81026. Экономическая глобализация на современном этапе международных отношений 35.92 KB
  Экономическая глобализация началась в средние века завершается образованием глобальных сверкорпораций. Глобализация экономики с одной стороны создает условия доступа стран к передовым достижениям человечества обеспечивает экономию ресурсов стимулирует мировой прогресс а с другой – закрепляет периферийные модели экономики потерю сырьевых интеллектуальных и трудовых ресурсов странами не входящих в золотой миллиард разорение малого бизнеса и безальтернативную конкуренцию между сильным и слабым. Экономическая глобализация – процесс более...
81027. Политическая глобализация на современном этапе международных отношений 38.13 KB
  В тоже время политическая глобализация несет угрозу суверенитету любого государства. Политическая глобализация обеспечивается сетью транснациональных связей и отношений: деятельность международных организаций международных трибуналов экономических организаций МВФ Всемирный Банк. Тем не менее глобализация является объективным явлением современного мира которое воздействуя на мировое сообщество приводит его к новому состоянию.
81028. Культурная глобализация на современном этапе международных отношений 37.16 KB
  Как процесс многогранный и по всей видимости необратимый глобализация характеризуется такими явлениями которые обуславливают собой неоднозначное отношение к ним. Существует другая точка зрения согласно которой не смотря на то что люди во всем мире все более и более подвергаются воздействию иных культур через торговлю путешествия и СМИ глобализация рынков не приведет к снижению разнородности культур.