7238

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Дов...

Русский

2013-01-20

450.5 KB

49 чел.

ТЕМА: Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии. Доверительный интервал для параметров пуассоновского распределения. Доверительный интервал для вероятности. Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Теоретический материал

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины.

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными знаниями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью α и рассмотрим выборку x1, x2, …..,xn из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине ξ, имеющей распределение Fξ (x,θ), где θ – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две такие функции θ1(x1, x2, …..,xn) и θ2 (x1, x2, …..,xn) , для которых:

1) θ1(x1, x2, …..,xn) < θ2 (x1, x2, …..,xn) при всех x1, x2, …..,xn ;

2) Р (θ1<θ<θ2) = 1 – α

В этом случае интервал (θ1, θ2) называется доверительным интервалом для параметра θ, соответствующим доверительной вероятности 1-α.

Распределение статистических оценок в большинстве случаев достаточно точно описывается такими законами распределения, как нормальный, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора. Нормальное распределение было рассмотрено ранее. Рассмотрим остальные виды распределения.

1. Распределение хи - квадрат

Определение. Пусть Х1, Х2,…Хп - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равным единице. Тогда закон распределения суммы квадратов случайных величин

называется законом хи-квадрат с n степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид

где  - гамма – функция, для которой выполняется равенство Г(n+1)=n!.

Для случайной величины  плотность распределения имеет вид

  

2. Распределение Стьюдента

Определение. Пусть X012,…,Хn -  независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (T - распределение) с n степенями свободы.

В практических задачах используется также случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Плотность вероятность случайной величины Т имеет вид

где

3. Распределение Фишера—Снедекора

Определение. Пусть Х12,…,Хn, У1, Y2,…Ym - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и средними квадратичными отклонениями, равными единице. Тогда случайная величина

имеет распределение Фишера - Снедекора сn и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины Fnm имеет вид

где

Если случайные величины X и Y связаны, например, с помощью выборочных средних, то случайная величина

имеет распределение Фишера—Снедекора с числом степеней свободы:

k=n-1, l=m-1.

Практическое задание №1.

Найдите доверительные интервалы для математического ожидания  и дисперсии

по заданной выборке x1, x2, …..,xn из нормального распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите точечные оценки  и .

3. Вычислите 95%-ный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

4. Вычислите 90%-ный доверительный интервал для дисперсии.

Практическое задание №2.

Найдите доверительный интервал для параметра λ по заданной выборке x1, x2, …..,xn из пуассоновского распределения.

Порядок выполнения работы:

1. Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром λ по первым 100, 150,200,….,500 элементам выборки.

2. Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

3. Найдите точечную оценку параметра λ.

4. Вычислите доверительный интервал для λ с заданным значением доверительной вероятности α.

5. Постройте график зависимости Δλ=λright – λleft от n для различных α.

Практическое задание №3

Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний n и числа m появлений события в серии из n испытаний.

Порядок выполнения работы:

1. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня 1-0.5α стандартного нормального распределения.

2. Найдите точечную оценку параметра p.

3. Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности α.

Практическое задание №4.

Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn) из двумерной случайной величины.

Порядок выполнения работы:

1. Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.

2. Вычислите выборочные средние для x, y.

3. Найдите для заданного значения доверительной вероятности квантиль уровня стандартного нормального распределения.

4. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции.

5. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности. 

7. Найдите точечную оценку коэффициента корреляции по другой формуле.

8. Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности α, используя точечную оценку коэффициента корреляции, найденную в п.7.

PAGE   \* MERGEFORMAT 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8532. Философия науки неопозитивизма: основные концепции 23.06 KB
  Философия науки неопозитивизма: основные концепции Третий этап позитивизма: неопозитивизм. (40-е гг. 20 в.) Основные представители: Шлик, Нейрат, Карнар, Айер. Главная задача философии неопозитивизма - это анализ языка науки, поэтому этот этап ...
8533. Постпозитивизм. проблема демаркации эмпирических и теоретических наук 19.63 KB
  Постпозитивизм. проблема демаркации эмпирических и теоретических наук Позитивизм - направление в науке и философии, исходящее из позитивного, т. е. из данного, устойчивого, фактического, несомненного, и ограничивает им свое изложение и исслед...
8534. Бытие как философская категория: основные формы и диалектика бытия 21.33 KB
  Бытие как философская категория: основные формы и диалектика бытия Бытие —- это философская категория, обозначающая независимое от сознания существование объективной реальности - космоса, природы, человека. Впервые понятие...
8535. История развития философского понятия материя 20.26 KB
  История развития философского понятия материя Уже в древности философы пытались представить видимое многообразие вещей как проявление видимого начала. Это общее, несотворимая и неуничтожимая основа всех вещей получила название субстанции. Формирован...
8536. Движение как коренное свойство материи 14.71 KB
  Движение как коренное свойство материи Материя обладает неотъемлемыми свойствами - атрибутами, главными из которых являются движение, пространственно временная определенность и отражение. Структурность материи, существование в ней определенного типа...
8537. Пространство и время как форма существования материи 19.78 KB
  Пространство и время как форма существования материи Пространство - это объективная форма существования материи, которая характеризует взаимное расположение материальных объектов способность их занимать определенный об и иметь определенную форму, с...
8538. Теория познания: проблема познаваемости в философии. Сенсуализм рационализм 19.04 KB
  Теория познания: проблема познаваемости в философии. Сенсуализм рационализм На первых этапах исторического развития человеческой цивилизации потребность в познании мира в той или иной мере удовлетворялась в мифологическом и религиозных объяснениях п...
8539. Понятие истины: Объективность, противоречивость, процессуальность, конкретность 19.15 KB
  Понятие истины: Объективность, противоречивость, процессуальность, конкретность. Истина - гносеологическая характеристика мышления в его отношении к своему предмету. Имеются разные понимания истины.: Истина - это соответствие знаний действитель...
8540. Диалектика абсолютной и относительной истины 15.98 KB
  Диалектика абсолютной и относительной истины. Истина - такое знание, которое отражает объективную реальность предмета, процесса, явления такими, какими они есть на самом деле. Истина объективна, это проявляется в том, что содержание нашего знания не...