7239

Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии. Точечная оценка вероятности события

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии. Точечная оценка вероятности события. Точечная оценка параметров равномерного распределения. п.1. Точечные оценки математического ожидания. Предположим, что функция распределе...

Русский

2013-01-20

537 KB

100 чел.

ТЕМА: Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии. Точечная оценка вероятности события. Точечная оценка параметров равномерного распределения.

п.1. Точечные оценки математического ожидания.

Предположим, что функция распределения случайной величины ξ зависит от неизвестного параметра θ: P (ξ < x) =Fξ (x θ;).

Если x1, x2…., xn- выборка из генеральной совокупности случайной величиныξ, то оценкой параметра θ называется произвольная функция от выборочных значений

Значение оценки меняется от выборки к выборке и, значит, есть случайная величина. В большинстве экспериментов значение этой случайной величины близки к значению оцениваемого параметра, если для любого значения n математическое ожидание величины равно истинному значению параметра, то оценки , удовлетворяющие условию   называются несмещенными. Несмещенность оценки означает, что эта оценка не несет в себе систематической ошибки.

Оценка называется состоятельной оценкой параметра θ, если для любого ξ>0 справедливо

Таким образом, с ростом объема выборки увеличивается точность результата.

Пусть x1, x2xn – выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине ξ с неизвестным математическим ожиданием  и известной дисперсией Dξ=σ2. Построим несколько оценок неизвестного параметра. Если  , то , т.е. рассматриваемая оценка является несмещенной оценкой. Но, поскольку значение вообще не зависит от объема выборки n, то оценка    не является состоятельной.

Эффективной оценкой математического ожидания нормально распределенной случайной величины является оценка


Впредь для оценки неивестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее, т. е.


Существуют стандартные (регулярные) методы получения оценок неизвестных параметров распределения. Наиболее известные из них: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.

п.2 Точечные оценки дисперсии.

Для дисперсии σ2 случайной величины ξ можно предложить следующую оценку:

где  — выборочное среднее.

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.

 В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии  используют величину

Именно несмещенностью оценки s2 объясняется ее более частое использование в качестве оценки величины Dξ.

Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки дисперсии величину , а не s2: функция var(x) вычисляет величину

где mean (x) —выборочное среднее  .

ЗАДАНИЕ 6.5

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания Μξ и дисперсии Dξ случайной величины ξ по приведенным в задании выборочным значениям .

Порядок выполнения задания

  1.  Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.
  2.  Вычислите точечные оценки Μξ и Dξ.

Пример выполнения задания

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания Μξ и дисперсии Dξ случайной величины ξ по выборочным значениям, заданным следующей таблицей.

x

904.3

910.2

916.6

928.8

935.0

941.2

947.4

953.6

959.8

966.0

972.2

978.4

n

1

3

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

Для выборки, заданной таблицей такого типа (приведено выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это значение встречается в выборке),  формулы для состоятельных несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии имеют вид:

,      ,        

где k — количество значений в таблице; ni — количество значений xi в выборке; n — объем выборки.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями точечных оценок приведен ниже.

Из приведенных вычислений видно, что смещенная оценка дает заниженное значение оценки дисперсии.

п.3. Точечная оценка вероятности события

Предположим, что в некотором эксперименте событие А (благоприятный исход испытания) происходит с вероятностью p и не происходит с вероятностью q = 1 — р. Задача состоит в получении оценки  неизвестного параметра распределения p по результатам серии n случайных экспериментов. При заданном числе испытаний n количество благоприятных исходов m в серии испытаний — случайная величина, имеющая распределение Бернулли. Обозначим ее буквой μ.

Если событие А в серии из n независимых испытаний произошло

m раз, то оценку  величины p предлагается вычислять по формуле

.

Выясним свойства предлагаемой оценки. Поскольку случайная величина μ имеет распределение Бернулли, то Μμ=np и M = M  = р, т.е. налицо несмещенная оценка.

Для испытаний Бернулли справедлива теорема Бернулли, согласно которой, т.е. оценка p состоятельная.

Доказано, что эта оценка эффективна, так как обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли, предназначена функция rbinom(fc,η,ρ), которая формирует вектор из к случайных чисел, και ждое из которых равно числу успехов в серии из η независимых испытаний с вероятностью успеха ρ в каждом.

ЗАДАНИЕ 6.6

Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданным значением параметра р. Вычислите для каждой выборки оценку параметра p и сравните с заданным значением. Представьте результаты вычислений графически.

Порядок выполнения задания

1. Используя функцию rbinom(1, n, p), опишите и сформируйте последовательность значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданными p и n для n =  10, 20, ..., Ν, как функцию объема выборки п.

2. Вычислите для каждого значения n точечные оценки вероятности р.

Пример выполнения задания

Пример получения точечных оценок выборок объема n = 10, 20,..., 200 значений случайной величины μ, имеющей распределение Бернулли с параметром p = 0.3, приведен ниже.

Указание. Поскольку значением функции является вектор, число успехов в серии n независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании содержится в первой компоненте вектора rbinom(1,n,p) , т.е. число успехов равно rbinom(1, n, p). В приведенном выше фрагменте k-я компонента вектора Ρ содержит число успехов в серии 10k независимых испытаний для k = 1,2,..., 200.

п. 4. Точечная оценка параметров равномерного распределения

Обратимся еще к одному поучительному примеру. Пусть — выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине ξ, имеющей равномерное распределение на отрезке [0, θ] с неизвестным параметром θ. Наша задача — оценить этот неизвестный параметр.

Рассмотрим один из возможных способов построения требуемой оценки. Если ξ — случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0, θ], то Μ ξ = . Поскольку оценка величины  известна, Μξ =, то за оценку параметра θ можно взять оценку

Несмещенность оценки очевидна:

Вычислив дисперсию  и предел D при n →∞, убедимся в состоятельности оценки :

при n→∞

Для получения другой оценки параметра θ обратимся к другой статистике. Пусть = max). Найдем распределение случайной величины:

,

0.

Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины

с распределением равны соответственно:

 ;  

т.е. оценка состоятельная, но смещенная. Однако если вместо = max) рассмотреть = max), то и , и, следовательно, оценка состоятельная и несмещенная.

При этом, поскольку

β0(ΐ)~η + 2

оценка

существенно эффективнее оценки

Например, при п= 97 разброс оценки θ^ в 33 рала меньше разброса оценки

Последний пример еще раз показывает, что выбор статистической оценки неизвестного параметра распределения — важная и нетривиальная задача.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, Ь], предназначена функция runif(fc,o,b), которая формирует вектор из к случайных чисел, каждое из которых — значение равномерно распределенной на отрезке [а, 6] случайной величины.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22351. Теоремы Лиувилля и Мореры 98 KB
  По определению аналитическая функция это функция комплексной переменной обладающая производной в каждой точке некоторой области D. Если функция fz аналитична в области D и непрерывна в то она обладает в каждой точке D производными всех порядков причем n я производная представляется формулой 1 где C граница области D. По определению производной и формуле Коши имеем: Но очевидно что при функция равномерна для всех на C стремиться к и следовательно по теореме 2 предыдущей лекции для случая семейства функций...
22352. Представление аналитических функций рядами 464 KB
  Ряды Тейлора. при каких условиях функция представима своим рядом Тейлора с центром в точке : 4 даёт Теорема 1 Коши. Функция представима своим рядом Тейлора 4 в любом открытом круге с центром в точке в котором она аналитична.
22353. Ряды Лорана 269.5 KB
  Поэтому обе формулы можно объединить в одну: 7 Полученное разложение 6 функции fz по положительным и отрицательным степеням za с коэффициентами определяемыми по формулам 7 называется лорановским разложением функции fz с центром в точке a; ряд 2 называется правильной а ряд 4 главной частью этого разложения. и в нашем рассуждении могут быть взяты сколь угодно близкими к r и R а q может сколь угодно мало отличаться от 1 то разложение 6 можно считать справедливым для...
22354. Примеры особых точек 2.06 MB
  Функции имеют в начале координат устранимую особую точку. Функции имеют начале координат существенную особую точку. Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для функции . Целые функции.
22355. Бесконечно удаленная точка 682.5 KB
  Пусть функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки кроме самой точки . В этом случае функция очевидно ограничена и в некоторой окрестности точки . Пусть функция аналитична в полной поскости. Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем .
22356. Приложение теории вычетов 797 KB
  Напомним что мероморфной называется функция fz все конечные особые точки которой являются полюсами. в любой ограниченной области такая функция может иметь лишь конечное число полюсов то все ее полюсы можно пронумеровать например в порядке не убывания модулей: Будем обозначать главную часть fz в точке т. Если мероморфная функция fz имеет лишь конечное число полюсов и кроме того является либо правильной регулярной ее точкой либо полюсом то эта функция представляется в виде суммы своих главных частей 3 и...
22357. Обращение степенных рядов 217.5 KB
  Выберем число столь малым чтобы в круге функция обращалась в нуль только в точке . Каждое значение из круга функция принимает в круге только один раз. В самом деле на окружности выполняется неравенство и по теореме Руше функция имеет в круге столько же нулей сколько и функция т. Итак пусть тот круг в котором функция принимает каждое значение ровно один раз а область плоскости ограниченная кривой кривая является простой кривой т.
22358. Аналитическое продолжение 680.5 KB
  Представляет большой интерес вопрос нельзя ли расширить область определения этой функции сохранив регулярность. Функцию регулярную в области содержащей и совпадающую с регулярной в области называют аналитическим продолжением функции на область . Если аналитическое продолжение регулярной функции в данную более широкую область определения возможно то оно возможно лишь единственным образом. В самом деле пусть существуют два аналитических продолжения и функции регулярной в области в одну и туже область .