7239

Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии. Точечная оценка вероятности события

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии. Точечная оценка вероятности события. Точечная оценка параметров равномерного распределения. п.1. Точечные оценки математического ожидания. Предположим, что функция распределе...

Русский

2013-01-20

537 KB

98 чел.

ТЕМА: Точечные оценки математического ожидания. Точечные оценки дисперсии. Точечная оценка вероятности события. Точечная оценка параметров равномерного распределения.

п.1. Точечные оценки математического ожидания.

Предположим, что функция распределения случайной величины ξ зависит от неизвестного параметра θ: P (ξ < x) =Fξ (x θ;).

Если x1, x2…., xn- выборка из генеральной совокупности случайной величиныξ, то оценкой параметра θ называется произвольная функция от выборочных значений

Значение оценки меняется от выборки к выборке и, значит, есть случайная величина. В большинстве экспериментов значение этой случайной величины близки к значению оцениваемого параметра, если для любого значения n математическое ожидание величины равно истинному значению параметра, то оценки , удовлетворяющие условию   называются несмещенными. Несмещенность оценки означает, что эта оценка не несет в себе систематической ошибки.

Оценка называется состоятельной оценкой параметра θ, если для любого ξ>0 справедливо

Таким образом, с ростом объема выборки увеличивается точность результата.

Пусть x1, x2xn – выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине ξ с неизвестным математическим ожиданием  и известной дисперсией Dξ=σ2. Построим несколько оценок неизвестного параметра. Если  , то , т.е. рассматриваемая оценка является несмещенной оценкой. Но, поскольку значение вообще не зависит от объема выборки n, то оценка    не является состоятельной.

Эффективной оценкой математического ожидания нормально распределенной случайной величины является оценка


Впредь для оценки неивестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее, т. е.


Существуют стандартные (регулярные) методы получения оценок неизвестных параметров распределения. Наиболее известные из них: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.

п.2 Точечные оценки дисперсии.

Для дисперсии σ2 случайной величины ξ можно предложить следующую оценку:

где  — выборочное среднее.

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.

 В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии  используют величину

Именно несмещенностью оценки s2 объясняется ее более частое использование в качестве оценки величины Dξ.

Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки дисперсии величину , а не s2: функция var(x) вычисляет величину

где mean (x) —выборочное среднее  .

ЗАДАНИЕ 6.5

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания Μξ и дисперсии Dξ случайной величины ξ по приведенным в задании выборочным значениям .

Порядок выполнения задания

  1.  Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.
  2.  Вычислите точечные оценки Μξ и Dξ.

Пример выполнения задания

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания Μξ и дисперсии Dξ случайной величины ξ по выборочным значениям, заданным следующей таблицей.

x

904.3

910.2

916.6

928.8

935.0

941.2

947.4

953.6

959.8

966.0

972.2

978.4

n

1

3

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

Для выборки, заданной таблицей такого типа (приведено выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это значение встречается в выборке),  формулы для состоятельных несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии имеют вид:

,      ,        

где k — количество значений в таблице; ni — количество значений xi в выборке; n — объем выборки.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями точечных оценок приведен ниже.

Из приведенных вычислений видно, что смещенная оценка дает заниженное значение оценки дисперсии.

п.3. Точечная оценка вероятности события

Предположим, что в некотором эксперименте событие А (благоприятный исход испытания) происходит с вероятностью p и не происходит с вероятностью q = 1 — р. Задача состоит в получении оценки  неизвестного параметра распределения p по результатам серии n случайных экспериментов. При заданном числе испытаний n количество благоприятных исходов m в серии испытаний — случайная величина, имеющая распределение Бернулли. Обозначим ее буквой μ.

Если событие А в серии из n независимых испытаний произошло

m раз, то оценку  величины p предлагается вычислять по формуле

.

Выясним свойства предлагаемой оценки. Поскольку случайная величина μ имеет распределение Бернулли, то Μμ=np и M = M  = р, т.е. налицо несмещенная оценка.

Для испытаний Бернулли справедлива теорема Бернулли, согласно которой, т.е. оценка p состоятельная.

Доказано, что эта оценка эффективна, так как обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли, предназначена функция rbinom(fc,η,ρ), которая формирует вектор из к случайных чисел, και ждое из которых равно числу успехов в серии из η независимых испытаний с вероятностью успеха ρ в каждом.

ЗАДАНИЕ 6.6

Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданным значением параметра р. Вычислите для каждой выборки оценку параметра p и сравните с заданным значением. Представьте результаты вычислений графически.

Порядок выполнения задания

1. Используя функцию rbinom(1, n, p), опишите и сформируйте последовательность значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданными p и n для n =  10, 20, ..., Ν, как функцию объема выборки п.

2. Вычислите для каждого значения n точечные оценки вероятности р.

Пример выполнения задания

Пример получения точечных оценок выборок объема n = 10, 20,..., 200 значений случайной величины μ, имеющей распределение Бернулли с параметром p = 0.3, приведен ниже.

Указание. Поскольку значением функции является вектор, число успехов в серии n независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании содержится в первой компоненте вектора rbinom(1,n,p) , т.е. число успехов равно rbinom(1, n, p). В приведенном выше фрагменте k-я компонента вектора Ρ содержит число успехов в серии 10k независимых испытаний для k = 1,2,..., 200.

п. 4. Точечная оценка параметров равномерного распределения

Обратимся еще к одному поучительному примеру. Пусть — выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине ξ, имеющей равномерное распределение на отрезке [0, θ] с неизвестным параметром θ. Наша задача — оценить этот неизвестный параметр.

Рассмотрим один из возможных способов построения требуемой оценки. Если ξ — случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0, θ], то Μ ξ = . Поскольку оценка величины  известна, Μξ =, то за оценку параметра θ можно взять оценку

Несмещенность оценки очевидна:

Вычислив дисперсию  и предел D при n →∞, убедимся в состоятельности оценки :

при n→∞

Для получения другой оценки параметра θ обратимся к другой статистике. Пусть = max). Найдем распределение случайной величины:

,

0.

Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины

с распределением равны соответственно:

 ;  

т.е. оценка состоятельная, но смещенная. Однако если вместо = max) рассмотреть = max), то и , и, следовательно, оценка состоятельная и несмещенная.

При этом, поскольку

β0(ΐ)~η + 2

оценка

существенно эффективнее оценки

Например, при п= 97 разброс оценки θ^ в 33 рала меньше разброса оценки

Последний пример еще раз показывает, что выбор статистической оценки неизвестного параметра распределения — важная и нетривиальная задача.

В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, Ь], предназначена функция runif(fc,o,b), которая формирует вектор из к случайных чисел, каждое из которых — значение равномерно распределенной на отрезке [а, 6] случайной величины.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46590. Радиационная, химическая и медико-биологическая защита населения 21.14 KB
  Она реализуется тремя способами защиты: 1 укрытие населения в защитных сооружениях; 2 рассредоточение в загородной зоне работников предприятий и других объектов экономики продолжающих трудиться в городах а также эвакуация из этих городов населения; 3 использование населением СИЗ. Щель не обеспечивает защиту людей от ОВ и БВ поэтому необходимо применение СИЗ. Применение СИЗ и медицинских СЗ. Как известно СИЗ подразделяются на СЗ органов дыхания и кожи.
46591. Реформирование системы государственной власти и законодательства 1985-1991 гг 21.17 KB
  было заменено 70 членов Политбюро 60 секретарей областных партийных организаций 40 членов ЦК КПСС. был смещен первый секретарь Московского горкома КПСС В. состоялся XXVII съезд КПСС который изменил Программу партии. На январском пленуме ЦК КПСС в 1987 г.
46592. Организационные основы обеспечения ОТ на предприятиях 21.25 KB
  Они вытекают из обязанностей и прав по ОТ работодателя и работника которые регламентируются КЗоТом РФ и Основами законодательства РФ об ОТ далее Основами. 3 Основ закрепляет признание и обеспечение приоритета жизни и здоровья работников по отношению к результатам производственной деятельности предприятия. 139 КЗоТ РФ основной обязанностью работодателя по ОТ является обеспечение здоровых и безопасных УТ на каждом РМ. Поэтому он обязан внедрять современные средства ТБ предупреждающие травматизм и обеспечивать санитарногигиенические...
46593. Архитектурная акустика 21.46 KB
  Термическое сопротивление. Сопротивление теплопередаче ограждающей конструкции.Требуемое сопротивление теплопередаче. Сопротивление теплопередаче.
46594. Методика преподавания на профильном уровне. Элективный курс по художественному профилю и специфика его разработки 21.48 KB
  Макаренко в своем учении выделяет несколько стадий этапов:1 стадия становление коллектива стадия первоначального сплочения.актив поддерживает требования педагога и сам предъявляет их к членам колва руководствуясь своими понятиями о том что приносит пользу а что ущерб интересам коллектива. Если активисты правильно понимают потребности коллектива то они становятся надежными помощниками педагога.Происходит стабилизация структуры коллектива.
46595. Мовне законодавство в Україні 21.5 KB
  Мовне законодавство в Україні. В Україні державна мова закріплена першою частиною десятої статті Конституції України відповідно до якої державною мовою в Україні є українська мова. Окрім того вживання мов в Україні регулюється Законом Української РСР Про мови в Українській РСР . Мовна ситуація в Україні є доситьтаки суперечливою і законодавство зовсім її не спрощує.
46596. Пряме й переносне значення слова. Вияви полісемії в різностильових текстах 21.5 KB
  Пряме й переносне значення слова. Пряме значення слова це дефініція слова яка безпосередньо вказує на його співвідношення з тією чи іншою ознакою об'єктивної дійсності як це історично закріпилося у свідомості мовців. Це первинне значення слова. Переносне значення слова це одне із значень слова яке виникло внаслідок перенесення одних ознак предметів чи явищ на інші.
46597. Синонімія, види синонімів. Роль синонімів у різностильових текстах 21.5 KB
  Синонімія це сукупність синонімів тієї чи іншої мови а також розділ науки про мову у якому вивчаються синоніми як одиниці мови. Синоніми це слова однієї частини мови що мають близьке лексичне значення але відрізняються за формою. Традиційно виділяють загальномовні синоніми зрозумілі для кожного носія мови граний красивий; контекстуальні або авторські синоніми у конкретному тексті. Окремо виділяють абсолютні синоніми слова які мають тотожні значення лелека чорногуз сум смуток століття сторіччя.
46598. Неологізми, архаїзми, історизми в українській літературній мові 21.5 KB
  За вживанням вона поділяється на активну слова що регулярно вживаються в певній сфері діяльності тобто щоденні слова та професіоналізми пасивну застарілі слова та неологізми. Застарілі слова слова що перестали активно вживатися носіями мови. До них відносять архаїзми слова які називають поняття які існують і в наш час пїїт поет спудей студент загально повільно; історизми слова які позначають поняття які зникли комсорг волость хорунжий Існує багато причин чому слова відходять до пасивного вжитку зокрема і...