7243

Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения. К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации....

Русский

2013-01-20

398.5 KB

68 чел.

ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения.

К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации.

п.1 Числовые характеристики выборки: показатели положения

Статистический начальный момент первого порядка (аналог математического ожидания) называется выборочной средней, обозначается  х и представляет собой среднее арифметическое

Всех значений признака Х , попавших в выборку:

=

В Mathcad для вычисления выборочного среднего значения выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция mean(А).

Если варианты  х1,…,хк имеют соответсвующие частоты (n1,…, nк ), то

=

,где n1 +n2 +…+   nk =n

Среднее арифметическое N значений признака в генеральной совокупности называется генеральной средней и обозначается а. По существу это математическое ожидание изучаемой случайной величины Х, оно неизвестно и подлежит лишь приближённой оценке с помощью выборочной средней.

Выборочной дисперсией (dn) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего. Если  хi  различны, то

dn  =     

Если значение выборки имеет соответсвующие частот

dn =

 Однако в статистике чаще в качестве выборочной дисперсии используется величина

S2=

В  Mathcad для определения дисперсии выборки, сохранённой в матрице А, предназначена функция var(А), а величину s2 можно вычислить по формуле

s2=

Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратичным отклонением:  σв =

Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле

Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.

Выборочный эксцесс определяется следующим образом. Сначала отыскивается величина выборочного центрального момента 4-го порядка

=  

А затем по формуле        

             вычисляется выборочный эксцесс.

Показатели асимметрии. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле

Где    

                                                   - выборочный центральный  момент 3-го порядка, а - стандартное отклонение.

К числу характеристик случайного признака в выборке относятся и так называемые мода, медиана, коэффициент вариации.

Модой эмпирического распределения называется наиболее часто повторяющееся значение случайного признака.  Для дискретного вариационного ряда мода определяется просто - это тот признак, у которого частота наибольшая. Но если дискретный ряд получен из интервального, то более точной является мода, найденная по формуле

М0=,

Где  - нижняя граница модального интервала;

m0 – частота модального интервала;

m-1 –частота интервала, предшествующего модальному;

m+1 - частота интервала, следующего за модальным;

h-шаг ряда.

Выборочной квантилью уровня р называется решение уравнения

Fn(x) = p,

В частности, выборочная медиана есть решение уравнения Fn(x) = 0.5, т.е. выборочная медиана – это выборочная квантиль уровня 0.5.Выборочная медиана разбивает выборку пополам: слева и справа от нее оказывается одинаковое число элементов выборки. Если число элементов выборки четно, n = 2k, то выборочную медиану определяют по формуле  
   , где xk  и   xk+1 -  k-е и (k+1)-е выборочные значения из вариационного ряда.

При нечетном объеме выборки (n = 2k + 1) в качестве значения медианы принимают величину xk + 1.

В Mathcad для вычисления выборочной медианы выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция median(A).

Коэффициентом вариации называют отношение выборочного среднего квадратичного отклонения  σв к выборочной средней х, выраженное в процентах:

V=

Коэффициент вариации характеризует долю среднего квадратичного отклонения, приходящуюся на единицу изучаемого признака.

При увеличении числа наблюдений выборочные характеристики сходятся по вероятности к соответствующим параметрам генеральной совокупности.  Но это лишь теоретически. На практике выборочные моменты всегда отличаются от генеральных, и задачей математической статистики является разработка методов оценивания параметров случайного признака по результатам выборки.


145.61

143.206

145.267

140.485

133.143

150.435

148.794

155.564

171.918

158.087

159.851

158.622

159.156

156.73

139.557

150.691

142.444

156.967

148,181

143,556

142,769

144,834

155,58

147,552

150,895

162,618

142,945

150,019

161,076

158,926

120,991

128,429

152,06

143,842

138,023

150,99

157,708

153,059

150,113

142,355

145,909

143,262

148,678

160,181

151,805

155,133

157,398

149,837

152,788

151,622

154,285

145,248

143,045

180,482

147,135

137,201

157,594

146,073

137,964

139,631

149,807

150,32

152,649

154,915

152,383

143,155

133,852

164,113

159,715

138,44

151,437

166,972

146,797

129,688

135,888

136,747

144,829

150,621

144,042

146,693

155,391

152,186

154,05

138,441

138,949

138,966

145,927

136,867

121,596

162,762

157,911

151,429

139,937

140,73

141,22

152,777

145,978

163,02

136,219

153,803

154,377

167,603

143,527

155,51

165,465

131,784

163,079

139,511

154,591

139,478

137,579

154,241

130,834

148,761

154,132

164,656

137,711

146,154

154,763

151,862

151,96

155,206

159,229

159,314

158,972

152,601

143,066

154,656

148,493

141,368

171,144

137,64

133,062

153,865

135,711

145,891

158,742

144,311

140,903

141,323

160,971

139,771

131,484

156,247

142,623

155,409

156,641

155,196

151,459

149,488

153,16

152,488

148,294

145,475

152,937

151,507

140,659

157,925

157,163

160,438

158,11

156,17

147,549

149,142

156,848

157,911

153,578

147,887

148,445

151,36

158,639

169,584

150,688

155,646

155,572

168,911

164,788

127,059

156,623

145,593

145,263

150,889

143,012

153,472

141,25

169,001

122,741

158,702

171,791

160,849

161,757

140,286

134,241

154,64

164,744

161,654

142,365

155,094

154,96

141,977

143,729

144,466

146,54

145,355

152,509

146,266

147,269

162,895

151,941

170,865

134,377

150,79

154,205

166,274

156,198

132,828

136,274

173,96

157,332

149,975

141,54

139,826

133,692

139,462

161,159

159,455

157,597

139,385

145,867

166,069

150,237

146,685

145,436

153,969

154,961

149,211

150,83

154,224

142,28

148,655

135,371

152,018

166,807

140,923

157,864

148,745

138,823

157,239

151,912

141,182

При первичной обработке выборочных данных можно рекомендовать несколько общих правил:
1. Перед началом группировки следует упорядочить выборочные значения в порядке возрастания. Такая упорядоченная в порядке возрастания выборка называется
вариационным рядом.
2. При выборе числа интервалов группировки следует ориентироваться на 10-20 интервалов.
З. Предпочтительнее использовать интервалы одинаковой длины.
4. При анализе охватывайте всю область данных.
5
. Избегайте полуоткрытых промежутков.
6. Интервалы группировки не должны перекрываться.

Определяем столбец выборных значений . выполняем группировку для заданных значений m.

Упорядочиваем выборку в порядке возрастания выборных значений, минимальное и максимальное значение, а также ее размах.

Определяем число интервалов группировки и их длину.

Определяем вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.

Определяем вектор столбец частот для полученных интервалов группировки.

Определяем вектор-столбец накопленных частот.

Строим гистограмму, полигон частот.

Строим полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот

Определяем эти же значения для m=10,20,100

Эмпирические распределения и характеристики


ЗАДАНИЕ №1.
Вычислите максимальное, минимальное значения и размах для заданной части приведенной выше выборки. Выполните группировку для заданных значений
m, постройте соответствующие гистограммы, полигоны частот и полигоны накопленных частот.
Порядок выполнения задания
1. Определите и  введите вектор-столбец выборочных значений.

В данной выборке i=0…250. Чтобы ввести вектор-столбец выборочных значений, выполняем команды: Вставка-Компонент- Таблица(Input Table). Вводим и сохраняем 250 выборочных значений в массиве с именем ξ.При необходимости можно изменить свойства таблицы, используя команды Свойства-Формат контекстного меню. Существует и другой способ ввода данных-с помощью функции  READ(file), которая считывает значение из файла и присваивает его переменной.Надо указывать полное имя файла, в котором заранее введены и сохранены таблицы чисел.


2. Упорядочите выборку в порядке возрастания выборочных значений.

Прежде чем приступать к группировке выборки, необходимо упорядочить выборочные значения в порядке их возрастания. Эту операцию выполняет функция sort(ξ).


З. Вычислите минимальное значение и размах
 для полученной выборки, с помощью функций max(А), min(А).
4. Определите  число интервалов группировки и их длину.


5. Определите вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.

6. Определите с помощью функции hist(Х,ξ) вектор-столбец частот для полученных интервалов группировки.
7. Определите вектор-столбец накопленных частот.

8. Постройте гистограмму, полигон частот.
9. Постройте полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот.

10. Выполните вычисления пп. 6- 9 для всех заданных значений m=10, 20, 100.
11. Сохраните рабочий документ в файле на диске.

Числовые  характеристики выборки

Задание 2

Из полученной ранее выборки определяем максимальное и минимальное значение, а также размах выборки.

Определяем:

среднее значение (mean), выборочную дисперсию s2, стандартное отклонение 

выборочные моменты 3 и 4-го порядков выборочный эксцесс E, коэффициент асимметрии

Оценка функции распределения

Пошаговый ход работы.

1) Задаём значение

2) Вводим функцию N(z) с помощью клавиатуры:

  1.  С помощью последовательности «Вид-Панели инструментов-График» находим Декартов график и вставляем его. Отредактировав, границы (Снизу: вместо цифры 10 слева то z мы пишем 0,5; вместо 10 справа от z — 3. Справа: вместо цифры 12 снизу от z пишем 0, а вместо 13 - 4) , получаем нужный нам график:

  1.  Для получения формулы (которая вводиться с клавиатуры):

необходимо, после ввода формулы суммы:

необходимо прежде чем вставить условие

нужно с помощью пробела выделить всю формулу

для получения нужного нам результата.

Чтобы ввести вертикальную черту, нужно в программировании найти функцию Add Line. Функцию exp можно найти с помощью ctrl + E, затем выбрать «Логарифм». Подставив, значения как показаны на графике, получаем:

При соблюдении всей последовательности, проблем с работой и результатами возникнуть не должно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52277. Уроки державної мови 5.42 MB
  Ось що радить доктор філологічних наук Світлана Єрмоленко. У мовній практиці часом використовують ці лексеми як взаємозамінні. Але взаємозамінність у термінологічних висловах – річ небажана, і зрештою в кожному конкретному звороті утворюється якесь одне термінологічне слово, а інші, якщо вони не мають додаткових значеннєвих відтінків, виходять із літературно-нормативного вжитку.
52278. Бабуся – берегиня нашого роду 117 KB
  Та запросили у гості сьогодні тих людей яких обєднує не вік а високе почесне звання бабуся Ми зібралися великою родиною щоб вітати й вшановувати найрідніших найближчих нам людей. Що в мене є бабуся. Учитель: Так кого ж ми називаємо таким теплим іменем бабуся Діти відповідають а вчитель їх підводить до висновку що це мати мами або...
52279. Жизненная сила музыки И.С. Баха 69 KB
  Баха Цели и задачи урока: Закрепить понятие полифония на примерах вокального инструментального и произведения изобразительного искусства; Определить особенности содержания музыки И. Баха; Формировать: представление о стилистических особенностях музыки И. Баха понятие Сюита навыки хорового пения. Баха иллюстрации по теме урока стихи и высказывания по теме урока нотный материал.
52280. Бактериологическое оружие и его поражающие факторы 50.5 KB
  11й класс Цели: Познакомить учащихся с видами поражающими факторами бактериологического оружия. Обучить способам защиты от бактериологического оружия. Учебные вопросы: История применения бактериологического оружия. Краткая характеристика бактериологического оружия и его боевых свойств.
52281. Злочини бактерій проти людства 68 KB
  Характеристика холери менінгококової хвороби дифтерії туберкульозу сифілісу. Стан захворюваності на туберкульоз в Україні. Обладнання: ПК; мультимедійний проектор; презентації: Хвороботворні бактерії: вчора і сьогодні Туберкульоз підступний вбивця Профілактика бактеріальних хвороб ; оцінювальні завдання; слайд із відповідями на завдання; виставка газетбюлетенів: Кишкові інфекції Туберкульоз підступний вбивця Імунітет на сторожі здоров’я . Фтизіатри з’ясувати особливості збудника туберкульозу причини поширення...
52282. Випускний вечір 88 KB
  Веселинівської районної ради Миколаївської області Випускний вечір 2011 Звучать фанфари на сцену виходять ведучі Ведучий. Ведучий. Ведучий. На сьогоднішнє свято запрошуємо тих хто впродовж одинадцяти років вів винуватців сьогоднішніх урочистостей нелегкими стежками шкільних наук ті хто вчив читати і писати відкрив чудесні світи літератури та точних наук наші вчителі звучить музика виходять вчителі Ведучий.
52283. Осінній бал. Поетично – музичний вечір присвячений посвяті учнів 9 класу в старшокласники 54 KB
  Осінь нам дарує радість й спокій І чарівних квітів розмаїть Осінь – це пора прекрасних років Коли в повну силу треба жить В. Осінь уже не щедра на квіти. Вишиває осінь на канві зеленій золоті квітки Квіти оживають і з дерев спадають жовті ягідки. Вишиває осінь на канві зеленій золоті квітки В.
52285. ВИПУСКНИЙ БАЛ «ПРОЩАВАЙ ПОЧАТКОВА ШКОЛО! 67 KB
  Лунає музика для вас В садах бузок зацвів для вас І сонця промінь теж для вас Мої малятадружній клас Ми всі чекаємо на вас. Учні входять під музику до зали Учні по черзі Доброго днядорогі батьки вчителігості Ми раді вас вітати у цьому затишному залі. Сьогодні вас називають таким вагомим словом випускники. 1: Ми всі раді вас вітати На нашому сімейному святі.