7243
Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения
Лабораторная работа
Математика и математический анализ
ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения. К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации....
Русский
2013-01-20
398.5 KB
77 чел.
ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения.
К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации.
п.1 Числовые характеристики выборки: показатели положения
Статистический начальный момент первого порядка (аналог математического ожидания) называется выборочной средней, обозначается х и представляет собой среднее арифметическое
Всех значений признака Х , попавших в выборку:
=
В Mathcad для вычисления выборочного среднего значения выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция mean(А).
Если варианты х1,…,хк имеют соответсвующие частоты (n1,…, nк ), то
=
,где n1 +n2 +…+ nk =n
Среднее арифметическое N значений признака в генеральной совокупности называется генеральной средней и обозначается а. По существу это математическое ожидание изучаемой случайной величины Х, оно неизвестно и подлежит лишь приближённой оценке с помощью выборочной средней.
Выборочной дисперсией (dn) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего. Если хi различны, то
dn =
Если значение выборки имеет соответсвующие частот
dn =
Однако в статистике чаще в качестве выборочной дисперсии используется величина
S2=
В Mathcad для определения дисперсии выборки, сохранённой в матрице А, предназначена функция var(А), а величину s2 можно вычислить по формуле
s2=
Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратичным отклонением: σв =
Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.
Стандартное отклонение рассчитывается по формуле
Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.
Выборочный эксцесс определяется следующим образом. Сначала отыскивается величина выборочного центрального момента 4-го порядка
=
А затем по формуле
вычисляется выборочный эксцесс.
Показатели асимметрии. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле
Где
- выборочный центральный момент 3-го порядка, а - стандартное отклонение.
К числу характеристик случайного признака в выборке относятся и так называемые мода, медиана, коэффициент вариации.
Модой эмпирического распределения называется наиболее часто повторяющееся значение случайного признака. Для дискретного вариационного ряда мода определяется просто - это тот признак, у которого частота наибольшая. Но если дискретный ряд получен из интервального, то более точной является мода, найденная по формуле
М0=,
Где - нижняя граница модального интервала;
m0 частота модального интервала;
m-1 частота интервала, предшествующего модальному;
m+1 - частота интервала, следующего за модальным;
h-шаг ряда.
Выборочной квантилью уровня р называется решение уравнения
Fn(x) = p,
В частности, выборочная медиана есть решение уравнения Fn(x) = 0.5, т.е. выборочная медиана это выборочная квантиль уровня 0.5.Выборочная медиана разбивает выборку пополам: слева и справа от нее оказывается одинаковое число элементов выборки. Если число элементов выборки четно, n = 2k, то выборочную медиану определяют по формуле , где xk и xk+1 - k-е и (k+1)-е выборочные значения из вариационного ряда.
При нечетном объеме выборки (n = 2k + 1) в качестве значения медианы принимают величину xk + 1.
В Mathcad для вычисления выборочной медианы выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция median(A).
Коэффициентом вариации называют отношение выборочного среднего квадратичного отклонения σв к выборочной средней х, выраженное в процентах:
V=
Коэффициент вариации характеризует долю среднего квадратичного отклонения, приходящуюся на единицу изучаемого признака.
При увеличении числа наблюдений выборочные характеристики сходятся по вероятности к соответствующим параметрам генеральной совокупности. Но это лишь теоретически. На практике выборочные моменты всегда отличаются от генеральных, и задачей математической статистики является разработка методов оценивания параметров случайного признака по результатам выборки.
145.61 |
143.206 |
145.267 |
140.485 |
133.143 |
150.435 |
148.794 |
155.564 |
171.918 |
158.087 |
159.851 |
158.622 |
159.156 |
156.73 |
139.557 |
150.691 |
142.444 |
156.967 |
148,181 |
143,556 |
142,769 |
144,834 |
155,58 |
147,552 |
150,895 |
162,618 |
142,945 |
150,019 |
161,076 |
158,926 |
120,991 |
128,429 |
152,06 |
143,842 |
138,023 |
150,99 |
157,708 |
153,059 |
150,113 |
142,355 |
145,909 |
143,262 |
148,678 |
160,181 |
151,805 |
155,133 |
157,398 |
149,837 |
152,788 |
151,622 |
154,285 |
145,248 |
143,045 |
180,482 |
147,135 |
137,201 |
157,594 |
146,073 |
137,964 |
139,631 |
149,807 |
150,32 |
152,649 |
154,915 |
152,383 |
143,155 |
133,852 |
164,113 |
159,715 |
138,44 |
151,437 |
166,972 |
146,797 |
129,688 |
135,888 |
136,747 |
144,829 |
150,621 |
144,042 |
146,693 |
155,391 |
152,186 |
154,05 |
138,441 |
138,949 |
138,966 |
145,927 |
136,867 |
121,596 |
162,762 |
157,911 |
151,429 |
139,937 |
140,73 |
141,22 |
152,777 |
145,978 |
163,02 |
136,219 |
153,803 |
154,377 |
167,603 |
143,527 |
155,51 |
165,465 |
131,784 |
163,079 |
139,511 |
154,591 |
139,478 |
137,579 |
154,241 |
130,834 |
148,761 |
154,132 |
164,656 |
137,711 |
146,154 |
154,763 |
151,862 |
151,96 |
155,206 |
159,229 |
159,314 |
158,972 |
152,601 |
143,066 |
154,656 |
148,493 |
141,368 |
171,144 |
137,64 |
133,062 |
153,865 |
135,711 |
145,891 |
158,742 |
144,311 |
140,903 |
141,323 |
160,971 |
139,771 |
131,484 |
156,247 |
142,623 |
155,409 |
156,641 |
155,196 |
151,459 |
149,488 |
153,16 |
152,488 |
148,294 |
145,475 |
152,937 |
151,507 |
140,659 |
157,925 |
157,163 |
160,438 |
158,11 |
156,17 |
147,549 |
149,142 |
156,848 |
157,911 |
153,578 |
147,887 |
148,445 |
151,36 |
158,639 |
169,584 |
150,688 |
155,646 |
155,572 |
168,911 |
164,788 |
127,059 |
156,623 |
145,593 |
145,263 |
150,889 |
143,012 |
153,472 |
141,25 |
169,001 |
122,741 |
158,702 |
171,791 |
160,849 |
161,757 |
140,286 |
134,241 |
154,64 |
164,744 |
161,654 |
142,365 |
155,094 |
154,96 |
141,977 |
143,729 |
144,466 |
146,54 |
145,355 |
152,509 |
146,266 |
147,269 |
162,895 |
151,941 |
170,865 |
134,377 |
150,79 |
154,205 |
166,274 |
156,198 |
132,828 |
136,274 |
173,96 |
157,332 |
149,975 |
141,54 |
139,826 |
133,692 |
139,462 |
161,159 |
159,455 |
157,597 |
139,385 |
145,867 |
166,069 |
150,237 |
146,685 |
145,436 |
153,969 |
154,961 |
149,211 |
150,83 |
154,224 |
142,28 |
148,655 |
135,371 |
152,018 |
166,807 |
140,923 |
157,864 |
148,745 |
138,823 |
157,239 |
151,912 |
141,182 |
При первичной обработке выборочных данных можно рекомендовать несколько общих правил:
1. Перед началом группировки следует упорядочить выборочные значения в порядке возрастания. Такая упорядоченная в порядке возрастания выборка называется вариационным рядом.
2. При выборе числа интервалов группировки следует ориентироваться на 10-20 интервалов.
З. Предпочтительнее использовать интервалы одинаковой длины.
4. При анализе охватывайте всю область данных.
5. Избегайте полуоткрытых промежутков.
6. Интервалы группировки не должны перекрываться.
Определяем столбец выборных значений . выполняем группировку для заданных значений m.
Упорядочиваем выборку в порядке возрастания выборных значений, минимальное и максимальное значение, а также ее размах.
Определяем число интервалов группировки и их длину.
Определяем вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.
Определяем вектор столбец частот для полученных интервалов группировки.
Определяем вектор-столбец накопленных частот.
Строим гистограмму, полигон частот.
Строим полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот
Определяем эти же значения для m=10,20,100
Эмпирические распределения и характеристики
ЗАДАНИЕ №1.
Вычислите максимальное, минимальное значения и размах для заданной части приведенной выше выборки. Выполните группировку для заданных значений m, постройте соответствующие гистограммы, полигоны частот и полигоны накопленных частот.
Порядок выполнения задания
1. Определите и введите вектор-столбец выборочных значений.
В данной выборке i=0…250. Чтобы ввести вектор-столбец выборочных значений, выполняем команды: Вставка-Компонент- Таблица(Input Table). Вводим и сохраняем 250 выборочных значений в массиве с именем ξ.При необходимости можно изменить свойства таблицы, используя команды Свойства-Формат контекстного меню. Существует и другой способ ввода данных-с помощью функции READ(file), которая считывает значение из файла и присваивает его переменной.Надо указывать полное имя файла, в котором заранее введены и сохранены таблицы чисел.
2. Упорядочите выборку в порядке возрастания выборочных значений.
Прежде чем приступать к группировке выборки, необходимо упорядочить выборочные значения в порядке их возрастания. Эту операцию выполняет функция sort(ξ).
З. Вычислите минимальное значение и размах для полученной выборки, с помощью функций max(А), min(А).
4. Определите число интервалов группировки и их длину.
5. Определите вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.
6. Определите с помощью функции hist(Х,ξ) вектор-столбец частот для полученных интервалов группировки.
7. Определите вектор-столбец накопленных частот.
8. Постройте гистограмму, полигон частот.
9. Постройте полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот.
10. Выполните вычисления пп. 6- 9 для всех заданных значений m=10, 20, 100.
11. Сохраните рабочий документ в файле на диске.
Числовые характеристики выборки
Задание 2
Из полученной ранее выборки определяем максимальное и минимальное значение, а также размах выборки.
Определяем:
среднее значение (mean), выборочную дисперсию s2, стандартное отклонение
выборочные моменты 3 и 4-го порядков выборочный эксцесс E, коэффициент асимметрии
Оценка функции распределения
Пошаговый ход работы.
1) Задаём значение
2) Вводим функцию N(z) с помощью клавиатуры:
необходимо, после ввода формулы суммы:
необходимо прежде чем вставить условие
нужно с помощью пробела выделить всю формулу
для получения нужного нам результата.
Чтобы ввести вертикальную черту, нужно в программировании найти функцию Add Line. Функцию exp можно найти с помощью ctrl + E, затем выбрать «Логарифм». Подставив, значения как показаны на графике, получаем:
При соблюдении всей последовательности, проблем с работой и результатами возникнуть не должно.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
15459. | Шляхи та причини входження українських земель до Великого князівства Литовського, мовний та культурно-релігійний склад держави | 40.5 KB | |
Шляхи та причини входження українських земель до Великого князівства Литовського мовний та культурнорелігійний склад держави. В 40х роках ХІV ст. українські землі зазнали розчленування. Після війни 13511352 рр. між Польщею і Литвою Галичина залишилась під владою Польщі а Бе... | |||
15460. | Кревська унія | 37.5 KB | |
Кревська унія. У XIV ст. українські землі роздроблені на окремі князівства й ослаблені зопотоординським ігом підпали під владу кількох феодальних держав. Після смерті 1340 р. галицьковолинського князя Юрія II Польща й Угорщина напали на Галичину яка внаслідок довгої та | |||
15461. | Українські землі в складі Речі Посполитої. Люблінська унія та стан справ в українських землях після унії | 35 KB | |
Українські землі в складі Речі Посполитої. Люблінська унія та стан справ в українських землях після унії. Польські феодали почали наступ на українські землі відразу після монголотатарської навали. Особливо активізувався цей процес у другій половині XVI першій чверт... | |||
15462. | Загарбання турками і татарами Південної України і їх наслідки на інші українські землі (друга половина 15 ст.) | 27 KB | |
Загарбання турками і татарами Південної України і їх наслідки на інші українські землі друга половина 15 ст. Середина XIV ст. стала початком розпаду Золотої Орди. Нескінченні чвари та суперечки суттєво ослабили центральну владу посилили відценіроеі тенденції в Орді що ... | |||
15463. | Виникнення і початкова історія українського козацтва | 39 KB | |
Виникнення і початкова історія українського козацтва. Головною причиною виникнення козацтва на українських землях став дедалі зростаючий соціальний національний та релігійний гніт українського народу. На захист його прав стало козацтво. Козацтво в Україні набуло ш... | |||
15464. | Військово-адміністративний устрій Запорозької Січі | 44.5 KB | |
Військовоадміністративний устрій Запорозької Січі. Питання про утворення Запорозької Січі історики і досі продовжують досліджувати. Вони не дійшли спільної думки чи можна хортицькі укріплення вважати Січчю а князя Дмитра Вишневецького Байду старосту канівського і... | |||
15465. | Українське Козацтво в 2ій половині 16 ст. у першій половині 17.ст | 42.5 KB | |
Українське Козацтво в 2ій половині 16 ст. у першій половині 17.ст. Колоніальна політика Польщі посилення кріпацтва покатоличення викликали активний протест українського населення і зумовили шерег потужних повстань які мали антифеодальний та національновизвольний хар | |||
15466. | Соціально-економічний розвиток в Україні в 2-ій половині 16- поч. 17 ст. Посилення феодальної експансії Польщі | 42.5 KB | |
Соціальноекономічний розвиток в Україні в 2ій половині 16 поч. 17 ст. Посилення феодальної експансії Польщі. Захопивши у XIVXV ст. Галичину Західну Волинь і Поділля Польща прагнула оволодіти й українськими землями які входили до складу Великого князівства Литовського. А... | |||
15467. | Битва під Берестечком. Укладання Білоцерківського договору | 49.5 KB | |
Битва під Берестечком. Укладання Білоцерківського договору. БИТВА ПІД БЕРЕСТЕЧКОМ 1820 червня 1651 одна з визначних битв у ході Визвольної війни українського народу в якій українська армія зазнала поразки.Після укладення Зборівської угоди 1649 р. відносини між козацько | |||