ID: 7243

Название работы: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения

Категория: Лабораторная работа

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения. К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации....

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-01-20

Размер файла: 398.5 KB

Работу скачали: 77 чел.

ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения.

К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации.

п.1 Числовые характеристики выборки: показатели положения

Статистический начальный момент первого порядка (аналог математического ожидания) называется выборочной средней, обозначается  х и представляет собой среднее арифметическое

Всех значений признака Х , попавших в выборку:

=

В Mathcad для вычисления выборочного среднего значения выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция mean(А).

Если варианты  х1,…,хк имеют соответсвующие частоты (n1,…, nк ), то

=

,где n1 +n2 +…+   nk =n

Среднее арифметическое N значений признака в генеральной совокупности называется генеральной средней и обозначается а. По существу это математическое ожидание изучаемой случайной величины Х, оно неизвестно и подлежит лишь приближённой оценке с помощью выборочной средней.

Выборочной дисперсией (dn) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего. Если  хi  различны, то

dn  =     

Если значение выборки имеет соответсвующие частот

dn =

 Однако в статистике чаще в качестве выборочной дисперсии используется величина

S2=

В  Mathcad для определения дисперсии выборки, сохранённой в матрице А, предназначена функция var(А), а величину s2 можно вычислить по формуле

s2=

Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратичным отклонением:  σв =

Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле

Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.

Выборочный эксцесс определяется следующим образом. Сначала отыскивается величина выборочного центрального момента 4-го порядка

=  

А затем по формуле        

             вычисляется выборочный эксцесс.

Показатели асимметрии. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле

Где    

                                                   - выборочный центральный  момент 3-го порядка, а - стандартное отклонение.

К числу характеристик случайного признака в выборке относятся и так называемые мода, медиана, коэффициент вариации.

Модой эмпирического распределения называется наиболее часто повторяющееся значение случайного признака.  Для дискретного вариационного ряда мода определяется просто - это тот признак, у которого частота наибольшая. Но если дискретный ряд получен из интервального, то более точной является мода, найденная по формуле

М0=,

Где  - нижняя граница модального интервала;

m0 – частота модального интервала;

m-1 –частота интервала, предшествующего модальному;

m+1 - частота интервала, следующего за модальным;

h-шаг ряда.

Выборочной квантилью уровня р называется решение уравнения

Fn(x) = p,

В частности, выборочная медиана есть решение уравнения Fn(x) = 0.5, т.е. выборочная медиана – это выборочная квантиль уровня 0.5.Выборочная медиана разбивает выборку пополам: слева и справа от нее оказывается одинаковое число элементов выборки. Если число элементов выборки четно, n = 2k, то выборочную медиану определяют по формуле  
   , где xk  и   xk+1 -  k-е и (k+1)-е выборочные значения из вариационного ряда.

При нечетном объеме выборки (n = 2k + 1) в качестве значения медианы принимают величину xk + 1.

В Mathcad для вычисления выборочной медианы выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция median(A).

Коэффициентом вариации называют отношение выборочного среднего квадратичного отклонения  σв к выборочной средней х, выраженное в процентах:

V=

Коэффициент вариации характеризует долю среднего квадратичного отклонения, приходящуюся на единицу изучаемого признака.

При увеличении числа наблюдений выборочные характеристики сходятся по вероятности к соответствующим параметрам генеральной совокупности.  Но это лишь теоретически. На практике выборочные моменты всегда отличаются от генеральных, и задачей математической статистики является разработка методов оценивания параметров случайного признака по результатам выборки.

145.61	143.206	145.267	140.485	133.143	150.435	148.794	155.564	171.918
158.087	159.851	158.622	159.156	156.73	139.557	150.691	142.444	156.967
148,181	143,556	142,769	144,834	155,58	147,552	150,895	162,618	142,945
150,019	161,076	158,926	120,991	128,429	152,06	143,842	138,023	150,99
157,708	153,059	150,113	142,355	145,909	143,262	148,678	160,181	151,805
155,133	157,398	149,837	152,788	151,622	154,285	145,248	143,045	180,482
147,135	137,201	157,594	146,073	137,964	139,631	149,807	150,32	152,649
154,915	152,383	143,155	133,852	164,113	159,715	138,44	151,437	166,972
146,797	129,688	135,888	136,747	144,829	150,621	144,042	146,693	155,391
152,186	154,05	138,441	138,949	138,966	145,927	136,867	121,596	162,762
157,911	151,429	139,937	140,73	141,22	152,777	145,978	163,02	136,219
153,803	154,377	167,603	143,527	155,51	165,465	131,784	163,079	139,511
154,591	139,478	137,579	154,241	130,834	148,761	154,132	164,656	137,711
146,154	154,763	151,862	151,96	155,206	159,229	159,314	158,972	152,601
143,066	154,656	148,493	141,368	171,144	137,64	133,062	153,865	135,711
145,891	158,742	144,311	140,903	141,323	160,971	139,771	131,484	156,247
142,623	155,409	156,641	155,196	151,459	149,488	153,16	152,488	148,294
145,475	152,937	151,507	140,659	157,925	157,163	160,438	158,11	156,17
147,549	149,142	156,848	157,911	153,578	147,887	148,445	151,36	158,639
169,584	150,688	155,646	155,572	168,911	164,788	127,059	156,623	145,593
145,263	150,889	143,012	153,472	141,25	169,001	122,741	158,702	171,791
160,849	161,757	140,286	134,241	154,64	164,744	161,654	142,365	155,094
154,96	141,977	143,729	144,466	146,54	145,355	152,509	146,266	147,269
162,895	151,941	170,865	134,377	150,79	154,205	166,274	156,198	132,828
136,274	173,96	157,332	149,975	141,54	139,826	133,692	139,462	161,159
159,455	157,597	139,385	145,867	166,069	150,237	146,685	145,436	153,969
154,961	149,211	150,83	154,224	142,28	148,655	135,371	152,018	166,807
140,923	157,864	148,745	138,823	157,239	151,912	141,182

При первичной обработке выборочных данных можно рекомендовать несколько общих правил:
1. Перед началом группировки следует упорядочить выборочные значения в порядке возрастания. Такая упорядоченная в порядке возрастания выборка называется вариационным рядом.
2. При выборе числа интервалов группировки следует ориентироваться на 10-20 интервалов.
З. Предпочтительнее использовать интервалы одинаковой длины.
4. При анализе охватывайте всю область данных.
5. Избегайте полуоткрытых промежутков.
6. Интервалы группировки не должны перекрываться.

Определяем столбец выборных значений . выполняем группировку для заданных значений m.

Упорядочиваем выборку в порядке возрастания выборных значений, минимальное и максимальное значение, а также ее размах.

Определяем число интервалов группировки и их длину.

Определяем вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.

Определяем вектор столбец частот для полученных интервалов группировки.

Определяем вектор-столбец накопленных частот.

Строим гистограмму, полигон частот.

Строим полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот

Определяем эти же значения для m=10,20,100

Эмпирические распределения и характеристики

ЗАДАНИЕ №1.
Вычислите максимальное, минимальное значения и размах для заданной части приведенной выше выборки. Выполните группировку для заданных значений m, постройте соответствующие гистограммы, полигоны частот и полигоны накопленных частот.
Порядок выполнения задания
1. Определите и  введите вектор-столбец выборочных значений.

В данной выборке i=0…250. Чтобы ввести вектор-столбец выборочных значений, выполняем команды: Вставка-Компонент- Таблица(Input Table). Вводим и сохраняем 250 выборочных значений в массиве с именем ξ.При необходимости можно изменить свойства таблицы, используя команды Свойства-Формат контекстного меню. Существует и другой способ ввода данных-с помощью функции  READ(file), которая считывает значение из файла и присваивает его переменной.Надо указывать полное имя файла, в котором заранее введены и сохранены таблицы чисел.

2. Упорядочите выборку в порядке возрастания выборочных значений.

Прежде чем приступать к группировке выборки, необходимо упорядочить выборочные значения в порядке их возрастания. Эту операцию выполняет функция sort(ξ).

З. Вычислите минимальное значение и размах для полученной выборки, с помощью функций max(А), min(А).
4. Определите  число интервалов группировки и их длину.

5. Определите вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.

6. Определите с помощью функции hist(Х,ξ) вектор-столбец частот для полученных интервалов группировки.
7. Определите вектор-столбец накопленных частот.

8. Постройте гистограмму, полигон частот.
9. Постройте полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот.

10. Выполните вычисления пп. 6- 9 для всех заданных значений m=10, 20, 100.
11. Сохраните рабочий документ в файле на диске.

Числовые  характеристики выборки

Задание 2

Из полученной ранее выборки определяем максимальное и минимальное значение, а также размах выборки.

Определяем:

среднее значение (mean), выборочную дисперсию s2, стандартное отклонение 

выборочные моменты 3 и 4-го порядков выборочный эксцесс E, коэффициент асимметрии

Оценка функции распределения

Пошаговый ход работы.

1) Задаём значение

2) Вводим функцию N(z) с помощью клавиатуры:

1.  С помощью последовательности «Вид-Панели инструментов-График» находим Декартов график и вставляем его. Отредактировав, границы (Снизу: вместо цифры 10 слева то z мы пишем 0,5; вместо 10 справа от z — 3. Справа: вместо цифры 12 снизу от z пишем 0, а вместо 13 - 4) , получаем нужный нам график:

1.  Для получения формулы (которая вводиться с клавиатуры):

необходимо, после ввода формулы суммы:

необходимо прежде чем вставить условие

нужно с помощью пробела выделить всю формулу

для получения нужного нам результата.

Чтобы ввести вертикальную черту, нужно в программировании найти функцию Add Line. Функцию exp можно найти с помощью ctrl + E, затем выбрать «Логарифм». Подставив, значения как показаны на графике, получаем:

При соблюдении всей последовательности, проблем с работой и результатами возникнуть не должно.