7243

Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения. К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации....

Русский

2013-01-20

398.5 KB

67 чел.

ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения.

К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации.

п.1 Числовые характеристики выборки: показатели положения

Статистический начальный момент первого порядка (аналог математического ожидания) называется выборочной средней, обозначается  х и представляет собой среднее арифметическое

Всех значений признака Х , попавших в выборку:

=

В Mathcad для вычисления выборочного среднего значения выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция mean(А).

Если варианты  х1,…,хк имеют соответсвующие частоты (n1,…, nк ), то

=

,где n1 +n2 +…+   nk =n

Среднее арифметическое N значений признака в генеральной совокупности называется генеральной средней и обозначается а. По существу это математическое ожидание изучаемой случайной величины Х, оно неизвестно и подлежит лишь приближённой оценке с помощью выборочной средней.

Выборочной дисперсией (dn) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего. Если  хi  различны, то

dn  =     

Если значение выборки имеет соответсвующие частот

dn =

 Однако в статистике чаще в качестве выборочной дисперсии используется величина

S2=

В  Mathcad для определения дисперсии выборки, сохранённой в матрице А, предназначена функция var(А), а величину s2 можно вычислить по формуле

s2=

Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратичным отклонением:  σв =

Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле

Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.

Выборочный эксцесс определяется следующим образом. Сначала отыскивается величина выборочного центрального момента 4-го порядка

=  

А затем по формуле        

             вычисляется выборочный эксцесс.

Показатели асимметрии. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле

Где    

                                                   - выборочный центральный  момент 3-го порядка, а - стандартное отклонение.

К числу характеристик случайного признака в выборке относятся и так называемые мода, медиана, коэффициент вариации.

Модой эмпирического распределения называется наиболее часто повторяющееся значение случайного признака.  Для дискретного вариационного ряда мода определяется просто - это тот признак, у которого частота наибольшая. Но если дискретный ряд получен из интервального, то более точной является мода, найденная по формуле

М0=,

Где  - нижняя граница модального интервала;

m0 – частота модального интервала;

m-1 –частота интервала, предшествующего модальному;

m+1 - частота интервала, следующего за модальным;

h-шаг ряда.

Выборочной квантилью уровня р называется решение уравнения

Fn(x) = p,

В частности, выборочная медиана есть решение уравнения Fn(x) = 0.5, т.е. выборочная медиана – это выборочная квантиль уровня 0.5.Выборочная медиана разбивает выборку пополам: слева и справа от нее оказывается одинаковое число элементов выборки. Если число элементов выборки четно, n = 2k, то выборочную медиану определяют по формуле  
   , где xk  и   xk+1 -  k-е и (k+1)-е выборочные значения из вариационного ряда.

При нечетном объеме выборки (n = 2k + 1) в качестве значения медианы принимают величину xk + 1.

В Mathcad для вычисления выборочной медианы выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция median(A).

Коэффициентом вариации называют отношение выборочного среднего квадратичного отклонения  σв к выборочной средней х, выраженное в процентах:

V=

Коэффициент вариации характеризует долю среднего квадратичного отклонения, приходящуюся на единицу изучаемого признака.

При увеличении числа наблюдений выборочные характеристики сходятся по вероятности к соответствующим параметрам генеральной совокупности.  Но это лишь теоретически. На практике выборочные моменты всегда отличаются от генеральных, и задачей математической статистики является разработка методов оценивания параметров случайного признака по результатам выборки.


145.61

143.206

145.267

140.485

133.143

150.435

148.794

155.564

171.918

158.087

159.851

158.622

159.156

156.73

139.557

150.691

142.444

156.967

148,181

143,556

142,769

144,834

155,58

147,552

150,895

162,618

142,945

150,019

161,076

158,926

120,991

128,429

152,06

143,842

138,023

150,99

157,708

153,059

150,113

142,355

145,909

143,262

148,678

160,181

151,805

155,133

157,398

149,837

152,788

151,622

154,285

145,248

143,045

180,482

147,135

137,201

157,594

146,073

137,964

139,631

149,807

150,32

152,649

154,915

152,383

143,155

133,852

164,113

159,715

138,44

151,437

166,972

146,797

129,688

135,888

136,747

144,829

150,621

144,042

146,693

155,391

152,186

154,05

138,441

138,949

138,966

145,927

136,867

121,596

162,762

157,911

151,429

139,937

140,73

141,22

152,777

145,978

163,02

136,219

153,803

154,377

167,603

143,527

155,51

165,465

131,784

163,079

139,511

154,591

139,478

137,579

154,241

130,834

148,761

154,132

164,656

137,711

146,154

154,763

151,862

151,96

155,206

159,229

159,314

158,972

152,601

143,066

154,656

148,493

141,368

171,144

137,64

133,062

153,865

135,711

145,891

158,742

144,311

140,903

141,323

160,971

139,771

131,484

156,247

142,623

155,409

156,641

155,196

151,459

149,488

153,16

152,488

148,294

145,475

152,937

151,507

140,659

157,925

157,163

160,438

158,11

156,17

147,549

149,142

156,848

157,911

153,578

147,887

148,445

151,36

158,639

169,584

150,688

155,646

155,572

168,911

164,788

127,059

156,623

145,593

145,263

150,889

143,012

153,472

141,25

169,001

122,741

158,702

171,791

160,849

161,757

140,286

134,241

154,64

164,744

161,654

142,365

155,094

154,96

141,977

143,729

144,466

146,54

145,355

152,509

146,266

147,269

162,895

151,941

170,865

134,377

150,79

154,205

166,274

156,198

132,828

136,274

173,96

157,332

149,975

141,54

139,826

133,692

139,462

161,159

159,455

157,597

139,385

145,867

166,069

150,237

146,685

145,436

153,969

154,961

149,211

150,83

154,224

142,28

148,655

135,371

152,018

166,807

140,923

157,864

148,745

138,823

157,239

151,912

141,182

При первичной обработке выборочных данных можно рекомендовать несколько общих правил:
1. Перед началом группировки следует упорядочить выборочные значения в порядке возрастания. Такая упорядоченная в порядке возрастания выборка называется
вариационным рядом.
2. При выборе числа интервалов группировки следует ориентироваться на 10-20 интервалов.
З. Предпочтительнее использовать интервалы одинаковой длины.
4. При анализе охватывайте всю область данных.
5
. Избегайте полуоткрытых промежутков.
6. Интервалы группировки не должны перекрываться.

Определяем столбец выборных значений . выполняем группировку для заданных значений m.

Упорядочиваем выборку в порядке возрастания выборных значений, минимальное и максимальное значение, а также ее размах.

Определяем число интервалов группировки и их длину.

Определяем вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.

Определяем вектор столбец частот для полученных интервалов группировки.

Определяем вектор-столбец накопленных частот.

Строим гистограмму, полигон частот.

Строим полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот

Определяем эти же значения для m=10,20,100

Эмпирические распределения и характеристики


ЗАДАНИЕ №1.
Вычислите максимальное, минимальное значения и размах для заданной части приведенной выше выборки. Выполните группировку для заданных значений
m, постройте соответствующие гистограммы, полигоны частот и полигоны накопленных частот.
Порядок выполнения задания
1. Определите и  введите вектор-столбец выборочных значений.

В данной выборке i=0…250. Чтобы ввести вектор-столбец выборочных значений, выполняем команды: Вставка-Компонент- Таблица(Input Table). Вводим и сохраняем 250 выборочных значений в массиве с именем ξ.При необходимости можно изменить свойства таблицы, используя команды Свойства-Формат контекстного меню. Существует и другой способ ввода данных-с помощью функции  READ(file), которая считывает значение из файла и присваивает его переменной.Надо указывать полное имя файла, в котором заранее введены и сохранены таблицы чисел.


2. Упорядочите выборку в порядке возрастания выборочных значений.

Прежде чем приступать к группировке выборки, необходимо упорядочить выборочные значения в порядке их возрастания. Эту операцию выполняет функция sort(ξ).


З. Вычислите минимальное значение и размах
 для полученной выборки, с помощью функций max(А), min(А).
4. Определите  число интервалов группировки и их длину.


5. Определите вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.

6. Определите с помощью функции hist(Х,ξ) вектор-столбец частот для полученных интервалов группировки.
7. Определите вектор-столбец накопленных частот.

8. Постройте гистограмму, полигон частот.
9. Постройте полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот.

10. Выполните вычисления пп. 6- 9 для всех заданных значений m=10, 20, 100.
11. Сохраните рабочий документ в файле на диске.

Числовые  характеристики выборки

Задание 2

Из полученной ранее выборки определяем максимальное и минимальное значение, а также размах выборки.

Определяем:

среднее значение (mean), выборочную дисперсию s2, стандартное отклонение 

выборочные моменты 3 и 4-го порядков выборочный эксцесс E, коэффициент асимметрии

Оценка функции распределения

Пошаговый ход работы.

1) Задаём значение

2) Вводим функцию N(z) с помощью клавиатуры:

  1.  С помощью последовательности «Вид-Панели инструментов-График» находим Декартов график и вставляем его. Отредактировав, границы (Снизу: вместо цифры 10 слева то z мы пишем 0,5; вместо 10 справа от z — 3. Справа: вместо цифры 12 снизу от z пишем 0, а вместо 13 - 4) , получаем нужный нам график:

  1.  Для получения формулы (которая вводиться с клавиатуры):

необходимо, после ввода формулы суммы:

необходимо прежде чем вставить условие

нужно с помощью пробела выделить всю формулу

для получения нужного нам результата.

Чтобы ввести вертикальную черту, нужно в программировании найти функцию Add Line. Функцию exp можно найти с помощью ctrl + E, затем выбрать «Логарифм». Подставив, значения как показаны на графике, получаем:

При соблюдении всей последовательности, проблем с работой и результатами возникнуть не должно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75437. Безконтактний ємнісний давач 283.5 KB
  В індуктивних генераторних ВПБ перетворювачем є індуктивність. У ємнісних ВПБ перетворювачем є конденсатор коливального контуру. Як і для інших типів генераторних перетворювачів основним параметром ємнісних ВПБ є максимальна відстань впливу. Через властивої ємнісний ВПБ чутливості до запилености зазору вони не знайшли такого широкого застосування як індуктивні але окремими підприємствами ведеться серійне виробництво цих вимикачів.
75438. Переваги та недоліки ємнісних давачів 263 KB
  При цьому можливий монтаж і обслуговування ВБЄ зовні резервуарів і бункерів. Можливе застосування штирових ВБЄ для контролю протікання рідини в трубах. ВБЄ застосовується також для підрахунку чи позиціонуванні різноманітних об’єктів неметалевих матеріалів.
75439. Оптичні давачі. Безконтактний фотоелектричний давач 2.23 MB
  Фотодавачі складаються з джерела випромінювання фотоприймача перетворювача сигналу і підсилювача сигналу. У порівнянні з іншими типами давачів фотодавачі мають ряд переваг. Діапазон дії фотодавачів істотно перевершує індуктивні ємнісні магнітні й ультразвукові.
75440. Інфекційні захворювання 99.5 KB
  Сприйнятливість до інфекційних захворювань залежить від безлічі факторів: від віку перенесених і супутніх захворювань харчування вакцинації. За останні десятиліття в лікуванні інфекційних захворювань було зроблено величезний крок вперед. В останні роки були відкриті збудники раніше невідомих інфекційних захворювань з якими людина стикнувся в результаті зміни навколишнього середовища і міграції населення. Адже навіть просто вимиті вчасно руки після відвідин убиральні або по приходу з вулиці можуть врятувати вас від ряду кишковоінфекційних...
75441. Організація медичного захисту особового складу 219.5 KB
  Методика проведення: Штучне дихання: Потерпілого положити на тверду поверхню на спину. Однією рукою підтримують голову потерпілого в запрокинутому положенні стиснувши пальцями ніздрі другою підтримують наполовину відкритим його рот. Роблять вдих щільно прикладають рот через хустку бинт до рота потерпілого і вдувають повітря.
75442. Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Радіаційна, хімічна і біологічна небезпека. Завдання та особливості дій підрозділів міліції 108.5 KB
  Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Засоби колективного захисту населення. Література: Закон України Про захист населення і територій від надзвичайних ситуацій техногенного та природного характеру.
75443. Єдина державна система запобігання і реагування на надзвичайні ситуації техногенного та природного характеру. Організаційна структура цивільної оборони МВС України 294 KB
  Основні завдання і рішення начальника функціональної підсистеми ОГП на проведення необхідних заходів. Основні завдання і рішення начальника функціональної підсистеми ОГП на проведення необхідних заходів. Відповідно до постанов Кабінету Міністрів України...
75444. Основні поняття про надзвичайні ситуації та оповіщення. Дії особового складу за сигналами ЦО. Небезпечні чинники виробничих аварій, їх вплив на екологічну безпеку та безпеку життя та здоров’я людей 123.5 KB
  Надзвичайний стан це особливий правовий режим який може тимчасово вводитися в Україні чи в окремих її місцевостях при виникненні надзвичайних ситуацій техногенного або природного характеру не нижче загальнодержавного рівня що призвели чи можуть призвести до людських і матеріальних втрат створюють загрозу життю і здоров’ю громадян або при спробі захоплення державної влади чи зміни конституційного ладу України шляхом насильства і передбачає надання відповідним органам державної влади військовому командуванню та органам місцевого...
75445. Цели и задачи управленческого учета в ИС Project Expert 28.5 KB
  Расчет группы финансовых коэффициентов и показателей характеризующих финансовое состояние предприятия: ликвидность активов и платежеспособности; финансовая устойчивость предприятия; деловая активность и эффективность управления; рентабельность; вероятность банкротства предприятия. Для общей оценки динамики финансового состояния предприятия необходимо сгруппировать статьи баланса в специфические группы по признаку ликвидности статьи актива и срочности обязательств статьи пассива. Она позволяет определить структуру имущества предприятия и...