7243

Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения. К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации....

Русский

2013-01-20

398.5 KB

77 чел.

ТЕМА: Числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения. Точечные оценки параметров распределения.

К основным характеристикам признака в выборке относятся первые четыре момента распределения, а также мода, медиана и коэффициент вариации.

п.1 Числовые характеристики выборки: показатели положения

Статистический начальный момент первого порядка (аналог математического ожидания) называется выборочной средней, обозначается  х и представляет собой среднее арифметическое

Всех значений признака Х , попавших в выборку:

=

В Mathcad для вычисления выборочного среднего значения выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция mean(А).

Если варианты  х1,…,хк имеют соответсвующие частоты (n1,…, nк ), то

=

,где n1 +n2 +…+   nk =n

Среднее арифметическое N значений признака в генеральной совокупности называется генеральной средней и обозначается а. По существу это математическое ожидание изучаемой случайной величины Х, оно неизвестно и подлежит лишь приближённой оценке с помощью выборочной средней.

Выборочной дисперсией (dn) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего. Если  хi  различны, то

dn  =     

Если значение выборки имеет соответсвующие частот

dn =

 Однако в статистике чаще в качестве выборочной дисперсии используется величина

S2=

В  Mathcad для определения дисперсии выборки, сохранённой в матрице А, предназначена функция var(А), а величину s2 можно вычислить по формуле

s2=

Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратичным отклонением:  σв =

Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле

Размах выборки вычисляется по формуле R = xmax - xmin.

Выборочный эксцесс определяется следующим образом. Сначала отыскивается величина выборочного центрального момента 4-го порядка

=  

А затем по формуле        

             вычисляется выборочный эксцесс.

Показатели асимметрии. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле

Где    

                                                   - выборочный центральный  момент 3-го порядка, а - стандартное отклонение.

К числу характеристик случайного признака в выборке относятся и так называемые мода, медиана, коэффициент вариации.

Модой эмпирического распределения называется наиболее часто повторяющееся значение случайного признака.  Для дискретного вариационного ряда мода определяется просто - это тот признак, у которого частота наибольшая. Но если дискретный ряд получен из интервального, то более точной является мода, найденная по формуле

М0=,

Где  - нижняя граница модального интервала;

m0 – частота модального интервала;

m-1 –частота интервала, предшествующего модальному;

m+1 - частота интервала, следующего за модальным;

h-шаг ряда.

Выборочной квантилью уровня р называется решение уравнения

Fn(x) = p,

В частности, выборочная медиана есть решение уравнения Fn(x) = 0.5, т.е. выборочная медиана – это выборочная квантиль уровня 0.5.Выборочная медиана разбивает выборку пополам: слева и справа от нее оказывается одинаковое число элементов выборки. Если число элементов выборки четно, n = 2k, то выборочную медиану определяют по формуле  
   , где xk  и   xk+1 -  k-е и (k+1)-е выборочные значения из вариационного ряда.

При нечетном объеме выборки (n = 2k + 1) в качестве значения медианы принимают величину xk + 1.

В Mathcad для вычисления выборочной медианы выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция median(A).

Коэффициентом вариации называют отношение выборочного среднего квадратичного отклонения  σв к выборочной средней х, выраженное в процентах:

V=

Коэффициент вариации характеризует долю среднего квадратичного отклонения, приходящуюся на единицу изучаемого признака.

При увеличении числа наблюдений выборочные характеристики сходятся по вероятности к соответствующим параметрам генеральной совокупности.  Но это лишь теоретически. На практике выборочные моменты всегда отличаются от генеральных, и задачей математической статистики является разработка методов оценивания параметров случайного признака по результатам выборки.


145.61

143.206

145.267

140.485

133.143

150.435

148.794

155.564

171.918

158.087

159.851

158.622

159.156

156.73

139.557

150.691

142.444

156.967

148,181

143,556

142,769

144,834

155,58

147,552

150,895

162,618

142,945

150,019

161,076

158,926

120,991

128,429

152,06

143,842

138,023

150,99

157,708

153,059

150,113

142,355

145,909

143,262

148,678

160,181

151,805

155,133

157,398

149,837

152,788

151,622

154,285

145,248

143,045

180,482

147,135

137,201

157,594

146,073

137,964

139,631

149,807

150,32

152,649

154,915

152,383

143,155

133,852

164,113

159,715

138,44

151,437

166,972

146,797

129,688

135,888

136,747

144,829

150,621

144,042

146,693

155,391

152,186

154,05

138,441

138,949

138,966

145,927

136,867

121,596

162,762

157,911

151,429

139,937

140,73

141,22

152,777

145,978

163,02

136,219

153,803

154,377

167,603

143,527

155,51

165,465

131,784

163,079

139,511

154,591

139,478

137,579

154,241

130,834

148,761

154,132

164,656

137,711

146,154

154,763

151,862

151,96

155,206

159,229

159,314

158,972

152,601

143,066

154,656

148,493

141,368

171,144

137,64

133,062

153,865

135,711

145,891

158,742

144,311

140,903

141,323

160,971

139,771

131,484

156,247

142,623

155,409

156,641

155,196

151,459

149,488

153,16

152,488

148,294

145,475

152,937

151,507

140,659

157,925

157,163

160,438

158,11

156,17

147,549

149,142

156,848

157,911

153,578

147,887

148,445

151,36

158,639

169,584

150,688

155,646

155,572

168,911

164,788

127,059

156,623

145,593

145,263

150,889

143,012

153,472

141,25

169,001

122,741

158,702

171,791

160,849

161,757

140,286

134,241

154,64

164,744

161,654

142,365

155,094

154,96

141,977

143,729

144,466

146,54

145,355

152,509

146,266

147,269

162,895

151,941

170,865

134,377

150,79

154,205

166,274

156,198

132,828

136,274

173,96

157,332

149,975

141,54

139,826

133,692

139,462

161,159

159,455

157,597

139,385

145,867

166,069

150,237

146,685

145,436

153,969

154,961

149,211

150,83

154,224

142,28

148,655

135,371

152,018

166,807

140,923

157,864

148,745

138,823

157,239

151,912

141,182

При первичной обработке выборочных данных можно рекомендовать несколько общих правил:
1. Перед началом группировки следует упорядочить выборочные значения в порядке возрастания. Такая упорядоченная в порядке возрастания выборка называется
вариационным рядом.
2. При выборе числа интервалов группировки следует ориентироваться на 10-20 интервалов.
З. Предпочтительнее использовать интервалы одинаковой длины.
4. При анализе охватывайте всю область данных.
5
. Избегайте полуоткрытых промежутков.
6. Интервалы группировки не должны перекрываться.

Определяем столбец выборных значений . выполняем группировку для заданных значений m.

Упорядочиваем выборку в порядке возрастания выборных значений, минимальное и максимальное значение, а также ее размах.

Определяем число интервалов группировки и их длину.

Определяем вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.

Определяем вектор столбец частот для полученных интервалов группировки.

Определяем вектор-столбец накопленных частот.

Строим гистограмму, полигон частот.

Строим полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот

Определяем эти же значения для m=10,20,100

Эмпирические распределения и характеристики


ЗАДАНИЕ №1.
Вычислите максимальное, минимальное значения и размах для заданной части приведенной выше выборки. Выполните группировку для заданных значений
m, постройте соответствующие гистограммы, полигоны частот и полигоны накопленных частот.
Порядок выполнения задания
1. Определите и  введите вектор-столбец выборочных значений.

В данной выборке i=0…250. Чтобы ввести вектор-столбец выборочных значений, выполняем команды: Вставка-Компонент- Таблица(Input Table). Вводим и сохраняем 250 выборочных значений в массиве с именем ξ.При необходимости можно изменить свойства таблицы, используя команды Свойства-Формат контекстного меню. Существует и другой способ ввода данных-с помощью функции  READ(file), которая считывает значение из файла и присваивает его переменной.Надо указывать полное имя файла, в котором заранее введены и сохранены таблицы чисел.


2. Упорядочите выборку в порядке возрастания выборочных значений.

Прежде чем приступать к группировке выборки, необходимо упорядочить выборочные значения в порядке их возрастания. Эту операцию выполняет функция sort(ξ).


З. Вычислите минимальное значение и размах
 для полученной выборки, с помощью функций max(А), min(А).
4. Определите  число интервалов группировки и их длину.


5. Определите вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.

6. Определите с помощью функции hist(Х,ξ) вектор-столбец частот для полученных интервалов группировки.
7. Определите вектор-столбец накопленных частот.

8. Постройте гистограмму, полигон частот.
9. Постройте полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот.

10. Выполните вычисления пп. 6- 9 для всех заданных значений m=10, 20, 100.
11. Сохраните рабочий документ в файле на диске.

Числовые  характеристики выборки

Задание 2

Из полученной ранее выборки определяем максимальное и минимальное значение, а также размах выборки.

Определяем:

среднее значение (mean), выборочную дисперсию s2, стандартное отклонение 

выборочные моменты 3 и 4-го порядков выборочный эксцесс E, коэффициент асимметрии

Оценка функции распределения

Пошаговый ход работы.

1) Задаём значение

2) Вводим функцию N(z) с помощью клавиатуры:

  1.  С помощью последовательности «Вид-Панели инструментов-График» находим Декартов график и вставляем его. Отредактировав, границы (Снизу: вместо цифры 10 слева то z мы пишем 0,5; вместо 10 справа от z — 3. Справа: вместо цифры 12 снизу от z пишем 0, а вместо 13 - 4) , получаем нужный нам график:

  1.  Для получения формулы (которая вводиться с клавиатуры):

необходимо, после ввода формулы суммы:

необходимо прежде чем вставить условие

нужно с помощью пробела выделить всю формулу

для получения нужного нам результата.

Чтобы ввести вертикальную черту, нужно в программировании найти функцию Add Line. Функцию exp можно найти с помощью ctrl + E, затем выбрать «Логарифм». Подставив, значения как показаны на графике, получаем:

При соблюдении всей последовательности, проблем с работой и результатами возникнуть не должно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15459. Шляхи та причини входження українських земель до Великого князівства Литовського, мовний та культурно-релігійний склад держави 40.5 KB
  Шляхи та причини входження українських земель до Великого князівства Литовського мовний та культурнорелігійний склад держави. В 40х роках ХІV ст. українські землі зазнали розчленування. Після війни 13511352 рр. між Польщею і Литвою Галичина залишилась під владою Польщі а Бе...
15460. Кревська унія 37.5 KB
  Кревська унія. У XIV ст. українські землі роздроблені на окремі князівства й ослаблені зопотоординським ігом підпали під владу кількох феодальних держав. Після смерті 1340 р. галицьковолинського князя Юрія II Польща й Угорщина напали на Галичину яка внаслідок довгої та
15461. Українські землі в складі Речі Посполитої. Люблінська унія та стан справ в українських землях після унії 35 KB
  Українські землі в складі Речі Посполитої. Люблінська унія та стан справ в українських землях після унії. Польські феодали почали наступ на українські землі відразу після монголотатарської навали. Особливо активізувався цей процес у другій половині XVI першій чверт...
15462. Загарбання турками і татарами Південної України і їх наслідки на інші українські землі (друга половина 15 ст.) 27 KB
  Загарбання турками і татарами Південної України і їх наслідки на інші українські землі друга половина 15 ст. Середина XIV ст. стала початком розпаду Золотої Орди. Нескінченні чвари та суперечки суттєво ослабили центральну владу посилили відценіроеі тенденції в Орді що ...
15463. Виникнення і початкова історія українського козацтва 39 KB
  Виникнення і початкова історія українського козацтва. Головною причиною виникнення козацтва на українських землях став дедалі зростаючий соціальний національний та релігійний гніт українського народу. На захист його прав стало козацтво. Козацтво в Україні набуло ш...
15464. Військово-адміністративний устрій Запорозької Січі 44.5 KB
  Військовоадміністративний устрій Запорозької Січі. Питання про утворення Запорозької Січі історики і досі продовжують досліджувати. Вони не дійшли спільної думки чи можна хортицькі укріплення вважати Січчю а князя Дмитра Вишневецького Байду старосту канівського і...
15465. Українське Козацтво в 2ій половині 16 ст. у першій половині 17.ст 42.5 KB
  Українське Козацтво в 2ій половині 16 ст. у першій половині 17.ст. Колоніальна політика Польщі посилення кріпацтва покатоличення викликали активний протест українського населення і зумовили шерег потужних повстань які мали антифеодальний та національновизвольний хар
15466. Соціально-економічний розвиток в Україні в 2-ій половині 16- поч. 17 ст. Посилення феодальної експансії Польщі 42.5 KB
  Соціальноекономічний розвиток в Україні в 2ій половині 16 поч. 17 ст. Посилення феодальної експансії Польщі. Захопивши у XIVXV ст. Галичину Західну Волинь і Поділля Польща прагнула оволодіти й українськими землями які входили до складу Великого князівства Литовського. А...
15467. Битва під Берестечком. Укладання Білоцерківського договору 49.5 KB
  Битва під Берестечком. Укладання Білоцерківського договору. БИТВА ПІД БЕРЕСТЕЧКОМ 1820 червня 1651 одна з визначних битв у ході Визвольної війни українського народу в якій українська армія зазнала поразки.Після укладення Зборівської угоди 1649 р. відносини між козацько