72517

Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. необходимое условие существования экстремума Если функция fx дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Русский

2014-11-24

165.5 KB

4 чел.

Лекция 5

Повторение предыдущего материала

Возрастание и убывание функций.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке

(а, b), причем f (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным).

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Пример: f(x) = x                                               Пример: f(x) =   

       y                                                                             y

             x

          x

     

В точке х = 0 функция имеет минимум, но           В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной.                                            максимума, ни минимума, ни произ-

      водной.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)   Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f (x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум в точке х = х1.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Найти критические точки функции.

Найти значения функции в критических точках.

Найти значения функции на концах отрезка.

Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

    у

               x

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема .  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Если f (x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если  вторая производная

f (a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. То есть асимптоты может и не быть.

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Исследование функций на асимптоты позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

Рассмотрим правила нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках, где функция не является непрерывной.

Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

В общем случае, если  или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Наклонные асимптоты.

Как выглядит график функции, имеющей наклонную асимптоту? Мы можем составить представление, посмотрев на рисунок.

Пусть прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой ниже приведены формулы для вычисления коэффициентов k и b.

,         .

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Примеры

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: Вполне возможно, что вертикальная асимптота х = 0.

Нужно посмотреть, что происходит с y при x0. При вычислении пределов получается, что  y+ при x0-0 и y-  при x0+0, следовательно, х = 0 - вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Вычисляем по формулам

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая  х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

  1.  Область определения функции.
  2.  Точки разрыва. (Если они имеются). Если есть точки разрыва, то посмотреть  нет ли вертикальных асимптот.
  3.  Наклонные асимптоты, если имеются.
  4.  Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Определить промежутки знакопостоянства функции (т.е. промежутки, на которых функция сохраняет знак).
  5.  Найти производную  и критические точки. Определить знаки производной и найти интервалы возрастания и убывания. Определить точки максимума и минимума.  
  6.  Найти вторую производную  и критические точки второго рода (т.е. такие точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует). Определить знаки второй производной и найти интервалы выпуклости и вогнутости. Определить точки перегиба.  
  7.  Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

  1.  Областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
  2.  Точками разрыва функции являются точки  х = 1, х = -1. Прямые  х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
  3.  Теперь найдем наклонные асимптоты.

     Итак, уравнение наклонной асимптоты –     y = x.

  1.  Найдем точки пересечения с осями Ox  и  Oy: Если x=0, то y=0. Если y=0, то x=0. В этом случае есть только одна точка (0,0).

  1.  Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ;  x = -1;  x = 1. Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

- < x < -,      y > 0, функция возрастает

- < x < -1,       y < 0,  функция убывает

-1 < x < 0,            y < 0,  функция убывает

0 < x < 1,             y < 0,  функция убывает

1 < x < ,         y < 0,   функция убывает

 < x < ,        y > 0,   функция возрастает

Значит, точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

  1.  Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

- < x < -,      y < 0,  кривая выпуклая

- < x < -1,       y < 0,  кривая выпуклая

-1 < x < 0,            y > 0,  кривая вогнутая

0 < x < 1,             y < 0,  кривая выпуклая

1 < x < ,         y > 0,   кривая вогнутая

< x < ,        y > 0,   кривая вогнутая

  1.  Построим график функции:

Домашнее задание

Исследуйте функции с помощью производной и постройте графики функций:

у = 3х2х3.      .

.

Используя правило Лопиталя, вычислите пределы функций:

.   .   .

Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций
(укажите точки, в которых достигаются эти значения):

у = х4 – 8х2 +3 на отрезке [–2; 2].

 а) на отрезке ;

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25360. Значение пищеварения 33 KB
  Все функции органов пищеварения подчинены сложным нервным и гуморальным механизмам регуляции.Основы современной физиологии пищеварения разработаны преимущественно И. Павлова функции органов пищеварения находящихся в глубине тела и недоступных непосредственному наблюдению изучались в основном в острых опытах при которых производилось вскрытие живого животного и вследствие наносимой травмы нарушалось нормальное состояние организма.
25361. Пищеварение в полости рта 59.5 KB
  Расслабление кардиальной мускулатуры наблюдается также при резких сокращениях желудка брюшных мышц и диафрагмы во время рвоты. Здесь же происходят химические изменения некоторых питательных веществ под влиянием сока выделяемого железами желудка. Железы желудка расположены в слизистой оболочке его дна тела и привратника. В фундальной части желудка железы состоят главных добавочных и обкладочных клеток.
25362. ПИЩЕВАРЕНИЕ В ТОНКОМ КИШЕЧНИКЕ 32.5 KB
  Количество их огромно от 50 до 200 млн на 1 мм2 поверхности кишки что увеличивает внутреннюю поверхность тонкого кишечника в 300500 раз. Моторная деятельность тонкого кишечника обеспечивает перемешивание химуса с пищеварительными секретами и продвижение его по кишке благодаря сокращению круговой и продольной мускулатуры. При сокращении продольных волокон гладкой мускулатуры кишечника происходит укорочение участка кишки при расслаблении его удлинение. Такая периодичность обусловлена автоматией гладкой мускулатуры кишечника способностью...
25363. Пищеварение в толстых кишках 27 KB
  Железы толстого кишечника выделяют небольшое количество сока богатого слизью и бедного ферментами. Низкая ферментативная активность сока толстого кишечника обусловлена малым количеством непереваренных веществ в химусе поступающем из тонкого кишечника. Сокоотделение в этом отделе кишечника регулируется главным образом местными влияниями; механическое раздражение усиливает секрецию в 810 раз. Большую роль в жизнедеятельности организма и функций пищеварительного тракта играет микрофлора толстого кишечника где обитают миллиарды различных...
25364. Государственные гарантии социальной защиты населения в РФ 42 KB
  Государственные гарантии социальной защиты населения в РФ. В обществе рыночных отношений главную функцию социальной защиты берет на себя государство как главный субъект социальной политики и социальной работы. Основные социальные гарантии закреплены в Конституции РФ и находят свое подтверждение в социальной политике. 7 Основного закона РФ: В Российской Федерации охраняются труд и здоровье людей устанавливается гарантированный минимальный размер оплаты труда обеспечивается постоянная поддержка семьи материнства отцовства и детства инвалидов...
25365. Место и роль общественных объединений в реализации социальной работы 30.5 KB
  Место и роль общественных объединений в реализации социальной работы Современная парадигма социальной работы рассматривает ее как многосубъектную деятельность характеризующуюся активным участием наряду с государством общественных и благотворительных организаций в решении социальных проблем населения. В последние годы наблюдается значительный рост общественных организаций активизация их участия в осуществлении мероприятий по социальной защите населения. идея создания общественных объединений предполагала что они станут резервом...
25366. Социальное прогнозирование как метод научного познания: объект, предмет, его виды 14.26 KB
  В отечественной науке многочисленные попытки прогнозирования были осуществлены в 20х начале 30х годов. Научные основы прогнозирования вообще и социального в частности стали разрабатываться в нашей стране в конце 50х начале 60х годов что связано с творчеством таких ученых как Э. Цель прогнозирования не просто предвидеть те или иные явления а способствовать более эффективному воздействию на них в нужном направлении. В ходе научного прогнозирования решаются 2 задачи: 1 определяется и мотивируется цель вероятного...
25367. Антропологические основания социальной работы 23.5 KB
  Структура ответа: Вступление Понятие социальной работы Понятие антропологии. Антропологические основания социальной работы Вывод Социальная работа носит междисциплинарный характер поэтому она включает знания из различных областей. Социальная работа специфический вид профессиональной деятельности оказание государственного и негосударственного содействия человеку с целью обеспечения культурного социального и материального уровня его жизни предоставление индивидуальной помощи человеку семье или группе лиц словарьсправочник по...
25368. Социально-медицинские проблемы организации социальной работы 53.5 KB
  Социальномедицинские проблемы организации социальной работы. Все вышеперечисленные социальномедицинские проблемы свидетельствуют о том что резко возрастает объективная потребность решения взаимосвязанных проблем медицинского и социального характера на качественно новом уровне на уровне медикосоциальной работы. Специфика содержания и методики медикосоциальной работы позволяет рассматривать ее как самостоятельное направление многоаспектной социальной работы. Основным правовым актом обеспечивающим развитие социальной работы в сфере...