72517

Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. необходимое условие существования экстремума Если функция fx дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Русский

2014-11-24

165.5 KB

4 чел.

Лекция 5

Повторение предыдущего материала

Возрастание и убывание функций.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке

(а, b), причем f (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным).

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Пример: f(x) = x                                               Пример: f(x) =   

       y                                                                             y

             x

          x

     

В точке х = 0 функция имеет минимум, но           В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной.                                            максимума, ни минимума, ни произ-

      водной.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)   Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f (x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум в точке х = х1.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Найти критические точки функции.

Найти значения функции в критических точках.

Найти значения функции на концах отрезка.

Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

    у

               x

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема .  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Если f (x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если  вторая производная

f (a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. То есть асимптоты может и не быть.

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Исследование функций на асимптоты позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

Рассмотрим правила нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках, где функция не является непрерывной.

Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

В общем случае, если  или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Наклонные асимптоты.

Как выглядит график функции, имеющей наклонную асимптоту? Мы можем составить представление, посмотрев на рисунок.

Пусть прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой ниже приведены формулы для вычисления коэффициентов k и b.

,         .

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Примеры

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: Вполне возможно, что вертикальная асимптота х = 0.

Нужно посмотреть, что происходит с y при x0. При вычислении пределов получается, что  y+ при x0-0 и y-  при x0+0, следовательно, х = 0 - вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Вычисляем по формулам

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая  х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

  1.  Область определения функции.
  2.  Точки разрыва. (Если они имеются). Если есть точки разрыва, то посмотреть  нет ли вертикальных асимптот.
  3.  Наклонные асимптоты, если имеются.
  4.  Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Определить промежутки знакопостоянства функции (т.е. промежутки, на которых функция сохраняет знак).
  5.  Найти производную  и критические точки. Определить знаки производной и найти интервалы возрастания и убывания. Определить точки максимума и минимума.  
  6.  Найти вторую производную  и критические точки второго рода (т.е. такие точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует). Определить знаки второй производной и найти интервалы выпуклости и вогнутости. Определить точки перегиба.  
  7.  Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

  1.  Областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
  2.  Точками разрыва функции являются точки  х = 1, х = -1. Прямые  х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
  3.  Теперь найдем наклонные асимптоты.

     Итак, уравнение наклонной асимптоты –     y = x.

  1.  Найдем точки пересечения с осями Ox  и  Oy: Если x=0, то y=0. Если y=0, то x=0. В этом случае есть только одна точка (0,0).

  1.  Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ;  x = -1;  x = 1. Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

- < x < -,      y > 0, функция возрастает

- < x < -1,       y < 0,  функция убывает

-1 < x < 0,            y < 0,  функция убывает

0 < x < 1,             y < 0,  функция убывает

1 < x < ,         y < 0,   функция убывает

 < x < ,        y > 0,   функция возрастает

Значит, точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

  1.  Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

- < x < -,      y < 0,  кривая выпуклая

- < x < -1,       y < 0,  кривая выпуклая

-1 < x < 0,            y > 0,  кривая вогнутая

0 < x < 1,             y < 0,  кривая выпуклая

1 < x < ,         y > 0,   кривая вогнутая

< x < ,        y > 0,   кривая вогнутая

  1.  Построим график функции:

Домашнее задание

Исследуйте функции с помощью производной и постройте графики функций:

у = 3х2х3.      .

.

Используя правило Лопиталя, вычислите пределы функций:

.   .   .

Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций
(укажите точки, в которых достигаются эти значения):

у = х4 – 8х2 +3 на отрезке [–2; 2].

 а) на отрезке ;

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20577. Зовнішня політика УНР. Берестейській договір та його наслідки. У зовнішній політиці 26.5 KB
  Зовнішня політика УНР. У зовнішній політиці Директорії вдалося розширити міжнародні зв'язки УНР її визнали Угорщина Чехословаччина Голландія Італія. Не визнали УНР країни Антанти й відроджена Польща яка претендувала на Правобережну Україну. Не визнавши гетьманської адміністрації дипломати країн Антанти не збиралися визнавати й поновлену УНР.
20578. Гетьманський переворот. Павло Скоропадський. Гетьманський уряд та його політика 39 KB
  після того як держави Антанти навіть не відповіли на пропозицію про мирні переговори Раднарком Росії розпочав їх з Німеччиною та її союзниками. був прийнятий закон Про посольства 1 місії Української Держави. Основний акцент робився на професійній підготовці фаховому рівні принциповості та патріотизмі працівників зовнішньополітичного відомства Української Держави. Міністрами закордонних справ Української Держави гетьмана П.
20579. Доба Директорії УНР: її внутрішня і зовнішня політика 39 KB
  Доба Директорії УНР: її внутрішня і зовнішня політика Політичні помилки тяжке становище трудящих залежність від окупаційної влади поразка Німеччини та її союзників у війні стали причинами падіння гетьманської влади в листопаді 1918 року. Коновальця Директорія повела наступ на Київ і захопила його 14 грудня 1918 року Прийшовши до влади вона обіцяла знищити поміщицьке землеволодіння встановити трудову владу провести вибори до Конгресу трудового народу якому й належатиме влада. Винниченко на черговому з'їзді Української...
20580. Зх. Укр. землі в 1918 р. Утворення ЗУНР. Петрушевич 32 KB
  Утворення ЗУНР. Левицьким і виданий тимчасовий закон про державну самостійність українських земель колишньої АвстроУгорської імперії за яким усі вони входили до складу Західноукраїнської Народної Республіки ЗУНР. Уряд ЗУНР переїхав до Тернополя а пізніше до Станіславова. перша сесія Української Національної Ради у Станіславові проголосила об'єднання ЗУНР з УНР в єдину державу.
20581. Відновлення радянської влади в Україні в 1919р. Селянсько-повстанський рух. 1919 р 27.5 KB
  Згідно з декретом Тимчасового робітничоселянського уряду вона дістала назву Українська Соціалістична Радянська Республіка УСРР а сам уряд з переїздом до Харкова зазнав значних змін на чолі уряду за рекомендацією В. Юридичне оформлення радянської державності на теренах України відбулося 10 березня 1919 р коли III Всеукраїнський з'їзд рад Харків прийняв першу Конституцію УСРР. Центральним завданням цієї диктатури Основний Закон УСРР визначив здійснення переходу від буржуазного ладу до соціалізму після чого диктатура а слідом за...
20582. Утворення СРСР. Статус України в складі Радянського союзу 29.5 KB
  Утворення СРСР. Повернімося однак до періоду що передував створенню СРСР. 10 грудня на VII Всеукраїнському з'їзді Рад було схвалено Декларацію про утворення СРСР і проект основ Конституції СРСР. З'їзд звернувся до з'їздів Рад інших радянських республік з пропозицією невідкладно оформити створення СРСР.
20583. Перехід до нової економічної політики та її здійснення в Україні 38 KB
  Сюди на цей раз надовго повернулася радянськобільшовицька влада. Радянська влада жорстоко розправлялася з незадоволеними більшовицькою політикою. Але більшовицька влада не була б такою коли б вона дала змогу реалізувати цю політику в усіх її вимірах. Радянськобільшовицька влада поверталася до традиційно тоталітарних методів керівництва й управління.
20584. Політика українізації та коренізації: суть, причини, наслідки 31 KB
  Політика українізації та коренізації: суть причини наслідки. складовою частиною національнокультурних процесів в Україні була політика українізації що проводилася в роки НЕПу. Політика українізації була складовою частиною політики коренізацїі яку запровадило партійне керівництво на підставі рішень XII з'їзду РКПб квітень 1923 р. Для проведення українізації було створено комісію на чолі з секретарем ЦК КПбУ В.
20585. Проведення сталінської політики воєнного-комуністичного штурму в Україні: результати, наслідки 35.5 KB
  складовою частиною національнокультурних процесів в Україні була політика українізації що проводилася в роки НЕПу. Політика українізації була складовою частиною політики коренізацїі яку запровадило партійне керівництво на підставі рішень XII з'їзду РКПб квітень 1923 р. Для проведення українізації було створено комісію на чолі з секретарем ЦК КПбУ В. Українська Інтелігенція стала рушійною силою українізації.