72517

Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. необходимое условие существования экстремума Если функция fx дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Русский

2014-11-24

165.5 KB

3 чел.

Лекция 5

Повторение предыдущего материала

Возрастание и убывание функций.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке

(а, b), причем f (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным).

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Пример: f(x) = x                                               Пример: f(x) =   

       y                                                                             y

             x

          x

     

В точке х = 0 функция имеет минимум, но           В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной.                                            максимума, ни минимума, ни произ-

      водной.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)   Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f (x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум в точке х = х1.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Найти критические точки функции.

Найти значения функции в критических точках.

Найти значения функции на концах отрезка.

Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

    у

               x

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема .  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Если f (x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если  вторая производная

f (a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. То есть асимптоты может и не быть.

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Исследование функций на асимптоты позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

Рассмотрим правила нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках, где функция не является непрерывной.

Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

В общем случае, если  или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Наклонные асимптоты.

Как выглядит график функции, имеющей наклонную асимптоту? Мы можем составить представление, посмотрев на рисунок.

Пусть прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой ниже приведены формулы для вычисления коэффициентов k и b.

,         .

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Примеры

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: Вполне возможно, что вертикальная асимптота х = 0.

Нужно посмотреть, что происходит с y при x0. При вычислении пределов получается, что  y+ при x0-0 и y-  при x0+0, следовательно, х = 0 - вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Вычисляем по формулам

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая  х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

  1.  Область определения функции.
  2.  Точки разрыва. (Если они имеются). Если есть точки разрыва, то посмотреть  нет ли вертикальных асимптот.
  3.  Наклонные асимптоты, если имеются.
  4.  Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Определить промежутки знакопостоянства функции (т.е. промежутки, на которых функция сохраняет знак).
  5.  Найти производную  и критические точки. Определить знаки производной и найти интервалы возрастания и убывания. Определить точки максимума и минимума.  
  6.  Найти вторую производную  и критические точки второго рода (т.е. такие точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует). Определить знаки второй производной и найти интервалы выпуклости и вогнутости. Определить точки перегиба.  
  7.  Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

  1.  Областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
  2.  Точками разрыва функции являются точки  х = 1, х = -1. Прямые  х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
  3.  Теперь найдем наклонные асимптоты.

     Итак, уравнение наклонной асимптоты –     y = x.

  1.  Найдем точки пересечения с осями Ox  и  Oy: Если x=0, то y=0. Если y=0, то x=0. В этом случае есть только одна точка (0,0).

  1.  Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ;  x = -1;  x = 1. Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

- < x < -,      y > 0, функция возрастает

- < x < -1,       y < 0,  функция убывает

-1 < x < 0,            y < 0,  функция убывает

0 < x < 1,             y < 0,  функция убывает

1 < x < ,         y < 0,   функция убывает

 < x < ,        y > 0,   функция возрастает

Значит, точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

  1.  Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

- < x < -,      y < 0,  кривая выпуклая

- < x < -1,       y < 0,  кривая выпуклая

-1 < x < 0,            y > 0,  кривая вогнутая

0 < x < 1,             y < 0,  кривая выпуклая

1 < x < ,         y > 0,   кривая вогнутая

< x < ,        y > 0,   кривая вогнутая

  1.  Построим график функции:

Домашнее задание

Исследуйте функции с помощью производной и постройте графики функций:

у = 3х2х3.      .

.

Используя правило Лопиталя, вычислите пределы функций:

.   .   .

Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций
(укажите точки, в которых достигаются эти значения):

у = х4 – 8х2 +3 на отрезке [–2; 2].

 а) на отрезке ;

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18076. АНТЕНИ РАДІОРЕЛЕЙНИХ ЛІНІЙ 284 KB
  ЛЕКЦІЯ №3 з навчальної дисципліни ПРИКЛАДНІ ПИТАННЯ АНТЕННИХ ПРИСТРОЇВ ТЕМА 1: АНТЕНИ РТС ПЕРЕДАЧІ ІНФОРМАЦІЇ. ЗАНЯТТЯ 4: антенИ радіоРЕЛЕЙНИХ ЛІНІЙ 1. НАВЧАЛЬНІ ПИТАННЯ Вимоги до антен радіорелейних ліній. 2. Особли
18077. АНТЕНИ СИСТЕМ КОРОТКОХВИЛЬОВОГО ЗВ’ЯЗКУ ТА РАДІОМОВЛЕННЯ 258.5 KB
  ЛЕКЦІЯ №4 з навчальної дисципліни ПРИКЛАДНІ ПИТАННЯ АНТЕННИХ ПРИСТРОЇВ ТЕМА 1: АНТЕНИ РТС ПЕРЕДАЧІ ІНФОРМАЦІЇ. ЗАНЯТТЯ 5: антенИ систем короткохвильового зв’язку та радіомовлення. 1. НАВЧАЛЬНІ ПИТАННЯ Вимоги до антен коротк...
18078. ЧАСТОТНО НЕЗАЛЕЖНІ АНТЕНИ 365.5 KB
  ЛЕКЦІЯ №5 з навчальної дисципліни ПРИКЛАДНІ ПИТАННЯ АНТЕННИХ ПРИСТРОЇВ ТЕМА 2: Частотні властивості антен. ЗАНЯТТЯ 1: Частотно незалежні антени 1. НАВЧАЛЬНІ ПИТАННЯ Принцип створення частотно незалежних антен. 2. Пр
18079. АКТИВНІ ПЕРЕДАВАЛЬНІ АНТЕНИ 351 KB
  ЛЕКЦІЯ №7 з навчальної дисципліни ПРИКЛАДНІ ПИТАННЯ АНТЕННИХ ПРИСТРОЇВ ТЕМА 3: Активні антени. ЗАНЯТТЯ 1: Активні передавальні антени. 1. НАВЧАЛЬНІ ПИТАННЯ Загальні відомості про активні передавальні антени. Ант...
18080. АКТИВНІ ПРИЙМАЛЬНІ АНТЕНИ 408.5 KB
  PAGE 32 ЛЕКЦІЯ №8 з навчальної дисципліни ПРИКЛАДНІ ПИТАННЯ АНТЕННИХ ПРИСТРОЇВ для студентів 5 курсу ТЕМА 3: Активні антени. ЗАНЯТТЯ 2: Активні прИЙМАльні антени. 1. НАВЧАЛЬНІ ПИТАННЯ Загальні відомості про активні приймальні ан...
18081. АНТЕНИ ТА ЕЛЕКТРОМАГНІТНА СУМІСНІСТЬ (ЕМС) 384 KB
  ЛЕКЦІЯ №10 з навчальної дисципліни ПРИКЛАДНІ ПИТАННЯ АНТЕННИХ ПРИСТРОЇВ ТЕМА 4: Антени та ЕМС. Моделювання та проектування антеннофідерних пристроїв ЗАНЯТТЯ 1: Антени та електромагнітна сумісність ЕМС 1. НАВЧАЛЬНІ ПИТАННЯ ...
18082. Работа со строками в Java 311.5 KB
  Лабораторная работа 5 Работа со строками в Java. Цель работы Целью работы является приобретение навыков программирования с использованием строк языка Java. Состав рабочего места. Оборудование: IBMсовместимый персональный компьютер ПК. Программное...
18083. Программирование апплетов в Java 364 KB
  Лабораторная работа 303 Программирование апплетов в Java 1. Цель работы Целью работы является приобретение навыков программирования апплетов Java с использованием средств AWT. 2. Состав рабочего места 2.1. Оборудование: IBMсовместимый персональный компьютер ПК. ...
18084. Использование системы Swing в Java 493 KB
  Лабораторная работа 7 Использование системы Swing в Java 1. Цель работы Целью работы является приобретение навыков программирования графических приложений Java с использованием элементов управления AWT. 2. Состав рабочего места 2.1. Оборудование: IBMсовместимый п