72523

Производная

Лекция

Математика и математический анализ

Производной функции у = fx в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента если он существует Используется также эквивалентное обозначение и употребляется точка сверху когда речь идет о функциях времени. Производная– это скорость изменения функции f при изменении аргумента x.

Русский

2014-11-24

126.5 KB

2 чел.

Лекция 4. Производная

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента,  если он существует  

Используется также эквивалентное обозначение , и употребляется точка сверху, , когда речь идет о функциях времени. Операцию взятия производной называют дифференцированием. Функцию называют дифференцируемой в точке x, если существует производная.

Производная– это  скорость изменения функции f  при изменении аргумента x.

Когда функция - путь,  аргумент - время, производная — это обычная скорость. Действительно, разность s(t + ∆t) - s(t), равная пути, пройденному за время t, и отнесенная к промежутку времени t,  дает среднюю скорость на интервале ∆t. При ∆t → 0 получается мгновенная скорость в точке t.

На рис. 3.1 изображены два примера.

Как хорошо известно, если график s(t) -

прямая линия, то v(t) = const. В случае тела, брошенного вверх с начальной скоростью , высота меняется по закону s(t) =, скорость  .

Другую полезную интерпретацию производной дает рис. 3.2, из которого видно, что производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику f(x) в точке х.

При дифференцировании нет необходимости искать непосредственно пределы.

Зачем нужны производные?

  •  Здесь возникает разговор о максимумах, выпуклости, асимптотике и вообще изучении поведения функций, — где производные, конечно, играют большую роль.
  •  Следующий виток — численные методы. Оптимизация, решение уравнений, неравенств, — почти везде используется дифференцирование. Скажем, итерационный метод Ньютона  для решения уравнения f(x)=0 в случае f(x)=x2-2 вычисляет корень квадратный из 2, давая последовательные приближения. Казалось бы, ничего особенного, однако дюжина итераций, начиная, допустим, с xо = 1, дает тысячу(!) верных знаков после запятой.
  •  Пусть Т обозначает температуру тела, находящегося в среде с температурой То. Как будет проходить процесс нагревания или охлаждения? Скорость Т’ изменения Т пропорциональна разности температур Т0 - Т, т. е. T’ = С(Tо-Т), где C > 0 — коэффициент пропорциональности.

Это простейший вариант дифференциального уравнения (содержащего производные). На подобного сорта уравнениях базируется вся физика и другие прикладные науки. Как, скажем, движутся механические тела? Один раз такую задачу удалось решить Кеплеру (планеты — по эллипсам), но это ничего не дало для решения других задач. Дифференциальный закон Ньютона (масса на ускорение равна силе),  = F, обеспечил путь к решению любых механических задач. Уравнения электродинамики, диффузии, распространения волн и эпидемий, гидро- и аэродинамики, квантовой механики — дифференциальные.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

(u ±v) ' = u'±v'

(uv)'= uv'+ u'v

Производные основных элементарных функций.

Задание: Записать таблицу производных, выучить формулы.

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(u); u = g(x), причем область значений функции u  входит в область определения функции f. В предположении, что все функции имеют производные, мы получим формулу для дифференцирования сложной функции. Тогда .

Дифференциалы.

Гипотетически рассуждая, в условиях неведения о производных, можно было бы задаться вопросом, когда приращение функции представимо в виде ∆у = Ax + о(∆х),           (*)

где А — некоторая константа.

Ответ очевиден.

Это представление имеет место тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке х. При этом А = f'(x).

Таким образом, проблема тривиальна, и на этом можно было бы закончить, но традиционно на данном аспекте сфокусировалось слишком много внимания, чтобы его теперь можно было обойти стороной.

Определение. Линейная часть приращения ∆у, равная А∆х в представлении, называется дифференциалом функции у = f(x) и обозначается dy.

Следовательно, ∆y = dy+о(∆х), т. е. приращение ∆у равно сумме линейного приращения dy и нелинейной части о(∆х). Полагая для независимого приращения  ∆х  = dx, имеем откуда, собственно, и возникло обозначение производной

Теоремы о среднем

Теорема Ферма. Пусть f(x) в точке х=а дифференцируема и принимает локально максимальное значение, т. е. f(a)>f(x) для всех х из достаточно малой окрестности точки а. Тогда f’(a) =0.

Результат очевиден с разных точек зрения:

Первый вариант. В точке максимального удаления скорость обнуляется — надо остановиться, чтобы двинуться обратно.

Другой вариант. Геометрически понятно, что касательная к локальному максимуму (рис. 3.4) должна быть горизонтальна (tg у = 0).

Третий вариант. В предположении противного, f’(a)>0,  например, линейная (самая большая при малом ∆x) часть приращения f(a)∆x > 0 при ∆x > 0, т. е. f(a +∆x) > f(a) при достаточно малых Ах > 0, что противоречит наличию локального максимума в а.

Обратное, разумеется, неверно. У x3 производная в нуле равна нулю, но нет никакого максимума (в нуле точка перегиба).

Теорема Ролля. Пусть f(x) дифференцируема на [а, b] и f(a) = f(b). Тогда есть точка c [а, b], в которой f’(c) = 0.

Действительно, из того, что f(а) = f(b) вытекает, что f(x) на [а, b] имеет или минимум, или максимум. Далее решает ссылка на предыдущую теорему.

Теорема Лагранжа. Пусть f(x) дифференцируема на [а, b]. Тогда существует точка c (а, b), в которой f’(c). Последнее равенство чаще записывают в виде произведения , подчеркивая способ выражения ∆f(x) с помощью умножения ∆x на «среднюю скорость роста. 

Формула Тейлора

Пусть функция f(x) п+1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки а. Тогда для x, достаточно близких к а, справедлива формула

, где  при

Легко видеть, что многочлен  имеет в точке а те же производные (до n-й включительно), что и f(x).  

Монотонность, выпуклость, экстремумы

При изучении поведения функции дифференцирование работает весьма эффективно. Основу составляют несколько простых соображений, которые позволяют решать сложные задачи. В этом, кстати, нет противоречия. Элементарные причины могут порождать весьма замысловатые последствия.

Даже такой простой факт, как f '(x) = 0 => f(x) = const, может приносить плоды. Например, для какого-нибудь сложно доказуемого тождества f(x) = g(x) проверка f '(x) = g'(x) может оказаться совсем легкой. Тогда остается убедиться лишь в равенстве f(a) = g(a)  и задача решена.

Функция f(x) монотонно растет, если , и убывает – если . Тоже совсем прозрачный результат. Скорость изменения положительна — функция растет, отрицательна — убывает. Строго положительна — строго растет и т. д. Характер роста f(x) играет важную роль во многих задачах. В случае f'(a) = 0, например, полезно выяснить поведение производной f(x) в окрестности точки а.

Если  и слева от а производная положительна, справа — отрицательна, то у f(x) в точке а — максимум. Если наоборот, то минимум. Производная сохраняет знак — точка перегиба, как у=х3 в нуле.

Еще одна полезная категория мышления — выпуклость. Функцию называют выпуклой, когда ее график выглядит, как на рис. 3.5 а, и вогнутой — в случае, изображенном на рис. 3.5 б.

Выпуклая функция с увеличением х растет все быстрее, т. е. скорость f’(x) возрастает (ускорение f’’(x) положительно). Вогнутая функция, наоборот, с увеличением х растет медленнее.

Из рис. 3.5 геометрически ясно, что вертикальный луч, идущий вверх из любой точки с [а, b], пересекает сначала график f(x), потом отрезок AB, что можно записать как

f(pa + qb) < pf(a) + qf(b), при любых неотрицательных р и q, удовлетворяющих условию p+q = 1. Это называют неравенством Йенсена и обычно принимают за определение выпуклой функции, а монотонность производной уже выводят как следствие.

Вообще говоря, выпуклость часто путают с вогнутостью. Поэтому, во избежание недоразумений, многие предпочитают говорить о выпуклости снизу или о выпуклости сверху.

Функцию обычно считают выпуклой, если она имеет выпуклый надграфик, представляющий собой множество точек (x, у), удовлетворяющих неравенству у >f(x).

Достаточно очевидна и возможная роль второй производной  (ускорения).

Как уже отмечалось, влечет за собой выпуклость f(x) на соответствующем участке, —вогнутость. Таким образом, точки, в которых f"(x) обращается в нуль и меняет знак, определяют смену выпуклости на вогнутость (либо наоборот) и классифицируются как точки перегиба. Рис. 3.6 демонстрирует более общий случай, чем х3.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61975. Чтение схемы по тяговой подстанции. Перечень элементов 31.3 KB
  Технологическая карта учебного занятия это способ графического проектирования учебного занятия таблица позволяющая структурировать учебное занятие по выбранным преподавателем параметрам.
61976. Урок с использованием профессионально-направленной лексики и элементов деловой игры в ситуациях коммуникативного общения 47.02 KB
  Технологическая карта урока Тема урока: Introduсtion to the cr Знакомство с автомобилем Цели урока: Развитие знаний о конструкциях автомобилей через овладение новыми лексическими единицами по теме “ Introduсtion to the cr †развитие навыков монологической речи Задачи урока: Обучающие: Правильное произношение новых терминов связанных с функционльностью автомобиля и практика речевой деятельности: Усвоение и активизация лексики по теме урока Повторение старого и дальнейшее закрепление нового лексического материала по...
61978. Я – гражданин Республики Беларусь 21.94 KB
  Ход учебного занятия Сообщение темы и цели учебного занятия. Тема нашего сегодняшнего урока Я гражданин Республики Беларусь. Мы носим имя гражданин Республики Беларусь. Беседа Наша Родина Беларусь.
61979. British Traditions and Customs 22.04 KB
  British nation is considered to be the most conservative in Europe. It is not a secret that every nation and every country has its own customs and traditions. In Great Britain people attach greater importance...
61982. А. Гайдар «Тимур и его команда» 19.58 KB
  Цели: познакомить учащихся с жизнью и творчеством Гайдара его повестью Тимур и его команда продолжить работу над совершенствованием качеств полноценного навыка чтения и умения работать с текстом произведения.
61983. Совершенствование прыжка в длину с места 74.73 KB
  Воспитание волевых качеств целеустремлённости Место проведения: спортивный зал Оборудование: свисток скакалки Содержание Дозировка Организационно-методические указания Вводная часть Построение приветствие сообщение темы и задач урока...