72523

Производная

Лекция

Математика и математический анализ

Производной функции у = fx в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента если он существует Используется также эквивалентное обозначение и употребляется точка сверху когда речь идет о функциях времени. Производная это скорость изменения функции f при изменении аргумента x.

Русский

2014-11-24

126.5 KB

2 чел.

Лекция 4. Производная

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента,  если он существует  

Используется также эквивалентное обозначение , и употребляется точка сверху, , когда речь идет о функциях времени. Операцию взятия производной называют дифференцированием. Функцию называют дифференцируемой в точке x, если существует производная.

Производная– это  скорость изменения функции f  при изменении аргумента x.

Когда функция - путь,  аргумент - время, производная — это обычная скорость. Действительно, разность s(t + ∆t) - s(t), равная пути, пройденному за время t, и отнесенная к промежутку времени t,  дает среднюю скорость на интервале ∆t. При ∆t → 0 получается мгновенная скорость в точке t.

На рис. 3.1 изображены два примера.

Как хорошо известно, если график s(t) -

прямая линия, то v(t) = const. В случае тела, брошенного вверх с начальной скоростью , высота меняется по закону s(t) =, скорость  .

Другую полезную интерпретацию производной дает рис. 3.2, из которого видно, что производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику f(x) в точке х.

При дифференцировании нет необходимости искать непосредственно пределы.

Зачем нужны производные?

  •  Здесь возникает разговор о максимумах, выпуклости, асимптотике и вообще изучении поведения функций, — где производные, конечно, играют большую роль.
  •  Следующий виток — численные методы. Оптимизация, решение уравнений, неравенств, — почти везде используется дифференцирование. Скажем, итерационный метод Ньютона  для решения уравнения f(x)=0 в случае f(x)=x2-2 вычисляет корень квадратный из 2, давая последовательные приближения. Казалось бы, ничего особенного, однако дюжина итераций, начиная, допустим, с xо = 1, дает тысячу(!) верных знаков после запятой.
  •  Пусть Т обозначает температуру тела, находящегося в среде с температурой То. Как будет проходить процесс нагревания или охлаждения? Скорость Т’ изменения Т пропорциональна разности температур Т0 - Т, т. е. T’ = С(Tо-Т), где C > 0 — коэффициент пропорциональности.

Это простейший вариант дифференциального уравнения (содержащего производные). На подобного сорта уравнениях базируется вся физика и другие прикладные науки. Как, скажем, движутся механические тела? Один раз такую задачу удалось решить Кеплеру (планеты — по эллипсам), но это ничего не дало для решения других задач. Дифференциальный закон Ньютона (масса на ускорение равна силе),  = F, обеспечил путь к решению любых механических задач. Уравнения электродинамики, диффузии, распространения волн и эпидемий, гидро- и аэродинамики, квантовой механики — дифференциальные.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

(u ±v) ' = u'±v'

(uv)'= uv'+ u'v

Производные основных элементарных функций.

Задание: Записать таблицу производных, выучить формулы.

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(u); u = g(x), причем область значений функции u  входит в область определения функции f. В предположении, что все функции имеют производные, мы получим формулу для дифференцирования сложной функции. Тогда .

Дифференциалы.

Гипотетически рассуждая, в условиях неведения о производных, можно было бы задаться вопросом, когда приращение функции представимо в виде ∆у = Ax + о(∆х),           (*)

где А — некоторая константа.

Ответ очевиден.

Это представление имеет место тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке х. При этом А = f'(x).

Таким образом, проблема тривиальна, и на этом можно было бы закончить, но традиционно на данном аспекте сфокусировалось слишком много внимания, чтобы его теперь можно было обойти стороной.

Определение. Линейная часть приращения ∆у, равная А∆х в представлении, называется дифференциалом функции у = f(x) и обозначается dy.

Следовательно, ∆y = dy+о(∆х), т. е. приращение ∆у равно сумме линейного приращения dy и нелинейной части о(∆х). Полагая для независимого приращения  ∆х  = dx, имеем откуда, собственно, и возникло обозначение производной

Теоремы о среднем

Теорема Ферма. Пусть f(x) в точке х=а дифференцируема и принимает локально максимальное значение, т. е. f(a)>f(x) для всех х из достаточно малой окрестности точки а. Тогда f’(a) =0.

Результат очевиден с разных точек зрения:

Первый вариант. В точке максимального удаления скорость обнуляется — надо остановиться, чтобы двинуться обратно.

Другой вариант. Геометрически понятно, что касательная к локальному максимуму (рис. 3.4) должна быть горизонтальна (tg у = 0).

Третий вариант. В предположении противного, f’(a)>0,  например, линейная (самая большая при малом ∆x) часть приращения f(a)∆x > 0 при ∆x > 0, т. е. f(a +∆x) > f(a) при достаточно малых Ах > 0, что противоречит наличию локального максимума в а.

Обратное, разумеется, неверно. У x3 производная в нуле равна нулю, но нет никакого максимума (в нуле точка перегиба).

Теорема Ролля. Пусть f(x) дифференцируема на [а, b] и f(a) = f(b). Тогда есть точка c [а, b], в которой f’(c) = 0.

Действительно, из того, что f(а) = f(b) вытекает, что f(x) на [а, b] имеет или минимум, или максимум. Далее решает ссылка на предыдущую теорему.

Теорема Лагранжа. Пусть f(x) дифференцируема на [а, b]. Тогда существует точка c (а, b), в которой f’(c). Последнее равенство чаще записывают в виде произведения , подчеркивая способ выражения ∆f(x) с помощью умножения ∆x на «среднюю скорость роста. 

Формула Тейлора

Пусть функция f(x) п+1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки а. Тогда для x, достаточно близких к а, справедлива формула

, где  при

Легко видеть, что многочлен  имеет в точке а те же производные (до n-й включительно), что и f(x).  

Монотонность, выпуклость, экстремумы

При изучении поведения функции дифференцирование работает весьма эффективно. Основу составляют несколько простых соображений, которые позволяют решать сложные задачи. В этом, кстати, нет противоречия. Элементарные причины могут порождать весьма замысловатые последствия.

Даже такой простой факт, как f '(x) = 0 => f(x) = const, может приносить плоды. Например, для какого-нибудь сложно доказуемого тождества f(x) = g(x) проверка f '(x) = g'(x) может оказаться совсем легкой. Тогда остается убедиться лишь в равенстве f(a) = g(a)  и задача решена.

Функция f(x) монотонно растет, если , и убывает – если . Тоже совсем прозрачный результат. Скорость изменения положительна — функция растет, отрицательна — убывает. Строго положительна — строго растет и т. д. Характер роста f(x) играет важную роль во многих задачах. В случае f'(a) = 0, например, полезно выяснить поведение производной f(x) в окрестности точки а.

Если  и слева от а производная положительна, справа — отрицательна, то у f(x) в точке а — максимум. Если наоборот, то минимум. Производная сохраняет знак — точка перегиба, как у=х3 в нуле.

Еще одна полезная категория мышления — выпуклость. Функцию называют выпуклой, когда ее график выглядит, как на рис. 3.5 а, и вогнутой — в случае, изображенном на рис. 3.5 б.

Выпуклая функция с увеличением х растет все быстрее, т. е. скорость f’(x) возрастает (ускорение f’’(x) положительно). Вогнутая функция, наоборот, с увеличением х растет медленнее.

Из рис. 3.5 геометрически ясно, что вертикальный луч, идущий вверх из любой точки с [а, b], пересекает сначала график f(x), потом отрезок AB, что можно записать как

f(pa + qb) < pf(a) + qf(b), при любых неотрицательных р и q, удовлетворяющих условию p+q = 1. Это называют неравенством Йенсена и обычно принимают за определение выпуклой функции, а монотонность производной уже выводят как следствие.

Вообще говоря, выпуклость часто путают с вогнутостью. Поэтому, во избежание недоразумений, многие предпочитают говорить о выпуклости снизу или о выпуклости сверху.

Функцию обычно считают выпуклой, если она имеет выпуклый надграфик, представляющий собой множество точек (x, у), удовлетворяющих неравенству у >f(x).

Достаточно очевидна и возможная роль второй производной  (ускорения).

Как уже отмечалось, влечет за собой выпуклость f(x) на соответствующем участке, —вогнутость. Таким образом, точки, в которых f"(x) обращается в нуль и меняет знак, определяют смену выпуклости на вогнутость (либо наоборот) и классифицируются как точки перегиба. Рис. 3.6 демонстрирует более общий случай, чем х3.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62946. Элементы теории множеств 133.64 KB
  Поэтому его нельзя определить а можно лишь пояснить указывая синонимы слова множество и приводя примеры множеств: множество набор совокупность собрание каких либо объектов элементов обладающих общим для всех их характеристическим свойством.
62950. Изучение возможностей СУБД Microsoft Access 2007 по созданию таблиц и представлению в них информации 1.02 MB
  В окне укажите для каждого поля его имя и тип рекомендуется в колонке Описание указать назначение поля. Для задания типа поля щелкните в соответствующей ячейке в столбце Тип данных. Название поля не более 64 символов выбрать из раскрывающегося списка тип данных которые...
62952. ОЖИРЕНИЕ – ГЛОБАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА. ВЛИЯНИЕ ОЖИРЕНИЯ НА РИСК СМЕРТИ. ПРОГРАММЫ ПО СНИЖЕНИЮ ВЕСА 100.51 KB
  Способностью и готовностью применять современные социально-гигиенические методики сбора и медико-статистического анализа информации о показателях здоровья взрослого населения и подростков на уровне различных подразделений медицинских организаций...