7290

Точка в системі трьох площин проектування

Лекция

Математика и математический анализ

Точка в системі трьох площин проектування При виконанні комплексних креслень у ряді випадків буває недостатньо зображень на двох площинах проекцій, тому доводиться будувати третю проекцію. Введемо в систему П1П2 ще одну перпендикулярну площину - про...

Украинкский

2013-01-20

402 KB

37 чел.

Точка в системі трьох площин проектування

При виконанні комплексних креслень у ряді випадків буває недостатньо зображень на двох площинах проекцій, тому доводиться будувати третю проекцію.

Введемо в систему П1П2 ще одну перпендикулярну площину - профільну площину проекцій П3, яка э перпендикулярною площинам П1 і П2. Ці три взаємоперпендикулярних площини: горизонтальна, фронтальна і профільна утворюють систему  трьох площин проекцій – систему П1П2 П3 (рис. 1).

Рисунок 1

Лінії перетину цих площин називаються осями проектування. Точка їх перетину О – центр системи П1П2П3. Лінії перетину площин проекцій:

х12 – горизонтальна вісь проекцій (індекс 12 показує, що ось  х12 є лінією перетину площин П1 та П2 і належить цим площинам);

у13| – фронтальна вісь проекцій (індекс 13 показує, що ось  у13  є лінією перетину площин П1 і П3 та належить цим площинам);

z23– профільна вісь проекцій (індекс 12 показує, що ось  z23 є лінією перетину площин П2 і П3 та належить цим площинам).

Площини проектування ділять простір на вісім тригранних кутів - чверті або октанти (див. рис. 1). Система знаків відповідає "правій системі" координат, прийнятій в більшості європейських країн. Наглядач, який розглядає оригінал,   завжди знаходиться в першому октанті.

Припустимо, що точка А знаходиться у першому октанті. Визначимо проекції точки А на три площини проектування. Для цього проведемо перпендикуляри (проектувальні промені) через точку А до площин проектування. Точки перетину проектувальних променів з площинами проектування і будуть проекціями точки А на ці площини: точка А1 – горизонтальна проекція точки А (проекція на горизонтальну площину проектування П1),  точка А2фронтальна проекція точки А (проекція на фронтальну площину проектування П2) і точка А3профільна проекція точки А (проекція на профільну площину проектування П3), показано на рис. 2.

Рисунок 2

Для утворення комплексного креслення тригранний кут у думках розрізають по осі у13 і площину П1 обертають навколо осі х12 донизу на 90О, а площину П3 навколо осі у13 вправо також на 90О. При цьому ось розподіляється на дві частини: на лінію у1, яка належить площині П1 і лінію у3, яка належить площині П3, рис. 3.

Рисунок 3

При цьому у площині комплексного креслення сумістяться усі три площини проектування, рис. 4. Зверніть увагу, що позитивне направлення осі х12  - від точки О вліво, а негативне – вправо; позитивне направлення осі у1 від точки О донизу, негативне – доверху; позитивне направлення осі у3 від точки О – вправо, негативне – вліво; позитивне направлення осі z23 від точки О - доверху, негативне – донизу. Тобто на комплексному кресленні осі  х12 і у3 співпадають, але вони направлені у різні сторони, також саме і співпадають осі z23 і у1, але напрями їх протилежні.

Побудуємо на рис. 4 комплексне креслення точки А, положення якої у просторі показано на рис. 3.

Рисунок 4

Відстань від точки А до горизонтальної площини проектування |АА1| = |А2Ах| = |А3Аz|= =|0Ау|, відстань від точки А до фронтальної площини проектування П2 - |АА2| = |А1Ах| = =|А3Ау| = |0Аz|,  відстань точки А до профільної площини проектування П3 - |АА3| = |А1Аz| = =|А2Ау| = |0Ах|.

Таким чином, відстані від площин і від осей проектування  можуть бути виміряні безпосередньо, як визначені відрізки на кресленні. При цьому необхідно враховувати масштаб креслення.

Якщо ввести одиниці вимірювання, то можна одержати прямокутну систему координат. При цьому точка О буде началом координат, а осі проектування з нанесеними на  них одиницями вимірювання – осями координат. Таким чином, кожна точка у прямокутній системі координат буде мати три координати – по осі х, осі у і осі  z. Точка А буде мати такі координати: А(Ах; Ау; Аz)або іноді ще використовують означення А(хА; уА; zА), де координати:

хА – абсциса – довжина відрізку, яка визначає відстань від точки А до профільної площини проектування П3 у визначених одиницях вимірювання;

уА – ордината - довжина відрізку, яка визначає відстань від точки А до фронтальної площини проектування П2 у визначених одиницях вимірювання;

zА – апліката - довжина відрізку, яка визначає відстань від точки А до горизонтальної площини проектування П1 у визначених одиницях вимірювання.

Положення кожної проекції точки може бути визначено її двома координатами: горизонтальна проекція  А1А; уА), фронтальна проекція  А2А; zА), профільна проекція А3А; zА).

Розглянемо приклад 1. Побудувати комплексне креслення точки А(2; 4; 3). Креслення показано на рис. 5.

Рисунок 5

Якщо відомі дві проекції точки, то завжди можна побудувати її третю проекцію, тому що у будь-які дві проекції точки входять усі три її координати.

Приклад 2. По двом проекціям точки А (рис. 6)визначити третю.

Рисунок 6

Визначимо координати точки А по її проекціям: горизонтальній А1А; уА) і фронтальній  А2А; zА). По горизонтальній проекції можна одержати значення:  хА = 6 од. і уА =  4 од., по фронтальній проекції  можна одержати значення:  хА = 6 од., zА = 2 од. Таким чином координати точки А визначені: А(6; 4; 2). Побудуємо профільну проекцію точки А по значенням її ординати і аплікати (рис. 7).

Рисунок 7

Розглянемо приклад 3. Побудувати комплексне креслення точки В(3; -7; -1). При виконанні побудови необхідно пам’ятати позитивне і негативне направлення осей. Комплексне креслення точки В показано на рисунку 8.

Рисунок 8

Розташування проекцій точки на комплексному кресленні залежить від розташування її у просторі, тобто від того, у якому октанті знаходиться точка. Знаки координат точок, які лежать у різних октантах наведені у табл. 1.

Таблиця 1 – Знаки координат точок у октантах простору

Октант

Знак

абсциси

ординати

аплікати

+

+

+



+

-

+



+

-

-

V

+

+

-

V

-

+

+

V

-

-

+

V

-

-

-

V

-

+

-

Для того, щоб одержати комплексне креслення відрізку прямої, необхідно побудувати три проекції його одного кінця  і три проекції другого, а після цього однойменні проекції з’єднати прямою.

Приклад 4. Побудувати комплексне креслення відрізку АВ, якщо

А(6; 4; 2) і В(3; -7; -1).

Необхідно побудувати три проекції точки А: горизонтальну, фронтальну і профільну,  і три проекції точки В: горизонтальну, фронтальну і профільну. А потім з’єднати горизонтальну проекцію точки а з горизонтальною проекцією точки В, фронтальну проекцію точки А з фронтальною проекцією точки В і профільну проекцію точки А з профільною проекцією точки В. Горизонтальною проекцією відрізку АВ буде відрізок А1В1, фронтальною проекцією відрізку АВ буде відрізок А2В2, профільною проекцією відрізку АВ – відрізок А3В3 (рис.9).

Рисунок 9


Питання для підготовки до модульного контролю

  1.  Як розташована у просторі профільна площина проектування?
  2.  Які площини утворюють систему П1П2П3?
  3.  Що називається осями проектування?
  4.  Лінією перетину яких площин проектування є профільна вісь? А фронтальна?
  5.  Як утворюється комплексне креслення у системі П1П2П3?
  6.  Як в системі П1П2П3 направлені осі проектування?
  7.  Якими трьома координатами визначається положення проекцій точки на комплексному кресленні?
  8.  Як розташовані октанти простору? У якому октанті простору розташована точка С(-4; 2;-8)? Точка К(3; -2; -5)? Точка Р( 4; 2; -1)?
  9.  Побудувати комплексне креслення відрізків СК, СР і КР. Координати точок узяти з попереднього питання.
  10.  По комплексному кресленню визначити координати точок А, В, С і D.
  11.  Як визначити аплікату точки, якщо відома її профільна проекція?
  12.  Побудувати проекції точок А і В, яких не вистачає

  1.  У якому октанті простору розташовані точки? Записати їх координати.
  2.   Побудувати комплексне креслення точок по їх координатам А(55, 20, 15); В(55, 20, 25); С(60, 25, 30). Яка з цих точок розташована вище інших? Яка ближче до наглядача?
  3.   Як називаються і означаються основні площини проектування?
  4.   При якій умові точка А буде однаково віддалена від горизонтальної і від профільної площин проектування?
  5.  У якому октанті простору розташовані точки? Записати їх координати.

а)

б)

Побудувати проекції, яких не вистачає.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53672. Конспект урока по баскетболу 53.5 KB
  Совершенствовать остановку прыжком Развивающие: развивать координационные способности с помощью эстафет Воспитательные: командный дух с помощью эстафет Части урока Частные задачи Средства Дозировка Методические указания Команды Форма проведения Подготовительная Организованно начать урок Построение 2мин Следить за дисциплиной Следить за слаженностью выполнения строевых упражнений за осанкой...
53673. Конспект урока по баскетболу в 7 классе 47 KB
  Ноги не сгибать Задняя нога прямая Равняйсь Смирно Вольно На носках марш На пятках марш На внешней стороне стопы марш На внутренней стороне стопы марш Бегом марш Бег с высоким поднимание колена марш Бег спиной вперед марш Противоходом марш Змейкой марш Шагом марш На месте шагом марш Стой раз два Фронтальная Основная 2025мин Совершенствование скорости реакции посредством игры в баскетбол Разделить на 2 команды. Однако тот не может начать эстафету пока предыдущий игрок не пересечет стартовую...
53675. Конспект урока по баскетболу в 8 классе 45.5 KB
  Части урока Частные задачи Средства Дозировка Методические указания Команды Форма проведения Подготовительная 1015мин Организованно начать урок Подготовить организм к предстоящей нагрузке Построение приветствие постановка задач Упражнения в ходьбе: на носках руки перед грудью кисти скрепить в замок круговые вращения в кистях; на пятках руки вперед на внешней стороне стопы на внутренней...
53676. Изготовление открытки к 23 февраля 72 KB
  Задачи: Образовательные: Познакомить с историческими сведениями о празднике День защитника отечества; Расширить практические навыки по изготовлению открыток; Воспитательные: Воспитание дисциплинированности активности уважения друг к другу; Воспитание культуры учащихся внимательности. 2 Создание эмоционального настроя Праздник всех солдатов наших Вот что значит этот день День защитников отважных Да и просто всех парней Ведь любой из них мечтает Защитить детей семью Покорить хоть чтото в мире И найти свою судьбу Слушают...
53677. Воображение 60.5 KB
  Познакомить студентов с понятием воображение с функциями видами воображения способами создания образов воображения. План урока с хронометражем времени: Организационный момент 5 минут; Опрос по пройденной теме 15 минут; Изучение нового материала 50 минут; понятие воображение функции воображения; виды воображения; приемы создания образов воображения. А сейчас приступаем к работе запишите себе пожалуйста тему урока – Воображение.
53678. Конспект урока по физической культуре 38.5 KB
  На раз руки к плечам на два вверх на 3 к плечам на 4 на пояс руки в стороны. 4 спокойный бег 5 ходьба 1012 мин 30 сек 34 раз 56 раз 56 раз 67 раз 1012 раз 56 раз 78 раз 56 раз 1015 раз Вращения головы медленно Вращения как можно с большой амплитудой. Построение в ширинку делимся на команды на первыйвторой Игра в волейбол 2530 мин 1520 раз Упражнения делать по команде преподавателя.
53679. Конспект урока по физической культуре для 1 класса 70 KB
  Закрепить технику ловли малого мяча. Учить метанию малого мяча в вертикальную цель с места. Инвентарь: Малые мячи. Баскетбольные мячи.
53680. КОНСПЕКТ УРОКА ПО ГАНДБОЛУ 41 KB
  Победитель - команда определяется по наименьше затраченному времени на пятнание игроков и индивидуально выявляет...