72918

Решение системы линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Дано: Система линейных алгебраических уравнений. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса. Существует множество методов решения систем линейных алгебраических уравнений таких как: метод Крамера решение СЛАУ матричным методом метод Гаусса.

Русский

2014-12-01

117.93 KB

3 чел.

Введение

Компьютерная грамотность, владение компьютерными технологиями являются в современной жизни необходимостью.

Современное производство требует знания информационных технологий и навыков работ на компьютере.

Информатика - одна из немногих учебных дисциплин, развивающая таким практическим навыки, которые востребуются напрямую и немедленно, сразу после включения молодого специалиста в профессиональную деятельность.

Естественно, процесс овладения компьютерной грамотностью должен начинаться ещё в школе, но на сегодняшний день ещё не все школы оснащены необходимым оборудованием.

1 Постановка задачи.

Дано: Система линейных алгебраических уравнений.

Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса.

2 Описание метода.

Существует множество методов решения систем линейных алгебраических  уравнений таких как: метод Крамера, решение СЛАУ матричным методом, метод Гаусса.

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.

Достойнства метода:

-Менее трудоемкий по сравнению с другими методами

-Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна найти ее решение

-Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений-ранг матрицы системы.

Существенные Недостатки: этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретическом иследовании.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяxn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1. Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

3 Алгоритм решения.

1.Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на - , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее,   к                  n-омууравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

 

 где
 
  .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

2.Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

 


Будем считать, что  (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-омууравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

 

 где
 
 .

Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

 

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

 

 

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как , с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.

//Описать все переменные
4 код программы.

uses crt;

 

type vec=array[1..4] of real;

mas=array[1..4,1..4] of real;

 

var a:mas; b,x:vec;

h,s:real;

i,j,k,n:integer;

inp:text;

 

Begin

Clrscr;

n:=4;

assign(inp,'inp.txt'); //a[1,1], a[1,2],.....,a[4,4], b[1]....b[4]- содержание файла inp.txt всё в один столбец

reset(inp);

read(inp,a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[2,4],a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4], b[1],b[2],b[3],b[4]); //Прописать полностью эллементы

close(inp);

 

writeln('Исходная матрица');

for i:=1 to n do begin

write(i);

for j:=1 to n do

write(a[i,j]:10:5);

writeln(b[i]:10:5) end;

writeln; writeln; writeln;

{исключение переменных}

for i:=1 to n-1 do

for j:=i+1 to n do begin

a[j,i]:=-a[j,i]/a[i,i];

for k:=i+1 to n do

a[j,k]:=a[j,k]+a[j,i]*a[i,k];

b[j]:=b[j]+a[j,i]*b[i] end;

x[n]:=b[n]/a[n,n];

{нахождение корней}

for i:=n-1 downto 1 do begin

h:=b[i];

for j:=i+1 to n do h:=h-x[j]*a[i,j];

x[i]:=h/a[i,i]; end;

writeln('Корни уравнения');

for i:=1 to n do writeln('x(',i,')=',x[i]:10:5);

writeln;

readkey

end.

5 Заключение.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы, численного решения СЛАУ в вычислительной технике.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Данная модель применима к невырожденным матрицам с одинаковым количеством строк и столбцов. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78353. Комплексные соединения 531.93 KB
  Ионы некоторых элементов способны присоединять к себе другие ионы или нейтральные молекулы (например, NH3), образуя более сложные комплексные ионы. При их связывании с ионами противоположного знака получаются различные комплексные соединения. Наиболее полно свойства и строение комплексных соединений объясняет координационная теория
78354. Химические свойства элементов 157.55 KB
  При нагревании они соединяются с водородом с образованием гидридов с галогенами серой азотом фосфором углеродом и кремнием с образованием соответственно галогенидов сульфидов нитридов фосфидов карбидов и силицидов: При нагревании щелочные металлы способны реагировать с другими металлами образуя интерметаллиды. Иногда для получения щелочных металлов проводят электролиз расплавов их гидроксидов...
78355. Органические соединения. Простые и кратные связи в органических соединениях. Предельные и непредельные углеводороды 70.48 KB
  Изомерия органических соединений. Классификация органических соединений. Берцелиусу определить органическую химию как химию соединений углерода 1806 г. Именно это свойство позволяет углероду образовывать миллионы соединений изучению которых посвящена целая область органическая химия.
78356. Макроэкономическое регулирование национальной экономики 33.31 KB
  Государственная социальная политика. Это совокупность мероприятий в сфере налогообложения направленных на формирование доходной части государственного бюджета повышение эффективности функционирования всей национальной экономики обеспечение экономического роста занятости населения и стабильности денежного обращения Фискальная политика это система регулирования экономики посредством изменений государственных расходов и налогов. Фискальная политика может как благотворно так и достаточно болезненно воздействовать на стабильность...
78357. Экономический рост национальной экономики 63.55 KB
  Факторы экономического роста.Основы методологии расчетов темпов экономического роста. Показатели параметры экономического роста. Как известно темпы экономического роста определяют важнейшие характеристики хозяйствования такие как: динамика объемов производства в системе в целом отдельных ее отраслях и регионах; прогрессивные отраслевые сдвиги; скорость и степень совершенствования структуры национальной экономики; изменение величины и структуры потребления и накопления в стране; динамика уровня жизни населения страны в целом и...
78358. Конкурентоспособность национальной экономики 51.67 KB
  Понятие конкурентоспособности экономической деятельности.Оценка конкурентоспособности национальной экономики. Предпосылки конкурентоспособности национальной экономики ее отраслей и отдельных экономических агентов. Понятие конкурентоспособности экономической деятельности Что же понимать под конкурентоспособностью любого экономического агента.
78359. Региональные процессы в национальной экономике 31.27 KB
  Вместе с тем государство должно обеспечивать системные условия для устойчивого экономического развития страны благоприятной жизнедеятельности населения и рационального использования имеющегося ресурсного потенциала. Реализация вышеуказанных задач должна учитывать геоэкономические и геополитические факторы развития страны. Глобализация и усиление международной конкуренции требуют выработки эффективной стратегии позиционирования страны на мировых рынках. Настоящая Стратегия определяет стратегические направления территориального...
78360. Национальная экономическая деятельность и международные экономические отношения 39.82 KB
  Факторы влияющие на международные экономические позиции страны. Факторы влияющие на международные экономические позиции страны На международные экономические позиции нации оказывают влияние такие факторы как уровень развития национальной экономики структура национальной экономики ее экономическое могущество. Развитые и индустриальные страны занимают первое место в мировом импорте и экспорте. В то время как развитые страны импортируют главным образом сырьевые материалы и продукты питания а экспортируют в основном готовую продукцию...
78361. Регулирования внешнеэкономической деятельности 79.03 KB
  Основные направления регулирования внешнеэкономической деятельности. Механизмы и инструменты регулирования внешней торговли. Организационно-правовое обеспечение регулирования внешнеэкономической деятельности. Основные направления формы и методы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности.