72918

Решение системы линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Дано: Система линейных алгебраических уравнений. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса. Существует множество методов решения систем линейных алгебраических уравнений таких как: метод Крамера решение СЛАУ матричным методом метод Гаусса.

Русский

2014-12-01

117.93 KB

3 чел.

Введение

Компьютерная грамотность, владение компьютерными технологиями являются в современной жизни необходимостью.

Современное производство требует знания информационных технологий и навыков работ на компьютере.

Информатика - одна из немногих учебных дисциплин, развивающая таким практическим навыки, которые востребуются напрямую и немедленно, сразу после включения молодого специалиста в профессиональную деятельность.

Естественно, процесс овладения компьютерной грамотностью должен начинаться ещё в школе, но на сегодняшний день ещё не все школы оснащены необходимым оборудованием.

1 Постановка задачи.

Дано: Система линейных алгебраических уравнений.

Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса.

2 Описание метода.

Существует множество методов решения систем линейных алгебраических  уравнений таких как: метод Крамера, решение СЛАУ матричным методом, метод Гаусса.

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.

Достойнства метода:

-Менее трудоемкий по сравнению с другими методами

-Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна найти ее решение

-Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений-ранг матрицы системы.

Существенные Недостатки: этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретическом иследовании.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяxn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1. Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

3 Алгоритм решения.

1.Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на - , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее,   к                  n-омууравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

 

 где
 
  .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

2.Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

 


Будем считать, что  (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-омууравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

 

 где
 
 .

Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

 

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

 

 

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как , с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.

//Описать все переменные
4 код программы.

uses crt;

 

type vec=array[1..4] of real;

mas=array[1..4,1..4] of real;

 

var a:mas; b,x:vec;

h,s:real;

i,j,k,n:integer;

inp:text;

 

Begin

Clrscr;

n:=4;

assign(inp,'inp.txt'); //a[1,1], a[1,2],.....,a[4,4], b[1]....b[4]- содержание файла inp.txt всё в один столбец

reset(inp);

read(inp,a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[2,4],a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4], b[1],b[2],b[3],b[4]); //Прописать полностью эллементы

close(inp);

 

writeln('Исходная матрица');

for i:=1 to n do begin

write(i);

for j:=1 to n do

write(a[i,j]:10:5);

writeln(b[i]:10:5) end;

writeln; writeln; writeln;

{исключение переменных}

for i:=1 to n-1 do

for j:=i+1 to n do begin

a[j,i]:=-a[j,i]/a[i,i];

for k:=i+1 to n do

a[j,k]:=a[j,k]+a[j,i]*a[i,k];

b[j]:=b[j]+a[j,i]*b[i] end;

x[n]:=b[n]/a[n,n];

{нахождение корней}

for i:=n-1 downto 1 do begin

h:=b[i];

for j:=i+1 to n do h:=h-x[j]*a[i,j];

x[i]:=h/a[i,i]; end;

writeln('Корни уравнения');

for i:=1 to n do writeln('x(',i,')=',x[i]:10:5);

writeln;

readkey

end.

5 Заключение.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы, численного решения СЛАУ в вычислительной технике.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Данная модель применима к невырожденным матрицам с одинаковым количеством строк и столбцов. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34633. Функция контроля 69.25 KB
  Власть возможность и способность оказывать влияние на поведение других людей или групп посредством действия или средства. Не только руководитель имеет власть над подчиненными но и подчиненные имеют власть над руководителями. То есть использовать власть таким образом чтобы не вызвать у подчиненных противодействия ограничить сферу использования инструментов влияния. Власть основанная на страхе или принуждении Власть основанная на вознаграждении Традиционная власть Харизматичная власть Экспертная власть Власть основанная на...
34634. Современные теории мотивации 83.29 KB
  Модель Портера Лоулера Характеристики эффективного контроля Стратегическая направленность контроля должен отображать общие приоритеты организации и поддерживать их. Относительная сложность оценки какого либо вида деятельности в количественном виде или измерение её результативности по принципу затраты эффект никогда не должна служить критерием для решения нужно ли вводить механизм контроля. Соответственно информация о результатах контроля важна только тогда когда доходит до тех лиц которые обладают правом произвести на её...
34636. Маркетинг персоналу 105 KB
  Маркетинг персоналу потрібно розглядати у взаємозв’язку з іншими функціями управління персоналом, тому що його домінанти повністю інтегруються у процес управління персоналом, кожна зі стадій якого містить елементи, які складають зміст маркетингу персоналу.
34637. Составляющие успеха организации 30.46 KB
  Для этого организации периодически приходится менять свои цели разрабатывать новые виды продукции и услуг. Необходимость управления практическая реализация Внутренняя среда организации Под внутренней средой организации понимается совокупность присущих ей свойств переменных элементов факторов конкретной характеристики которых в сочетании придают ей определенное лицо. Внутренние переменные ситуационные факторы внутри организации которые в совокупности придают ей определенное лицо Цель конкретное конечное состояние или желаемый...
34639. Школа научного управления 1875 -1920 (Ф.Тейлор, Ф. и Л. Гилберт, Г. Гант) 26.04 KB
  Контактная аудитория общественная организация по защите прав потребителя Мотивация Мотивация процесс побуждения себя и других к деятельности для достижения личных целей или целей организации. Существует 2 типа создания мотивов: Внутренняя мотивация самовырабатываемые факторы которые заставляют людей вести себя определенным образом Внешняя мотивация то что делается с людьми или для людей чтобы создать у них побудительные мотивы.
34640. Школа административного (классического управления) 1920 – 1950 (Файоль, Урвик, Муни, Слоун) 17.13 KB
  Факторы на которые не может влиять организация: Экономический фактор состояние экономики влияет на стоимость всех ввозимых ресурсов и на способность потребителей покупать товары и услуги Политический совокупность госучреждений и структур которые оказывают влияние и ограничивают деятельность организации учитывается уровень коррупции возможность смены власти политическая стабильность доверие населения к власти проводимая политическая линия НТП Технология учет научнотехнических достижений прогноз развития науки и техники...
34641. Школа человеческих отношений (1930 – 1950) и поведенческих наук (1950 – наше время) 17.02 KB
  Школа поведенческих наук Макгрегор повышение эффективности организации за счет повышения эффективности её человеческих ресурсов. Решения выбора альтернативы Управленческое решение обдуманный вывод о необходимости осуществить какието действия связанные с достижением цели организации либо наоборот воздержаться от них. Эффективным организационным решением будет то которое будет на самом деле реализовано и внесет наибольший вклад в достижение целей организации.