72918

Решение системы линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Дано: Система линейных алгебраических уравнений. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса. Существует множество методов решения систем линейных алгебраических уравнений таких как: метод Крамера решение СЛАУ матричным методом метод Гаусса.

Русский

2014-12-01

117.93 KB

3 чел.

Введение

Компьютерная грамотность, владение компьютерными технологиями являются в современной жизни необходимостью.

Современное производство требует знания информационных технологий и навыков работ на компьютере.

Информатика - одна из немногих учебных дисциплин, развивающая таким практическим навыки, которые востребуются напрямую и немедленно, сразу после включения молодого специалиста в профессиональную деятельность.

Естественно, процесс овладения компьютерной грамотностью должен начинаться ещё в школе, но на сегодняшний день ещё не все школы оснащены необходимым оборудованием.

1 Постановка задачи.

Дано: Система линейных алгебраических уравнений.

Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса.

2 Описание метода.

Существует множество методов решения систем линейных алгебраических  уравнений таких как: метод Крамера, решение СЛАУ матричным методом, метод Гаусса.

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.

Достойнства метода:

-Менее трудоемкий по сравнению с другими методами

-Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна найти ее решение

-Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений-ранг матрицы системы.

Существенные Недостатки: этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретическом иследовании.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяxn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1. Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

3 Алгоритм решения.

1.Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на - , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее,   к                  n-омууравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

 

 где
 
  .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

2.Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

 


Будем считать, что  (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-омууравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

 

 где
 
 .

Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

 

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

 

 

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как , с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.

//Описать все переменные
4 код программы.

uses crt;

 

type vec=array[1..4] of real;

mas=array[1..4,1..4] of real;

 

var a:mas; b,x:vec;

h,s:real;

i,j,k,n:integer;

inp:text;

 

Begin

Clrscr;

n:=4;

assign(inp,'inp.txt'); //a[1,1], a[1,2],.....,a[4,4], b[1]....b[4]- содержание файла inp.txt всё в один столбец

reset(inp);

read(inp,a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[2,4],a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4], b[1],b[2],b[3],b[4]); //Прописать полностью эллементы

close(inp);

 

writeln('Исходная матрица');

for i:=1 to n do begin

write(i);

for j:=1 to n do

write(a[i,j]:10:5);

writeln(b[i]:10:5) end;

writeln; writeln; writeln;

{исключение переменных}

for i:=1 to n-1 do

for j:=i+1 to n do begin

a[j,i]:=-a[j,i]/a[i,i];

for k:=i+1 to n do

a[j,k]:=a[j,k]+a[j,i]*a[i,k];

b[j]:=b[j]+a[j,i]*b[i] end;

x[n]:=b[n]/a[n,n];

{нахождение корней}

for i:=n-1 downto 1 do begin

h:=b[i];

for j:=i+1 to n do h:=h-x[j]*a[i,j];

x[i]:=h/a[i,i]; end;

writeln('Корни уравнения');

for i:=1 to n do writeln('x(',i,')=',x[i]:10:5);

writeln;

readkey

end.

5 Заключение.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы, численного решения СЛАУ в вычислительной технике.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Данная модель применима к невырожденным матрицам с одинаковым количеством строк и столбцов. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35676. Скринька для ключів. Творчий проект 2.29 MB
  Мотивація вибору форми виробу. Мотивація вибору форми виробу Людина щоб облаштувати своє житло здавна навчилася виготовляти різні речі з каменю дерева а пізніше з металу. Через те коли виникла необхідність виготовити річ для зберігання ключів я й вибрав деревину як матеріал для свого майбутнього виробу. Чому Вважаю що майстер не завжди повинен дотримуватися якихось обмежених рамок у виготовленні того чи іншого виробу.
35678. Изучение аппаратного и программного обеспечения персонального компьютера 477.9 KB
  Запоминающее устройство - носитель информации, предназначенный для записи и хранения данных. В основе работы запоминающего устройства может лежать любой физический эффект, обеспечивающий приведение системы к двум или более устойчивым состояниям.
35680. Моя професійна кар’єра. Творчий проект 1.75 MB
  План роботи над проектом: Моє професійне самовизначення Додаток : Топ 20 найперспективніших Загальні відомості про дану професію: Завдання та обовязки; Вимоги до робітника; Особистості якості робітника. І найголовніше: людина повинна отримувати задоволення від своєї роботи Серед усіх пяти основних типів професій найбільше мені підходять людинатехніка до цього типу належать професії: водій машиністи потягів оператори верстатів з програмованим управлінням інженери слюсарі тощо. Умови роботи: Повна...
35682. Інформаційно-пошуковий проект «Олександр Матросов. 70 років подвигу» 36.14 KB
  Обґрунтування актуальності проекту Сучасна школа спрямована на забезпечення всебічного розвитку особистості шляхом навчання та виховання які ґрунтуються на загальнолюдських цінностях та принципах науковості інтегрованості єдності навчання і виховання на засадах гуманізму демократії громадянської свідомості взаємоповаги в інтересах людини родини суспільства держави. І саме тому я запропонувала своїм учням залучитися до реалізації цільового творчого проекту з громадянськопатріотичного виховання Олександр Матросов 70 років подвигу ....
35683. Квіткова фантазія. Творчий проект на виготовлення композиції з бісеру 1.75 MB
  ОРГАНІЗАЦІЙНО-ПІДГОТОВЧИЙ ТЕХНІЧНЕ ЗАВДАННЯ Призначення виробу що проектується. Аналіз конкурентної спроможності виробу на ринку. Робочий ескіз виробу з описом. Моделювання виробу.