72918

Решение системы линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Дано: Система линейных алгебраических уравнений. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса. Существует множество методов решения систем линейных алгебраических уравнений таких как: метод Крамера решение СЛАУ матричным методом метод Гаусса.

Русский

2014-12-01

117.93 KB

3 чел.

Введение

Компьютерная грамотность, владение компьютерными технологиями являются в современной жизни необходимостью.

Современное производство требует знания информационных технологий и навыков работ на компьютере.

Информатика - одна из немногих учебных дисциплин, развивающая таким практическим навыки, которые востребуются напрямую и немедленно, сразу после включения молодого специалиста в профессиональную деятельность.

Естественно, процесс овладения компьютерной грамотностью должен начинаться ещё в школе, но на сегодняшний день ещё не все школы оснащены необходимым оборудованием.

1 Постановка задачи.

Дано: Система линейных алгебраических уравнений.

Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами с помощью метода Гаусса.

2 Описание метода.

Существует множество методов решения систем линейных алгебраических  уравнений таких как: метод Крамера, решение СЛАУ матричным методом, метод Гаусса.

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.

Достойнства метода:

-Менее трудоемкий по сравнению с другими методами

-Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна найти ее решение

-Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений-ранг матрицы системы.

Существенные Недостатки: этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретическом иследовании.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяxn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1. Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

3 Алгоритм решения.

1.Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на - , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее,   к                  n-омууравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

 

 где
 
  .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

2.Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

 


Будем считать, что  (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-омууравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

 

 где
 
 .

Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

 

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

 

 

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как , с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.

//Описать все переменные
4 код программы.

uses crt;

 

type vec=array[1..4] of real;

mas=array[1..4,1..4] of real;

 

var a:mas; b,x:vec;

h,s:real;

i,j,k,n:integer;

inp:text;

 

Begin

Clrscr;

n:=4;

assign(inp,'inp.txt'); //a[1,1], a[1,2],.....,a[4,4], b[1]....b[4]- содержание файла inp.txt всё в один столбец

reset(inp);

read(inp,a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[2,4],a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4], b[1],b[2],b[3],b[4]); //Прописать полностью эллементы

close(inp);

 

writeln('Исходная матрица');

for i:=1 to n do begin

write(i);

for j:=1 to n do

write(a[i,j]:10:5);

writeln(b[i]:10:5) end;

writeln; writeln; writeln;

{исключение переменных}

for i:=1 to n-1 do

for j:=i+1 to n do begin

a[j,i]:=-a[j,i]/a[i,i];

for k:=i+1 to n do

a[j,k]:=a[j,k]+a[j,i]*a[i,k];

b[j]:=b[j]+a[j,i]*b[i] end;

x[n]:=b[n]/a[n,n];

{нахождение корней}

for i:=n-1 downto 1 do begin

h:=b[i];

for j:=i+1 to n do h:=h-x[j]*a[i,j];

x[i]:=h/a[i,i]; end;

writeln('Корни уравнения');

for i:=1 to n do writeln('x(',i,')=',x[i]:10:5);

writeln;

readkey

end.

5 Заключение.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы, численного решения СЛАУ в вычислительной технике.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Данная модель применима к невырожденным матрицам с одинаковым количеством строк и столбцов. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9331. Сценарии на масленицу 558 KB
  Сценарии на масленицу Сценарий на Масленицу Эх, да Масленица 2 Веселье да смех у нас лучше всех5 Здравствуй, Масленица - развлечение для детей старшей и подготовительной групп детского сада9 Как на Масленой неделе - игровая пр...
9332. Тайный смысл Масленицы 32 KB
  Тайный смысл Масленицы Масленица - последняя неделя перед Великим, сорокадневным, постом. С одной стороны, это праздничный, разгульный период, когда еще можно и даже нужно петь, плясать, веселиться, с другой - подготовка к посту, и на бого...
9333. Последнее воскресенье перед Великим постом. - Прощеное воскресенье 67.5 KB
  Прощеное воскресенье Последнее воскресенье перед Великим постом. - Прощеное воскресенье Прощеное воскресенье Прощёное воскресенье - последнее воскресенье перед Великим постом, последний день Масленицы. Этот день еще называется сыропустом, пот...
9334. Метеориты и Химический состав земной коры 36.5 KB
  Метеориты и Химический состав земной коры Имеются убедительные доказательства того, что Земля в целом имеет элементный состав, близкий к составу каменных метеоритов (хондритов) (Рингвуд ,1979). Различие химического состава метеоритов и поверхн...
9335. Этапы эмиссии ЦБ 28.5 KB
  Этапы эмиссии ЦБ: Эмиссия ЦБ - это предусмотренный ФЗ-вом порядок действий эмитента по размещению эмиссионных ЦБ. Процедура эмиссии ЦБ включает в себя стадии: принятие решения о размещении ЦБ утверждение данного решения госуда...
9336. Понятие и виды инвестиций. Экономико-правовое содержание 42 KB
  Тема №1: Понятие и виды инвестиций. Источники. Понятие инвестиций. Экономико-правовое содержание. Инвестиции – происходит от слова инвестор - облачать, в широком смысле слова трактуется как вложение капитала в будущем. Вложение дене...
9337. Понятие, субъекты и объекты инвестиционной деятельности. Понятие инвестиционной деятельности и инвестиционного процесса 37 KB
  Инвестиционная деятельность - это вложения инвестиций, или инвестирования, а так же совокупность практических действий по реализации инвестиций. Таким образом, для законодателя понятие инвестирования и вложение инвестиций тождественно...
9338. Правовое регулирование инвестиционной деятельности в РФ 24.5 KB
  Тема: правовое регулирование инвестиционной деятельности в РФ. -1- Конституция РФ не содержит норм, прямо регулирующих инвестиционную деятельность, однако затрагивает вопросы финансового регулирования. В РФ гарантируется единое экономическое простра...
9339. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИЛ 472.5 KB
  РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИЛ 1.1. Предмет, методы и практическое значение размещения производительных сил 1.1.1. Предмет курса размещение производительных сил Размещение производительных сил (Р...