73150

Дослідження розподілу випадкових величин. Визначення прискорення вільного падіння (за допомогою математичного маятника)

Лабораторная работа

Астрономия и авиация

Мета роботи: ознайомитися з методом визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника та дослідити особливості розподілу випадкових величин. За допомогою математичного маятника експериментально визначити прискорення вільного падіння біля поверхні Землі.

Украинкский

2014-12-04

115.9 KB

20 чел.

    

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Кафедра авіоніки

Лабораторна робота № 2

Тема: Дослідження розподілу випадкових величин. Визначення прискорення вільного падіння. ( за допомогою математичного маятника)

Виконав:Безверхий Валентин

Студент групи: АВ-112

Мета роботи: ознайомитися з методом визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника та дослідити особливості розподілу випадкових величин.

Завдання:

  1.  Побудувати гістограму виміряних значень періоду коливань.
    1.  За допомогою математичного маятника експериментально визначити прискорення вільного падіння біля поверхні Землі.

Прилади: математичний маятник, секундомір, рулетка.

Теоретичні відомості

Чи існують закономірності в появі таких похибок під час повторних вимірювань? Теорія випадкових похибок грунтується на теорії ймовірностей, яка розглядає випадкові події. Імовірність появи деякої події дорівнює відношенню кількості випадків , за яких подія настає, до загальної кількості спостережень п. Вважатимемо, що маємо справу лише з випадковими похибками. Тобто при повторних вимірюваннях деякої величини х ми одержали низку значень цієї величини x, ми одержали низку значень цієї величини та похибок.

Якщо відхилення невеликі за значеннями, то вони здебільшого підлягають закону нормального розподілу. Цей закон діє за таких умов:

  1.  випадкові похибки набирають низку неперервних значень;
    1.  за великої кількості вимірювань однаково часто трапляються додатні і від'ємні похибки однакової величини;
      1.  малі похибки трапляються частіше, ніж великі.

Аналітичний вираз для нормального розподілу вперше був одержаний німецьким математиком Гаусом, і має назву розподіл Гауса. Формула розподілу Гауса (розподілу ймовірностей) має вигляд:

,

де  – дисперсія (розсіяння) вимірюваної величини. Здобувши корінь квадратний з дисперсії, дістаємо середньоарифметичне відхилення  окремого вимірювання, що дорівнює середньоквадратичній похибці окремого вимірювання:

.

Функція  називається щільністю імовірності – імовірністю потрапляння величини  у деякий одиничний інтервал  на осі  (рис. 1). Якщо ж інтервал і, відповідно, добуток функції розподілу ймовірностей  на цей інтервал  можна подати як

Рис. 1

,

де  – кількість вимірювань в інтервалі від  до ;  – загальна кількість вимірювань.

Функцію розподілу ймовірностей (закон нормального розподілу) графічно можна зобразити кривою Гауса. Імовірність появи малих похибок більша, ніж великих. Ця імовірність також збільшується з покращенням якості вимірювання, що визначається дисперсією. Чим менша дисперсія , тим менший розкид похибок, і тим більша точність вимірювання.

Математичний маятник

Математичний маятник — ідеальна модель маятника (матеріальна точка, підвішена на невагомій і нерозтяжній нитці). На практиці це металева куля масою т, підвішена на міцній нитці довжиною l, при цьому довжина нитки набагато більша за діаметр кулі. Такий маятник, відхиленний від положення рівноваги на кут  і залишений без дії зовнішніх сил, буде виконувати коливання, які можна вважати незгасаючими. Зворотна сила  напрямлена по дотичній до траєкторії в бік рівноваги, вона є рівнодійною сили натягу нитки  та сили тяжіння mg. Якщо кут альфа достатньо малий ( 3…6), то в радіанній мірі , де  а – зміщення маятника від положення рівноваги. З рис. 2 видно, що

.

Знак «мінус» свідчить, що сила і зміщення напрямлені в протилежні боки. За другим законом Ньютона ; позначимо , тоді

.

Ми дістали диференціальне рівняння коливання маятника (головне рівняння гармонічних коливань). Його розв’язок відносно осі  має вигляд:

,

де  – амплітуда коливань,  – циклічна частота;  – початкова фаза коливань.

Період (час одного коливання) , або

, звідки .

З цієї формули випливає, що, знаючи довжину маятника і період його коливання, можна обчислити прискорення вільного падіння в тій точці Землі, де міститься маятник.

Ми дістали диференціальне рівняння коливань маятника (головне рівняння гармонічних коливань). Його розв'язок відносно х має вигляд:

X=Asin(0t+),

Де А – амплітуда коливань, 0 – циклична частота,  – початкова фаза коливань.

Прискоренням вільного падіння називається прискорення, з яким рухається тіло під дією єдиної сили – сили тяжіння. Тому, використвоючи закон всесвітнього тяжіння, можна теоретично встановити, від чого залежить величина прискорення вільного падіння

Висновок: величина прискорення вільного падіння залежить тільки від величини, якими визначається сила всесвітнього тяжіння, і не залежить від параметрів конкретного математичного маятника.

Порядок виконання роботи

  1.  Виміряти рулеткою довжину маятника, тобто відстань від точки підвісу нитки до центра кульки. Отриманий результат записати в протокол.
  2.  Відхилити кульку маятника на кут  від положення рівноваги і відпустити її.
  3.  Почекати, поки кулька зробить 5-7 повних коливань. Цей час потрібен для того, щоб згасли другорядні коливання, які з’явилися при виведенні маятника з положення рівноваги.
  4.  Увімкнути секундомір, коли кулька проходить положення рівноваги, і вимкнути, коли маятник зробить три-п’ять коливань. Одержаний результат записати в табл. 1.
  5.  Не зупиняючи маятника, повторити пункт 4 п’ятдесят разів. Якщо за час проведення вимірювань амплітуда коливань суттєво зменшиться і проводити випробування буде незручно, треба повторити пункти 2 і 3, потім продовжити вимірювання за пунктом 4. Результати вимірювань занести до табл. 1.

Таблиця 1.

Номер вимірювання

Поточні виміряні значення часу

, с

Виміряні значення в порядку зростання

, с

Номер інтервалу і його межі

, с

Кількість вимірювань, що входять в інтервал

Відносна кількість вимірювань в інтервалі

1

9.97

9.02

№1 (9.02;9.24)

№1

2

4

2

10.22

9.03

3

10.12

9.34

4

10.56

9.37

№2
(9.24
;9.46)

№2

2

4

5

9.93

9.47

6

10.33

9.65

7

9.02

9.66

8

9.82

9.78

№3

(9.46;9.68)

№3

3

6

9

10.39

9.82

10

9.93

9.82

11

9.03

9.93

№4

(9.68;9.9)

№4

3

6

12

9.99

9.93

13

10.14

9.96

14

10.12

9.96

№5

(9.9;10.12)

№4

20

40

15

9.82

9.97

16

10.11

9.97

17

9.97

9.99

№6

(10.12;10.34)

№6

14

28

18

10.20

9.99

19

10.00

10

20

10.52

10

21

10.00

10.04

22

10.51

10.04

№7

(10.34-10.56)

23

10.15

10.08

№7

6

24

9.78

10.09

12

25

10.04

10.1

26

10.41

10.11

27

9.34

10.12

28

10.12

10.12

29

10.10

10.12

30

10.17

10.12

31

9.96

10.13

32

9.65

10.14

33

9.37

10.15

34

10.13

10.15

35

10.26

10.17

36

10.12

10.17

37

9.99

10.18

38

10.04

10.2

39

9.47

10.21

40

10.17

10.22

41

10.09

10.22

42

9.96

10.23

43

10.18

10.26

44

10.21

10.33

45

10.23

10.39

46

10.08

10.41

47

10.45

10.45

48

9.66

10.51

49

10.22

10.52

50

10.15

10.56

Обробка результатів вимірювань

  1.  Побудова гістограми.
  2.  Розмістити здобуті результати вимірювань у порядку збільшення значень часу від найменшого значення  до найбільшого  і занести їх у табл. 1.
  3.  Знайти діапазон , в якому містяться значення часу:

.=1.54

  1.  Поділити здобутий діапазон  на 5-8 однакових інтервалів, наприклад, у разі п’яти інтервалів .=0.22
  2.  Визначити межі часу кожного з інтервалів: 1-й інтервал від  до ; 2-й інтервал від  до ; 3-й інтервал від  до  і так далі до .
  3.  Обчислити кількість вимірювань , що входять до кожного з інтервалів. Результати занести в табл. 1.

  1.  Обчислити відносну кількість вимірювань , що входять у кожен з інтервалів; вона пропорційна ймовірності знаходження істинного значення  у даному інтервалі. Результати занести в табл.1.
  2.  Побудувати гістограму виміряних значень, тобто графік залежності частоти (імовірність) появи того чи іншого значення міститься. Загальний вигляд гістограми подано на рис. 3. Порівняти форму отриманої експериментальної гістограми з кривою Гауса та зробити висновки про те, чи відповідає одержана гістограма нормальному розподілу випадкових величин.
  3.  Обчислення прискорення вільного падіння і похибки вимірювань.
  4.  Виділити на гістограмі інтервал, в якому частота появи виміряних значень найбільша.
  5.  Обчислити середньоарифметичне значення часу  серед вимірювань, що входять у цей інтервал.

              

                                                        

Обчислити значення прискорення вільного падіння за формулою

.

  1.  Обчислити абсолютну похибку вимірювання часу коливань за даними, що входять до інтервалу, в якому частота появи виміряних значень найбільша:

,

Δt==0.93

де  – випадкова складова похибки, обрахована для довірчої ймовірності  за використанням коефіцієнта Стьюдента;   –  систематична похибка, що дорівнює інструментальній похибці секундоміра.

Зазначимо, що для вимірюваних величин, які підкоряються нормальному закону розподілу (розподілу Гауса), в довірчий інтервал  потрапляє 95% значень усіх окремих вимірів. Отже, випадкову похибку окремого вимірювання  , що відповідає довірчій імовірності , можна дістати за даними табл. 1 (використовуючи п’ятдесят значень ) за формулою

.=

Відомо, що середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного  в  ( – кількість окремих випадків) разів менше за середньоквадратичне відхилення окремого вимірювання. Тому випадкова похибка середньоквадратичного  буде в  разів менша за :

 =0.95/7.07=0.13

  1.  Обчислити відносну похибку вимірювання прискорення вільного падіння за формулою

=

де  – абсолютна похибка вимірювання довжини нитки маятника; її можна взяти такою, що дорівнює ціні поділка рулетки, якою вимірюють довжину нитки.

  1.  Обчислити абсолютну похибку
  2.  =0.131*9.811=128.5см=1.2м
  3.  Остаточний результат знаходження прискорення вільного падіння записати у вигляді:

 м/с2; 1.3%

          

Висновок

Я ознайомився з методом визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника і дослідив розподіл випадкових величин. Побудував гістограму виміряних значень періоду коливань.  Експерементально визначив прискорення вільного падіння біля поверхні землі за допомогою математичного маятника .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72930. Учение о бытии. Проблема бытия. Философское учение о развитии. Сознание. Познание. Творчество. Практика. Наука и научное познание 166.5 KB
  Основными принципами диалектики являются принцип всеобщей связи и принцип развития принцип тождества единства диалектики логики и теории познания принцип восхождения от абстрактного к конкретному принцип единства логического и исторического.
72931. Общество как объект философского анализа. Проблема периодизации всемирной истории. Личность и общество. Проблема свободы и ответственности личности. Будущее человечества (философский аспект) 243.5 KB
  В философии существуют разные точки зрения по вопросам относящимся к сущности общества причинам его развития движущим силам. Натурализм или географическое направление развитие общества определяется природными условиями климатом плодородием почвы богатством минеральных ресурсов и т.
72932. Философия как система теоретического знания и тип мировоззрения. История философии 141.5 KB
  Философия имеет ряд разделов: онтологию – учение о бытии, гносеологию – учение о познании, аксиологию – учение о ценностях. Выделяют социальную философию и философию истории, а также философскую антропологию – учение о человеке. Философия – это не все мировоззрение, а лишь одна из его форм.
72933. Динамічна анатомія 78.5 KB
  Локомоції — група рухів зі зміною площі опори й з переміщенням тіла з одного місця на інше. У цій групі виділяють 2 різновиду рухів. До першого відносять циклічні рухи, що складаються з окремих повторюваних циклів (хода, біг, плавання, лижні перегони, ковзанярський спорт, веслування й ін.).
72934. Ранние цивилизации: Египет, Передняя Азия, Индия, Китай 25.72 KB
  Самые первые государства на земле появляются в долинах крупных рек Нила, Тигра, Евфрата, там, где возможно было создать оросительные (ирригационные) системы – основу поливного земледелия. В долинах этих рек люди гораздо меньше, чем в других местах, зависели от природных условий, получали стабильные урожаи.
72935. Античная цивилизация. Древняя Греция 33.96 KB
  Самые высокие оценки греческой цивилизации не кажутся преувеличенными. Мысль о чуде греческой цивилизации вызвана скорее всего ее необычайно быстрым расцветов. Создание греческой цивилизации относится к эпохе культурного переворота VII V вв.
72936. Біосфера. Роль В.І.Вернадського у вивченні біосфери. Ноосфера 33.73 KB
  Жива речовина. Що принципово відрізняє нашу планету від будь-якої іншої планети Сонячної системи? Наявність життя. «Якби на Землі не було життя, — писав академік В. І. Вернадський, — обличчя її було б так само незмінним і хімічно інертним, як нерухоме обличчя Місяця, як інертні уламки небесних світил».
72938. Радіація в біосфері. Наслідки Чорнобильської катастрофи 27.4 KB
  Внаслідок міграції разом з атмосферним повітрям водою їжею радіонукліди потрапляють в організм людини накопичуються там і спричинюють його внутрішнє опромінення. Щоб запобігти наслідкам опромінення вживають заходів щодо обмеження зовнішнього і внутрішнього опромінення персоналу...