73150

Дослідження розподілу випадкових величин. Визначення прискорення вільного падіння (за допомогою математичного маятника)

Лабораторная работа

Астрономия и авиация

Мета роботи: ознайомитися з методом визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника та дослідити особливості розподілу випадкових величин. За допомогою математичного маятника експериментально визначити прискорення вільного падіння біля поверхні Землі.

Украинкский

2014-12-04

115.9 KB

24 чел.

    

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Кафедра авіоніки

Лабораторна робота № 2

Тема: Дослідження розподілу випадкових величин. Визначення прискорення вільного падіння. ( за допомогою математичного маятника)

Виконав:Безверхий Валентин

Студент групи: АВ-112

Мета роботи: ознайомитися з методом визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника та дослідити особливості розподілу випадкових величин.

Завдання:

  1.  Побудувати гістограму виміряних значень періоду коливань.
    1.  За допомогою математичного маятника експериментально визначити прискорення вільного падіння біля поверхні Землі.

Прилади: математичний маятник, секундомір, рулетка.

Теоретичні відомості

Чи існують закономірності в появі таких похибок під час повторних вимірювань? Теорія випадкових похибок грунтується на теорії ймовірностей, яка розглядає випадкові події. Імовірність появи деякої події дорівнює відношенню кількості випадків , за яких подія настає, до загальної кількості спостережень п. Вважатимемо, що маємо справу лише з випадковими похибками. Тобто при повторних вимірюваннях деякої величини х ми одержали низку значень цієї величини x, ми одержали низку значень цієї величини та похибок.

Якщо відхилення невеликі за значеннями, то вони здебільшого підлягають закону нормального розподілу. Цей закон діє за таких умов:

  1.  випадкові похибки набирають низку неперервних значень;
    1.  за великої кількості вимірювань однаково часто трапляються додатні і від'ємні похибки однакової величини;
      1.  малі похибки трапляються частіше, ніж великі.

Аналітичний вираз для нормального розподілу вперше був одержаний німецьким математиком Гаусом, і має назву розподіл Гауса. Формула розподілу Гауса (розподілу ймовірностей) має вигляд:

,

де  – дисперсія (розсіяння) вимірюваної величини. Здобувши корінь квадратний з дисперсії, дістаємо середньоарифметичне відхилення  окремого вимірювання, що дорівнює середньоквадратичній похибці окремого вимірювання:

.

Функція  називається щільністю імовірності – імовірністю потрапляння величини  у деякий одиничний інтервал  на осі  (рис. 1). Якщо ж інтервал і, відповідно, добуток функції розподілу ймовірностей  на цей інтервал  можна подати як

Рис. 1

,

де  – кількість вимірювань в інтервалі від  до ;  – загальна кількість вимірювань.

Функцію розподілу ймовірностей (закон нормального розподілу) графічно можна зобразити кривою Гауса. Імовірність появи малих похибок більша, ніж великих. Ця імовірність також збільшується з покращенням якості вимірювання, що визначається дисперсією. Чим менша дисперсія , тим менший розкид похибок, і тим більша точність вимірювання.

Математичний маятник

Математичний маятник — ідеальна модель маятника (матеріальна точка, підвішена на невагомій і нерозтяжній нитці). На практиці це металева куля масою т, підвішена на міцній нитці довжиною l, при цьому довжина нитки набагато більша за діаметр кулі. Такий маятник, відхиленний від положення рівноваги на кут  і залишений без дії зовнішніх сил, буде виконувати коливання, які можна вважати незгасаючими. Зворотна сила  напрямлена по дотичній до траєкторії в бік рівноваги, вона є рівнодійною сили натягу нитки  та сили тяжіння mg. Якщо кут альфа достатньо малий ( 3…6), то в радіанній мірі , де  а – зміщення маятника від положення рівноваги. З рис. 2 видно, що

.

Знак «мінус» свідчить, що сила і зміщення напрямлені в протилежні боки. За другим законом Ньютона ; позначимо , тоді

.

Ми дістали диференціальне рівняння коливання маятника (головне рівняння гармонічних коливань). Його розв’язок відносно осі  має вигляд:

,

де  – амплітуда коливань,  – циклічна частота;  – початкова фаза коливань.

Період (час одного коливання) , або

, звідки .

З цієї формули випливає, що, знаючи довжину маятника і період його коливання, можна обчислити прискорення вільного падіння в тій точці Землі, де міститься маятник.

Ми дістали диференціальне рівняння коливань маятника (головне рівняння гармонічних коливань). Його розв'язок відносно х має вигляд:

X=Asin(0t+),

Де А – амплітуда коливань, 0 – циклична частота,  – початкова фаза коливань.

Прискоренням вільного падіння називається прискорення, з яким рухається тіло під дією єдиної сили – сили тяжіння. Тому, використвоючи закон всесвітнього тяжіння, можна теоретично встановити, від чого залежить величина прискорення вільного падіння

Висновок: величина прискорення вільного падіння залежить тільки від величини, якими визначається сила всесвітнього тяжіння, і не залежить від параметрів конкретного математичного маятника.

Порядок виконання роботи

  1.  Виміряти рулеткою довжину маятника, тобто відстань від точки підвісу нитки до центра кульки. Отриманий результат записати в протокол.
  2.  Відхилити кульку маятника на кут  від положення рівноваги і відпустити її.
  3.  Почекати, поки кулька зробить 5-7 повних коливань. Цей час потрібен для того, щоб згасли другорядні коливання, які з’явилися при виведенні маятника з положення рівноваги.
  4.  Увімкнути секундомір, коли кулька проходить положення рівноваги, і вимкнути, коли маятник зробить три-п’ять коливань. Одержаний результат записати в табл. 1.
  5.  Не зупиняючи маятника, повторити пункт 4 п’ятдесят разів. Якщо за час проведення вимірювань амплітуда коливань суттєво зменшиться і проводити випробування буде незручно, треба повторити пункти 2 і 3, потім продовжити вимірювання за пунктом 4. Результати вимірювань занести до табл. 1.

Таблиця 1.

Номер вимірювання

Поточні виміряні значення часу

, с

Виміряні значення в порядку зростання

, с

Номер інтервалу і його межі

, с

Кількість вимірювань, що входять в інтервал

Відносна кількість вимірювань в інтервалі

1

9.97

9.02

№1 (9.02;9.24)

№1

2

4

2

10.22

9.03

3

10.12

9.34

4

10.56

9.37

№2
(9.24
;9.46)

№2

2

4

5

9.93

9.47

6

10.33

9.65

7

9.02

9.66

8

9.82

9.78

№3

(9.46;9.68)

№3

3

6

9

10.39

9.82

10

9.93

9.82

11

9.03

9.93

№4

(9.68;9.9)

№4

3

6

12

9.99

9.93

13

10.14

9.96

14

10.12

9.96

№5

(9.9;10.12)

№4

20

40

15

9.82

9.97

16

10.11

9.97

17

9.97

9.99

№6

(10.12;10.34)

№6

14

28

18

10.20

9.99

19

10.00

10

20

10.52

10

21

10.00

10.04

22

10.51

10.04

№7

(10.34-10.56)

23

10.15

10.08

№7

6

24

9.78

10.09

12

25

10.04

10.1

26

10.41

10.11

27

9.34

10.12

28

10.12

10.12

29

10.10

10.12

30

10.17

10.12

31

9.96

10.13

32

9.65

10.14

33

9.37

10.15

34

10.13

10.15

35

10.26

10.17

36

10.12

10.17

37

9.99

10.18

38

10.04

10.2

39

9.47

10.21

40

10.17

10.22

41

10.09

10.22

42

9.96

10.23

43

10.18

10.26

44

10.21

10.33

45

10.23

10.39

46

10.08

10.41

47

10.45

10.45

48

9.66

10.51

49

10.22

10.52

50

10.15

10.56

Обробка результатів вимірювань

  1.  Побудова гістограми.
  2.  Розмістити здобуті результати вимірювань у порядку збільшення значень часу від найменшого значення  до найбільшого  і занести їх у табл. 1.
  3.  Знайти діапазон , в якому містяться значення часу:

.=1.54

  1.  Поділити здобутий діапазон  на 5-8 однакових інтервалів, наприклад, у разі п’яти інтервалів .=0.22
  2.  Визначити межі часу кожного з інтервалів: 1-й інтервал від  до ; 2-й інтервал від  до ; 3-й інтервал від  до  і так далі до .
  3.  Обчислити кількість вимірювань , що входять до кожного з інтервалів. Результати занести в табл. 1.

  1.  Обчислити відносну кількість вимірювань , що входять у кожен з інтервалів; вона пропорційна ймовірності знаходження істинного значення  у даному інтервалі. Результати занести в табл.1.
  2.  Побудувати гістограму виміряних значень, тобто графік залежності частоти (імовірність) появи того чи іншого значення міститься. Загальний вигляд гістограми подано на рис. 3. Порівняти форму отриманої експериментальної гістограми з кривою Гауса та зробити висновки про те, чи відповідає одержана гістограма нормальному розподілу випадкових величин.
  3.  Обчислення прискорення вільного падіння і похибки вимірювань.
  4.  Виділити на гістограмі інтервал, в якому частота появи виміряних значень найбільша.
  5.  Обчислити середньоарифметичне значення часу  серед вимірювань, що входять у цей інтервал.

              

                                                        

Обчислити значення прискорення вільного падіння за формулою

.

  1.  Обчислити абсолютну похибку вимірювання часу коливань за даними, що входять до інтервалу, в якому частота появи виміряних значень найбільша:

,

Δt==0.93

де  – випадкова складова похибки, обрахована для довірчої ймовірності  за використанням коефіцієнта Стьюдента;   –  систематична похибка, що дорівнює інструментальній похибці секундоміра.

Зазначимо, що для вимірюваних величин, які підкоряються нормальному закону розподілу (розподілу Гауса), в довірчий інтервал  потрапляє 95% значень усіх окремих вимірів. Отже, випадкову похибку окремого вимірювання  , що відповідає довірчій імовірності , можна дістати за даними табл. 1 (використовуючи п’ятдесят значень ) за формулою

.=

Відомо, що середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного  в  ( – кількість окремих випадків) разів менше за середньоквадратичне відхилення окремого вимірювання. Тому випадкова похибка середньоквадратичного  буде в  разів менша за :

 =0.95/7.07=0.13

  1.  Обчислити відносну похибку вимірювання прискорення вільного падіння за формулою

=

де  – абсолютна похибка вимірювання довжини нитки маятника; її можна взяти такою, що дорівнює ціні поділка рулетки, якою вимірюють довжину нитки.

  1.  Обчислити абсолютну похибку
  2.  =0.131*9.811=128.5см=1.2м
  3.  Остаточний результат знаходження прискорення вільного падіння записати у вигляді:

 м/с2; 1.3%

          

Висновок

Я ознайомився з методом визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника і дослідив розподіл випадкових величин. Побудував гістограму виміряних значень періоду коливань.  Експерементально визначив прискорення вільного падіння біля поверхні землі за допомогою математичного маятника .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38900. Міжпроцесна взаємодія в локальній обчислювальній мережі 364 KB
  Переваги використання локальних обчислювальної мережі. Визначення локальної обчислювальної мережі5 1. Модульна структура локальної мережі. Протокол Internet забезпечує при необхідності також фрагментацію і збір датаграм для передачі даних через мережі з малим розміром пакетів.
38901. УРОКИ-ЭКСКУРСИИ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 560 KB
  Информатика УРОКИ-ЭКСКУРСИИ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА Студент Пахтаев Александр Остапович гр. Теоретические основы формирования познавательного интереса младших школьников 1. Особенности познавательного интереса младших школьников 10 1. Роль и значение нестандартных уроков по математике в формировании познавательного интереса младших школьников 25 1.
38902. ПОНЯТТЯ, ВИДИ І ЗНАЧЕННЯ НАСЛІДКІВ ЗЛОЧИНУ 172 KB
  Правове забезпечення охорони прав і свобод людини і громадянина, власності, громадського порядку та громадської безпеки, довкілля, конституційного устрою України від злочинних посягань, забезпечення миру і безпеки людства, а також запобігання злочинам
38903. Исследование законов движения тел по наклонной плоскости 346.5 KB
  Цель работы: проверка законов сохранения энергии для поступательного и вращательного движения тел по наклонной плоскости с учетом силы трения.1 Сила трения Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга. Трение возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел называется внешним; трение между частями одного и того же сплошного тела например жидкости или газа носит название внутреннего трения. Сила и есть сила трения покоя.
38904. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ЭНЕРГИИ УДАРА 2.35 MB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ЭНЕРГИИ УДАРА ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ: Перед включением электроприборов проверить целостность шнуров питания вилки и заземление. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение перераспределения энергии соударяющихся тел определение времени удара. Удар называется центральным если в момент удара центры инерции сталкивающихся тел находятся на одной прямой. Различают два предельных случая удара абсолютно упругий и абсолютно неупругий.
38905. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОГО УДАРА 1.5 MB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ5 А ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОГО УДАРА Методическое руководство подготовлено: к. Удар называется центральным если в момент удара центры инерции сталкивающихся тел находятся на одной прямой. Различают два предельных случая удара абсолютно упругий и абсолютно неупругий. После удара столкнувшиеся тела движутся вместе с одинаковой скоростью.
38906. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ 2.74 MB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ6 ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ Составитель: к. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определение периодов колебаний и моментов инерции тел относительно главных осей инерции. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Моментом инерции тела относительно некоторой оси в физике называют величину равную сумме произведений элементарных масс из которых состоит тело на квадраты их расстояний до оси: Проекция момента импульса тела на ось вращения и угловую скорость связаны...
38907. Знакомство с методами измерения физических величин и оценкой погрешностей измерений 264.5 KB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ0 Знакомство с методами измерения физических величин и оценкой погрешностей измерений Руководство подготовлено доц. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Ознакомиться с прямыми и косвенными измерениями методами обработки результатов измерений. Чтобы найти значение как можно более близкое к истинному нужно проводить большее число измерений и на их основе вычислить среднее арифметическое значение. Чем больше число измерений тем ближе среднее значение к истинному.
38908. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 612.5 KB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Нормоконтроль: Переработано: к. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение вращательного движения тела на примере крутильных колебаний. Определение момента инерции твердого тела. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Абсолютно твёрдым телом называется тело которое ни при каких условиях не может деформироваться то есть расстояние между двумя точками или точнее между двумя частицами этого тела остаётся постоянным.