73157

НЕЛИНЕЙНАЯ ОДНОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Лабораторная работа

Экономическая теория и математическое моделирование

Исследуем данную зависимость для чего определим: Коэффициенты кривой Лаффера а0 а1 а2; Оптимальную налоговую ставку X; Коэффициент детерминации R2 и критерий Фишера F для проверки адекватности построенной модели; Прогнозное значение поступлений Yp для оптимальной налоговой ставки...

Русский

2014-12-05

89.95 KB

6 чел.

9

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ В.Н. КАРАЗИНА

Экономический факультет

Кафедра экономической кибернетики и прикладной экономики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

по дисциплине «Эконометрика»

на тему:

«НЕЛИНЕЙНАЯ ОДНОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИЯ»

Выполнил: студент 3 курса,

группы ЭК–31

Антоненко Тимофей Евгениевич

Проверила: кандидат физико-математических наук, доцент Николаева Е.Г.

Харьков  2014

Часть 1

«Оценка параметров кривой Лаффера с помощью нелинейной регрессии»

Зависимость между налоговыми ставками и объемом налоговых поступлений описывается следующей формулой:

где X – вектор значений налоговых ставок, Y – вектор выборочных значений налоговых поступлений, ε – случайное отклонение, а0, а1, а2 – неизвестные параметры.

Исследуем данную зависимость, для чего определим:

  1.  Коэффициенты кривой Лаффера а0, а1, а2;
  2.  Оптимальную налоговую ставку X*;
  3.  Коэффициент детерминации R2 и критерий Фишера F для проверки адекватности построенной модели;
  4.  Прогнозное значение поступлений Yp для оптимальной налоговой ставки;
  5.  Доверительный интервал для прогноза.

Выполнение расчетов

В табл. 1.1 приведены поступления в бюджет в зависимости от ставки налогообложения.

Таблица 1.1

Количество наблюдений

Налоговая ставка X

Налоговые поступления Y

1

0,1

88,8768

2

0,2

163,2384

3

0,3

224,1216

4

0,4

272,5632

5

0,5

309,6

6

0,6

336,2688

7

0,7

353,6064

8

0,8

362,6496

9

0,9

360


Получение коэффициентов нормальной системы уравнений.

В качестве регрессионной зависимости, моделирующей кривую Лаффера, выбрано уравнение параболы второго порядка .

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

                               (1)

Решение данной системы нормальных уравнений относительно параметров а0, а1, а2 производится методом определителей по правилу Крамера:

,                                (2)

где  – определитель системы,  – определители, которые получены из подстановкой в него вместо соответствующего столбца столбца левых частей уравнения системы (1).

Рассмотрим корреляционную таблицу зависимости налоговых поступлений от налоговой ставки, добавив в нее вычисляемые столбцы, необходимые для определения неизвестных коэффициентов (см. табл. 1.2).


Таблица 1.2

Номер наблюдения

Налоговая ставка

Налоговые поступления

%,

x

млнгрн.,

y

1

0,1

88,8768

0,01

0,001

0,0001

8,88768

0,888768

182,123

8542,232746

34473,5

8694,853814

2

0,2

163,2384

0,04

0,008

0,0016

32,64768

6,529536

184,5943

8091,518222

12389,65

456,0758885

3

0,3

224,1216

0,09

0,027

0,0081

67,23648

20,17094

195,9091

6183,947776

2542,741

795,9440815

4

0,4

272,5632

0,16

0,064

0,0256

109,0253

43,61011

216,0674

3419,892021

3,936256

3191,78026

5

0,5

309,6

0,25

0,125

0,0625

154,8

77,4

245,069

868,9614678

1228,699

4164,243815

6

0,6

336,2688

0,36

0,216

0,1296

201,7613

121,0568

282,9142

70,00652963

3809,556

2846,714357

7

0,7

353,6064

0,49

0,343

0,2401

247,5245

173,2671

329,6028

3031,117518

6250,357

576,1734988

8

0,8

362,6496

0,64

0,512

0,4096

290,1197

232,0957

385,1348

12229,62465

7762,033

505,5857181

9

0,9

360

0,81

0,729

0,6561

324

291,6

449,5103

30612,09803

7302,181

8012,099773

Сумма

4,5

2470,925

2,85

2,025

1,5333

1436,003

966,619

2470,925

73049,39895

75762,65

29243,47121

Среднее

0,5

274,5472

 


Оценивание коэффициентов полиномиальной модели.

На основании данных, находящихся в строке «Сумма», формируем определители для нахождения коэффициентов модели.

9

4,5

2,85

2470,925

4,5

2,85

Дельта

4,5

2,85

2,025

Дельта а0

1436,003

2,85

2,025

2,85

2,025

1,5333

996,619

2,025

1,5333

Det Дельта

0,16632

Det Дельта

1,65

9

2470,925

2,85

9

4,5

2470,925

Дельта а1

4,5

1436,003

2,025

Дельта а2

4,5

2,85

1436,003

2,85

996,619

1,5333

2,85

2,025

996,619

Det Дельта

144,05

Det Дельта

-88,45

Тогда, согласно формуле (2), и используя функцию ExcelМОПРЕД, можно найти коэффициенты регрессионного полинома.

а0

а1

а2

9,92

866,07

-531,84

Проверим полученные результаты, воспользовавшись средством Excel Анализ данных Регрессия. Для линеаризации модели выберем в качестве входного интервала Xстолбцы, соответствующие значениям Xи X2.

Получаем следующие результаты регрессионного анализа, которые во всем совпадают с вычисленными вручную (см. табл. 1.3).


Таблица 1.3

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0.999844943

R-квадрат

0.999689909

Нормированный R-квадрат

0.999586546

Стандартная ошибка

1.97877402

Наблюдения

9

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

2

75739.15622

37869.57811

9671.594223

2.98171E-11

Остаток

6

23.49327974

3.915546624

Итого

8

75762.6495

 

 

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Нижние 95,0%

Верхние 95,0%

Y-пересечение

9.9264

2.517827722

3.942446067

0.00760325

3.765497507

16.0873025

3.765497507

16.08730249

Переменная X 1

866.0736

11.5608844

74.91413025

3.80805E-10

837.7851349

894.362065

837.7851349

894.3620651

Переменная X 2

-531.84

11.2751114

-47.16937873

6.08517E-09

-559.4292037

-504.2508

-559.4292037

-504.2507963


Отыскание оптимальной ставки налогообложения.

Из необходимого условия существования экстремума находим оптимум налоговой ставки:

В нашем случаеx*= -0,81 %. Этой ставке отвечает прогнозное значение налоговых поступлений 276,11 млн. грн.

Построим график зависимости налоговых поступлений, выбрав шаг по оси х таким, чтобы оптимум налоговой ставки был виден на графике (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Налоговые поступления.

Оценка адекватности полученной модели.

Адекватность модели оценивается по значению коэффициента детерминации R2, а также с помощью критерия Фишера.

Коэффициент детерминации рассчитывается по следующим формулам:

Для модели линейной регрессии критерий Фишера состоит из последовательности таких шагов:

1РассчитываетсяF-отношение:

где MSR – средний квадрат, объясняющий регрессию, MSE – средний квадрат ошибок, которые вычисляются по формулам:

где k – количество неизвестных параметров модели, n – количество наблюдений временного ряда.

2) Задается уровень значимости α, который определяет допустимую вероятность ошибки в определении адекватности. В нашем случае α=0,05.

3) По статистическим таблицам F-распределения Фишера находится Fкр для заданного уровня значимости и числу степеней свободы. Для MSR количество степеней свободы равно k–1 (т.е., количеству независимых параметров). Для MSEчисло степеней свободы – это разность между количеством опытов и найденных благодаря этим опытам параметров, т.е.

nk.

4) Если F > Fкр, то модель считается адекватной и может использоваться для получения прогнозов.

Результаты расчетов представлены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

R2

0,923530658

MSR

195346375

MSE

5391624,209

F-отношение

36,23145224

Fкр

5,14325285

Поскольку R2 = 0,92 близок к единице и расчетное значение критерия Фишера превышает табличное, делаем вывод об адекватности модели.

Построение точечного и интервального прогнозов.

Для получения точечного прогнозного значения налоговых поступлений подставляем значение X* в уравнение модели:

Как уже было указано, Y(X*) = 24455,33 млн. грн.

Для расчета интервального прогноза, необходимо задать уровень значимости (т.е. допустимую вероятность ошибки). Примем его равным 0,05 (5%). Для заданного уровня значимости вычислим t-статистику Стьюдента с помощью функции Excel СТЬЮДРАСПОБР. Первый аргумент функции является уровнем значимости, а второй – количеством степеней свободы (количество наблюдений минус количество неизвестных параметров модели).

Таким образом, СТЬЮДРАСПОБР(0,05;6) = 2,4469. Полученное значение умножим на стандартную ошибку (MSE), чтобы получить ширину доверительного интервала:

Тогда интервальный прогноз для Y равен:


Часть 2

«Нелинейные регрессии специального вида, применяющиеся в эконометрических моделях. Третья функция Торнквиста»

Зависимость между затратами на предметы роскоши и доходом на члена семьи описывается следующей формулой:

где Y – затраты на предметы роскоши, x – доход на члена семьи, b, a1, a2 –неизвестные параметры.

Выполнение расчетов

В табл. 2.1 приведены затраты на предметы роскоши в зависимости от дохода на члена семьи.

Таблица 2.1

Количество наблюдений

Доход на члена семьи X

Затраты на предметы роскоши Y

1

1

163

2

2

170

3

3

178

4

4

190

5

5

202

6

6

220

7

7

240

8

8

265

9

9

283

10

10

290

11

11

295

12

12

307

Получение коэффициентов модели.

Так как замену для сведения третьей функции Торнквиста к линейному виду придумать не удается, для нахождения неизвестных параметров нелинейной регрессии используем метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в нахождении вектора оценок, который минимизирует сумму квадратов вектора остатков, т.е.:

где – наблюдаемая производственная функция, Ymod –искомая производственная функция, которая находится по формуле нелинейной зависимости.

Используем средство Excel Поиск решений. Результаты вычислений представлены в табл. 2.2.


Таблица 2.2

Номер наблюдения

Доход на члена семьи

Затраты на предметы роскоши

x

y

1

1

27,8

27,18079

0,61921189

0,38342337

21,09147166

15,78738

2

2

30,4

27,37355

3,02644541

9,159371841

19,35805302

1,886044

3

3

33,3

27,5799

5,72010198

32,71956664

17,58489971

2,330711

4

4

27,3

27,80175

-0,5017525

0,251755574

15,77345429

20,01071

5

5

30,6

28,04149

2,55851253

6,545986352

13,92667353

1,376711

6

6

39,1

28,30205

10,7979526

116,5957795

12,04982574

53,68004

7

7

32,6

28,58715

4,01284775

16,10294706

10,15174989

0,683378

8

8

29,4

28,90159

0,49840776

0,248410299

8,246896929

5,632711

9

9

36,7

29,25168

7,44832228

55,47750478

6,358747028

24,27204

10

10

28,5

29,64595

-1,1459506

1,3132028

4,525757253

10,71471

11

11

37,9

30,09637

7,80363475

60,89671525

2,812221939

37,53604

12

12

28,1

30,62037

-2,5203657

6,352243231

1,329334378

13,49338

Сумма

78

34

327,5786652

Среднее

6,5

31,6

A0

P1

P2

L1

L2

27

0,06

0,06

18

19


Оценка адекватности полученной модели.

Адекватность модели оценивается по значению коэффициента детерминации R2, а также с помощью критерия Фишера.

Используя программу Excel, проведем соответствующие расчеты. Результаты представлены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

R2

0,7

MSR

135,07

MSE

78,45264

F-отношение

5,36

Fкр

4,256495

Поскольку R2 = 1,00 и расчетное значение критерия Фишера намного превышает табличное, делаем вывод осредней адекватности модели.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3044. Правовая охрана программ для электронно-вычислительных машин и баз данных 115 KB
  В связи с переходом Российской Федерации к рыночным отношениям система законодательства претерпела кардинальные изменения. Это относится и к правовым нормам, регулирующим отношения, возникающие в связи с созданием и использованием продуктов...
3045. Процесс обучения и использование технических средств при получении знаний учащихся 382.5 KB
  Изменения, происходящие в России, приводят к тому, что у человека появляется больше «степеней свободы», его успешность в жизни менее детерминирована внешними обстоятельствами. В связи с этим все более востребованными становятся умения анали...
3046. Художественная обработка металлов на уроках технологии в 6 классе 588.93 KB
  Глубокие перемены, происходящие в современном образовании, выдвигают в качестве приоритетных проблемы  расширения содержания  и использования новых технологий обучения и воспитания. Совершенствование технологической среды, внедрен...
3047. ФИЗИОЛОГИЯ СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ГЕМОДИНАМИКИ 70.05 KB
  Функциональная классификация кровеносных и лимфатических сосудов (структурно-функциональная характеристика сосудистой системы). Основные законы гемодинамики. Кровяное давление, его виды (систолическое, диастолическое, пульсовое, среднее, центральное и периферическое, артериальное и венозное). Факторы, определяющие кровяное давление.
3048. Проект управління земельними ресурсами м. Черкаси за розподілом земель житлової забудови 4.33 MB
  Вступ Розділ 1. Теоретичні засади щодо використання земель житлової та громадської забудови. 1.1. Обґрунтування поділу земель міста за функціональним призначенням. 1.2. Огляд спеціалізованої літератури. 1.3. Аналіз наявності законодавчої бази....
3049. Правове регулювання права власності на землю в Україні 615 KB
  Вступ Існування людини забезпечується головним чином завдяки суспільному виробництву, в процесі якого створюються необхідні для неї матеріальні блага (за винятком благ, безпосередньо створених природою). Звичайно ж функціонування такого виробництва ...
3050. Основы акушерской и гинекологической помощи 1.15 MB
  ЛЕКЦИЯ Организация акушерской и гинекологической помощи в России Материнская смертность (является ведущим показателем)  рассчитывается на 100 000 живорожденных В 1992 г. в России  она составила 56-60, в Ставропольском крае – ...
3051. Програмування в MathCad. Організація обчислень з розгалуженнями 236 KB
  Програмування в MathCad. Організація обчислень з розгалуженнями. Алгоритми і програми циклічної структури. Обробка елементів одновимірного та двовимірного масивів. Теоретичні відомості Для вставки програмного...
3052. Создание с помощью СУБД Access базы данных виртуального магазина 2.12 MB
  Введение Процесс решения любой задачи на компьютере представляет собой обработку данных по заданному алгоритму. Данными могут быть: числа, буквы, слова, фамилии и телефоны, показатели работы предприятия и др. Продолжительное время для решения каждой...