73206

Волновое движение

Лекция

Физика

В механике волновой процесс происходит в среде, частицы которой связаны между собой упругими силами. Общий характер волновых процессов обычно рассматривается на примере возникновения и распространения механических волн.

Русский

2014-12-05

1.28 MB

10 чел.

Лекция №21. Волновое движение.

I. Образование волн. Поперечные и продольные волны.

Рассмотрим  некоторый элемент в сплошном упругом теле, в виде длинного стержня. Пусть на крайнее сечение стержня подействовал кратковременный импульс силы, перпендикулярный сечению (удар).

Частицы среды, находящиеся в крайнем положении (аа), получат ускорение в направлении силы и сместятся в направлении . Соседний слой (вв), вследствие инерции оказывается деформированным и в нем возникают упругие силы, стремящиеся восстановить первоначальное положение среды.

Под действием упругих сил, направленных против скорости частиц слоя (аа), эти частицы останавливаются, но зато приобретают скорость частицы слоя (вв). Смещение частиц и деформация  передаются далее от слоя к слою, т.е. возникающий процесс колебаний передается от одной колеблющейся точки  к соседней и распространяется все дальше и дальше.

Процесс распространения колебаний в среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом.

В механике волновой процесс происходит в среде, частицы которой связаны  между собой упругими силами. Общий характер волновых процессов обычно рассматривается на примере возникновения и распространения механических волн.

Волны, возникающие в среде, делятся на два типа: продольные и поперечные.

Поперечные волны – это волны, когда смещение колеблющихся точек направлены перпендикулярно скорости распространения волн.

Продольные волны –  это волны, в которых колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волнового процесса.

Опыт: волновая машина.

Рассмотрим схемы распространения поперечных и продольных волн.

t = 0

t = T

Возникновение вида волн зависит от упругих свойств среды, в которых распространяются волны.

В телах, в которых возможны упругие деформации  сжатия, растяжения и сдвига одновременно могут быть продольные и поперечные волны – твердые тела.

В газах и жидкостях – продольные волны, т.к. они не обладают упругостью в отношении сдвига.

II. Характеристики волн. Уравнение волны.

Длина волны – расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах ().

Период волны – время одного полного  колебания точек волны (Т).

Частота волны – величина, обратная периоду (ν).

За время  t = T волна  распространяется на расстояние, равное .

Введя понятия и Т, можно говорить о скорости распространения волн.

       (1)

Скорость распространения волн зависит от среды:

а) от ее плотности;

б) от упругости.

;

,

где Е – модуль Юнга;

G – модуль сдвига.

Для твердых тел Е > G, поэтому Vпр > Vпопер.

Скорость распространения не зависит:

а) от формы импульса (т.е. как меняется со временем сжатие);

б) от величины сжатия.

Попробуем математически выразить процесс распространения волны. Источником волн является колеблющаяся система. Частицы среды, прилегающие к ней, также приходят в колебание.

И – источник колебаний.

V – скорость распространения.

Уравнение колебания источника задано: xи = Acosωt 

Все точки среды от И повторяют колебания источника с запозданием (tt`).

Т.к. t` = ℓ, то уравнение колебаний точки С:

      (2)

Преобразуем уравнение (2), заменив: ω = 2ν; V = ν;

Уравнение  бегущей волны       (3)

Уравнение бегущей волны определяет смещение любой точки среды, находящейся на расстоянии ℓ от вибратора в данный момент времени.

Отметим также, что частицы среды не перемещаются вслед за волной, а лишь колеблются около положения равновесия. Скорость распространения волны, это скорость распространения возмущения, вызывающего смещение частиц от положения равновесия.

Чтобы найти скорость смещения в волне колеблющейся частицы среды, берут производную от Х в формуле (2):

  (4)

т.е. скорость частиц в волне меняется по тому же закону, что и смещение, но сдвинута по фазе относительно смещения на π/2.

Когда смещение достигает максимума, скорость частицы меняет знак, т.е. на мгновение обращается в нуль.

Аналогично можно найти закон изменения со временем ускорения частиц:

 

       (5)

Ускорение также меняется по закону смещения, но направлено против смещения, т.е. сдвинуто по фазе относительно смещения на .

Графики смещение, скорости и ускорения частиц волны.

Кроме продольных и поперечных волн, распространяющихся в сплошных средах, существуют другие виды волновых процессов:

поверхностные волны, возникают на поверхности раздела двух сред с разной плотностью.

III. Энергия волнового движения. Поток энергии. Вектор Умова.

Колебания частиц в среде возникают за счет энергии источника волнового движения. Частицы, прилегающие к источнику, передают энергию следующим за ними частицам.

Передача энергии от колеблющегося тела к частицам окружающей среды называется излучением.

Возбуждаемая за счет излучения энергии волна осуществляет передачу энергии в среде. Мы имеем дело с волновой механической передачей энергии.

Общая задача о движении энергии в среде была решена профессором Московского университета Н.А. Умовым в 1874 году. Закон распространения энергии Е в волне дается уравнением:

,      (6)

где V* – объём среды.

Энергия участка волны прямо пропорциональна плотности среды ρ и квадратам амплитуды А и частоты ω колебаний частиц среды.

Равенство (6) показывает, что энергия волны есть величина переменная. При рассмотрении  волны энергия из одного участка среды переходит в другие, т.е. как бы «течет» в среде.

Энергия, приходящаяся на единицу объема среды, называется плотностью энергии (е).

    (7)

Среднее значение плотности энергии за период:

Количество энергии, проходящее в единицу времени через площадку S, проведенную в среде перпендикулярно направлению распространения волн называется потоком энергии  (Q).

Q = eVSt

Среднее значение потока  равно за период:

Поток энергии за единицу времени через единицу поверхности S называется плотностью потока энергии (q).

Т.к.  – вектор, то и  – вектор.

– совпадает с направлением распространения волны.

вектор Умова.

IV. Стоячие волны.

Рассмотрим случай распространения двух встречных волн  с одинаковой частотой и амплитудой. Такой случай возникает, когда бегущая волна, распространяясь, отражается от границы данной среды. Отраженная волна распространяется в обратном направлении, складываясь в каждой точке среды с падающей волной. Если затухание в среде мало, то амплитуды обеих волн одинаковы. При этом происходит наложение волн.

Уравнение падающей волны: .

Уравнение отраженной волны: ; здесь ℓ с «-», т.к. отсчет в противоположном направлении.

Результирующее смещение:

Уравнение стоячей волны:

     (8)

Множитель:  (8) – не зависит от времени.

      (9)

Как следует из уравнения (9), каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом Т.

Амплитуда каждой точки среды согласно уравнению (8) меняется также по гармоническому закону.

Рассмотрим уравнение (8): :

В точках, где , амплитуда А0 = 0.

Такие точки называются узлами. В эти точки падающая и отраженная волны приходят в противофазах (сдвиг фаз ).

Положение узлов определяется условием:

, где k = 0, 1, 2, …

Расстояние между узлами:

В точках, где , амплитуда максимальна: А0 = 2А.

Эти точки называются пучностями. В эти точки падающая и отраженная волны приходят в одной фазе.

Условия пучностей:    ,

где k = 0, 1, 2, 3, …;

Расстояние между пучностями:  

Расстояние между узлом и пучностью:

Изобразим стоячую волну графически.

Волны, возникающие как результат сложения двух встречных волн одинаковой амплитуды и частоты, называются стоячими волнами.

В отличие от бегущих волн в стоячей волне нет переноса энергии, т.к. перенос энергии идет в противоположных направлениях.

Рассмотренный случай относится к случаю отражения от плотной среды, когда фаза меняется на противоположную, а в месте отражения возникает узел – происходит потеря половины волны /2.

Когда отражение от менее плотной среды, в месте отражения появляется пучность – потери половины волны нет.

Образование стоячих волн при различных краевых условиях.

V. Явление Допплера.

Одной из величин, характеризующих распространяющиеся волны, является частота.

Волны, распространяющиеся в любой упругой среде, с частотой от 20 до 20000 Гц, называются звуковыми волнами.

На примере этих волн рассмотрим зависимость частоты волн от скорости движения источника или приемника этих волн.

Пример: стоя на перроне вокзала, мы слышим как высота звука (определяемая частотой колебаний) поезда изменяется по мере его приближения или удаления.

Следовательно: движение источника (гудка) к приемнику меняет частоту принимаемых волн.

Явление Допплера (1847)

Эффект изменения частоты волн при относительном движении излучателя или приемника  называется явлением Допплера.

Возможно несколько случаев относительного движения приемника и источника.

Источник звука движется относительно среды со скоростью U, а приемник покоится.

Если рассматривать движение звуковой волны, то за время, равное периоду Т, волна переместится к приемнику Пр на в = VT. Сам источник И движется со скоростью U и за время Т переместится на и = UT.

За время Т общее перемещение И к Пр равно:

об = в + u = VT + UT = (V + U)∙T     (10)

Если источник удаляется от приемника, то:

об = (VU)∙T       (11)

Тогда с учетом: , получим, что частота звука, регистрируемого приемником в обоих случаях равна:  ,       (12)

где νоб – воспринимаемая частота

При приближении (удалении) источника к приемнику, частота волн возрастает (убывает).

Источник звука неподвижен, приемник движется относительно среды со скоростью V.

Частота звуковых колебаний, регистрируемых приемником равна:

      (13)

Источник и приемник звука движутся относительно среды.

Объединяя формулы (12) и  (13) получим:

Когда расстояние сокращается, воспринимаемая частота оказывается больше частоты источника звука; когда увеличивается, то воспринимаемая частота меньше чем частота источника звука.

Эффект Допплера наблюдается для любого вида волн.


λ´

λ

Пр

И

обе границы свободны

акреплена одна граница

обе границы закреплены

С

И

Fупр

F

а

в

с

в

с

а


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30559. Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства. Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц 23.61 KB
  Функция Fx называется первообразной для функции fx на интервале b если в любой точке х из интервала b функция Fx дифференцируема и имеет производную Fx=fx. Совокупность всех первообразных функций для данной функции fx на интервале b называется неопределенным интегралом от функции fx на этом интервале и обозначается где fxdx подынтегральное выражение fx подынтегральная функция x переменная интегрирования. Операцию нахождения первообразной восстановление функции по ее производной называют интегрированием...
30560. Непрерывные функции в Rn . Дифференцируемые функции в Rn .. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных 60.52 KB
  Дифференцируемые функции в Rn . Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
30561. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Правила дифференцирования. Производная по направлению. Градиент 65.41 KB
  Требования доктрины информационной безопасности РФ и ее реализация в существующих системах информационной безопасности. Доктрина информационной безопасности Российской Федерации. Понятие и назначение доктрины информационной безопасности. 9 сентября 2000 года президент РФ Владимир Путин утвердил Доктрину информационной безопасности РФ.
30562. Локальный экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума 45.86 KB
  ТочкаM0x0;y0 внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0 что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции zxy. поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 точка максимума так как на поверхности z =z xy соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C в этом локальность максимума.
30563. Условный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Метод множителей Лагранжа 274 KB
  Условный экстремум функции многих переменных. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f х у при условии что х и у связаны уравнением х у = 0. Подберём так чтобы для значений х и у соответствующи экстремуму функции f х у вторая скобка в равенстве 5 обратилась в нуль метод Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа Пусть функции fx1 x2 xn и Fix1 x2 xn i = 12 k дифференцируемы в некоторой области D с Rn .
30564. Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов 133.5 KB
  Гармонический ряд. Общий член и остаток ряда. Признаки сходимости рядов Определения.
30566. Функциональные ряды. Основные понятия и определения. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов 31.56 KB
  Функциональная последовательность равномерная сходимость и свойства Определение: равномерно сходящийся к fx на X если выполняется неравенство Замечание: если последовательность функции равномерно сходится к функции то она и просто сходится к ней. О равномерной сходимости функции: для того чтобы равномерно сходилась на X к fx необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение: равномерно сходящийся на X если последовательность его частичных сумм равномерно...
30567. Основная тригонометрическая система функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрические ряды Фурье. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций 142.57 KB
  Тригонометрический ряд 1 называется рядом Фурье для функции на отрезке а коэффициенты вычисляемые по формулам 2 3 4 называются коэффициентами Фурье. кусочномонотонна тогда ряд Фурье функции определяемый формулами 1 2 3 4 сходится почти всюду кроме точек разрыва к fx. Для четной функции Для нечетной функции Выступление Пусть функция определена на ℝ. Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.