73212

Элементы квантовой механики, Статистическая инитериретация волны де Бройля

Лекция

Физика

Однако целый ряд экспериментальных фактов заставляет признать что электрон а также и другие частицы обладают не только свойствами корпускул но и свойствами волн подобно фотонам света. Он предположил; что все частицы должны обладать волновыми свойствами подобными волновым свойствам света...

Русский

2015-01-16

153.5 KB

0 чел.

Лекция №29. Элементы квантовой механики.

I. Волны де Бройля.

При рассмотрении различных моделей атома, установлено (Резерфорд), что он имеет “ажурное” строение. Атом, как система разноимённо электрически заряжённых частиц, может быть устойчив только при условии, что заряды движутся друг относительно друга. Однако заряд, движущийся по замкнутой криволинейной траектории, имеет нормальное ускорение, а следовательно должен терять свою энергию, испуская электромагнитные волны, а это приводит к тому, что атом будет неустойчив.

Это противоречие приводит к выводу, что электроны в атомах движутся по законам, отличным от законов классической механики и электродинамики для макроскопических тел.

Ранее мы представляли электрон как частицу, т.е. материальное образование корпускулярного характера, которому присуща масса, энергия, импульс, момент импульса, размер и т.д. Однако целый ряд экспериментальных фактов заставляет признать, что электрон (а также и другие частицы) обладают не только свойствами корпускул, но и свойствами волн, подобно фотонам света. Существенным отличием является, однако, то, что фотоны не обладают массой покоя, в то время как электроны и большинство других элементарных частиц имеют массу покоя.

Правильное решение этой проблемы было сделано в 1924 году французским физиком-теоретиком Луи де Бройлем, одним из создателей квантовой теории. Он предположил; что все частицы должны обладать волновыми свойствами, подобными волновым свойствам света, т.е. между корпускулярными и волновыми характеристиками электрона существует связь (в 1927 году это получило блестящее подтверждение в экспериментах по дифракции электронов в кристаллах) – за что в 1929 году он получил Нобелевскую премию.

Для фотона известно:

 (1)

где  – волновое число;

.

Де Бройль постулировал, что это соотношение (1) справедливо и для электронов (а в последствии и для любых микрочастиц и систем из них). Для электрона соотношение де Бройля:

       (2)

где

Если скорость электрона (или частицы) v << c, то mem0e.

Пример: при ускорении электрона в поле ~ 104 В memm0e, скорость

Тогда можно получить соответствующие длины волн летящих электронов из уравнения (2):

Расчёт даёт:   (U в вольтах).

Если U = 1 ÷ 104 В   = 10 0,1 Å (диапазон рентгеновских лучей).

Если взять дифракционную решётку, сравнимую с для электронов, то можно наблюдать дифракцию электронов. Это впервые осуществили американские физики в 1927 году – Девиссон и Джермер на кристаллах металла. Метод исследования строения вещества, основанный на дифракции электронов называется электронофографией. 

Результат представляет собой прекрасное доказательство идеи де Бройля. Но возник ещё вопрос – “не присущи ли волновые свойства только потоку большой совокупности электронов? Такая задача была решена в 1948 году В. Фабрикантом, который с сотрудниками осуществил опыт по дифракции электронов со столь малой силой тока в приборе, что каждый электрон проходил через прибор независимо от других, т.е. опыт показал, что волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности.

Выводы:

  1.  Электрон является сложным материальным образованием. Его нельзя представить в виде материальной точки, он является сложной структурой, обладающей волновыми свойствами. Эта структура, очевидно меняется в зависимости от условий, в которых находится электрон, т.е. в зависимости от характера его взаимодействия с окружающей материей.
  2.  Коргускулярность электрона проявляется в том, что электрон не делим на части.
  3.  Нет единой точки зрения в понимании природы соотношения корпускулярного и волнового аспектов.
  4.  Волна де Бройля описывает движение материальной частицы, но не даёт сведений о её структуре.

II. Статистическая инитериретация волны де Бройля.

Одним из основных признаков элементарных частиц является их неделимость. Например, заряд может быть передан от одного тела к другому только в количестве, кратном заряду электрона. Таким свойствам, как неделимость, волны не обладают.

Если целостность частиц (электронов, в частности) при таких процессах как преломление, отражение, – сохраняется, то можно утверждать, что при падении на поверхность раздела частица либо отражается, либо преломляется. Но в таком случае волновые свойства частиц могут быть истолкованы только статистически.

В этом случае поведение каждой отдельной частицы не может быть определено с достоверностью, а может быть лишь указана вероятность того или иного поведения частицы.

Поскольку статистически интерпретируются волновые свойства частиц, то между амплитудой волны и величиной вероятности должно быть определённое соотношение:

Квадрат амплитуды волны в данном месте должен являться мерой вероятности нахождения частицы в этом месте, т.е. вероятность нахождения электрона минимальна там, где амплитуда волнового поля максимальна, и равна нулю в этих местах, где амплитуда волнового поля равна нулю.

III. Соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Наличие волновых свойств у электронов неизбежно должно внести какие-то ограничения в применимости к этим микрочастицам тех понятий, которые характеризуют их в классической механике.

Во время господства классической физики имелось мнение, что, зная точные значения координат и скоростей всех частиц во Вселенной в момент времени t0, в принципе можно было бы на основании точных физических законов предсказать будущее (и описать прошлое). Однако квантовая теория (квантовая механика – раздел теоретической физики, изучающей законы движения частиц в области микромира –10-610-13 см) показала, что нельзя для одного и того же момента времени предсказать точные значения координаты и скорости (импульса) любой частицы.

Рассмотрим упрощённую схему опыта по дифракции на одной щели шириной d.

Если анализировать дифракцию света, то его интенсивность I вдоль экрана (ось х) определяется в зависимости от волнового или квантового подхода.

I  ~ A2 (амплитуда волны)

I   N·h· (N – число квантов).

Если влетает один электрон, то вероятность его попадания в точку х будет точно такая же, как показано на рисунке 1 кривой I(x). Поэтому ясно, что A2 волны определяет вероятность того, что фотон попадает в данную точку поверхности. По аналогии, в случае дифракции электронов (или любых других макрочастиц), можно записать, что A2 волн де Бройля определяет вероятность нахождения W(x) микрочастиц в данной точке пространства:

W~ A2

Волны де Бройля имеют вероятностный смысл, при этом трудно говорить об их физической природе.

Почему же микрочастица, пройдя щель, отклоняется? Видимо, щель вносит неопределённость в координату и импульс. Как оказалось, сами измерения в микромире вносят неопределённость.

Оценим неопределённости в координате и импульсе, появляющиеся после попадания микрочастицы в щель преграды. Пусть щель располагается перпендикулярно к направлению движения микрочастицы. До взаимодействия со щелью Δpx = 0, а координата х микрочастицы является полностью неопределённой. При прохождении частицей щели вследствие дифракции появляется неопределённость:

Δpx = psin        (3)

Условие первого минимума при дифракции на одной щели.

dsin =        (4)

C учётом, что d = Δх имеем:

       (5)

Откуда воспользовавшись формулой де Бройля (1), получаем соотношение:

Δх·Δpx = h        (6)

Полученное выражение является частным случаем соотношений неопределённостей Гейзенберга, записанных этим выдающимся немецким учёным в 1927 году и устанавливающих количественную связь между неопределённостями в определении координаты и соответствующей этой координате составляющей импульса (принцип неопределённости – нельзя одновременно точно определить значение координаты и импульса микрочастицы).

      (7)

где: Δх и Δpx в данной записи представляют собой среднеквадратичное отклонение координаты и импульса от их средних значений т.е. дисперсии;

Соотношение неопределённостей работает и для неопределённостей в энергии какой либо системы ΔЕ и времени Δt существования этой системы в состоянии с данной энергией Е:

           (8)

Физический смысл соотношения (8) заключается в том, что из-за конечности времени жизни атомов в возбужденном состоянии энергия возбужденных состояний атомов не является точно определенной, а поэтому соответствующий энергетический уровень характеризуется конечной шириной. Из-за размытости возбужденных уровней энергия излучаемых фотонов характеризуется некоторым разбросом.

Почему в уравнениях неопределённости мы берём вместо = знак ? Т.к. физически разумная неопределённость ΔР или ΔХ, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса Р или координаты Х, таким образом ΔР Р; ΔХ Х.

Важно понять, что принцип неопределённости является сугубо физическим принципом и никак не связан с особенностями измерительных приборов. Из него вытекают очень важные следствия, пронизывающие всю квантовую механику:

1. Микрочастицы не могут покоиться (например, электроны движутся вокруг ядра).

2. Для микрочастиц отсутствует понятие траектории (обычно избегают понятия скорости, ускорения, силы – нет точки её приложения).

Принцип неопределённостей играет роль фундамента квантовой механики, так как не только устанавливает физическое содержание и структуру её математического аппарата, но и правильно предсказывает результаты многих задач, связанных с движением микрочастиц. Является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Мы всё время подчёркиваем, что квантовая механика работает с микрочастицами. Действительно, движение обычной частицы, например, массой m = 10-3 кг со скоростью v = 10м/с описывается волной де Бойля с λ 610-32 м.

Такая длина волны ничтожна, поэтому наблюдать волновые свойства таких частиц нельзя, и мы приходим к классическому случаю.

заметим, что соотношение неопределённостей, записанное в виде:

      (9)

Уравнение (9) показывает, что понятие классической механики применимы с тем большей точностью, чем больше масса частицы. При   представления о траектории вполне справедливы. Это является иллюстрацией общего важного принципа соответствия: при переходе к пределу законы квантовой механики переходят в законы классической механики.

Пример: Δр 0,01р, тогда электрон локализован в области порядка:

При v = 108 см/с    10-7 см , а ΔХ 10-5 см, поэтому к прибору электрон – материальная точка.

IV. Принцип дополнительности.

В 1928 году Нильс Бор расширил принцип неопределённости, придав ему более общий характер. В результате был сформулирован принцип дополнительности. Его суть заключается в том, что существуют пары дополняющих друг друга независимых переменных, каждая из которых может быть лучше определена только в результате соответствующей потери степени определённости другой.

К таким парам можно отнести: волновые и корпускулярные свойства частиц, непрерывность и дискретность, архивные документы и исторический роман, чувство и его анализ.

Пример: безрассудная любовь и размышления о её последствиях и т. д.

Принцип неопределённости применим и к анализу общественных явлений. В этом плане вспомним высказывание академика С. Капицы: “…как в квантовой механике измерение системы воздействует на саму систему, так и в обществе результаты социологического опроса влияют на общественное мнение”.

V. Волновая функция. Уравнение Шредингера.

Наличие из микрочастиц волновых свойств должно описываться волновым уравнением. Де Бройль, первым предложивший наличие волновых свойств у электронов, такой теории не создал. Такое уравнение было найдено Шредингером в 1926 году. Так же, как и уравнения Ньютона, уравнение Шредингера не выводится. Оно постулируется, и его правильность определяется тем, в какой мере его применение подтверждается результатами опыта. Подтверждение правильности этого уравнения на опыте придало ему характер закона природы.

Для микрочастицы, движущейся в силовом поле и обладающей потенциальной энергией U (x, у, z, t), уравнение имеет вид:

,     (10)

где – оператор Лапласа

Е – полная энергия частицы;

– постоянная Планка;

m – масса частицы.

Функция – называется волновой функцией и является решением уравнения. Она как раз и описывает состояние микрообъекта (характеризует волну де Бройля). Но функция – комплексная функция и поэтому физический смысл имеет произведение комплексно сопряжённых функций.

Физический смысл

Это вероятность нахождения частицы в данном месте пространства в данный момент времени.

*

Величина * = 2 имеет смысл плотности вероятности обнаружить частицу в объёме dV:

(*)dV = 2dV,

где dV = dxdydz

Сумма величин 2dV по всему объёму (т.е. интеграл) есть вероятность обнаружения частицы, где бы то ни было в пространстве. Но так как частица существует, то она обязательно где-либо обнаружится – это достоверно, а вероятность достоверного события = 1. Следовательно, – функция должна удовлетворять условию нормировки.

Условие нормировки

                (11)

Необходимо отчётливо представлять, что находится в бесконечно малом объёме электрон не может, он не материальная точка, нужно понимать “находиться” – обнаруживает своё действие в этом объёме. Область действия (область обнаружения) и область локализации различны.

Электроны обладают волновыми свойствами. Простейшей волной с частотой ω и волновым вектором k является плоская монохроматическая волна

,       (12)

 где А – амплитуда волны,

k – волновой вектор (волновое число), направление которого совпадает с направлением распространения волны.

Пусть частица обладает определенной энергией Е и импульсом  (следовательно, она распространяется в свободном от сил пространстве). Согласно корпускулярно-волновому дуализму материи,  и . Учитывая эти соотношения и выражение (12), видим, что с движением частицы, имеющей определенные энергию и импульс, связывается волна вида , называемая плоской волной де Бройля.

В релятивистской области скоростей уравнение Шредингера не работает и заменяется уравнением Дирака, которое является частью принципиально более сложной теории.

Выводы: 

  1.   – функция позволяет определить лишь вероятность процессов, но не позволяет определить процесс однозначно.
  2.   – функция описывает одну частицу и это описание носит статистический характер.
  3.  Для частиц большой массы квантовые законы движения переходят в классические – это удовлетворяет принципу соответствия.

VI. Микрочастица в потенциальной яме.

Если поместить микрочастицу в бесконечно глубокую потенциальную яму (ограниченная область пространства, в которой потенциальная энергия рассматриваемой частицы меньше, чем вне этого пространства), то волновая функция , описывающая стационарные состояния частицы, будет иметь вид:

     (13)

где ℓ – ширина ямы (ящика);

n – номер энергетического уровня;

x – место положения частицы.

Выражение для собственных значений энергии частицы в глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике имеет вид:

,       (14)

где а = L – ширина ямы,

n = 1, 2, 3…∞ – уровни.

Схема уровней энергии микрочастицы в таком потенциальном ящике и вид функции * показаны на рисунке 3. Минимальное значение энергии микрочастицы в потенциальной яме не равно нулю, то есть она находится в постоянном движении.

Обращает на себя внимание и зависимость плотности вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от стенок ямы от числа n. В дальнейшем n, характеризующее энергетическое (в целом пространственное) положение микрочастицы в потенциальной яме получило название главного квантового числа.

Расстояние между соседними энергетическими уровнями для частиц различной массы m в ящике шириной а составляет:

    (15)

Если а или m устремить в бесконечность (а  , m  ), то расстояние между энергетическими уровнями становится бесконечно малым, то есть приходим к свободной микрочастице. Для лёгких частиц, при малых областях локализации, увеличивается минимальное значение энергии, и резко растёт расстояние между соседними уровнями (этим объясняется отсутствие электронов внутри или в непосредственной близости от атомного ядра).

 VII. Уравнение Шредингера для водородоподобного атома. Квантовые числа.

Уравнение Шредингера прекрасно описывает поведение электронов в атоме (для простоты обычно рассматривают водородоподобный атом, в котором анализируют взаимодействие ядра с одним конкретным электроном). Его решение в сферической системе координат показывает, что в общем случае плотность вероятности обнаружить электрон около ядра зависит от трёх квантовых чисел n, ℓ и m.

Первое (n), как и следовало ожидать для частицы, находящейся в потенциальной яме, характеризует энергию электрона в атоме:

      (16)

и равно 1, 2, 3,…, при этом данное выражение полностью соответствует теории Бора. Второе ℓ определяет величину орбитального момента импульса электрона в атоме (рис. 4):

и принимает значения ℓ = 0, 1, 2, 3,…, n – 1. Третье m задаёт величину проекции этого момента на заданное направление  в пространстве:

   Lон = m·ħ,

где m = –ℓ, +ℓ,…, –1, 0, 1,…, ℓ – 1, ℓ (всего 2ℓ + 1 значений), то есть определяет направление вектора ℓ0 в пространстве.

Квантовое число ℓ получило название орбитального, а mмагнитного.

С квантово-механической точки зрения радиус боровской орбиты имеет смысл расстояния от ядра, на котором плотность вероятности найти электрон имеет наибольшее значение. В зависимости от набора квантовых чисел электронное облако вокруг ядра может иметь сферическую симметрию (ℓ = 0) или приобрести вид своеобразных гантелей.

Затем, согласно теории Дирака, учитывающей релятивистский эффект, микрочастица обладает собственным моментом импульса ℓS (спином). При этом выполняется соотношение:

,

где S – спиновое квантовое число (для электрона S = 1/2).

Спин электрона, как и орбитальный момент импульса, не может принимать любое направление в пространстве:

Lsн = ħ·Sm,

где Sm = 1/2.

α

0

*

*

Рис. 3

*

n = 3

n = 2

n = 1

Е1

1

1

Е

х

Рис. 1

Рх = 0

Ру ≠ 0

Рх

Ру

Р

d

I

у

х

Рис. 2

Рис. 4

-

v

r

L0

0

α

X

0

L

U =

U = 0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66491. Исследование ономастического пространства поэзии Владимира Высоцкого 341 KB
  Ономастика как лингвистическая наука изучает основные закономерности истории, развития и функционирования имен собственных. Обладая своим материалом и методикой изучения его, ономастика не может не быть самостоятельной дисциплиной.
66492. Анализ условий выпуска и обращения ценных бумаг коммерческих банков 522.5 KB
  Целью моей работы является рассмотрение и анализ условий выпуска и обращения ценных бумаг коммерческих банков. Для достижения данной цели я поставила следующие задачи: определить понятие ценных бумаг и их виды; рассмотреть структуру, задачи и участников рынка ценных бумаг; определить роль банка на рынке ценных бумаг...
66493. МЕЖБАНКОВСКИЙ КЛИРИНГ 556.5 KB
  В соответствии с утвержденными планами модернизации платежной системы Республики Беларусь РБ в ближайшее время намечено внедрить пусковой комплекс нового проекта межбанковских расчетов в составе: системы расчетов по срочным и крупным платежам на валовой основе...
66494. ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ВНИМАНИЯ У ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА 315.5 KB
  Внимание среди познавательных процессов занимает особенное место, поскольку оно не имеет собственного содержания, а обслуживает другие психические процессы. Внимание во многом определяет успешность их функционирования. От уровня развития свойств внимания (устойчивости, концентрации, объёма, распределения, переключения)
66497. Механизмы сетевого взаимодействия 39.5 KB
  Цель работы – изучить программный интерфейс сетевых сокетов, получить навыки организации взаимодействия программ при помощи протоколов Internet и разработки прикладных сетевых сервисов.
66499. Автоматическое управление в функции времени. Реле времени 248.5 KB
  Наряду с автоматизацией технологических процессов реле времени широко применяют для автоматизации процесса пуска мощных электродвигателей посредством пусковых реостатов в металлорежущих станках бытовых машинах и пр.