73215

Система уравнений Максвелла

Лекция

Физика

Если цепь с конденсатором питать переменным током то в цепи за каждый период протекают токи заряда и разряда конденсатора сопротивление которого теперь не бесконечно велико а зависит от ёмкости конденсатора и частоты тока: Согласно воззрениям Фарадея Максвелла конденсатор надо рассматривать не как разрыв цепи...

Русский

2014-12-05

188 KB

11 чел.

Лекция №19. Система уравнений Максвелла.

 I. Токи смещения. Опыт Эйхенвальда.

Под током мы понимаем направленное движение электрически заряженных частиц (электронов, ионов) в среде. Но электрический ток можно получить и при движении зарядов вместе с перемещающимися макроскопическими телами. Токи при этом возникающие, называют конвенционными токами.

Электрический ток может быть получен также при движении диэлектрика в поле переменной полярности. Движение зарядов, представляющее собой смещение их в молекулах диэлектрика, называют током смещения.

Опыты по исследованию магнитного поля конвенционных токов и токов смещения провёл в 1901-1903 г.г. русский учёный А.А. Эйхенвальд. Мы остановимся только на токах смещения.

Диэлектрический диск D вращается между четырьмя неподвижными заряженными полудисками. При прохождении плоскости ав происходит смена знаков заряда на сторонах диска, что эквивалентно движению “+” зарядов слева направо, что и показано на чертеже – ток i.

Опытами А.А. Эйхенвальда установлено, что токи смещения, как и токи проводимости, создают такое же магнитное поле. Токи смещения наблюдаются в конденсаторе, включённом в цепь переменного тока. Для постоянного тока конденсатор, включённый в цепь последовательно, является бесконечно большим сопротивлением. Если цепь с конденсатором питать переменным током, то в цепи за каждый период протекают токи заряда и разряда конденсатора, сопротивление которого теперь не бесконечно велико, а зависит от ёмкости конденсатора и частоты тока:

  

Согласно воззрениям Фарадея-Максвелла, конденсатор надо рассматривать не как разрыв цепи, а как участок цепи с другим механизмом проводимости. Рассмотрим процессы, протекающие в схеме. Генератор переменного тока, напряжение которого U заряжает конденсатор ёмкости С. Заряд конденсатора:

Q = CU.

Пусть конденсатор плоский:

  

Величина зарядного тока, который протекает через конденсатор, в цепи:

  

  

  

  , но электрическая индукция:

   ,

где – вектор поляризации.

          (1)

Из (1) следует, что ток смещения состоит из двух слагаемых:

а)  – тока смещения, вызванного смещением молекулярных зарядов в диэлектрике (токи поляризации);

б)  – тока смещения, определяемого скоростью изменения напряжённости поля , эта составляющая существует в вакууме (т.е. следует, что любое переменное электрическое поле порождает магнитное поле).

В проводящей среде полный ток складывается из суммы тока проводимости  и тока смещения :

          (2)

 II. Система уравнений Максвелла.

1. Уравнение Максвелла в интегральной форме.

С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была завершена. Открытие тока смещения  позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объясняла все разрозненные явления электричества и магнетизма (причём с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось в последствии. Основу теории Максвелла составляют уравнения, названные уравнениям Максвелла.

Эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике. Они в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле. Эти уравнения являются постулатами электродинамики, полученные путём обобщения опытных фактов.

Закон электромагнитной индукции Фарадея

Переменное во времени магнитное поле порождает вокруг себя вихревое (переменное) электрическое поле.

          (3)

Теорема Остроградского-Гауса

Поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую заряды Qi, равен алгебраической сумме последних.

   ,      (4)

где ρ – объёмная плотность заряда;

dV – элемент объёма внутри поверхности.

Обобщённый закон полного тока

Циркуляция вектора  по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.

         (5)

Магнитный поток (поток вектора ) через произвольную замкнутую поверхность всегда тождественен нулю – это означает, что поле  является вихревым (силовые линии замкнуты), или, что не существует “магнитных зарядов”.

           (6)

Из уравнений Максвелла следует, что электрические и магнитные поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению второго. Если же поля стационарные (Е = const и И = const), то уравнения Максвелла становятся независимыми и имеют вид:

 В этом случае поля (электрические и магнитные) независимы друг от друга, что и позволяет изучить сначала постоянное электрическое поле, а затем независимо от него и постоянное магнитное поле.

2. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Уравнения (3-6) записаны в интегральной форме. Гораздо чаще используется дифференциальная форма записи этих уравнений, которая позволяет описать электромагнитное поле в любой точке (точнее в любом элементарном объёме) пространства. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме легко получаются из уравнений (3-6) путём применения известных из векторного анализа теорем Остроградского-Гаусса и Стокса, устанавливающих связь между линейными, поверхностными и объёмными интегралами:

Теорема Остроградского-Гауса связывает объёмный интеграл с поверхностным

,

где – скалярная функция – дивергенция (расхождение):

   

Теорема Стокса связывает поверхностный интеграл с линейным

,

где – векторная функция – ротор (вихрь):

С учётом вышеизложенного уравнения (3-6) принимают вид:

   

   

   

   

Т.к. объёмы и поверхности, по которым происходит интегрирование произвольны, то можно приравнять подынтегральные функции и получить уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

       (7)

       (8)

      (9)

       (10)

3. Материальные уравнения.

Уравнения Максвелла ещё не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Для этого необходимо дополнить соотношения, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Для случая изотропных сред (не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков) они имеют следующий вид:

          (11)

С учётом соотношений (11) система уравнений является полной и позволяет описывать все электромагнитные процессы в вакууме и веществе.

4. Свойства уравнений Максвелла.

 А. Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей и  по времени и пространственным координатам, а так же первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов γ. Свойство линейности уравнений непосредственно связано с принципом суперпозиции.

 Б. Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда:

   

 В. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчёта. Они являются релятивистски-инвариантными, что подтверждается опытными данными.

 Г. О симметрии уравнений Максвелла.

Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов. Вместе с тем в нейтральной однородной среде, где ρ = 0 и ,уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т.е.  так связано с , как с .

   

Различие только в знаках перед производными  и  показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного уменьшением поля , образуют с вектором  левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением , образуют с вектором  правовинтовую систему.

 Д. Об электромагнитных волнах.

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение электрического поля, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счёт непрерывного взаимопревращения они и должны сохранятся. Поля такого рода называются электромагнитными волнами. Выяснилось также, что ток смещения  играет в этом явлении первостепенную роль.

 III. Роль уравнений Максвелла и границы их применимости.

Уравнения Максвелла не вытекают из каких-либо более общих теоретических положений, а являются обобщением опыта. При построении теорем за основные принимаются уравнения (3-6), а все остальные законы электродинамики, включая и законы сохранения заряда, получаются как их следствия.

Уравнения Максвелла лежат в основе всей электротехники и радиотехники с её многочисленными разветвлениями (телевидение, радиолокация и прочее). В известной степени они являются фундаментальными уравнениями классической оптики. Так, например, все законы распространения света (переменного электромагнитного поля) могут быть получены из уравнений Максвелла. Наряду с уравнениями Ньютона и законом всемирного тяготения они являются фундаментальными уравнениями классической физики.

Уравнения Максвелла связывают друг с другом пространственные и временные производные напряжённостей  и . Это означает, что меняющийся во времени электромагнитный процесс, возникший в некоторый момент в данном месте, вызовет изменение в другом месте с запаздыванием, т.е. утверждается конечная скорость передачи электромагнитных взаимодействий, которая равна:

   (в вакууме)

Теория Максвелла имеет границы применения (как и всякая физическая теория). Она применима:

а) для расстояний R между зарядами, превышающих внутриатомные расстояния ;

б) для частот изменения поля, не более  (это ограничение связано с проявлением на высоких частотах квантовых свойств излучения);

в) для полей, напряжённость  которых менее  (это ограничение связано с тем, чтобы энергия, получаемая заряженными частицами, была меньше по сравнению со средней энергией беспорядочного движения частиц среды. В вакууме эти ограничения отпадают).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59045. Мода і час 60.5 KB
  Das Thema heutiger Stunde heiЯt Mode und Zeit. Ich glaube, dass die Frage der Mode immer wichtig und fur alle Menschen interessant ist. Heute werden wir viel von Mode sprechen, diskutieren, interessante Aufgaben erfullen und am Ende der Stunde sehen wir die Modenschau, die unsere Modelle vorbereitet haben.
59046. Моральні цінності та ідеали наших предків. За драмою І. А. Кочерги Ярослав Мудрий 46 KB
  Мета: познайомити учнів з перипетіями навколо цього твору визначити моральні цінності та ідеали наших предків образи героїв твору ідею композицію; пояснити актуальність і сучасний пафос драми; повторити вивчене про драматичну поему...
59047. Музи генія. Інтимна лірика Тараса Шевченка 60 KB
  Мета: на прикладах поетичних шедеврів інтимної лірики Шевченка розглянути красу і складність людських почуттів; викликати в учнів бажання якомога більше дізнатися про Кобзаря; знайти ще один з ключів до розкриття творчості Шевченка її тематики розгадки соціальних і життєвих...
59048. Музичні інсценівки за мотивами Байок харківських Г. Сковороди 37.5 KB
  Сковороди Сучасний погляд на використання байок Г. Сковорода широко користується народними засобами передачі педагогічних ідей коли мудрість вкладається у вислови героїв казок притч оповідей байок.
59049. Урок-память. Ні! Я жива! Я вічно буду жити! 48.5 KB
  Леся Українка Хід уроку І. Дорогі мої діти Дорогі восьмикласники Прозвучала пісня Стояла я і слухала весну пісня яка мабуть нікого не залишила байдужим бо слова цієї пісні написала Леся Українка Лариса Петрівна КосачКвітка.
59050. Матеріали до вивчення роману А. Камю Чума 30.5 KB
  Камю зажив популярності ще за життя і нині твори його не втрачають актуальності через те що письменник зумів поставити в них багато запитань важливих як для його сучасників так і для наступних поколінь. Представники Марсель Сартр Камю.
59051. Наталя Забіла. Чотири пори року 35 KB
  Обладнання: виставка творів Наталі Забіли ілюстрації Пори року аудіозапис твору Вівальді Пори року картки зі словами-блискавками картки зі словами-анаграмами запис на дошці аналітико-синтетичних вправ.
59052. Передумови й початок національно-визвольної війни українського народу проти польського панування 74.5 KB
  Іий ученьдослідник: Богдан Зиновій Хмельницький найвидатніший гетьман України видатний полковдець дипломат гнучкий політик справжній патріот захисник України від поляків господар своєї держави що прагнув до зміцнення її могутності.
59053. Нашого цвіту - по всьому світу 42 KB
  Актуалізація та мотивація навчальної діяльності Бесіда Хто такі емігранти За яких причин вони можуть опинитися за кордоном В які держави світу переважно емігрують наші співвітчизники Які основні особливості побуту українського народу Як зберігає народ свої традиції звичаї...