73215

Система уравнений Максвелла

Лекция

Физика

Если цепь с конденсатором питать переменным током то в цепи за каждый период протекают токи заряда и разряда конденсатора сопротивление которого теперь не бесконечно велико а зависит от ёмкости конденсатора и частоты тока: Согласно воззрениям Фарадея Максвелла конденсатор надо рассматривать не как разрыв цепи...

Русский

2014-12-05

188 KB

11 чел.

Лекция №19. Система уравнений Максвелла.

 I. Токи смещения. Опыт Эйхенвальда.

Под током мы понимаем направленное движение электрически заряженных частиц (электронов, ионов) в среде. Но электрический ток можно получить и при движении зарядов вместе с перемещающимися макроскопическими телами. Токи при этом возникающие, называют конвенционными токами.

Электрический ток может быть получен также при движении диэлектрика в поле переменной полярности. Движение зарядов, представляющее собой смещение их в молекулах диэлектрика, называют током смещения.

Опыты по исследованию магнитного поля конвенционных токов и токов смещения провёл в 1901-1903 г.г. русский учёный А.А. Эйхенвальд. Мы остановимся только на токах смещения.

Диэлектрический диск D вращается между четырьмя неподвижными заряженными полудисками. При прохождении плоскости ав происходит смена знаков заряда на сторонах диска, что эквивалентно движению “+” зарядов слева направо, что и показано на чертеже – ток i.

Опытами А.А. Эйхенвальда установлено, что токи смещения, как и токи проводимости, создают такое же магнитное поле. Токи смещения наблюдаются в конденсаторе, включённом в цепь переменного тока. Для постоянного тока конденсатор, включённый в цепь последовательно, является бесконечно большим сопротивлением. Если цепь с конденсатором питать переменным током, то в цепи за каждый период протекают токи заряда и разряда конденсатора, сопротивление которого теперь не бесконечно велико, а зависит от ёмкости конденсатора и частоты тока:

  

Согласно воззрениям Фарадея-Максвелла, конденсатор надо рассматривать не как разрыв цепи, а как участок цепи с другим механизмом проводимости. Рассмотрим процессы, протекающие в схеме. Генератор переменного тока, напряжение которого U заряжает конденсатор ёмкости С. Заряд конденсатора:

Q = CU.

Пусть конденсатор плоский:

  

Величина зарядного тока, который протекает через конденсатор, в цепи:

  

  

  

  , но электрическая индукция:

   ,

где – вектор поляризации.

          (1)

Из (1) следует, что ток смещения состоит из двух слагаемых:

а)  – тока смещения, вызванного смещением молекулярных зарядов в диэлектрике (токи поляризации);

б)  – тока смещения, определяемого скоростью изменения напряжённости поля , эта составляющая существует в вакууме (т.е. следует, что любое переменное электрическое поле порождает магнитное поле).

В проводящей среде полный ток складывается из суммы тока проводимости  и тока смещения :

          (2)

 II. Система уравнений Максвелла.

1. Уравнение Максвелла в интегральной форме.

С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была завершена. Открытие тока смещения  позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объясняла все разрозненные явления электричества и магнетизма (причём с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось в последствии. Основу теории Максвелла составляют уравнения, названные уравнениям Максвелла.

Эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике. Они в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле. Эти уравнения являются постулатами электродинамики, полученные путём обобщения опытных фактов.

Закон электромагнитной индукции Фарадея

Переменное во времени магнитное поле порождает вокруг себя вихревое (переменное) электрическое поле.

          (3)

Теорема Остроградского-Гауса

Поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую заряды Qi, равен алгебраической сумме последних.

   ,      (4)

где ρ – объёмная плотность заряда;

dV – элемент объёма внутри поверхности.

Обобщённый закон полного тока

Циркуляция вектора  по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.

         (5)

Магнитный поток (поток вектора ) через произвольную замкнутую поверхность всегда тождественен нулю – это означает, что поле  является вихревым (силовые линии замкнуты), или, что не существует “магнитных зарядов”.

           (6)

Из уравнений Максвелла следует, что электрические и магнитные поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению второго. Если же поля стационарные (Е = const и И = const), то уравнения Максвелла становятся независимыми и имеют вид:

 В этом случае поля (электрические и магнитные) независимы друг от друга, что и позволяет изучить сначала постоянное электрическое поле, а затем независимо от него и постоянное магнитное поле.

2. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Уравнения (3-6) записаны в интегральной форме. Гораздо чаще используется дифференциальная форма записи этих уравнений, которая позволяет описать электромагнитное поле в любой точке (точнее в любом элементарном объёме) пространства. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме легко получаются из уравнений (3-6) путём применения известных из векторного анализа теорем Остроградского-Гаусса и Стокса, устанавливающих связь между линейными, поверхностными и объёмными интегралами:

Теорема Остроградского-Гауса связывает объёмный интеграл с поверхностным

,

где – скалярная функция – дивергенция (расхождение):

   

Теорема Стокса связывает поверхностный интеграл с линейным

,

где – векторная функция – ротор (вихрь):

С учётом вышеизложенного уравнения (3-6) принимают вид:

   

   

   

   

Т.к. объёмы и поверхности, по которым происходит интегрирование произвольны, то можно приравнять подынтегральные функции и получить уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

       (7)

       (8)

      (9)

       (10)

3. Материальные уравнения.

Уравнения Максвелла ещё не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Для этого необходимо дополнить соотношения, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Для случая изотропных сред (не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков) они имеют следующий вид:

          (11)

С учётом соотношений (11) система уравнений является полной и позволяет описывать все электромагнитные процессы в вакууме и веществе.

4. Свойства уравнений Максвелла.

 А. Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей и  по времени и пространственным координатам, а так же первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов γ. Свойство линейности уравнений непосредственно связано с принципом суперпозиции.

 Б. Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда:

   

 В. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчёта. Они являются релятивистски-инвариантными, что подтверждается опытными данными.

 Г. О симметрии уравнений Максвелла.

Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов. Вместе с тем в нейтральной однородной среде, где ρ = 0 и ,уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т.е.  так связано с , как с .

   

Различие только в знаках перед производными  и  показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного уменьшением поля , образуют с вектором  левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением , образуют с вектором  правовинтовую систему.

 Д. Об электромагнитных волнах.

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение электрического поля, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счёт непрерывного взаимопревращения они и должны сохранятся. Поля такого рода называются электромагнитными волнами. Выяснилось также, что ток смещения  играет в этом явлении первостепенную роль.

 III. Роль уравнений Максвелла и границы их применимости.

Уравнения Максвелла не вытекают из каких-либо более общих теоретических положений, а являются обобщением опыта. При построении теорем за основные принимаются уравнения (3-6), а все остальные законы электродинамики, включая и законы сохранения заряда, получаются как их следствия.

Уравнения Максвелла лежат в основе всей электротехники и радиотехники с её многочисленными разветвлениями (телевидение, радиолокация и прочее). В известной степени они являются фундаментальными уравнениями классической оптики. Так, например, все законы распространения света (переменного электромагнитного поля) могут быть получены из уравнений Максвелла. Наряду с уравнениями Ньютона и законом всемирного тяготения они являются фундаментальными уравнениями классической физики.

Уравнения Максвелла связывают друг с другом пространственные и временные производные напряжённостей  и . Это означает, что меняющийся во времени электромагнитный процесс, возникший в некоторый момент в данном месте, вызовет изменение в другом месте с запаздыванием, т.е. утверждается конечная скорость передачи электромагнитных взаимодействий, которая равна:

   (в вакууме)

Теория Максвелла имеет границы применения (как и всякая физическая теория). Она применима:

а) для расстояний R между зарядами, превышающих внутриатомные расстояния ;

б) для частот изменения поля, не более  (это ограничение связано с проявлением на высоких частотах квантовых свойств излучения);

в) для полей, напряжённость  которых менее  (это ограничение связано с тем, чтобы энергия, получаемая заряженными частицами, была меньше по сравнению со средней энергией беспорядочного движения частиц среды. В вакууме эти ограничения отпадают).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15800. Средние величины и их виды 12.95 KB
  Средние величины и их виды. Наиболее распространённой формой статистических показателей используемой в социальноэкономических исследованиях является средняя величина. Средняя величина обобщающий показатель выражающий типичный уровень размер варьирующего пр
15801. Средние формы общих индексов 29.05 KB
  Средние формы общих индексов Помимо агрегатных индексов в статистике применяется и другая их форма средневзвешенные индексы. Их используют когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Средний индекс это индекс вычи
15802. Средний уровень динамического ряда 85.3 KB
  Средний уровень динамического ряда. Способы его исчисления. Средний уровень ряда в статистике Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней исчисленной из значений меняющихся во времени. Методы расчета среднего ...
15803. Средний уровень ряда и способы его расчета 72.58 KB
  Средний уровень ряда и способы его расчета. chronological mean средняя рассчитанная из значений изменяющихся во времени. Используется для расчета среднего уровня моментного ряда. В том случае если имеющиеся данные относятся к фиксированным моментам времени c равными интер...
15804. Средняя арефмитическая и горманическая формы общих индексов 30.52 KB
  Средняя арифметическая и горманическая формы общих индексов. Помимо агрегатных индексов в статистике применяется и другая их форма средневзвешенные индексы. Их используют когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс.
15805. Средняя гармоническая 24.05 KB
  Средняя гармоническая. При расчёте статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае существует только одно истинное среднее значение показателя. Пример. Пусть в фирме специализир...
15806. Средняя ошибка выборки 130.06 KB
  Средняя ошибка выборки Средняя ошибка выборки представляет из себя такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями которое не превышает б дельта. На основании теоремы Чебышева П. Л. величина средней ошибки при случайном повторном отборе...
15807. Статистическая таблица. Ее элементы. Виды таблиц 11.94 KB
  Статистическая таблица. Ее элементы. Виды таблиц. Результаты сводки и группировки данных представляют в виде статистических таблиц. Статистическая таблица содержит сводную числовую характеристику исследуемой совокупности по одному или нескольким существенным приз
15808. Проектна технологія як засіб формування інтересу до пізнання молодших школярів 66.5 KB
  Анотація Одним із провідних орієнтирів української освіти і виховання є врахування здібностей нахилів та інтересів школярів у процесі навчальної діяльності що визначено Законом України €œПро освіту€. Завдання створення сприятливих умов для творчого характеру навч