73216

Механические колебания

Лекция

Физика

Если колебания происходят под воздействием только одной возвращающей силы их называют свободными или собственными колебаниями. Свободные колебания являются незатухающими если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.

Русский

2014-12-05

331 KB

1 чел.

Лекция №20. Механические колебания.

I. Гармоническое колебательное движение.

Колебательными процессами называют процессы, повторяющиеся через одинаковые промежутки времени.

В случае механических колебаний повторяются изменения положений, скоростей и ускорений каких-либо тел или частей тел.

Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой.

Если колебания происходят под воздействием только одной возвращающей силы, их называют свободными или собственными колебаниями. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).

Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса.

Для ознакомления с величинами, характеризующими колебательный процесс, рассмотрим физическую модель.

Предположим, что точка В равномерно движется по окружности со скоростью V. Убедимся, что проекция этой точки на диаметр СД будет совершать гармонические колебания около точки О, соответствующей положению равновесия.

Смещение Х (от положения равновесия) – расстояние между проекцией точки В и положением равновесия О (ОХ).

Амплитуда колебания А – максимальное смещение точки от положения равновесия (ОС).

Период Т – время одного полного колебания (в данном случае – время возвращения точки В в исходное состояние).

В начальный момент времени точка находится в положении В.

Через время , она переместилась в точку Е, радиус повернули на угол β:

β = ω∙,

где ω – угловая скорость радиуса ОВ.

Если отсчет производили от горизонтального диаметра, то

α = β + φ

или    α = ωt + φ        (1)

Находим смещение Х:

x = A∙sin(ωt + φ)       (2)

Получено уравнение гармонического колебания. Величина α = ωt + φ называется фазой колебания. Она измеряется в угловых единицах и показывает состояние колебательной системы в любой момент времени . Угол φначальная фаза колебания. 

Угловую скорость определим из условия:

Один оборот (2 радиан) радиус совершит за время Т.

       (3)

Величина ω называется круговой, или циклической частотой колебаний.

Число колебаний за 1, т.е. величина обратная периоду колебаний, называется частотой (измеряется в герцах – Гц):

       (4)

Графически зависимость смещения Х от времени в соответствии с уравнением (2) представляет собой синусоиду.

II. Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении.

Смещение колеблющейся материальной точки определяется уравнением:

x = Asin(ωt + φ);

тогда скорость определим:

        (5)

V = Aωsin(ωt + φ + π/2);

а ускорение:

       (6)

[a = Aω2sin(ωt + φ + π)]

Из выведенных уравнений следует, что скорость или ускорение при колебательном движении являются периодическими функциями от с периодом колебания, равным T. Из графика видно, что фаза скорости отстает от фазы смещения на π/2, а фаза ускорения – на .

Рассмотрим пример и получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Пусть масса m может скользить по поверхности без трения. Она соединена с боковой стенкой через пружину с жесткостью k и длиной в нерастянутом состоянии а0.

Тогда возвращающая сила F, согласно закону Гука равна:

F= -kx         (7)

По второму закону Ньютона сила F равна

F = ma,        (8)

где m – масса колеблющейся точки;

а – ускорение колеблющейся точки.

Учитывая, что ускорение  запишем:

или           (9)

Решением этого дифференциального уравнения является функция

x = Asin(ωt + φ)       (10)

Таким образом, колебания такой системы будут гармоническими. (Если сжатие пружины происходит в пределах закона Гука).

III. Затухающие колебания.

Все реальные собственные колебания тел являются затухающими. Потери энергии в механических системах происходят из-за её рассеяния (например: за счет трения). Во многих случаях силы, вызывающие затухания колебаний, пропорциональны скорости.

      (11)

Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

      (12)

Решением такого уравнения служит уравнение вида:

x = A0e-δτsin(ωt + φ),            (13)

где – коэффициент затухания.

Скорость затухания колебаний определяется величиной :

,       (14)

где – логарифмический декремент затухания (физический смысл – время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз).

IV. Энергия гармонического колебательного движения.

Скорость колеблющейся массы m непостоянна, поэтому кинетическая и потенциальная энергии ее будут переменны.

Потенциальная энергия dW = -Fdx

       (15)

Учитывая что, F = -kx, запишем:

подставим: k = 2; x = Asin(ωt + φ)

Окончательно:

     (16)

Кинетическая энергия:

     (17)

Полная энергия равна сумме Wк + Wп:

      (18)

Следовательно, полая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды и не зависит от времени (постоянна в процессе незатухающих колебаний).

V. Вынужденные колебания. Резонанс.

Рассмотрим случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

Fвн = F0sinωt        (19)

ω – вынуждающая циклическая частота.

Возвращающая сила, обеспечивающая колебания, как и прежде, равна:

F = -kx         (20)

Запишем II Закон Ньютона для колеблющейся массы:

Fвн + F = ma

Подставляя вместо Fвн ее значение и вместо а = -ω2x получаем:

F0sinωtkx = -2x;

откуда           (21)

Но известно, что k = 02,

где ω0 – собственная частота колебаний системы

     (22)

Сравнивания это выражение с выражением для обычных гармонических колебаний находим, что амплитуда такого колебания изменяется по закону:

     (23)

Как видно из уравнения (23), если вынуждающая частота приближается к собственной частоте колебаний, амплитуда увеличивается. Наступает Резонанс.

VI. Сложение одинаково направленных колебаний.

Складываются два одинаково направленных колебания одной частоты ω (или Т), но отличающихся начальной фазой (φ1 и φ2) и амплитудой (А1 и А2).

x1 = A1sin(ωt + φ1)

x2 = A2sin(ωt + φ2)

Чтобы найти результирующее колебание надо найти А, φ и закон изменения x, т.е. ω.

Изобразим векторную диаграмму для нахождения результирующей А.

Если равномерно вращать (ω1 = ω2) систему векторов, то их проекции на ось ОУ будут совершать гармонические колебания, причем проекция , будет совершать колебания с той же частотой ω, следовательно, закон изменения x результирующего колебания тот же.

Амплитуду А находим по теореме косинусов:

A2 = A12 + A22 + A1A2cos(φ1 – φ2)     (24)

     (25)

Таким образом: x = Asin(ωt + φ), где

A и φ находятся из уравнений (24) и (25).

Следствие из (24):

1) если φ1 – φ2 = 2n,

где n = 0, 1, 2, 3, …, то cos1 – φ2) = 1;

А = А1 + А2 → колебания совпадают по фазе и усиливают друг друга;

2) если φ1 – φ2 = (2n + 1)∙, то cos1 – φ2) = –1 и А = А1 + А2 → колебания в противофазах ослабляют друг друга;

3) если φ1 – φ2 = (2n+1)∙, и А1 = А2 , то А = 0 → колебания гасят друг друга.

VI. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Пусть точка М одновременно колеблется в двух взаимно перпендикулярных направлениях, вдоль осей X и Y. Рассмотрим несколько случаев:

1) Составляющие колебания имеют:

ω1 = ω2 = ω

φ1 = φ2 = 0

А1 ≠ А2 

x = A1∙sinωt        (26)

y = A2∙sinωt        (27)

Находим траекторию движения, исключив из (26) и (27) t:

– уравнение прямой через начало координат (28)

Результирующее колебание S:

2) Составляющие колебания имеют:

ω1 = ω2 = ω

φ2 – φ1 =  (частный случай φ1 = 0; φ2 = π/2)

А1  А2 

Найдем траекторию движения (исключая t):

              (29)

Уравнение (29) – уравнение эллипса с полуосями А1 и А2;

если А1 = А2, то траектория – окружность.

3) Общий случай, когда:

А1 ≠ А2 

ω1ω2

φ1 – φ2 = φ

В этом случае колеблющаяся точка будет двигаться по кривым, называемым фигуры Лиссажу. Вид кривых зависит от соотношений амплитуд, частот и начальных фаз колебаний.

Примеры: (А1 = А2), (φ1 = φ2)

(а)

(б)


VII
. Примеры колебательных систем.

1. Пружинный маятник – тело, совершающее прямолинейные колебания (вдоль оси ОХ или ОУ) под действием упругой силы:

F = -kx,

где k – коэффициент упругости.

;

2. Математический маятник материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающее движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести:

3. Физический маятник – абстрактное твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести С.

, 

где  – приведённая длина физического маятника.

т. О1 – центр качания физического маятника

т.т. О и О1 обладают свойством взаимности (взаимозаменяемости).


m

a0

m

1,5

2,0

1,0

0,5

0

0

Авых

β

φ

α

α

Е

В

Д

0

С

В1

Е1

–А

Т

х

τ

А

Т

v

а

0

0

0

τ

τ

х

τ

0

x

y

φ

φ1

φ2

φ1 – φ2

A2sinφ2

A1sinφ1

A1cosφ1

A2cosφ2

α

0

x

y

y

x

A1

A2

0

y

x

α

d

L

O

C

mg

O1

α

m

mg


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

86273. Отопление и вентиляция жилого четырехэтажного здания 283.5 KB
  Расчетные параметры наружного воздуха; Расчетные параметры внутреннего воздуха; Теплотехнический расчет ограждающих конструкций: Теплотехнический расчет стены; Теплотехнический расчет чердачного перекрытия; Теплотехнический расчет перекрытия над не отапливаемым подвалом; Теплотехнический расчет окна; Тепловой баланс помещений///
86274. Технологический процесс сборки опоры вентилятора с валом 4.33 MB
  В ГТД подшипники опор работают в условиях сравнительно высоких радиальных и осевых нагрузок, высоких окружных скоростей. Кроме того, на работоспособность подшипников оказывают значительное влияние такие факторы, как температурное состояние опоры, организация подачи смазки на тела качения...
86275. Система автоматического регулирования температуры в теплообменнике 574.38 KB
  Структурная схема нелинейной системы. Функциональная схема Для построения структурной схемы системы автоматического регулирования рассмотрим каждый элемент функциональной схемы и определим его передаточную функцию. Описание процесса регулирования системы В рассматриваемой системе автоматического регулирования...
86276. Разработка проекта системы цифрового наземного телевизионного вещания на территории с ИЖС застройкой села Репное 2.43 MB
  В ходе курсового проекта необходимо решить задачу обеспечения села Репное и всей территории с ИЖС застройкой в районе села уверенным приёмом ТВ сигнала. В качестве источников сигнала используют традиционные головные станции которые применяются и при построении сетей кабельного телевидения СКТ.
86277. Планирование ремонтов оборудования деревообрабатывающего цеха 91.01 KB
  В данной работе выполнено планирование ремонтов оборудования; проведён расчёт трудозатрат запчастей материалов; определена загрузка оборудования ремонтного цеха составлен план ремонтного цеха. Продолжительность ремонтного цикла оборудования...
86279. Разработка проекта системы наземного телевизионного вещания на территории города Строитель Белгородской области 5.66 MB
  Неудовлетворительное качество приема телевидения часто наблюдается у жителей крупных городов, которые застраиваются железобетонными домами разной этажности, среди них встречаются здания повышенной этажности. В связи с этим может образовываться большое количество зон радиотени и интенсивных отраженных сигналов.
86280. Разработка проекта системы наземного телевизионного вещания на территории поселка Красная Яруга Белгородской области 1.9 MB
  От правильного выбора технологии доставки телевизионного контента в город в конечном итоге зависят затраты на строительство и качество каналов передачи, функционирование линии в целом. Такая задача имеет многовариантный характер, так как при одних и тех же затратах на построение и сооружение коаксиальных...
86281. Разработка приложения Windows, реализующего алгоритмы обработки данных 3.43 MB
  Программа предназначена для выполнения алгоритмов над структурами данных, а именно: поиск цикла во взвешенном графе, среднее геометрическое весов ребер которого будет наименьшим; поиск наибольшего поддерева в дереве, у каждого элемента которого может быть произвольное число потомков...