73216

Механические колебания

Лекция

Физика

Если колебания происходят под воздействием только одной возвращающей силы их называют свободными или собственными колебаниями. Свободные колебания являются незатухающими если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.

Русский

2014-12-05

331 KB

1 чел.

Лекция №20. Механические колебания.

I. Гармоническое колебательное движение.

Колебательными процессами называют процессы, повторяющиеся через одинаковые промежутки времени.

В случае механических колебаний повторяются изменения положений, скоростей и ускорений каких-либо тел или частей тел.

Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой.

Если колебания происходят под воздействием только одной возвращающей силы, их называют свободными или собственными колебаниями. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).

Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса.

Для ознакомления с величинами, характеризующими колебательный процесс, рассмотрим физическую модель.

Предположим, что точка В равномерно движется по окружности со скоростью V. Убедимся, что проекция этой точки на диаметр СД будет совершать гармонические колебания около точки О, соответствующей положению равновесия.

Смещение Х (от положения равновесия) – расстояние между проекцией точки В и положением равновесия О (ОХ).

Амплитуда колебания А – максимальное смещение точки от положения равновесия (ОС).

Период Т – время одного полного колебания (в данном случае – время возвращения точки В в исходное состояние).

В начальный момент времени точка находится в положении В.

Через время , она переместилась в точку Е, радиус повернули на угол β:

β = ω∙,

где ω – угловая скорость радиуса ОВ.

Если отсчет производили от горизонтального диаметра, то

α = β + φ

или    α = ωt + φ        (1)

Находим смещение Х:

x = A∙sin(ωt + φ)       (2)

Получено уравнение гармонического колебания. Величина α = ωt + φ называется фазой колебания. Она измеряется в угловых единицах и показывает состояние колебательной системы в любой момент времени . Угол φначальная фаза колебания. 

Угловую скорость определим из условия:

Один оборот (2 радиан) радиус совершит за время Т.

       (3)

Величина ω называется круговой, или циклической частотой колебаний.

Число колебаний за 1, т.е. величина обратная периоду колебаний, называется частотой (измеряется в герцах – Гц):

       (4)

Графически зависимость смещения Х от времени в соответствии с уравнением (2) представляет собой синусоиду.

II. Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении.

Смещение колеблющейся материальной точки определяется уравнением:

x = Asin(ωt + φ);

тогда скорость определим:

        (5)

V = Aωsin(ωt + φ + π/2);

а ускорение:

       (6)

[a = Aω2sin(ωt + φ + π)]

Из выведенных уравнений следует, что скорость или ускорение при колебательном движении являются периодическими функциями от с периодом колебания, равным T. Из графика видно, что фаза скорости отстает от фазы смещения на π/2, а фаза ускорения – на .

Рассмотрим пример и получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Пусть масса m может скользить по поверхности без трения. Она соединена с боковой стенкой через пружину с жесткостью k и длиной в нерастянутом состоянии а0.

Тогда возвращающая сила F, согласно закону Гука равна:

F= -kx         (7)

По второму закону Ньютона сила F равна

F = ma,        (8)

где m – масса колеблющейся точки;

а – ускорение колеблющейся точки.

Учитывая, что ускорение  запишем:

или           (9)

Решением этого дифференциального уравнения является функция

x = Asin(ωt + φ)       (10)

Таким образом, колебания такой системы будут гармоническими. (Если сжатие пружины происходит в пределах закона Гука).

III. Затухающие колебания.

Все реальные собственные колебания тел являются затухающими. Потери энергии в механических системах происходят из-за её рассеяния (например: за счет трения). Во многих случаях силы, вызывающие затухания колебаний, пропорциональны скорости.

      (11)

Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

      (12)

Решением такого уравнения служит уравнение вида:

x = A0e-δτsin(ωt + φ),            (13)

где – коэффициент затухания.

Скорость затухания колебаний определяется величиной :

,       (14)

где – логарифмический декремент затухания (физический смысл – время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз).

IV. Энергия гармонического колебательного движения.

Скорость колеблющейся массы m непостоянна, поэтому кинетическая и потенциальная энергии ее будут переменны.

Потенциальная энергия dW = -Fdx

       (15)

Учитывая что, F = -kx, запишем:

подставим: k = 2; x = Asin(ωt + φ)

Окончательно:

     (16)

Кинетическая энергия:

     (17)

Полная энергия равна сумме Wк + Wп:

      (18)

Следовательно, полая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды и не зависит от времени (постоянна в процессе незатухающих колебаний).

V. Вынужденные колебания. Резонанс.

Рассмотрим случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

Fвн = F0sinωt        (19)

ω – вынуждающая циклическая частота.

Возвращающая сила, обеспечивающая колебания, как и прежде, равна:

F = -kx         (20)

Запишем II Закон Ньютона для колеблющейся массы:

Fвн + F = ma

Подставляя вместо Fвн ее значение и вместо а = -ω2x получаем:

F0sinωtkx = -2x;

откуда           (21)

Но известно, что k = 02,

где ω0 – собственная частота колебаний системы

     (22)

Сравнивания это выражение с выражением для обычных гармонических колебаний находим, что амплитуда такого колебания изменяется по закону:

     (23)

Как видно из уравнения (23), если вынуждающая частота приближается к собственной частоте колебаний, амплитуда увеличивается. Наступает Резонанс.

VI. Сложение одинаково направленных колебаний.

Складываются два одинаково направленных колебания одной частоты ω (или Т), но отличающихся начальной фазой (φ1 и φ2) и амплитудой (А1 и А2).

x1 = A1sin(ωt + φ1)

x2 = A2sin(ωt + φ2)

Чтобы найти результирующее колебание надо найти А, φ и закон изменения x, т.е. ω.

Изобразим векторную диаграмму для нахождения результирующей А.

Если равномерно вращать (ω1 = ω2) систему векторов, то их проекции на ось ОУ будут совершать гармонические колебания, причем проекция , будет совершать колебания с той же частотой ω, следовательно, закон изменения x результирующего колебания тот же.

Амплитуду А находим по теореме косинусов:

A2 = A12 + A22 + A1A2cos(φ1 – φ2)     (24)

     (25)

Таким образом: x = Asin(ωt + φ), где

A и φ находятся из уравнений (24) и (25).

Следствие из (24):

1) если φ1 – φ2 = 2n,

где n = 0, 1, 2, 3, …, то cos1 – φ2) = 1;

А = А1 + А2 → колебания совпадают по фазе и усиливают друг друга;

2) если φ1 – φ2 = (2n + 1)∙, то cos1 – φ2) = –1 и А = А1 + А2 → колебания в противофазах ослабляют друг друга;

3) если φ1 – φ2 = (2n+1)∙, и А1 = А2 , то А = 0 → колебания гасят друг друга.

VI. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Пусть точка М одновременно колеблется в двух взаимно перпендикулярных направлениях, вдоль осей X и Y. Рассмотрим несколько случаев:

1) Составляющие колебания имеют:

ω1 = ω2 = ω

φ1 = φ2 = 0

А1 ≠ А2 

x = A1∙sinωt        (26)

y = A2∙sinωt        (27)

Находим траекторию движения, исключив из (26) и (27) t:

– уравнение прямой через начало координат (28)

Результирующее колебание S:

2) Составляющие колебания имеют:

ω1 = ω2 = ω

φ2 – φ1 =  (частный случай φ1 = 0; φ2 = π/2)

А1  А2 

Найдем траекторию движения (исключая t):

              (29)

Уравнение (29) – уравнение эллипса с полуосями А1 и А2;

если А1 = А2, то траектория – окружность.

3) Общий случай, когда:

А1 ≠ А2 

ω1ω2

φ1 – φ2 = φ

В этом случае колеблющаяся точка будет двигаться по кривым, называемым фигуры Лиссажу. Вид кривых зависит от соотношений амплитуд, частот и начальных фаз колебаний.

Примеры: (А1 = А2), (φ1 = φ2)

(а)

(б)


VII
. Примеры колебательных систем.

1. Пружинный маятник – тело, совершающее прямолинейные колебания (вдоль оси ОХ или ОУ) под действием упругой силы:

F = -kx,

где k – коэффициент упругости.

;

2. Математический маятник материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающее движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести:

3. Физический маятник – абстрактное твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести С.

, 

где  – приведённая длина физического маятника.

т. О1 – центр качания физического маятника

т.т. О и О1 обладают свойством взаимности (взаимозаменяемости).


m

a0

m

1,5

2,0

1,0

0,5

0

0

Авых

β

φ

α

α

Е

В

Д

0

С

В1

Е1

–А

Т

х

τ

А

Т

v

а

0

0

0

τ

τ

х

τ

0

x

y

φ

φ1

φ2

φ1 – φ2

A2sinφ2

A1sinφ1

A1cosφ1

A2cosφ2

α

0

x

y

y

x

A1

A2

0

y

x

α

d

L

O

C

mg

O1

α

m

mg


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36628. ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ЯЗЫКЕ ВЫСОКОГО УРОВНЯ 1015 KB
  1 Языки программирования Языки программирования делятся на 3 основных класса как показано на рис.3 Понятие алгоритма и его свойства Алгоритм это точное предписание о выполнении в определенном порядке некоторых операций приводящих к решению всех задач данного класса. Непосредственный предшественник C язык Си с классами появился в 1979 году а в 1997 году был принят международный стандарт C который фактически подвел итоги его 20летнего развития. Если мы говорим об объектноориентированной программе то она должна создать объект...
36629. РЕИНЖИНИРИНГ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ 2.09 MB
  При выстраивании системы управления и взаимодействия в одном процессе непременно придется захватить взаимодействие данного пилотного процесса с другими. Появление эффекта перетягивания одеяла когда руководитель пилотного процесса добивается регламентации и последующего выполнения совместных работ с точки зрения выгоды и преимуществ своего процесса а не всей организации. Воспользовавшись правом преимущественного создания регламентирующих документов владелец пилотного процесса может создать себе более льготные условия по обеспечению...
36630. Наплавка зуба ковша 2.5 MB
  Основным способом соединение деталей является дуговая электрическая сварка. Возможно что, совершенствование существующих способов сварки и резки металлов и их синтез дадут новый способ сварки в твердой фазе
36631. Лекции по финансам 399.5 KB
  А В Воздействует на ставка налога Социальная При помощи Д бюджета Достигается Военная Геополитика Национальная Экономическая Бюджетная Ценовая Таможенная Финансовая Денежная Кредитная Термин финансы возник в XV в. В последнее время стал применяться метод получивший название бюджета ориентированного на результат БОР. Сущность и содержание бюджета определяется функцией государства. Сущность бюджета проявляется в его функциях: Образование общегосударственного фонда денежных средств; Использование общегосударственного фонда денежных...
36632. Инкапсуляция. Уровень абстракции (программирование) 425 KB
  Компилируемые программы. Утверждается что известные визуальные средства разработки приложений Windows также компилируют программы однако это не совсем верно в действительности происходит компиляция только части программы и последующая компоновка программыинтерпретатора и Ркода в исполняемый модуль. Например Delphi не использует ни интерпретатор ни Ркод и создаёт действительно откомпилированные программы готовые для использования. Поэтому программы Delphi быстры и могут могут поставляться в виде единственного используемого модуля...
36633. Конспект сюжетного физкультурного занятия для детей старшего дошкольного возраста 34.5 KB
  Упражнять детей в подбрасывании мяча вверх двумя руками и ловле его в ходьбе отбивании мяча в ходьбе по гимнастической скамейке двумя руками ведении мяча змейкой между предметами поочередно каждой рукой добиваться ритмичности и четкости выполнения движений на каждый таг формировать чувство мяча соотносить силу удара с высотой полета мяча. Проводится комплекс общеразвивающих упражнений с мячами. В: прокатывание мяча между ладонями 6 7 раз. В: прыжки вокруг мяча в чередовании с ходьбой на месте 5x3 раза.
36634. Как устроен компьютер 50.5 KB
  Организационный момент психологический настрой 1 мин: На доске запущена презентация с загадкой: Напишу и сосчитаю ошибку укажу Я и музыку сыграю И картинку покажу Я хотя росточком мал Но большой универсал компьютер Тема нашего урока Как устроен компьютер слайд 2 Постановка целей урока 3 мин Что такое компьютер это универсальное устройство для хранения обработки и передачи информации Из каких устройств состоит компьютер системный блок монитор клавиатура мышь и др....
36635. Количество информации, как мера уменьшения неопределенности знаний 37.5 KB
  Тип урока: комбинированный Цели: Обучающая дать определение единицы измерения информации; развивающая развивать интерес к изучаемой теме логическое мышление; воспитывающая воспитывать у ребят дисциплинированность и внимательность на уроке. Тема нашего сегодняшнего занятия Количество информации как мера уменьшения неопределенности знаний. Процесс познания окружающего мира приводит к накоплению информации в форме знаний.
36636. Інструкція з безпеки праці 46.5 KB
  Тому дайте будьласка відповіді на такі питання: Назвіть основні положення кодексу законів про працю Назвіть основний закон що гарантує право громадян на безпечні та нешкідливі умови праці Що зобовязаний роботодавець забезпечити Які створює держава умови Які Ви знаєте законодавчі акти з охорони праці Активізація нового матеріалу: А темою уроку є Інструкція з безпеки праці. На уроках Виробничого навчання ми застосовуємо безпосередньо отриманні знання з охорони праці адже уявлення безпеки праці і виховування вміння до...