73216

Механические колебания

Лекция

Физика

Если колебания происходят под воздействием только одной возвращающей силы их называют свободными или собственными колебаниями. Свободные колебания являются незатухающими если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.

Русский

2014-12-05

331 KB

1 чел.

Лекция №20. Механические колебания.

I. Гармоническое колебательное движение.

Колебательными процессами называют процессы, повторяющиеся через одинаковые промежутки времени.

В случае механических колебаний повторяются изменения положений, скоростей и ускорений каких-либо тел или частей тел.

Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой.

Если колебания происходят под воздействием только одной возвращающей силы, их называют свободными или собственными колебаниями. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).

Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса.

Для ознакомления с величинами, характеризующими колебательный процесс, рассмотрим физическую модель.

Предположим, что точка В равномерно движется по окружности со скоростью V. Убедимся, что проекция этой точки на диаметр СД будет совершать гармонические колебания около точки О, соответствующей положению равновесия.

Смещение Х (от положения равновесия) – расстояние между проекцией точки В и положением равновесия О (ОХ).

Амплитуда колебания А – максимальное смещение точки от положения равновесия (ОС).

Период Т – время одного полного колебания (в данном случае – время возвращения точки В в исходное состояние).

В начальный момент времени точка находится в положении В.

Через время , она переместилась в точку Е, радиус повернули на угол β:

β = ω∙,

где ω – угловая скорость радиуса ОВ.

Если отсчет производили от горизонтального диаметра, то

α = β + φ

или    α = ωt + φ        (1)

Находим смещение Х:

x = A∙sin(ωt + φ)       (2)

Получено уравнение гармонического колебания. Величина α = ωt + φ называется фазой колебания. Она измеряется в угловых единицах и показывает состояние колебательной системы в любой момент времени . Угол φначальная фаза колебания. 

Угловую скорость определим из условия:

Один оборот (2 радиан) радиус совершит за время Т.

       (3)

Величина ω называется круговой, или циклической частотой колебаний.

Число колебаний за 1, т.е. величина обратная периоду колебаний, называется частотой (измеряется в герцах – Гц):

       (4)

Графически зависимость смещения Х от времени в соответствии с уравнением (2) представляет собой синусоиду.

II. Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении.

Смещение колеблющейся материальной точки определяется уравнением:

x = Asin(ωt + φ);

тогда скорость определим:

        (5)

V = Aωsin(ωt + φ + π/2);

а ускорение:

       (6)

[a = Aω2sin(ωt + φ + π)]

Из выведенных уравнений следует, что скорость или ускорение при колебательном движении являются периодическими функциями от с периодом колебания, равным T. Из графика видно, что фаза скорости отстает от фазы смещения на π/2, а фаза ускорения – на .

Рассмотрим пример и получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Пусть масса m может скользить по поверхности без трения. Она соединена с боковой стенкой через пружину с жесткостью k и длиной в нерастянутом состоянии а0.

Тогда возвращающая сила F, согласно закону Гука равна:

F= -kx         (7)

По второму закону Ньютона сила F равна

F = ma,        (8)

где m – масса колеблющейся точки;

а – ускорение колеблющейся точки.

Учитывая, что ускорение  запишем:

или           (9)

Решением этого дифференциального уравнения является функция

x = Asin(ωt + φ)       (10)

Таким образом, колебания такой системы будут гармоническими. (Если сжатие пружины происходит в пределах закона Гука).

III. Затухающие колебания.

Все реальные собственные колебания тел являются затухающими. Потери энергии в механических системах происходят из-за её рассеяния (например: за счет трения). Во многих случаях силы, вызывающие затухания колебаний, пропорциональны скорости.

      (11)

Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

      (12)

Решением такого уравнения служит уравнение вида:

x = A0e-δτsin(ωt + φ),            (13)

где – коэффициент затухания.

Скорость затухания колебаний определяется величиной :

,       (14)

где – логарифмический декремент затухания (физический смысл – время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз).

IV. Энергия гармонического колебательного движения.

Скорость колеблющейся массы m непостоянна, поэтому кинетическая и потенциальная энергии ее будут переменны.

Потенциальная энергия dW = -Fdx

       (15)

Учитывая что, F = -kx, запишем:

подставим: k = 2; x = Asin(ωt + φ)

Окончательно:

     (16)

Кинетическая энергия:

     (17)

Полная энергия равна сумме Wк + Wп:

      (18)

Следовательно, полая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды и не зависит от времени (постоянна в процессе незатухающих колебаний).

V. Вынужденные колебания. Резонанс.

Рассмотрим случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

Fвн = F0sinωt        (19)

ω – вынуждающая циклическая частота.

Возвращающая сила, обеспечивающая колебания, как и прежде, равна:

F = -kx         (20)

Запишем II Закон Ньютона для колеблющейся массы:

Fвн + F = ma

Подставляя вместо Fвн ее значение и вместо а = -ω2x получаем:

F0sinωtkx = -2x;

откуда           (21)

Но известно, что k = 02,

где ω0 – собственная частота колебаний системы

     (22)

Сравнивания это выражение с выражением для обычных гармонических колебаний находим, что амплитуда такого колебания изменяется по закону:

     (23)

Как видно из уравнения (23), если вынуждающая частота приближается к собственной частоте колебаний, амплитуда увеличивается. Наступает Резонанс.

VI. Сложение одинаково направленных колебаний.

Складываются два одинаково направленных колебания одной частоты ω (или Т), но отличающихся начальной фазой (φ1 и φ2) и амплитудой (А1 и А2).

x1 = A1sin(ωt + φ1)

x2 = A2sin(ωt + φ2)

Чтобы найти результирующее колебание надо найти А, φ и закон изменения x, т.е. ω.

Изобразим векторную диаграмму для нахождения результирующей А.

Если равномерно вращать (ω1 = ω2) систему векторов, то их проекции на ось ОУ будут совершать гармонические колебания, причем проекция , будет совершать колебания с той же частотой ω, следовательно, закон изменения x результирующего колебания тот же.

Амплитуду А находим по теореме косинусов:

A2 = A12 + A22 + A1A2cos(φ1 – φ2)     (24)

     (25)

Таким образом: x = Asin(ωt + φ), где

A и φ находятся из уравнений (24) и (25).

Следствие из (24):

1) если φ1 – φ2 = 2n,

где n = 0, 1, 2, 3, …, то cos1 – φ2) = 1;

А = А1 + А2 → колебания совпадают по фазе и усиливают друг друга;

2) если φ1 – φ2 = (2n + 1)∙, то cos1 – φ2) = –1 и А = А1 + А2 → колебания в противофазах ослабляют друг друга;

3) если φ1 – φ2 = (2n+1)∙, и А1 = А2 , то А = 0 → колебания гасят друг друга.

VI. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Пусть точка М одновременно колеблется в двух взаимно перпендикулярных направлениях, вдоль осей X и Y. Рассмотрим несколько случаев:

1) Составляющие колебания имеют:

ω1 = ω2 = ω

φ1 = φ2 = 0

А1 ≠ А2 

x = A1∙sinωt        (26)

y = A2∙sinωt        (27)

Находим траекторию движения, исключив из (26) и (27) t:

– уравнение прямой через начало координат (28)

Результирующее колебание S:

2) Составляющие колебания имеют:

ω1 = ω2 = ω

φ2 – φ1 =  (частный случай φ1 = 0; φ2 = π/2)

А1  А2 

Найдем траекторию движения (исключая t):

              (29)

Уравнение (29) – уравнение эллипса с полуосями А1 и А2;

если А1 = А2, то траектория – окружность.

3) Общий случай, когда:

А1 ≠ А2 

ω1ω2

φ1 – φ2 = φ

В этом случае колеблющаяся точка будет двигаться по кривым, называемым фигуры Лиссажу. Вид кривых зависит от соотношений амплитуд, частот и начальных фаз колебаний.

Примеры: (А1 = А2), (φ1 = φ2)

(а)

(б)


VII
. Примеры колебательных систем.

1. Пружинный маятник – тело, совершающее прямолинейные колебания (вдоль оси ОХ или ОУ) под действием упругой силы:

F = -kx,

где k – коэффициент упругости.

;

2. Математический маятник материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающее движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести:

3. Физический маятник – абстрактное твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести С.

, 

где  – приведённая длина физического маятника.

т. О1 – центр качания физического маятника

т.т. О и О1 обладают свойством взаимности (взаимозаменяемости).


m

a0

m

1,5

2,0

1,0

0,5

0

0

Авых

β

φ

α

α

Е

В

Д

0

С

В1

Е1

–А

Т

х

τ

А

Т

v

а

0

0

0

τ

τ

х

τ

0

x

y

φ

φ1

φ2

φ1 – φ2

A2sinφ2

A1sinφ1

A1cosφ1

A2cosφ2

α

0

x

y

y

x

A1

A2

0

y

x

α

d

L

O

C

mg

O1

α

m

mg


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82146. «Чернобыльская зона» Вечер-реквием ко Дню ликвидатора 59 KB
  Все ликвидаторы аварии на Чернобыльской АЭС 1986-1990 годов достойны того, чтобы их бескорыстный пример долга был примером для наших потомков, об этом подвиге знали, помнили и с благодарностью вспоминали их имена. Слово предоставляется участнику ликвидации последствий аварии на Чернобыльской...
82147. Позакласний захід «Математика із зірками» 464.5 KB
  На картках математиків написане квадратне рівняння на картках учнів корені відповідного квадратного рівняння. Потрібно утворити пару так щоб корені були розв’язками відповідного квадратного рівняння. Математик у голос зачитує квадратне рівняння а учні розв’язуючи знаходять відповідні корені даного рівняння.
82148. Повторення та узагальнення вивченого про займенник. Творча робота над вживанням займенників 35.5 KB
  Мета: повторити й узагальнити вивчене про займенник провести підготовку до контрольної роботи; розвивати вміння використовувати займенники у мовленні; виховувати працелюбність бажання вести здоровий спосіб життя; спонукати до творчості реалізувати потреби учнів у спілкуванні.
82149. Інтелектуальна гра за творчістю Тараса Григоровича Шевченка «Зіркова година» 32 KB
  Кожен учасник отримує по три картки з цифрами 123 для відповідей. За правильну відповідь кожен отримує зірочку. Кожен відкриває для себе щось нове в даній постаті. Завдячуючи Тарасу Григоровичу кожен з нас повинен зрозуміти: людина творець своєї долі.
82150. Перехід проїзної частини дороги за різних умов 90.5 KB
  Мета: Ознайомлення учнів з основами організації дорожнього руху структурними елементами вулиці та дороги технічними засобами організації дорожнього руху прищеплення розуміння необхідності суворого дотримання встановлених правил поведінки на дорозі вироблення навичок спостережливості...
82151. Будь чистым и аккуратным (Как подружиться с королевой Гигиеной) 489 KB
  Кто хочет быть здоровым никогда не болеть Но одного желания мало Что надо делать чтобы всегда хорошо выглядеть быть здоровым А что это за письмо пришло нам конверт с письмом обратный адрес: Замарашкина Никогда не мойте руки Шею уши и лицо. Вновь испачкаются руки Шея уши и лицо. Игра Так я мою руки.
82152. Харчування та здоров’я 2.06 MB
  Мета: Пояснити учням значення харчування для здоров’я, розширити уявлення про різноманітність харчових продуктів, вчити дітей правильно харчуватися, розвивати культурно-гігієнічні навички поведінки під час прийому їжі, прищеплювати естетичні смаки щодо сервірування столу, прикрашання страв.
82153. СОНЦЕ: КОРИСНЕ ТА ШКІДЛИВЕ. ПРАВИЛА ПОВЕДІНКИ ПІД ЧАС ВІДПОЧИНКУ НА ВОДІ 492 KB
  Мета: розповісти учням про правила безпечної поведінки біля води; ознайомити учнів із впливом сонячних променів на організм людини, способами запобігання й надання допомоги у разі сонячного удару; виховувати обережність. Формувати розуміння того, що тільки від власної поведінки залежить життя...
82154. ЗДОРОВО БУТИ ЗДОРОВИМ 64.5 KB
  Навчати дітей веденню здорового способу життя; формувати навички доброзичливого спілкування; поглиблювати знання про правила загартування; розвивати прагнення до вживання національних страв як засобу збереження і зміцнення здоров’я.