7334

Магнитное поле в вакууме. Закон Био-Савара-Лапласа

Лекция

Физика

Тема: Магнитное поле в вакууме. Закон Био-Савара-Лапласа Магнитное поле тока. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей. 2. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитного поля: Магнитное по...

Русский

2013-01-21

124 KB

130 чел.

Тема: Магнитное поле в вакууме. Закон Био-Савара-Лапласа

  1.  

  1.  Магнитное поле тока. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей.

;

2. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитного поля:

  1.  

  1.  Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

  1.  

  1.   Магнитное поле кругового тока (на его оси).

 

Магнитный момент контура с током.

  1.  

3. Действие магнитного поля на проводник с током. Закон Ампера.

4. Определение силы тока 1А

1. Магнитное поле тока. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей.

Сведения о магнетизме, накопленные к началу XIX века, позволяли предположить, что магнитные явления тесно связаны с электрическими явлениями. Первым шагом в выяснении природы магнитных явлений стало открытое в 1820г. датским ученым Эрстедом явление отклонения магнитной стрелки, расположенной около проводника с электрическим током. На основании этого и многочисленных последующих опытов был сделан вывод о том, что вокруг проводника с током возникает силовое поле (магнитное поле), действующее на магнитную стрелку. Т.к. ток проводимости представляет собой поток электронов, то естественно было предположить, что магнитное поле порождается потоком движущихся электронов. Однако многочисленные опыты с конвекционным током, током в вакууме показали, что магнитное поле не зависит от характера заряда и определяется только величиной и направлением тока. Магнитное поле порождается любыми движущимися зарядами.

Покоящиеся заряды взаимодействуют посредством электрического поля. Это взаимодействие сохраняется при любом движении зарядов. Однако при движении зарядов возникает магнитное поле, обусловливающее появление дополнительного магнитного взаимодействия.

Для исследования магнитного поля используется малая плоская рамка с током, так называемый элементарный контур с током. По действию магнитного поля на контур с током судят о величине и направлении магнитной индукции . Магнитная индукция является силовой характеристики магнитного поля и единицей ее измерения является 1Тл.

После открытия Эрстеда начались интенсивные исследования магнитного поля. Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар в 1820г. исследовали магнитное поле, создаваемое постоянным током, текущим по проводникам различной формы. Они установили основные закономерности, но им не удалось получить общий закон, позволяющий рассчитывать индукцию поля, создаваемого проводниками произвольной формы. Эта задача была решена французским же ученым П. Лапласом, который обобщил результаты исследований Ж. Био и Ф.Савара в виде закона (закон Био-Савара-Лапласа)

, (1)

где – магнитная постоянная, Гн (генри) – единица измерения индуктивности, I – сила тока в проводнике, r – радиус-вектор, проведенный от бесконечно малого элемента dl проводника в рассматриваемую точку А.

Закон Био-Савара-Лапласа определяет индукцию  магнитного поля, создаваемого элементом проводника с током I в точке А с радиус-вектором .

По правилу векторного произведения вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы  и , и его направление определяется правилом правого винта. Если радиус-вектор  вращать вокруг элемента , то конец радиус-вектора опишет окружность, в каждой точке которой индукция будет иметь одинаковые значения. Эта окружность называется линией магнитной индукции или силовой линией. Таким образом, линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности, охватывающие проводник с током. Численное значение магнитной индукции определяется формулой

. (2)

П. Лаплас применил к магнитному полю принцип суперпозиции, который в данном случае гласит:

магнитная индукция  в каждой точке поля, создаваемого любым проводником с током, равна векторной сумме индукций  полей, создаваемых каждым элементом  этого проводника.

С учетом принципа суперпозиции, магнитная индукция, создаваемая некоторым проводником с постоянным током определяется интегрированием формулы (1) по всей длине проводника.

. (3)

2. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитного поля:

2.1 Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Получим формулу для магнитной индукции В поля, создаваемого проводником с током I в точке А, удаленной от оси проводника на расстояние а. Элемент проводника создает в этой точке магнитную индукцию , определяемую законом Био-Савара-Лапласа (1). Из рисунка видно, что векторы  полей, создаваемых в точке А всеми элементами , имеют одинаковые направления, как показано на рисунке. Поэтому сложение векторов  можно заменить сложением их модулей. В этом случае формула (3) будет иметь следующий вид

. (4)

Приведем подынтегральное выражение к одной переменной φ. Вследствие малости величины можно записать следующее соотношение  (5). Кроме этого из треугольника OAM следует, что  (6). Подстановка (5) и (6) в (4) приводит к следующему выражению

, (7)

где φ1 и φ2 – углы между радиус-векторами концов проводника и направлением тока. Интегрируя выражение (7) получим формулу для магнитной индукции, создаваемой прямолинейным проводником конечной длины на некотором расстоянии а

. (8)

Из рисунка видно, что для расстояний а много меньших длины проводника φ1≈0, а φ2π. В этом случае проводник можно рассматривать бесконечно длинным и магнитную индукцию в точке А определить по формуле

. (9)

2.2 Магнитное поле кругового тока. Магнитный момент контура с током.

Получим формулу для магнитной индукции, создаваемой круговым витком с током I, в некоторой точке А, лежащей на оси витка на расстоянии а от его центра.

Любые два диаметрально противоположные, равные по длине элемента  создают в точке А поля с равными индукциями

. (10)

Вектор результирующей магнитной индукции поля этих двух элементов лежит на оси витка и его модуль равен

. (11)

Магнитная индукция В поля, создаваемого в точке А всем витком, определится интегрированием выражения (11)

. (12)

Выразив r через радиус R витка и расстояние а от центра витка до точки А, получим формулу более удобную для расчетов

. (13)

Магнитным моментом плоского замкнутого контура с током I называется вектор , определяемый формулой

, (14)

где S – площадь поверхности, ограниченной контуром (или площадь конура),  – единичный вектор нормали к плоскости контура. Направление вектора  связано с направлением тока в витке правилом правого винта. Этим же правилом определяется направление вектора магнитной индукции. Поэтому формулу (13) для магнитной индукции на оси рассматриваемого витка можно записать в следующем виде

. (15)

Если в формуле (13) расстояние а приравнять нулю, то можно получить формулу для магнитной индукции в центре кругового витка с током

. (16)

3. Действие магнитного поля на проводник с током. Закон Ампера.

Французский ученый А.Ампер, исследуя действие магнитного поля на различные проводники с электрическим током, установил закон (закон Ампера), по которому происходит это взаимодействие.

Сила, действующая на прямолинейный проводник с током со стороны однородного магнитного поля, равна произведению силы тока I в проводнике, длины проводника l, магнитной индукции В и синуса угла α между направлением тока и вектора магнитной индукции.

Математическая формула закона Ампера (силы Ампера) имеет следующий вид

(17).

Направление действия силы Ампера определяется правилом правого винта (или левой руки).

В случае проводника произвольной формы, помещенного в неоднородное магнитное поле, формулу (17) записывают для бесконечно малого элемента dl проводника, в пределах которого проводник можно считать прямолинейным, а поле однородным. В этом случае формула закона Ампера имеет вид

(18),

или в векторной форме    (19).

Для того, чтобы вычислить значение силы Ампера, действующей на весь проводник, формулу (19) интегрируют по всей длине проводника с учетом зависимости от координаты.

Из формул (17-19) следует, что если проводник расположен перпендикулярно вектору , то сила Ампера будет максимальной и равной

(20).

Выразив из последней формулы величину В, получим ее размерность и единицу измерения

(21) .

Можно дать такой физический смысл магнитной индукции

магнитная индукция это векторная физическая величина, численно равная силе, действующей со стороны магнитного поля на единицу длины проводника, по которому течет ток силой 1 А.

Таким образом, магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля.

6. Определение силы тока 1А

Расположим два длинные прямолинейные проводника с токами I1 и I2, в вакууме на расстоянии а друг от друга. Получим формулу для силы FA2, действующей на проводник с током I2 со стороны проводника с током I1. Очевидно, что это будет сила Ампера, которая определяется формулой

, (22)

где l – длина второго проводника, а В1 – магнитная индукция, создаваемая первым током в точке, где находится второй проводник. С учетом формулы (9) для искомой силы получим

. (23)

Отметим, что такая же по величине, но противоположно направленная сила FA1 будет действовать на первый проводник. Т.е. при совпадении направлений токов в проводниках они будут притягиваться друг к другу.

Из формулы (23) следует, что если по проводникам текут токи 1А и расстояние между ними равно 1м, то сила, действующая на единицу длины проводника, будет равна

. (24)

На основании полученного результата можно дать следующее определение для силы тока 1А:

1А – это сила такого тока, который проходя по двум длинным, параллельным проводникам, расположенным в вакууме на расстоянии 1м друг от друга, вызывает их взаимодействие с силой 2∙10-7 Н на каждый метр длины.

Вопросы для самопроверки:

  1.  Что такое магнитное поле? Какой характеристикой магнитного поля является магнитная индукция?
  2.  Записать математическую формулу закона Био-Савара-Лапласа и дать определение. Какой вид имеют линии вектора ?
  3.  Вывести формулу для магнитной индукции прямолинейного проводника с током.
  4.  Вывести формулу для магнитной индукции в центре кругового витка с током.
  5.  Какая сила действует на проводник с током в магнитном поле?
  6.  Дать определение силы тока 1А.


dl

r

α

I

dB

B

A

проводник

I

A

M

O

dBφ

r

а

dl

dφ

φ2

φ1

φ

I

β

dB1+dB2

dl1

dl2

dB1

A

R

a

r

dB2

dl

α

dF

B

I1

I2

FA2

B1

а

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18522. Методы формирования математической модели схемы 301.5 KB
  Лекция 2 Методы формирования математической модели схемы Математическая модель далее будет использоваться сокращение ММ – это совокупность объектов в виде чисел векторов и связей между ними которая отражает существенные с точки зрения проектировщика свойства
18523. Алгоритмы решения математической модели БИС по постоянному току 301.5 KB
  Лекция 3 Алгоритмы решения математической модели БИС по постоянному току Существует несколько способов решения задачи анализа по постоянному току: Первый способ заключается в решении систем уравнений вида: F x = 0
18524. Методы решения ММ БИС во временной области. (динамический анализ) 122.5 KB
  Лекция 4 Методы решения ММ БИС во временной области. динамический анализ Задача Коши Пусть t = ft 1 при условии xa=x0 при . Основное предположение относит...
18525. Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации Ньютона-Рафсона 108.5 KB
  Лекция 5 Анализ многошаговой формулы интегрирования Метод простых итераций. Метод ускоренных итераций Итерации НьютонаРафсона. Обратные итерации При неявных методах интегрирования ОДУ возникают нелинейные алгебраические уравнения. Возвратимся к общему виду лине...
18526. Анализ чувствительности 146 KB
  Лекция 6 Анализ чувствительности. Задача расчёта коэффициентов чувствительности выходных параметров схемы логических уровней статической помехозащищённости времени задержки сигнала и т.д. к изменению её входных параметров т.е. параметров компонентов – сопротив...
18527. Оптимизация. Классификация методов оптимизации 329 KB
  Лекция 7 Оптимизация Сформулируем задачу оптимизации как задачу поиска экстремума целевой функции ФР. Классификация методов оптимизации 1. По числу параметров: одномерная оптимизация; многомерная оптимизация. 2. По использованию производных:
18528. Способы хранения разреженных матриц 79.5 KB
  Способы хранения разреженных матриц Разреженные матрицы целесообразно хранить таким образом чтобы обеспечить экономию памяти и числа операций необходимы для преобразования матрицы в процессе решения линейной системы а также простоту доступа к любому элементу ма
18529. Меры погрешности решения 359 KB
  Меры погрешности решения Пусть x вычисленное решение СЛАУ Ax=b. Существуют две общеупотребительные меры погрешности в х: вектор ошибки е = х х 1 и невязка r = b Ax = Ax x = Ae
18530. Основні прийоми роботи та підготовки документів в системі MATHCAD 411.5 KB
  Мат. моделювання в САПР. Основні прийоми роботи та підготовки документів в системі MATHCAD. Основні прийоми роботи та підготовки документів в системі MATHCAD. Методичні матеріали до лабораторної роботи № 1 з курсу: €œМатематичне моделювання в САПР€ для студенті