7335

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме

Лекция

Физика

Тема: Закон полного тока для магнитного поля в вакууме Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора магнитной индукции. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме Применение закона полного тока к расчету магнитного ...

Русский

2013-01-21

85.5 KB

94 чел.

Тема: Закон полного тока для магнитного поля в вакууме

  1.  

  1.  Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора магнитной индукции.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме

  1.  Применение закона полного тока к расчету магнитного пол

  1.  

  1.  Магнитное поле тороида (тороидальной катушки)

  1.  

  1.  Магнитное поле соленоида

  1.  Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора магнитной индукции. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме

Раньше было показано, что линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой концентрические окружности, охватывающие проводник. Можно показать, что это имеет место для магнитного поля любого тока. То есть силовые линии магнитного поля замкнуты. Поля с замкнутыми силовыми линиями называются вихревыми. Следовательно, магнитное поле является вихревым. В этом состоит отличие магнитного поля от электростатического, силовые линии которого не замкнуты.

Циркуляцией вектора  по замкнутому контуру  L называется интеграл вида

, (1)

где dlэлемент контура.

Вычислим циркуляцию вектора  по некоторому замкнутому контуру L c радиусом α, охватывающему проводник с силой тока I. Для простоты расчетов выберем длинный проводник, и рассматриваемый контур совместим с одной из силовых линий. В этом случае любой из элементов контура будет совпадать по направлению с вектором , значение магнитной индукции в любой точке контура будет одинаковым и интеграл (1) имеет вид

. (2)

Магнитная индукция, создаваемая длинным проводником с силой тока I на расстоянии α, определяется известной формулой

. (3)

Подставив формулу (3) в формулу (2) для циркуляции получим

. (4)

Повторив приведенный вывод для другого контура, с другим  радиусом, можно убедиться, что циркуляция не зависит от его размера. Можно также показать, что циркуляция не зависит и от формы контура, главное, чтобы контур охватывал проводник с током. Таким образом, формула (4) справедлива для любого контура, охватывающего проводник с током. Циркуляция вектора магнитной индукции по контуру L, охватывающему N проводников с токами Ii, с учетом принципа суперпозиции, определится формулой

, (5)

где – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L.

Формула (5) является математической формулой закона полного тока для магнитного поля в вакууме, которому можно дать такое определение

циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром.

При этом каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Например, для приведенного на рисунке случая . Если контур не охватывает ток, то циркуляция вектора  по такому контуру равна нулю.

Закон полного тока справедлив не только в вакууме, но в любой среде. Он позволяет вычислять индукцию магнитного поля без применения закона Био-Савара-Лапласа, что намного облегчает вычисления.

  1.  Применение закона полного тока к расчету магнитного поля
    1.  Магнитное поле тороида (тороидальной катушки)

Тороидом называется кольцевая катушка, витки которой намотаны на каркас, имеющий форму тора («бублика»). На рисунке показано сечение тороида плоскостью, проходящей через его осевую линию. Для простоты положим, что витки плотно прилегают друг к другу и намотаны из провода, диаметр которого много меньше радиуса тороида. В этом случае линии магнитной индукции будут иметь форму окружностей, центры которых лежат на прямой, проходящей через центр тороида, и перпендикулярной плоскости чертежа. Применение закона полного тока сводится к выбору контура и расчету циркуляции. По закону полного тока контур может быть любой формы и любых размеров. Для простоты расчетов мы будем выбирать контуры, совпадающие с линиями магнитной индукции. Тогда в любой точке выбранного контура значение магнитной индукции будет одинаковым, и циркуляция будет равна

. (6)

Применив закон полного тока, получим

. (7)

Если rr1, то такой контур не охватывает токов, =0, циркуляция равна нулю и В=0. Если rr2, то при числе витков равном N контур будет охватывать 2N  проводников с током. Причем, в N из них ток течет в одном направлении, а в Nв противоположном. Алгебраическая сумма токов во всех проводниках будет равна нулю, циркуляция будет равна нулю и В=0. Таким образом, вне тороида магнитное поле отсутствует, оно сосредоточено (локализовано) в области r1<r<r2. Контур радиуса r, лежащий внутри тороида, охватывает  N  проводников с током I одного направления. Поэтому по формуле (7) для магнитной индукции внутри тороида получим

или . (8)

Магнитная индукция на осевой линии тороида определяется формулой

или , (9)

где  – число витков на единицу длины.

  1.  Магнитное поле соленоида

Если неограниченно увеличивать средний радиус  тороида, сохраняя неизменным диаметр обмотки и густоту витков n, то в пределе получится бесконечно длинная прямая катушка, называемая соленоидом. Магнитная индукция вне соленоида отсутствует, как и у тороида оно сосредоточено внутри. Причем линии магнитной индукции направлены параллельно оси. Для нахождения магнитной индукции поля соленоида выделим мысленно  участок конечной длины l и проведем контур 1-2-3-4-1. Циркуляцию вектора  по этому контуру можно представить как сумму циркуляций по отдельным участкам

. (10)

На участках 1-2 и 3-4 элементы контура перпендикулярны вектору , поэтому первый и третий интегралы равны нулю (см. формулу (1)). Участок 4-1 лежит вне соленоида, где магнитная индукция равна нулю, поэтому четвертый интеграл в формуле (10) также равен нулю. Следовательно, циркуляция магнитной индукции по контуру 1-2-3-4-1 равна

. (11)

Теперь применим закон полного тока (5)

, (12)

где N – число витков на длине l.

Из формулы (12) получим формулу для магнитной индукции соленоида

или . (13)

Как следует из формулы (13), магнитная индукция не зависит от расстояния. Следовательно, магнитное поле соленоида однородно.

На практике формула (13) применяется в случаях, когда диаметр d витков катушки много меньше ее длины l. Достаточно точные значения для магнитной индукции получаются при отношении .

Вопросы для самопроверки:

 

  1.  Какие поля называются вихревыми?
  2.  Что понимают под циркуляцией вектора?
  3.  Дайте определение закону полного тока для магнитного поля в вакууме.
  4.  Что такое соленоид? Какой формулой определяется магнитная индукция соленоида?  Каким является магнитное поле соленоида?


L

dl

I

B

I1

I2

I3

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

r1

rср

r2

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22111. Структурная схема конечного автомата 26.5 KB
  Комбинационная схема строится из логических элементов образующих функционально полную систему а память на элементарных автоматах обладающих полной системой переходов и выходов. Каждое состояние абстрактного автомата ai i=0n кодируется в структурных автоматах набором состояний элементов памяти Q2 R=1R. Здесь Q состояние автомата а ai = {0 1} Как и прежде Q Общее число необходимых элементов памяти можно определить из следующего неравенства 2R n 1.
22112. Табличный метод структурного синтеза конечных автоматов 75.5 KB
  На этапе структурного синтеза выбираем также способ кодирования состояний и выходных сигналов заданного автомата через состояния и выходные сигналы элементарных автоматов в результате чего составляют кодированные таблицы переходов и выходов. Функции возбуждения элементарных автоматов и функции выходов получаются на основе кодированной таблицы переходов и выходов. Рассмотрим примеры синтеза которые позволяют сформулировать общий алгоритм структурного синтеза конечных автоматов.
22113. Технические особенности конечных автоматов 36 KB
  Здесь u сигналы возбуждения триггера. На практике триггера часто выполняются в синхронном варианте синхронные триггера когда упомянутые элементы u включают в схему триггера. Например схему синхронного триггера RSтипа можно рассматривать как состоящую из асинхронного RSтриггера ко входам R и S которого подключены двухвходовые элементы И. Очевидно синхронные триггера будут сохранять свои состояния при С=0 а переходы в них возможны при С=1 то переходы в синхронном триггере будут осуществляться также как в асинхронном.
22114. Понятие устойчивости конечного автомата 48 KB
  Дело в том что триггера в схеме имеет различные времена задержек сигналов обратной связи которые поступают с выходов триггеров на их входы через комбинационную схему II. По этим причинам если при переходе автомата из состояния ai в as должны измениться состояния нескольких триггеров то между выходными сигналами этих триггеров начинаются гонки. изменит свое состояние раньше других триггеров может через цепь обратной связи изменить может изменить сигналы возбуждения на входах других триггеров до того момента как они изменят свои состояния....
22115. Синтез конечных автоматов 31.5 KB
  В ЦА выходные сигналы в данный момент времени зависят не только от значения входных сигналов в тот же момент времени но и от состояния схемы которое в свою очередь определяется значениями входных сигналов поступивших в предшествующие моменты времени. Понятие состояния введено в связи с тем что часто возникает необходимость в описании поведения систем выходные сигналы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени но и от некоторых предысторий т. Состояния как раз и соответствуют некоторой памяти о прошлом...
22116. Способы задания автомата 362 KB
  Существует несколько способов задания работы автомата но наиболее часто используются табличный и графический. Совмещенная таблица переходов и выходов автомата Мили: xj ai a0 an x1 a0x1 a0x1 anx1 anx1 xm a0xm a0xm anxm anxm Задание таблиц переходов и выходов полностью описывает работу конечного автомата поскольку задаются не только сами функции переходов и выходов но и также все три алфавита: входной выходной и алфавит состояний. Для задания автомата Мура требуется одна таблица поскольку в этом...
22117. Частичные автоматы 194 KB
  Оказывается что для любого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура и обратно для любого автомата Мура существует эквивалентный ему автомат Мили. Рассмотрим алгоритм перехода от произвольного конечного автомата Мили к эквивалентному ему автомату Мура. Требуется построить эквивалентный ему автомат Мура Sb = {Ab Xb Yb b b} у которого Xb = Xa Yb = Ya т. Для определения множества состояний Ab автомата Мура образуем всевозможные пары вида ai yg где yg выходной сигнал приписанный входящей в ai дуге.
22118. Абстрактный синтез конечных автоматов 25.5 KB
  Составить аналогичную таблицу описывающую работу конечного автомата не представляется возможным т. множество допустимых входных слов автомата вообще говоря бесконечно. Мы рассмотрим один из возможных способов формального задания автоматов а именно задание автомата на языке регулярных событий. Представление событий в автоматах.
22119. Операции в алгебре событий 24.5 KB
  Дизъюнкцией событий S1 S2 Sk называют событие S = S1vS2vvSk состоящее из всех слов входящих в события S1 S2 Sk. Произведением событий S1 S2 Sk называется событие S = S1 S2 Sk состоящее из всех слов полученных приписыванием к каждому слову события S1 каждого слова события S2 затем слова события S3 и т. слова входящие в события S1S2 и S2S1 различны: т. Итерацией события S называется событие{S} состоящее из пустого слова e и всех слов вида S SS SSS и т.