7336

Закон Ома в дифференциальной форме

Лекция

Физика

Тема: Закон Ома в дифференциальной форме Постоянный электрический ток, его характеристики и условия существования. Классическая электронная теория электропроводности (КЭТ) металлов и ее опытное обоснование. Плотность тока по КЭТ. 3. Вывод за...

Русский

2013-01-21

91.5 KB

85 чел.

Тема: Закон Ома в дифференциальной форме

1. Постоянный электрический ток, его характеристики и условия существования.

;

2. Классическая электронная теория электропроводности (КЭТ) металлов и ее опытное обоснование. Плотность тока по КЭТ.

3. Вывод закона Ома в дифференциальной форме из электронных представлений.

4. Вывод закона Джоуля-Ленца

5. Затруднения классической теории электропроводности металлов.

1. Постоянный электрический ток, его характеристики и условия существования.

В электростатике речь шла о неподвижных электрических зарядах. На практике чаще приходится сталкиваться с движущимися зарядами. Явления (процессы) связанные с движением электрических зарядов изучаются в электродинамике.

Всякое упорядоченное движение электрических зарядов называется электрическим током.

Различают ток проводимости, ток в вакууме, конвекционный ток и ток смещения.

Для появления и существования электрического тока необходимы следующие условия:

1. Наличие в данной среде электрического поля, энергия которого затрачивалась бы на перемещение зарядов;

2. Наличие в среде носителей электрического заряда, способных перемещаться в ней;

3. Электрическая цепь должна быть замкнутой.

Количественной характеристикой электрического тока служит сила тока. Силой тока называется скалярная физическая величина, численно равная количеству электрического заряда, переносимого через рассматриваемую поверхность за одну секунду.

. (1)

Сила тока имеет размерность  и единицу измерения  (Ампер).

(Следует отметить, что применение термина «сила» к величине, определяемой формулой (1) не является корректным. Более точное определение силе тока 1А будет дано позже.)

Электрический ток также характеризуется направлением. За направление тока принимается направление движения положительных зарядов.

Другой характеристикой электрического тока является плотность тока. Плотностью тока называется векторная физическая величина, совпадающая по направлению с направлением движения положительных зарядов и численно равная силе тока через единицу площади поперечного сечения проводника.

; , (2)

где dI – сила тока через элемент dS поперечного сечения проводника.

При известном значении плотности тока, силу тока в проводнике можно определить следующей формулой

, (3)

где nнормаль элемента dS.

Постоянным электрическим током называется ток, у которого не изменяются ни величина, ни направление. Опыты показывают, что плотность постоянного тока одинакова по всему поперечному сечению проводника. Поэтому для постоянного тока справедливы формулы

(4)  и (5)

2. Классическая электронная теория электропроводности металлов (КЭТ) и ее опытное обоснование. Плотность тока по КЭТ.

Для выяснения природы носителей тока в металлах к началу XX века был проведен ряд опытов. Один из наиболее простых опытов был проведен немецким ученым Рикке К. (1901г.). В этом опыте через последовательно соединенные разнородные металлические (Cu-Al-Cu) проводники пропускался электрический ток в течение года. Количество электрического заряда, прошедшего через проводники за это время, составило Q=3,5∙106 Кл. Исследование торцов проводников по окончанию опыта показало, что электрический ток не сопровождается переносом атомов. На основании такого простого опыта был сделан важный вывод о том, что перенос электрического заряда в металлах не связан с переносом вещества и носители электрического тока во всех металлах одинаковы.

В опытах российских ученых Мандельштама Л.И. и Папалекси Н.Д. и американских ученых Толмена Р. и Стюарта Б. был измерен удельный заряд  носителей тока. Оказалось, что полученное значение удельного заряда очень близко к значению удельного заряда электрона, которое было измерено ранее. Таким образом, было экспериментально доказано, что носителями электрического тока проводимости в металлах являются свободные электроны.

Немецким ученым Друде П., на основе представлений о свободных электронах, в начале XX века была создана классическая электронная теория электропроводности металлов.

В классической электронной теории электропроводности (КЭТ) металлов электроны проводимости (свободные электроны) рассматриваются как электронный газ, подчиняющийся законам идеального одноатомного газа.

Электроны проводимости, также как атомы газа, описываются законом Максвелла для их распределения по скоростям и энергиям теплового движения. При своем движении электроны сталкиваются с ионами (узлами кристаллической решетки). Поэтому им приписывается средняя длина свободного пробега.

Используя закон равнораспределения энергии по степеням свободы можно оценить среднюю скорость теплового движения электронов

 (6) или  

Как видим, значение средней скорости достаточно велико. Однако, тепловое движение электронов, вследствие своей хаотичности, не может привести к возникновению электрического тока (упорядоченного движения).

Если к концам проводника приложить разность потенциалов, то свободные электроны приобретут дополнительную скорость υЕ вдоль поля, которая, накладываясь на тепловую скорость, приведет к упорядоченному движению. Т.е. в проводнике возникнет электрический ток.

Получим выражение для плотности тока исходя из представлений об электронном газе. Для этого выделим отрезок проводника с поперечным сечением S и направим вектор напряженности Е электрического поля вдоль проводника. Свободные электроны приобретут некоторую среднюю скорость упорядоченного движения <υЕ>. За время dt площадку S пересекут все электроны, заключенные в объеме цилиндра с образующей <υЕ dt.

Если число электронов в единице объема обозначить через n, а заряд электрона e, то за время dt через площадку S пройдет заряд

. (7)

Тогда для плотности тока получим следующую формулу

. (8)

Учитывая, что направление вектора плотности тока совпадает с направлением скорости, запишем формулу (8) в векторной форме

. (9)

Оценка значения средней скорости упорядоченного движения электронов проводимости в меди, при предельно допустимом значении 107А·м2 плотности тока, дает величину <υЕ>≈10-3 м·с-1. Сравнивая полученное значение со значением средней скорости  теплового движения  электронов (формула 6) получим, что <υT>≈108·<υЕ>. Т.е. значение средней скорости теплового движения электронов на восемь! порядков превышает значение средней скорости их упорядоченного движения.

3. Вывод закона Ома в дифференциальной форме из электронных представлений.

Выведем формулу для плотности j тока, возникающего в металле по действием однородного электрического поля с напряженностью Е.

В электрическом поле на электроны будет действовать сила, определяемая формулой F=e·E. Т.е. движение электронов будет равноускоренным, с ускорением

(10).

Для упрощения расчетов положим, что все электроны имеют одно и то же значение средней скорости  теплового движения <υT> и средней длины свободного пробега <λ>.

Положим также, что при каждом столкновении электрона с ионом кристаллической решетки он полностью теряет энергию, приобретенную в электрическом поле, и, после столкновения, начинает движение без начальной скорости. В этом случае график зависимости скорости упорядоченного движения υЕ электрона от времени будет иметь вид, показанный на рисунке.

Тогда к концу свободного пробега скорость упорядоченного движения электрона в среднем будет достигать значения

, (11)

где <τ> – среднее время свободного пробега.

Среднее значение времени <τ> свободного пробега связано со средними значениями длины свободного пробега <λ> и результирующей скорости  очевидным соотношением

, (12)

где υрез складывается из скоростей теплового и упорядоченного движения .

В предыдущем вопросе было показано, что υТ>>υE, т.е. . Подставив последнее в формулу (12), а затем в формулу (11) получим для максимальной скорости

. (13)

Так как движение равноускоренное, то средняя скорость равна половине максимальной

, (14)

или Е>=b·E, где  (15) называется подвижностью носителей.

Подставив формулу (15) в формулу (8) получим формулу для плотности тока

, (16)

или закона Ома в дифференциальной форме.

В последней формуле произведение величин, стоящих перед величиной Е обозначается символом γ и называется удельной электропроводностью

. (17)

Удельное сопротивление ρ обратно пропорционально удельной электропроводности ρ=1/γ. В формулу (17) входит средняя длина свободного пробега электронов, определяемая их столкновениями с ионами решетки. Следовательно, в классической теории электропроводности наличие электрического сопротивления в металлах объясняется столкновениями свободных электронов с ионами решетки. С ростом температуры увеличивается скорость теплового движения электронов и интенсивность колебаний ионов решетки. Это приводит к уменьшению <λ> и увеличению электрического сопротивления. Таким образом, формула (17) дает качественно правильную зависимость электрического сопротивления металлов от температуры.

Учитывая формулу (17) и сонаправленность векторов j и E можно записать более компактно формулу (16) закона Ома в дифференциальной форме

или . (18)

Формула (18) позволяет вычислять плотность тока в точках, в которых известна напряженность электрического поля.

4. Вывод закона  Джоуля-Ленца.

В конце свободного пробега каждый электрон передает иону решетки свою энергию, приобретенную в электрическом поле. Это приводит к нагреванию проводника. Среднее значение энергии, передаваемой каждым электроном иону, определяется формулой

или, с учетом формулы (13), . (19)

Умножив энергию, отдаваемую одним электроном (формула 19), на их концентрацию n и среднее число столкновений <Z> в единицу времени , получим формулу для удельной тепловой мощности w тока (энергии, выделяющейся в единице объема в единицу времени)

. (20)

Формула (20) позволяет вычислять удельную тепловую мощность тока в точках, в которых известна напряженность электрического поля и называется законом Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

5. Затруднения классической теории электропроводности металлов.

Классическая теория электропроводности (КЭТ), развитая Друде П., была весьма упрощенной. Например, предполагалось, что все электроны проводимости движутся с одинаковой скоростью.  Поэтому ученый Лоренц Г., решив усовершенствовать КЭТ, применил к «электронному газу» закон Максвелла для распределения частиц по скоростям и получил парадоксальный результат. Оказалось, что уточненная КЭТ хуже согласуется с опытом, чем грубая теория Друдэ. Таким образом, классическая теория электропроводности Друдэ-Лоренца столкнулась с весьма существенными затруднениями. Из них  основными являются два:

1. Классическая теория электропроводности не смогла объяснить зависимость электрического сопротивления металлов от температуры.

Удельное сопротивление ρ обратно пропорционально электропроводности ρ=1/γ. Из формулы (17) следует, что ρ пропорционально средней скорости  теплового движения <υT>, которая в свою очередь пропорциональна . Следовательно, при нагревании металлов их электрическое сопротивление теоретически должно возрастать пропорционально  (ρ~). Согласно же опыту, при нагревании металлов в широком интервале температур их электрическое сопротивление растет пропорционально температуре в первой степени (ρ~Т). КЭТ также не смогла объяснить открытое в 1911г. явление сверхпроводимости, проявляющееся в исчезновении электрического сопротивления при охлаждении металлов до сверхнизких температур.

2. Классическая теория электропроводности не смогла объяснить теплоемкость металлов.  

По КЭТ теплоемкость металлов Смет складывается из теплоемкостей кристаллической решетки Среш и электронного газа Сгаз и, в случае одного моля, должна быть равна

Смет=3R+3/2R=37,5 Дж/(моль∙К).

Опыт же показывает, что значение теплоемкости металлов в соответствии с законом Дюлонга и Пти близко к 25 Дж/(моль∙К). Таким образом, обнаружилось неожиданное и непонятое с точки зрения КЭТ отсутствие теплоемкости у электронного газа.

Указанные затруднения КЭТ связаны с тем, что в ней не учитывается такое специфическое свойство электрона, как спин. (Спин – это собственный момент импульса микрочастицы). Спин электрона был открыт позже и был учтен в квантовой теории, которая устраняет все недостатки КЭТ и которая будет рассмотрена позже.

 

Вопросы для самопроверки:

1. Указать основные представления классической тории электропроводности металлов.

2. Как в КЭТ объясняется наличие электрического сопротивления? От чего зависит значение электрического сопротивления?

3. Вывести формулу закона Ома в дифференциальной форме.

4. Перечислить недостатки классической тории электропроводности металлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83496. Універсальні і регіональні механізми захисту прав людини 36.13 KB
  Міжнародні механізми захисту прав людини це міжнародно правові акти з прав людини а також спеціалізовані міжнародні інстру менти організації установи які безпосередньо спрямовані на захис прав людини та виконання цих актів. Залежно від рівня реалізації механізмів захисту прав людини рої різняються: універсальні механізми які діють на рівні всього світу наприк лад Рада з прав людини Комітет з прав людини ООН Верховий комісар ООН з прав людини Верховний комісар ООН у справа біженців і т.; регіональні механізми що діють в межах...
83497. Європейський суд з прав людини: загальна характеристика діяльності 36.28 KB
  Європейський суд з прав людини утворений і діє на підставі Європейської конвенції про захист прав людини та основних свобод [ 1950 р. Для розгляду справ Суд засідає у складі одного судді комітетами І у складі трьох суддів палатами у складі семи суддів і Великою палатою у складі сімнадцяти суддів. Право на звернення до Європейськими суду зі скаргою про порушення прав людини передбачених Конвенцією 1950 р.
83498. Порядок виконання в Україні рішень Європейського судуд з прав людини 34.98 KB
  Порядок виконання в Україні рішень Європейського суду з прав людини визначається Законом України від 23 лютого 2006 р. Про виконання рішень та застосування практики Європейського суду з прав людини. 7 цього Закону протягом трьох днів з моменту набуття рішенням Суду статусу остаточного Орган представництва України у Європейському суді з прав людини: надсилає стислий виклад рішення стягувачеві Уповноваженої Верховної Ради України з прав людини всім державним органам посадовим особам та іншим суб’єктам прямо причетним до справи за якою...
83499. Поняття та джерела міжнародних договорів 32.22 KB
  Право міжнародних договорів це система правових норм що регламентують порядок укладання дії та припинення міжнародних договорів. Основу джерел галузі складають: Віденська конвенція про право міжнародних договорів 1969 р. яка розглядає різноманітні питання права міжнародних договорів і є основним джерелом галузі.
83500. Поняття та види міжнародних договорів 35.05 KB
  В залежності від кількості учасників міжнародні договори поділяються на двосторонні та багатосторонні. За ступенем відкритості договори можуть бути відкритими та закритими. Закритими є договори участь в яких залежить від згоди їх учасників. За об’єктом міжнародні договори можуть поділятися на політичні економічні науковотехнічні і т.
83501. Стадії укладання міжнародного договору 39.55 KB
  Можна виділити наступні стадії укладання міжнародного договору: прийняття тексту встановлення автентичності тексту вираження згоди на обов’язковість. Для участі у будьякій з стадій укладення договору представник держави повинен мати повноваження. Повноваження оформлюються документом що видається компетентним органом держави і за допомогою якого одна чи кілька осіб призначаються представляти цю державу з метою ведення переговорів прийняття тексту договору або встановлення його автентичності вираження згоди держави на обов’язковість ДЛЯ...
83502. Застереження до міжнародного договору 36.01 KB
  Застереження це одностороння заява в будьякому формулюванні і під будьякою назвою зроблена державою при підписанні ратифікації прийнятті чи затвердженні договору або приєднанні до нього за допомогою якої вона бажає виключити або змінити юридичну дію певних положень договору в їхньому застосуванні до цієї держави ст. Застереження не повинно суперечити цілям і принципам договору змінювати його головний зміст. Воно не може бути зроблене якщо такого роду застереження заборонені договором або якщо договір допускає лише певний вид...
83503. Депозитарій міжнародного договору. Реєстрація договорів 33.67 KB
  Депозитарій зберігач оригіналу багатостороннього договору і всіх документів що до нього відносяться. Депозитарієм договору може бути одна або кілька держав міжнародна організація або головна посадова особа організації. функції депозитарію серед іншого полягають у: зберіганні автентичного тексту договору і переданих депозитарієві повноважень; підготовці засвідчених копій з автентичного тексту; одержанні підписів під договором та одержанні і зберіганні документів оповіщень і повідомлень які його стосуються; інформуванні учасників і...
83504. Форма, найменування, структура міжнародного договору 36.79 KB
  Коли автентичність тексту договору було встановлено двома або кількома мовами його текст кожною мовою має однакову силу якщо договором не передбачено або учасники не домовились що в разі розходження між цими текстами переважну силу матиме якийсь один певний текст. Міжнародний договір може мати різні найменування використання яких визначається практикою і не впливає на юридичну природу договору. Такими частинами є: найменування або титул; преамбула вказує мотиви укладення договору його цілі та принципи; основна частина статті договору...