7341

Акустическое поле. Полная система уравнений акустического поля. Волновое уравнение

Контрольная

Физика

Акустическое поле. Полная система уравнений акустического поля. Волновое уравнение. Поле, особая форма материи физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами поля могут служить электромагнитное и гравитационное...

Русский

2013-01-21

53 KB

64 чел.

Акустическое поле. Полная система уравнений акустического поля. Волновое уравнение.

Поле, особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами поля могут служить электромагнитное и гравитационное поля, поле ядерных сил, а также волновые (квантованные) поля, соответствующие различным частицам.

Акустическое поле - область упругой среды, которая является средством передачи акустических волн.

Акустические поля описываются скалярными функциями и называются скалярными полями.

Акустическое поле характеризуется:

· звуковым давлением pзв, Па;

· акустическим сопротивлением   zА, Па*с/м.

Энергетическими характеристиками акустического поля являются:

· интенсивность  I, Вт/м2;

· мощность звука W, Вт – количество энергии, проходящей за единицу времени через охватывающую источник звука поверхность.

Важную роль при формировании акустического поля играет характеристика направленности звукоизлучения Ф , т.е. угловое пространственное распределение образующегося вокруг источника звукового давления.

Если акустическое поле не ограничено поверхностью и распространяется практически до бесконечности, то такое поле  называют свободным акустическим полем.

Уравнения акустического поля

Рассмотренные выше акустические величины связаны между собой физическими законами, характеризующими изменение состояния упругой среды при распространении волны. Исходными при этом являются три закона (уравнения). В рамках линейной акустики и в отсутствие потерь эти уравнения имеют следующий вид.

Уравнение движения частиц сплошной среды – второй закон Ньютона для элемента упругой деформированной среды:

.  (1)

Уравнение непрерывности – закон сохранения массы вещества

.  (2)

Уравнение состояния – закон упругости Гука при малых деформациях

,  (3)

Где K [н/м2]– модуль объемной упругости (иногда его называют модулем всестороннего сжатия), малая безразмерная величина  имеет смысл деформации и обычно обозначается через S. выражение (3) является частной записью закона Гука для продольных волн. Отметим уже здесь, что для акустической волны в любой упругой среде малые напряжения (сила, приложенная к единице площади поверхности среды) пропорциональны малым деформациям, и закон Гука может быть записан следующим образом:

где Т – напряжение, [н/м2]; а – упругая постоянная среды, [н/м2]; S– деформация. В некоторых твердых средах, например в кристаллах, эти три величины являются тензорами. Об этом пойдет речь в разделе, посвященном особенностям распространения акустических волн в твердых средах.

Полная система акустических уравнений

Полная система уравнений гидродинамики удовлетворяется при любых движениях жидкости; значит, звуковые волны также удовлетворяет этим уравнениям.

Пусть Т — характерный промежуток времени для данной волны, т. е. промежуток времени, в течение которого данная величина в волне (например, давление) меняется на величину своего порядка. Тогда частную производную этой величины по времени можно оценить как отношение ее наибольшего значения к промежутку времени Т. (Частную производную какой-либо величины по времени d/dt будем в дальнейшем обозначать иногда индексом t или точкой над символом дифференцируемой величины.) Для гармонической плоской волны наибольшее значение производной по времени какой-либо величины равно амплитуде самой величины, умноженной на угловую частоту ω. Значит, для гармонической волны за характерный промежуток времени следует принять 1/ω = Т0/2π, где Т0— период волны. Аналогично пусть L — характерная длина, т. е. расстояние, на котором (в среднем) данная величина меняется на величину своего порядка. Частная производная по координате по порядку равна тогда отношению наибольшего значения дифференцируемой величины к длине L. Для гармонической плоской волны за характерную длину следует принять величину l/k = λ/2π, где λ— длина волны.

Пользуясь этими оценками, можем теперь сравнить между собой различные члены в точных уравнениях гидродинамики и, сохраняя только наибольшие члены, упростить эти уравнения.

Начнем с уравнения Эйлера

.  (*)

Для звуковых волн р — это избыточное давление по отношению к не входящему явно в уравнение невозмущенному давлению среды Р. Ускорение частиц представлено в (*) в виде суммы локального и конвективного ускорений. Согласно сказанному выше локальное ускорение по порядку величины равно v/T, где v — наибольшее значение скорости частиц, а конвективное ускорение также по порядку величины равно v2/L. Значит, отношение конвективного ускорения к локальному равно по порядку величины vT/L. Но

vT = и есть путь, проходимый частицами со скоростью v за характерный промежуток времени T, т. е. по порядку u — наибольшее смещение частиц в волне. Отсюда следует, что отношение конвективного ускорения к локальному равно отношению u/L наибольшего смещения частиц к характерному размеру волны. Таким образом, если смещения частиц малы по сравнению с характерным размером волны, u/L << 1, то конвективное ускорение мало по сравнению с локальным. Тогда можно пренебречь конвективным ускорением, и уравнение (*) примет вид

 (1)

Далее, в этом уравнении плотность также есть переменная величина, отличная от плотности ρ0 невозмущенной среды:

Но при u/L << 1 акустическое сжатие по порядку величины также не более u/L. Поэтому в приближенном уравнении можно, не меняя степени точности, пренебрегать отличием фактической плотности от невозмущенного значения ρ0; уравнение (1) принимает тогда вид (нуль в индексе для простоты записи опущен)

. (2)

Уравнение (2) линейно относительно величин р и v. Упрощение в том и состоит, что приближенное уравнение оказывается линейным по отношению к интересующим нас величинам. Для этого, как мы видели, достаточно отбросить в уравнении члены порядка u/L (и высшего порядка) по отношению к сохраняемым, порядок которых принят за единицу.

Уравнение (2) справедливо с указанной точностью как для однородных, так и для неоднородных сред. В последнем случае невозмущенное значение плотности есть функция координат точки и (2) есть уравнение с коэффициентами, зависящими от координат. Очевидно, при u/L << 1 можно заменять полную производную любой величины, характеризующей частицу жидкости, локальной производной — частной производной по времени; выше это было сделано для скорости частиц. В этом приближении дифференциальные и интегральные (по времени и координатам) операции над величинами, характеризующими частицу, независимы и, в частности, можно менять порядок дифференцирования и интегрирования по времени и по координатам. Проинтегрируем по времени уравнение (2) и сделаем перестановку порядка интегрирования (по времени) и дифференцирования (по координатам):

Здесь v0 — скорость частицы в начальный момент времени t0. Мы видим, что, в отличие от ускорения, скорость частицы в данный момент зависит не только от распределения давления в среде в этот же момент, но и от всей истории частицы. Если в начальный момент частица покоилась, то

  (3)

Для одномерного движения

Если среда однородна, то (3) можно записать в виде

и, следовательно, движение потенциально и потенциал скоростей есть

(4)

В свою очередь давление и скорость частиц выражаются через потенциал формулами

 (5)

Теперь линеаризуем уравнение неразрывности (5), считая, как и выше, что u/L << 1. В подробной записи имеем

Так как s по порядку не больше u/L, то вторым членом справа можно пренебречь по сравнению с первым. Тогда придем к упрощенному уравнению

В среде с постоянной невозмущенной плотностью это дает

 (6)

В дальнейшем часто будем характеризовать изменяющееся состояние среды не плотностью, а сжатием; например, (6) можно записать в виде


 (7)

Уравнение состояния, т. е. зависимость между давлением и сжатием, также можно линеаризовать для любых сред, кроме, сред типа порошка. Линеаризуя уравнение (8), получим уравнение состояния в виде

(8)

Система уравнений (2), (7), (8) — полная система линеаризованных уравнений акустики.

Сжимаемость β можно представить в виде

 (9)

причем производная берется для невозмущенного состояния среды. Cжимаемость связана со скоростью плоской волны в среде соотношением

, (10)

так что уравнение (8) можно переписать в виде

 (11)

Линеаризованную связь между давлением и сжатием можно рассматривать как обобщенный закон Гука для объемного сжатия среды с модулем упругости К = ρс2 = 1/β.

Часто удобно, исключая сжатие из (7) и (8), свести полную систему уравнений акустики к двум уравнениям. Первое из них — по-прежнему уравнение (2), а второе принимает вид

 (12)

Любое частное решение уравнений (2) и (12) есть свободная волна в среде.

Уравнения (2) и (12) — полная система линейных общих уравнений акустики для давления и скорости частиц. Мы видим, что среды можно отличить друг от друга акустическим способом, только если их плотности или сжимаемости не одинаковы.

Волновое уравнение Даламбера. Скорость распространения продольной акустической волны

Уравнения (1)–( 3) являются исходными при выводе волнового уравнения и определения скорости распространения продольной акустической волны в произвольной среде. Эти уравнения взаимосвязаны. При выделении интересующей нас физической величины, характеризующей волновой процесс, мы приходим к дифференциальным уравнениям второго порядка, называемым волновыми уравнениями Даламбера.

Продифференцируем уравнение непрерывности (2) по времени:

(4)

Из закона Гука (3) плотность  выразим через акустическое давление pa

.  (5)

Из уравнения движения (1) выделим производную колебательной скорости по времени

  (6)

Выражения (5) и (6) подставим в уравнение (4) и учтем, что . В результате получим волновое уравнение Даламбера для акустического давления в виде

.

Коэффициент перед второй производной по времени   имеет размерность секунда в квадрате на квадратный метр (с22) и представляет собой величину, обратную квадрату скорости распространения продольной волны , м/с.

.  (7)

Аналогично из исходных уравнений (1)–(3) можно получить волновое уравнение для колебательной скорости. Продифференцируем по времени уравнение (1):

.  (8)

Из уравнений (3) и (2) выделим производную

 (9)

и подставим ее в (8). Учтем, что в продольной волне у вектора колебательной скорости отсутствует вихревая компонента и .

Окончательно получаем волновое уравнение Даламбера для колебательной скорости в следующем виде:

 (10)

Аналогичный вид будет иметь волновое уравнение и для возмущенной акустической плотности:

.  (11)

Волновые уравнения (7), (10), (11) представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка, решением которых являются произвольные функции вида , где нижний знак соответствует волне, бегущей вдоль оси , а верхний знак – волне, бегущей в противоположном направлении. Выбор знака определяется расположением источника акустических волн относительно точки наблюдения.

При выводе волновых уравнений, был сделан ряд допущений, к числу которых относятся малые изменения физических величин возмущенной волновым процессом среды, неподвижность среды, безвихревой характер движения частиц среды. Поскольку физические величины, и , характеризующие волновой процесс, связаны между собой уравнениями (1)-(3), то при дальнейшем анализе достаточно работать лишь с двумя волновыми уравнениями (7) и (10). При выводе волновых уравнений было получено выражение для расчета скорости распространения продольной акустической волны, зависящей от коэффициента объемной упругости и удельной плотности среды:

.  (12)

Это выражение остается справедливым и для расчета скорости продольной волны в твердой среде. Например, при температуре t = 0°C в воздухе (модуль объемной упругости К=1,4·105 Па, удельная плотность ρ0=1,3 кг/м3) скорость звука Vl = 331,2 м/с; в воде: (K=2,25 · 109 Па, ρ0=1000 кг/м3) скорость звука Vl = 1500 м/с; а в сапфире (K=4,92 · 1011 Па, ρ0=3990 кг/м3) скорость звука гораздо выше – Vl = 11,1 км/с.

В жидких средах можно использовать формулу расчета скорости акустических волн через коэффициент сжимаемости жидкости χ, 2/н], являющегося величиной обратной к коэффициенту объемной упругости K:

.  (13)

В газообразных средах фазовую скорость продольной акустической волны можно рассчитать по формуле

,  (14)

где   – показатель адиабаты – отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; R = cpcv – газовая постоянная, ;

T– температура среды в кельвинах.

Для воздуха при температуре T=273 К (t = 0°С) показатель адиабаты γ = 1,4, газовая постоянная R = 287  , скорость звука  Vl=331,2 м/с.

При любой другой температуре t°C, если  , скорость акустической волны может быть определена с помощью соотношения  ,

или Vl = 331,2+0,6t, м/с.  (15)

При увеличении температуры на 1°С скорость звука в воздухе увеличивается на 0,6 м/с.

С учетом того, что плотность газа ρ0 зависит от давления p0 и температуры T

выражение (14) может быть записано в виде

.  (14 а)

Газы легко деформируемы, модуль объемной упругости K мал, и скорость волны в газах заметно меньше, чем в других средах. В расчетные формулы скоростей (12) – (14) не входит частота, и соответственно продольные волны не обладают дисперсией.

Волновое уравнение Гельмгольца.

Уравнение плоской акустической волны

Для волнового процесса, изменяющегося во времени по гармоническому закону с частотой ω, используется комплексное представление. Функция времени в этом случае определяется множителем :

Величины  называются комплексными амплитудами. Сами они уже не зависят от времени. Выполнив дифференцирование по времени в волновых уравнениях (7), (10) и сократив , получим волновые уравнения Гельмгольца для комплексных амплитуд:

(16)

 (17)

где  – постоянная распространения (волновое число), [1/м]. Волновое число k позволяет вычислить длину волны в рассматриваемой среде:

.

Решение уравнения Гельмгольца представляет собой бегущую гармоническую волну. Для плоской гармонической волны, распространяющейся, например, вдоль оси z, уравнения (16), (17) принимают вид

 (18)

 (19)

Решение уравнения Гельмгольца представляет собой бегущую гармоническую волну, в данном случае бегущую вдоль оси :

 

Выбор знака в показателе экспоненты зависит от взаимного расположения источника колебаний и точки наблюдения. Знак «минус» соответствует волне, распространяющейся вдоль оси z. Знак «плюс» соответствует волне, бегущей в сторону, противоположную оси z.

Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси z, с учетом гармонической временной зависимости . выражения, описывающие акустическое поле, могут быть записаны следующим образом:

 (20)

. (21)

В бегущей вдоль оси z продольной акустической волне колебательная скорость частиц среды имеет лишь одну составляющую vz в направлении распространения волны.

Смещение частиц среды,  связано с колебательной скоростью соотношением .

Для гармонического колебания и акустической волны, бегущей вдоль оси z, это соотношение можно переписать следующим образом:

 (22)

Сравнивая между собой выражения (21) и (22), можно записать связь между амплитудами смещения и колебательной скорости частиц среды

 (23)

Наличие мнимой единицы в формуле (22) говорит о сдвиге фазы колебания смещения и скорости на 90 градусов, т.е. момент времени максимума колебательной скорости соответствует нулевому смещению и, наоборот, при максимальном смещении частицы относительно ее положения равновесия колебательная скорость равна нулю. Это легко понять, анализируя выражения, связывающие мгновенные значения (в фиксированный момент времени t) колебательной скорости и смещения:

, .

Для акустической волны, бегущей в произвольном направлении, заданном осью ζ, в декартовой системе координат выражения для давления и колебательной скорости можно записать в виде

,  (24)

 (25)

где  – орты; αi – углы между направлением ζ и положительными осями x, у, z.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14047. «Метелиця чи дівчина...» О. Олесь 39.5 KB
  УРОК № 32 Тема.О. Олесь. Метелиця чи дівчина.... Мета:допомогти учням глибше усвідомити ідейнохудожній зміст твору художню майстерність автора; розвивати навички виразного читання аналізу ліричного твору визначення художніх засобів та їхньої ролі у творі; вихову
14048. Печенізька облога Києва О. Олесь 34 KB
  УРОК № 33 Тема.О. Олесь. Печенізька облога Києва. Мета:допомогти учням глибше засвоїти ідейнохудожній зміст твору оцінити художню майстерність автора; розвивати навички аналізу ліроепічних творів характеристики героїв визначення художніх засобів та їхньої ролі ...
14049. Дніпрова Чайка. «Дівчина-чайка» 30.5 KB
  УРОК № 34 Тема.Дніпрова Чайка. Дівчиначайка. Мета:ознайомити учнів із життям та творчістю письменниці її поезією в прозі; розвивати навички виразного читання переказу аналізу художнього твору; висловлення власних вражень суджень щодо прочитаного; виховувати му...
14050. Дніпрова Чайка. «Морське серце» 41.5 KB
  УРОК № 35 Тема. Дніпрова Чайка. Морське серце. Мета: допомогти учням глибше усвідомити ідейнохудожній зміст поезії в прозі; розвивати навички виразного читання аналізу художніх творів висловлення власної думки щодо прочитаного вміння порівнювати різні жанри літер...
14051. Дніпрова Чайка. Поезії в прозі. Особливості жанру 26 KB
  УРОК № 36 Тема. Дніпрова Чайка. Поезії в прозі. Особливості жанру. Мета:допомогти учням глибше усвідомити особливості жанру поезії в прозі ідейнохудожнє значення творів Дніпрової Чайки; розвивати навички зв’язного мовлення образного мислення уяву та фантазію учні
14052. «Пісні» М. Рильський 43.5 KB
  УРОК № 38 Тема.М. Рильський. Пісні. Мета:ознайомити учнів із життям та творчістю письменника допомогти їм усвідомити ідейнохудожній зміст вірша Пісні; розвивати навички виразного читання поезій коментування аналізу їх змісту висловлення власних думок з привод
14053. Поради, Ознаки весни. М. Рильський. 40 KB
  УРОК № 39 Тема.М. Рильський. Поради Ознаки весни. Мета:допомогти учням усвідомити ідейнохудожній зміст віршів М. Рильського розвивати навички виразного читання аналізу поетичних творів висловлення власної думки щодо прочитаного; виховувати естетичні смаки л...
14054. Поезії. Віршові розміри: ямб, хорей М. Рильський 53 KB
  УРОК № 40 Тема. М. Рильський. Поезії. Віршові розміри: ямб хорей. Мета:ознайомити учнів з деякими поезіями М. Рильського; дати поняття про віршові розміри ямб і хорей про стопу та строфу; формувати навички визначення віршових розмірів ритму; розвивати творче образне ...
14055. Природа у творах українських поетів 55.5 KB
  УРОК № 41 Тема.Природа у творах українських поетів. Мета:допомогти учням усвідомити красу й силу поетичного слова викликати інтерес до самостійного читання; розвивати навички виразного читання поезії її аналізу висловлення власних думок та вражень від неї; виховува...