7341

Акустическое поле. Полная система уравнений акустического поля. Волновое уравнение

Контрольная

Физика

Акустическое поле. Полная система уравнений акустического поля. Волновое уравнение. Поле, особая форма материи физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами поля могут служить электромагнитное и гравитационное...

Русский

2013-01-21

53 KB

74 чел.

Акустическое поле. Полная система уравнений акустического поля. Волновое уравнение.

Поле, особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами поля могут служить электромагнитное и гравитационное поля, поле ядерных сил, а также волновые (квантованные) поля, соответствующие различным частицам.

Акустическое поле - область упругой среды, которая является средством передачи акустических волн.

Акустические поля описываются скалярными функциями и называются скалярными полями.

Акустическое поле характеризуется:

· звуковым давлением pзв, Па;

· акустическим сопротивлением   zА, Па*с/м.

Энергетическими характеристиками акустического поля являются:

· интенсивность  I, Вт/м2;

· мощность звука W, Вт – количество энергии, проходящей за единицу времени через охватывающую источник звука поверхность.

Важную роль при формировании акустического поля играет характеристика направленности звукоизлучения Ф , т.е. угловое пространственное распределение образующегося вокруг источника звукового давления.

Если акустическое поле не ограничено поверхностью и распространяется практически до бесконечности, то такое поле  называют свободным акустическим полем.

Уравнения акустического поля

Рассмотренные выше акустические величины связаны между собой физическими законами, характеризующими изменение состояния упругой среды при распространении волны. Исходными при этом являются три закона (уравнения). В рамках линейной акустики и в отсутствие потерь эти уравнения имеют следующий вид.

Уравнение движения частиц сплошной среды – второй закон Ньютона для элемента упругой деформированной среды:

.  (1)

Уравнение непрерывности – закон сохранения массы вещества

.  (2)

Уравнение состояния – закон упругости Гука при малых деформациях

,  (3)

Где K [н/м2]– модуль объемной упругости (иногда его называют модулем всестороннего сжатия), малая безразмерная величина  имеет смысл деформации и обычно обозначается через S. выражение (3) является частной записью закона Гука для продольных волн. Отметим уже здесь, что для акустической волны в любой упругой среде малые напряжения (сила, приложенная к единице площади поверхности среды) пропорциональны малым деформациям, и закон Гука может быть записан следующим образом:

где Т – напряжение, [н/м2]; а – упругая постоянная среды, [н/м2]; S– деформация. В некоторых твердых средах, например в кристаллах, эти три величины являются тензорами. Об этом пойдет речь в разделе, посвященном особенностям распространения акустических волн в твердых средах.

Полная система акустических уравнений

Полная система уравнений гидродинамики удовлетворяется при любых движениях жидкости; значит, звуковые волны также удовлетворяет этим уравнениям.

Пусть Т — характерный промежуток времени для данной волны, т. е. промежуток времени, в течение которого данная величина в волне (например, давление) меняется на величину своего порядка. Тогда частную производную этой величины по времени можно оценить как отношение ее наибольшего значения к промежутку времени Т. (Частную производную какой-либо величины по времени d/dt будем в дальнейшем обозначать иногда индексом t или точкой над символом дифференцируемой величины.) Для гармонической плоской волны наибольшее значение производной по времени какой-либо величины равно амплитуде самой величины, умноженной на угловую частоту ω. Значит, для гармонической волны за характерный промежуток времени следует принять 1/ω = Т0/2π, где Т0— период волны. Аналогично пусть L — характерная длина, т. е. расстояние, на котором (в среднем) данная величина меняется на величину своего порядка. Частная производная по координате по порядку равна тогда отношению наибольшего значения дифференцируемой величины к длине L. Для гармонической плоской волны за характерную длину следует принять величину l/k = λ/2π, где λ— длина волны.

Пользуясь этими оценками, можем теперь сравнить между собой различные члены в точных уравнениях гидродинамики и, сохраняя только наибольшие члены, упростить эти уравнения.

Начнем с уравнения Эйлера

.  (*)

Для звуковых волн р — это избыточное давление по отношению к не входящему явно в уравнение невозмущенному давлению среды Р. Ускорение частиц представлено в (*) в виде суммы локального и конвективного ускорений. Согласно сказанному выше локальное ускорение по порядку величины равно v/T, где v — наибольшее значение скорости частиц, а конвективное ускорение также по порядку величины равно v2/L. Значит, отношение конвективного ускорения к локальному равно по порядку величины vT/L. Но

vT = и есть путь, проходимый частицами со скоростью v за характерный промежуток времени T, т. е. по порядку u — наибольшее смещение частиц в волне. Отсюда следует, что отношение конвективного ускорения к локальному равно отношению u/L наибольшего смещения частиц к характерному размеру волны. Таким образом, если смещения частиц малы по сравнению с характерным размером волны, u/L << 1, то конвективное ускорение мало по сравнению с локальным. Тогда можно пренебречь конвективным ускорением, и уравнение (*) примет вид

 (1)

Далее, в этом уравнении плотность также есть переменная величина, отличная от плотности ρ0 невозмущенной среды:

Но при u/L << 1 акустическое сжатие по порядку величины также не более u/L. Поэтому в приближенном уравнении можно, не меняя степени точности, пренебрегать отличием фактической плотности от невозмущенного значения ρ0; уравнение (1) принимает тогда вид (нуль в индексе для простоты записи опущен)

. (2)

Уравнение (2) линейно относительно величин р и v. Упрощение в том и состоит, что приближенное уравнение оказывается линейным по отношению к интересующим нас величинам. Для этого, как мы видели, достаточно отбросить в уравнении члены порядка u/L (и высшего порядка) по отношению к сохраняемым, порядок которых принят за единицу.

Уравнение (2) справедливо с указанной точностью как для однородных, так и для неоднородных сред. В последнем случае невозмущенное значение плотности есть функция координат точки и (2) есть уравнение с коэффициентами, зависящими от координат. Очевидно, при u/L << 1 можно заменять полную производную любой величины, характеризующей частицу жидкости, локальной производной — частной производной по времени; выше это было сделано для скорости частиц. В этом приближении дифференциальные и интегральные (по времени и координатам) операции над величинами, характеризующими частицу, независимы и, в частности, можно менять порядок дифференцирования и интегрирования по времени и по координатам. Проинтегрируем по времени уравнение (2) и сделаем перестановку порядка интегрирования (по времени) и дифференцирования (по координатам):

Здесь v0 — скорость частицы в начальный момент времени t0. Мы видим, что, в отличие от ускорения, скорость частицы в данный момент зависит не только от распределения давления в среде в этот же момент, но и от всей истории частицы. Если в начальный момент частица покоилась, то

  (3)

Для одномерного движения

Если среда однородна, то (3) можно записать в виде

и, следовательно, движение потенциально и потенциал скоростей есть

(4)

В свою очередь давление и скорость частиц выражаются через потенциал формулами

 (5)

Теперь линеаризуем уравнение неразрывности (5), считая, как и выше, что u/L << 1. В подробной записи имеем

Так как s по порядку не больше u/L, то вторым членом справа можно пренебречь по сравнению с первым. Тогда придем к упрощенному уравнению

В среде с постоянной невозмущенной плотностью это дает

 (6)

В дальнейшем часто будем характеризовать изменяющееся состояние среды не плотностью, а сжатием; например, (6) можно записать в виде


 (7)

Уравнение состояния, т. е. зависимость между давлением и сжатием, также можно линеаризовать для любых сред, кроме, сред типа порошка. Линеаризуя уравнение (8), получим уравнение состояния в виде

(8)

Система уравнений (2), (7), (8) — полная система линеаризованных уравнений акустики.

Сжимаемость β можно представить в виде

 (9)

причем производная берется для невозмущенного состояния среды. Cжимаемость связана со скоростью плоской волны в среде соотношением

, (10)

так что уравнение (8) можно переписать в виде

 (11)

Линеаризованную связь между давлением и сжатием можно рассматривать как обобщенный закон Гука для объемного сжатия среды с модулем упругости К = ρс2 = 1/β.

Часто удобно, исключая сжатие из (7) и (8), свести полную систему уравнений акустики к двум уравнениям. Первое из них — по-прежнему уравнение (2), а второе принимает вид

 (12)

Любое частное решение уравнений (2) и (12) есть свободная волна в среде.

Уравнения (2) и (12) — полная система линейных общих уравнений акустики для давления и скорости частиц. Мы видим, что среды можно отличить друг от друга акустическим способом, только если их плотности или сжимаемости не одинаковы.

Волновое уравнение Даламбера. Скорость распространения продольной акустической волны

Уравнения (1)–( 3) являются исходными при выводе волнового уравнения и определения скорости распространения продольной акустической волны в произвольной среде. Эти уравнения взаимосвязаны. При выделении интересующей нас физической величины, характеризующей волновой процесс, мы приходим к дифференциальным уравнениям второго порядка, называемым волновыми уравнениями Даламбера.

Продифференцируем уравнение непрерывности (2) по времени:

(4)

Из закона Гука (3) плотность  выразим через акустическое давление pa

.  (5)

Из уравнения движения (1) выделим производную колебательной скорости по времени

  (6)

Выражения (5) и (6) подставим в уравнение (4) и учтем, что . В результате получим волновое уравнение Даламбера для акустического давления в виде

.

Коэффициент перед второй производной по времени   имеет размерность секунда в квадрате на квадратный метр (с22) и представляет собой величину, обратную квадрату скорости распространения продольной волны , м/с.

.  (7)

Аналогично из исходных уравнений (1)–(3) можно получить волновое уравнение для колебательной скорости. Продифференцируем по времени уравнение (1):

.  (8)

Из уравнений (3) и (2) выделим производную

 (9)

и подставим ее в (8). Учтем, что в продольной волне у вектора колебательной скорости отсутствует вихревая компонента и .

Окончательно получаем волновое уравнение Даламбера для колебательной скорости в следующем виде:

 (10)

Аналогичный вид будет иметь волновое уравнение и для возмущенной акустической плотности:

.  (11)

Волновые уравнения (7), (10), (11) представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка, решением которых являются произвольные функции вида , где нижний знак соответствует волне, бегущей вдоль оси , а верхний знак – волне, бегущей в противоположном направлении. Выбор знака определяется расположением источника акустических волн относительно точки наблюдения.

При выводе волновых уравнений, был сделан ряд допущений, к числу которых относятся малые изменения физических величин возмущенной волновым процессом среды, неподвижность среды, безвихревой характер движения частиц среды. Поскольку физические величины, и , характеризующие волновой процесс, связаны между собой уравнениями (1)-(3), то при дальнейшем анализе достаточно работать лишь с двумя волновыми уравнениями (7) и (10). При выводе волновых уравнений было получено выражение для расчета скорости распространения продольной акустической волны, зависящей от коэффициента объемной упругости и удельной плотности среды:

.  (12)

Это выражение остается справедливым и для расчета скорости продольной волны в твердой среде. Например, при температуре t = 0°C в воздухе (модуль объемной упругости К=1,4·105 Па, удельная плотность ρ0=1,3 кг/м3) скорость звука Vl = 331,2 м/с; в воде: (K=2,25 · 109 Па, ρ0=1000 кг/м3) скорость звука Vl = 1500 м/с; а в сапфире (K=4,92 · 1011 Па, ρ0=3990 кг/м3) скорость звука гораздо выше – Vl = 11,1 км/с.

В жидких средах можно использовать формулу расчета скорости акустических волн через коэффициент сжимаемости жидкости χ, 2/н], являющегося величиной обратной к коэффициенту объемной упругости K:

.  (13)

В газообразных средах фазовую скорость продольной акустической волны можно рассчитать по формуле

,  (14)

где   – показатель адиабаты – отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; R = cpcv – газовая постоянная, ;

T– температура среды в кельвинах.

Для воздуха при температуре T=273 К (t = 0°С) показатель адиабаты γ = 1,4, газовая постоянная R = 287  , скорость звука  Vl=331,2 м/с.

При любой другой температуре t°C, если  , скорость акустической волны может быть определена с помощью соотношения  ,

или Vl = 331,2+0,6t, м/с.  (15)

При увеличении температуры на 1°С скорость звука в воздухе увеличивается на 0,6 м/с.

С учетом того, что плотность газа ρ0 зависит от давления p0 и температуры T

выражение (14) может быть записано в виде

.  (14 а)

Газы легко деформируемы, модуль объемной упругости K мал, и скорость волны в газах заметно меньше, чем в других средах. В расчетные формулы скоростей (12) – (14) не входит частота, и соответственно продольные волны не обладают дисперсией.

Волновое уравнение Гельмгольца.

Уравнение плоской акустической волны

Для волнового процесса, изменяющегося во времени по гармоническому закону с частотой ω, используется комплексное представление. Функция времени в этом случае определяется множителем :

Величины  называются комплексными амплитудами. Сами они уже не зависят от времени. Выполнив дифференцирование по времени в волновых уравнениях (7), (10) и сократив , получим волновые уравнения Гельмгольца для комплексных амплитуд:

(16)

 (17)

где  – постоянная распространения (волновое число), [1/м]. Волновое число k позволяет вычислить длину волны в рассматриваемой среде:

.

Решение уравнения Гельмгольца представляет собой бегущую гармоническую волну. Для плоской гармонической волны, распространяющейся, например, вдоль оси z, уравнения (16), (17) принимают вид

 (18)

 (19)

Решение уравнения Гельмгольца представляет собой бегущую гармоническую волну, в данном случае бегущую вдоль оси :

 

Выбор знака в показателе экспоненты зависит от взаимного расположения источника колебаний и точки наблюдения. Знак «минус» соответствует волне, распространяющейся вдоль оси z. Знак «плюс» соответствует волне, бегущей в сторону, противоположную оси z.

Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси z, с учетом гармонической временной зависимости . выражения, описывающие акустическое поле, могут быть записаны следующим образом:

 (20)

. (21)

В бегущей вдоль оси z продольной акустической волне колебательная скорость частиц среды имеет лишь одну составляющую vz в направлении распространения волны.

Смещение частиц среды,  связано с колебательной скоростью соотношением .

Для гармонического колебания и акустической волны, бегущей вдоль оси z, это соотношение можно переписать следующим образом:

 (22)

Сравнивая между собой выражения (21) и (22), можно записать связь между амплитудами смещения и колебательной скорости частиц среды

 (23)

Наличие мнимой единицы в формуле (22) говорит о сдвиге фазы колебания смещения и скорости на 90 градусов, т.е. момент времени максимума колебательной скорости соответствует нулевому смещению и, наоборот, при максимальном смещении частицы относительно ее положения равновесия колебательная скорость равна нулю. Это легко понять, анализируя выражения, связывающие мгновенные значения (в фиксированный момент времени t) колебательной скорости и смещения:

, .

Для акустической волны, бегущей в произвольном направлении, заданном осью ζ, в декартовой системе координат выражения для давления и колебательной скорости можно записать в виде

,  (24)

 (25)

где  – орты; αi – углы между направлением ζ и положительными осями x, у, z.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31711. Колектив як соціокультурне середовище виховання і розвитку 52.5 KB
  Емоціональний рівень ввзаємодії в колективі відображає домінуючі емоціональні стани дітей їх спільні переживання стосунки симпатій чи антипатій між членами колективу гуманістичні та суспільно значимі мотиви. Ініціатива творча позиція особистості зростання самостійності і самоуправління дітей ціннісний зміст їх спільної діяльності є індикаторами виховного потенціалу дитячого колективу. Підходи до розробки колективу та індивідуальності. Погляди на проблеми колективу відобразили сутність суспільних культурноісторичних процесів розвитку...
31712. Двіжущіе сили та умови розвитку особистості 99 KB
  Двіжущіе сили та умови розвитку особистості Розвиток особистості слід розуміти як процес формування особистості як соціальної якості індивіда в результаті його соціалізації та виховання. Володіючи природними анатомофізіологічними передумовами до становлення особистості в процесі соціалізації дитина вступає у взаємодію з навколишнім світом опановуючи досягненнями людства. Створювані в ході цього процесу здібності і функції відтворюють в особистості історично сформувалися людські якості. Оволодіння дійсністю у дитини здійснюється в його...
31713. Соціалізація особистості 95.5 KB
  socilis суспільний характеристика це процес входження індивіда в суспільство соціалізації особистості активного засвоєння ним соціального досвіду соціальних ролей норм цінностей необхідних для успішної життєдіяльності в даному суспільстві. У процесі соціалізації в людини формуються соціальні якості знання вміння відповідні навички що дає їй змогу стати дієздатним учасником соціальних відносин. Отже основа соціальнопсихологічного розуміння соціалізації особистості грунтується на характеристиці соціальнопсихологічного типу...
31714. Загальні поняття про особистість 49 KB
  В особистості немовби концентруються особливості суспільства основні його риси. Тому зрозуміти життя особистості можна тільки розглядаючи її у конкретних суспільних умовах в діяльності та стосунках з іншими людьми аналізуючи її соціальний статус та місце в суспільних відносинах. Усі особистості індивіди але не кожен індивід особистість. Паригіна модель особистості котра повинна зайняти місце в системі психології припускає поєднання двох підходів: соціологічного й загальнопсихолоігчного.
31715. ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДІВ СОЦІАЛЬНОЇ ПСИХОЛОГІЇ 105 KB
  Метод спостереження може використатися як один із центральних самостійних методів дослідження. Метод спостереження здійснюється також з метою збору первинного матеріалу дослідження а також для контролю отриманих емпіричних даних. Класифікація спостереження виконується на різних підставах.
31716. Соціалізація старшокласників у школі 89.5 KB
  Ціннісні орієнтації референтної групи істотною мірою визначають соціальнопсихологічне обличчя підлітка. Оскільки група єдина площина соціальнопсихологічного досвіду в якій може проявити себе підліток яку він може засвоїти й через яку пізнати сукупність суспільних відносин то саме група стає формівною силою в соціалізації підлітка. Тут надзвичайно суттєвим є питання про те що визначає референтну значущість тієї чи іншої групи в очах підлітка або навпаки сприяє її зниженню.
31717. Структура педагогічної психології 35.5 KB
  До кожної теми подано список літератури щоб читач міг поперше більш докладно вивчити певний аспект теми яка його зацікавила подруге мав уявлення та добре орієнтувався у працях авторів які займаються проблемами та дослідженнями в галузі психології навчання та виховання. Предмет і задачі педагогічної психології Предметом педагогічної психології є психологія навчання психологія виховання психологія вчителя та педагогічної діяльності. Основний зміст педагогічної психології складають психологічні закономірності процесів навчання та...
31718. Загальна характеристика процесу виховання 43.5 KB
  Соціальня ситуація розвитку особистості Становлення людини як індивіда та особистості за Л. Виготським передбачає діалектичну взаємодію двох відносно автономних однак нерозривно пов'язаних процесів розвитку природного і соціального. Кожному віку притаманна певна специфічна соціольна сипгуаціярозвитку тобто особливе співвідношення внутрішніх процесів розвитку і зовнішніх умов яке є типовим для кожного вікового етапу зумовлює динаміку психічного розвитку протягом відповідного вікового періоду і нові якісно своєрідні психологічні утворення...
31719. Формування моральної свідомості 39 KB
  Для періоду дитинства взагалі характерне засвоєння моральних норм і перетворення останніх на регулятори поведінки та діяльності дитини через наслідування відповідних дій дорослих. 3 погляду педагогіки це орієнтація на максимальне усвідомлення у межах вікових психологічних можливостей дитиною моральних вимог що їх постійно висуває перед нею життя орієнтація на природну творчість дитини. У моральній свідомості учнів розрізняють два взаємопов'язаних рівні: теоретичний система моральних знань того чи іншого рівня узагальненості та рівень...