73510

Момент количества движения и момент силы относительно неподвижной оси

Лекция

Физика

Пусть относительно некоторой точки О лежащей на этой оси момент количества движения а момент силы. Моментом количества движения или моментом импульса относительно оси называют проекцию на эту ось вектора определенного относительно произвольной точки на оси...

Русский

2014-12-17

3.09 MB

0 чел.

60

5Момент количества движения и момент силы относительно неподвижной оси

Рассмотрим неподвижную ось . Пусть относительно некоторой точки О, лежащей на этой оси, момент количества движения -  , а момент силы - .

РИС. 3-15

Моментом количества движения (или моментом импульса) относительно оси  называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки на оси: .

Аналогично вводится понятие момента силы относительно данной оси:  .

Свойства этих величин выясним, спроектировав на ось  уравнение моментов:

  .

Производная по времени момента количества движения относительно некоторой оси  равна моменту силы относительно этой же оси.

В частности, если , то .

Если момент силы относительно некоторой неподвижной оси  равен нулю, то момент количества движения частицы относительно этой же оси остается постоянным.

При этом сам вектор  может меняться! Например, может прецессировать вокруг оси.  В качестве примера рассмотрим поворот вектора под действием силы тяжести.


РИС. 3-16

-  поворачивается под действием момента силы тяжести . Также момент силы перпендикулярен оси x, т.е. ее не пересекает:

.

Запишем аналитические выражения для  и , т. е. найдем проекции на ось векторных произведений   и  .

Введем цилиндрические координаты: .

РИС. 3-17   

Тогда:

 -  радиус-вектор от азимута не зависит (так как частица вращается вокруг оси  Oz),

, подставим в выражение для момента количества движения с учетом правила векторного  произведения:

 ( здесь учтен момент импульса, а также выражение для связи линейной и угловой скорости, здесь введена проекция угловой скорости по z, а также  -  момент инерции материальной точки).

Аналогично введем:

, после подстановки в выражение для момента силы, с учетом векторного произведения, получаем:

 ( - проекция вектора силы  на орт ).

Закон сохранения момента количества движения относительно оси можно записать также следующим образом:

если , то  и, следовательно,  -  сохраняется угловая скорость движения.

Для системы материальных точек, жестко связанных между собой, т. е. для твердого тела  (жесткая связь – чтобы  была для всех точек одна):

 {это сумма моментов количества движения отдельных частиц}

=, где  .


Демонстрационные опыты на сохранение момента количества движения

  1.  Скамья Жуковского

Малое трение. Реагирует на вращательный импульс, ось которого вертикальна.

а) Человек сидит,  широко раскинув руки. Приводим во вращение. Момент количества движения  . Человек прижимает руки к телу, момент инерции уменьшается, угловая скорость вращения возрастает:  .

.

Вывод: изменение момента  инерции приводит к изменению угловой скорости вращения.

Вспомним фигуристов, гимнастов, акробатов!

Рассмотрим  регулятор скорости вращения (регулятор Уатта).

РИС. 3 –18

Чем больше , тем больше центробежная сила , тем больше , тем больше , тем меньше   -  обратная связь. Т.е.

б) Человек  сидит неподвижно на скамье Жуковского (обозначим 1) и держит маховик (обозначим 2) с вертикальной осью:   . Раскручивает маховик:  

Вся система приходит во вращение в противоположном направлении:  

Так как  (поскольку радиусы разные), то и  . По-прежнему .

в)  Человек тормозит вращение маховика. Оба момента количества движения обращаются в нуль одновременно. На этом основано управление движением, например,  космических объектов, а также стабилизирующие маховики  (гироскопы).

г)  Если ось маховика горизонтальна, его можно крутить сколько угодно, и система не приходит во вращение: .    , следовательно,  и .

РИС. 3-19

д)  При повороте оси вращения маховика вся система приходит во вращение (так как  и  ) таким образом, чтобы .

Опыт Эйнштейна – де Гааза

(данный материал является дополнительным)

Каждый атом обладает некоторым моментом количества движения относительно выбранной оси. Однако тела, состоящие, как известно, из атомов, не вращаются самопроизвольно, так как полный (суммарный) момент количества движения всех атомов уравновешивается всевозможными внешними силами (моментами сил), действующими на тело (например, силой трения). Как правило, однако, хотя , из-за хаотической ориентации .

Итак, некоторое твердое тело, например брусок из магнитного материала, подвешено вертикально (вдоль оси z) и никакого внешнего движения не имеет. Однако внутри имеются .


РИС. 3-20

Если бы мы теперь нашли способ, чтобы установить все  в одном направлении, то

, т. е. , и все тело в целом должно начать вращаться в противоположном направлении, чтобы обеспечить закон сохранения момента количества движения .

Как организовать установление атомных  в одном направлении?

Известно, что момент количества движения атома  связан с его магнитным моментом  через так называемое гиромагнитное отношение.

Конкретно:   ;  ;   ;   

 -  магнитное квантовое число,   =0, 1, 2…  (для орбитального движения).

 -  собственный момент количества  движения электрона.

.

Значит, если намагнитить тело, т. е. установить атомные магнитики в одном направлении, то и  установятся в одном направлении, следовательно, .

Из этого опыта определялась величина гиромагнитного отношения.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия частицы, находящейся на расстоянии  от оси:

.

Отсюда – кинетическая энергия всего вращающегося  тела:

,      - момент инерции тела.

Таким образом, в механике вращательного движения момент инерции играет роль массы, а угловая скорость – роль линейной скорости в поступательном движении.

Работа сил, вращающих тело

Покажем, что работа сил, вращающих тело, за промежуток времени t равна .

Для этого надо вспомнить определение работы и вместо силы использовать выражение  (с. 55), а вместо , т.е. использовать выражение для скорости и связь ее с угловыми характеристиками.

Для справки!

Вычисления моментов инерции: Стрелков С.П. «Механика», 1965 г. (§59).

Теорема Гюйгенса-Штейнера 

Если  известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, , то момент инерции относительно любой параллельной ей оси есть . Здесь а - расстояние между осями.

Таким образом, зная момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, сразу находим момент инерции относительно любой другой оси.


Для доказательства рассмотрим две оси, ось
z  -обозначим О - совпадает с центром масс,  и О проходящую через т. (x0 y0). Расстояние между осями

.

Пусть частица с массой тела mi имеет координаты (xi , yi).  

РИС. 3-21

Момент инерции относительно оси O (по определению) имеет следующий вид:

Для второй оси О:

. Раскроем скобки и произведем суммирование. В итоге получим искомую теорему. При этом также учитывается, что члены, соответствующие моментам сил в поле тяжести, равны нулю! Это члены вида:

для x, и аналогичный для y.

Литература  к лекциям 1- 5

  1.  И. Е. Иродов. «Основные законы механики», 2-е изд., 1978 год.
  2.  С. Э. Хайкин. «Физические основы механики», 2-е изд., 1971 год.
  3.  С. П. Стрелков. «Механика», 3-е изд., 1975 год.
  4.  Берклеевский курс физики: Ч.Киттель, У.Найт, М.Рудерман «Механика», 1971 г.
  5.  А. В. Астахов. «Механика. Кинетическая теория материи» (Курс физики, т. 1),
    1977 г.

Д. В. Сивухин. «Общий курс физики», т.1 . Механика, Москва, 1974 г.

5 Лекция 5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81266. Государство в политической системе общества 37.11 KB
  Признание соблюдение и защита прав и свобод человека и гражданина обязанность государства ст. В идеале каждое современное государство стремится к тому чтобы его социальная основа закрепленная конституцией которую составляют все подданные государства превратилась в его реальную основу. Особое место и роль государства в политической системе общества определяется еще и тем что в его руках находятся огромные материальные и финансовые ресурсы.
81267. Партии в политической системе общества 38.8 KB
  Политические партии с привычными для нас признаками оформленное членство в партии партийные билеты взносы внутрипартийная дисциплина появились в Европе с возникновением массового рабочего движения. Существующие сейчас политические партии по организационной структуре делятся на: организационно оформленные и организационно неоформленные. В партиях первого типа члены партии получают партийные билеты и платят партийные взносы.
81268. Понятие права. Основные концепции правопонимания 41.16 KB
  Основные концепции правопонимания Право один из видов регуляторов общественных отношений; в многотысячелетней истории юриспруденции не раз указывалось что в вопросах о праве следует избегать универсальных определений общепризнанного определения права не существует и в современной науке. Конкретное определение права зависит от типа правопонимания которого придерживается тот или иной учёный то есть его представлений о праве. Различные ученые выделяют различные признаки права однако практически все теории признают следующие признаки: ...
81269. Право в системе социальных норм. Технико-юридические нормы 37.18 KB
  Техникоюридические нормы. Социальные нормы правила регулирующие поведение людей деятельность организаций в их взаимоотношениях. Социальные нормы имеют общий характер регулируют типичные ситуации и рассчитаны на многократное применение. В системе социальных норм выделяют помимо правовых норм: моральные нормы правила поведения с точки зрения добра и зла; религиозные нормы правила поведения регулирующие отношения между людьми через призму божественного начала; корпоративные нормы правила поведения регулирующие отношения людей в...
81270. Теория естественного права 35.42 KB
  В ее основе лежат следующие идей: Политическая и правовая жизнь общества должна соответствовать требованиям естественного права вытекающих из природы человека и гражданина. В этой связи действующее в государстве законодательство призвано закреплять и обеспечивать права и свободы людей обусловленные их естественной природой. Теория естественного права покоится на признании цивилизации которые имеют приоритетное значение.
81271. Историческая школа права 38.03 KB
  Основные положения Представители исторической школы права исходили из консервативного исторического понимания права. Их идеи были своеобразным противопоставлением концепции естественного права являвшейся идеологическим оружием революционной буржуазии. Историческая школа права выступала в защиту феодальных порядков против преобразования существующих отношений с помощью нового законодательства объясняя это тем что право должно складываться исторически.
81272. Социологическая школа права 34.87 KB
  Сторонники социологической школы права считали что действующие правовые акты не всегда адекватны экономическим и социальным условиям. Основные положения социологической теории права сводятся к следующему: Теория подходит к праву не формальноюридически а с позиций реальной жизни. Обращаясь к ней как к источнику права становится возможным понять его сущность.
81273. Психологическая теория права 37.25 KB
  Оригинальную психологическую теорию права выдвинул Лее Иосифович Петражицкий 18671931 профессор юридического факультета Петербургского университета депутат I Государственной Думы от партии кадетов. Его взгляды наиболее полно изложены в книге Теория права и государства в связи с теорией нравственности 1907 г. Интерпретация права с позиций психологии позволяет поставить юридическую науку на почву достоверных знаний полученных путем самонаблюдения либо наблюдений за поступками других лиц.
81274. Нормативистская школа права 35.26 KB
  Теория права должна быть свободной от идеологии и представлять собой чистую науку. Суть нормативистской теории составляют следующие положения: право является пирамидой норм; во главе данной пирамиды стоит суверенная норма определяющая смысл остальных норм конституция; каждая норма в данной иерархии черпает юридическую силу от вышестоящей и в конечном итоге от суверенной нормы; сила права зависит от разумности построения всей иерархической правовой системы; право живет только в кодифицированных юридических нормах то есть не...