73511

Релятивистская механика

Лекция

Физика

Проблемы движения макроскопических тел материальных точек в условиях больших скоростей относительного движения рассматриваются специальной теорией относительности и общей теорией относительности строго говоря скорость меньше или приближается к скорости света но не равна. Построение теории относительности происходит на основе нескольких экспериментальных фактов: однородность и изотропность пространства; существует максимальная скорость передачи сигнала и следовательно максимальная скорость движения тел равная скорости света в...

Русский

2014-12-17

6.26 MB

0 чел.

III. 6Релятивистская механика

Переходим к  рассмотрению проблем  механики без введенного ранее ограничения - малость относительной скорости перемещения ИСО  .

Упомянутое ограничение было обусловлено необоснованными (в общем случае) предположениями. Вот эти предположения.

1) Инвариантность течения времени: .

Способ синхронизации часов путем посылки сигналов точного времени от «первичных»   часов к «вторичным». Поправка к «вторичным» часам , где  - скорость распространения сигнала точного времени.

Можно, между прочим, построить релятивистскую механику, основанную на любой скорости распространения сигнала, например, скорости звука или скорости пешехода (гонца) и т. п. Однако это будет лишь математическое развлечение, забава – механика в выдуманном мире.

Итак, наше первое предположение состояло в том, что течение времени не зависит от выбора ИСО, т.е. оно является абсолютным, инвариантным относительно выбора ИСО.

2) Инвариантность отрезков в различных ИСО:

  ,

  ,

   .

Эти два предположения приводят к так называемым галилеевым преобразованиям

   и к классической механике Галилея-Ньютона.

Проблемы движения макроскопических тел  (материальных точек) в условиях больших скоростей относительного движения  рассматриваются специальной теорией относительности и общей теорией относительности (строго говоря, скорость меньше или приближается к скорости света, но не равна).  


Общая теория относительности (ОТО)

современная физическая теория пространства,  времени  и тяготения, окончательно сформулированная А.Эйнштейном в 1916 г.

В основе ОТО лежит экспериментальный факт равенства инерциальной массы (входящей во 2-ой закон Ньютона) и гравитационной массы (входящей в закон всемирного тяготения) для любого тела; это приводит к принципу эквивалентности Эйнштейна.

Равенство инерциальной и гравитационной масс проявляется в том, что движение тела в поле тяготения не зависит от его массы. ОТО  трактует тяготение как искривление пространственно-временного континуума (криволинейные четырехмерные координаты ).

Специальная, или частная, теория относительности  (СТО) (1905г.)

рассматривает свойства пространства-времени  в приближении, в котором эффектами тяготения можно пренебречь (гравитационные массы – малые, по сравнению с массой звездных скоплений).

Логически СТО является частным случаем ОТО, но исторически развитие теории происходило в обратной последовательности: СТО – 1905 г., ОТО – 1916 г.

Построение теории относительности происходит на основе нескольких экспериментальных фактов:

1) однородность и изотропность пространства;

2) существует максимальная скорость передачи сигнала (и, следовательно, максимальная скорость движения тел), равная скорости света в вакууме

м/c      (Бертоцци, 1964 г.);

3) для света неприменима классическая формула сложения скоростей.

По Галилею: . Мы будем рассматривать  опыт по распространению  света в движущей среде (опыт Физо, 1851 г.).  Вода движется со скоростью V, скорость света в неподвижной воде:

, n - показатель преломления.


Вместе с тем для наблюдателя, относительно которого свет движется, из принципа относительности Галилея: .

Эксперимент показывает:

, где  коэффициент увлечения;

для воды расчет дает =0.438, опыт Физо - =0.46, опыт Майкельсона - Морли (1886 г.) =0.4340.020;

4) скорость света не зависит от взаимного движения приемника или источника света; т.е. скорость не зависит, испущен ли сигнал от движущегося или покоящегося тела;

астрофизические исследования подтверждают это.

При построении СТО (специальной теории относительности Эйнштейна) исторически огромную роль сыграли астрономические наблюдения и эксперименты по определению скорости света.

Самый крупный объект, которым занимается  механика, (мы об этом уже говорили) – это Вселенная. Теоретическим фундаментом науки о строении Вселенной является ОТО.

1922-1924 г.г. - А. А. Фридман построил нестационарную модель Вселенной на основании уравнений ОТО:

плотность вещества во Вселенной  либо уменьшается, либо увеличивается, т.е. Вселенная либо расширяется, либо сжимается.

Сам А. Эйнштейн не нашел стационарных решений  уравнений созданной им теории и полагал, что теория ошибочна. Мысль об эволюции Вселенной вообще считалась нелепой - ведь все давно привыкли к тому, что видимая часть Вселенной не меняется.

Аристотель по этому поводу писал:

«В продолжении всего прошедшего времени, согласно летописям, завещаемым потомкам от поколения к поколению, мы не находим следа изменений ни во всем удаленном небе в целом, ни в одной из подходящих частей неба».

Оказалось, что уравнения ОТО содержали больше, чем мог допустить их творец. Чтобы получить стационарные решения, Эйнштейну пришлось  в уравнения наряду с силами всемирного тяготения ввести гипотетические силы всемирного космического отталкивания. Эйнштейн думал, что Фридман допустил ошибку. Экспериментально факт расширения Вселенной установил в 1929 г. американский астроном Э. П. Хаббл: . В этой формуле выражена взаимосвязь между скоростью удаления объекта v и радиусом r через постоянную Хабла H. Обратное значение этой постоянной представляет время с начала расширения Вселенной
(10-20 млрд лет). Итак, возраст Вселенной 15-18 млрд.лет, возраст (геологический) Земли ~5 млрд лет.

Что представляет собой наблюдаемая Вселенная?

Горизонт событий ,  где  ~1018с - возраст Вселенной, =31010см/с - скорость света. ~31028с=10000Мпс.

Расстояние от Земли до Солнца 1.51013см; радиус Земли 6.4108 см.

Наблюдаемая часть Вселенной – Метагалактика.

Звезды разбросаны в пространстве совершенно неравномерно. Они группируются в большие системы, разделенные огромным расстоянием. Каждая такая система содержит ~1011 звезд – это галактика. Образуются скопления галактик размером ~1023см. Мы находимся в одной из галактик  (спиральной). Млечный путь – часть нашей галактики.

Пространство между галактиками и их скоплениями заполнено очень разреженным газом, кроме того, имеются космические лучи  (энергии 109-1018 эВ, преимущественно состоят из протонов) и электромагнитное излучение.

Итоги

Метагалактика – это вся наблюдаемая область Вселенной. Основные элементы ее крупномасштабной структуры – галактики и скопления галактик.

Галактики – стационарные гравитационно-связанные звездные системы.

Звездная система, в которую входит наше Солнце – Галактика, содержит 1011 звезд, ее масса ~21044 г = 1011 Мо 0 - масса Солнца 1033 г), а полная излучаемая звездами энергия (светимость) составляет 31043 эрг/с.

Существуют галактики разных типов.

Спиральная галактика: концентрация звезд к центру галактики возрастает, образуя ядро, которое является источником радио- и инфракрасного излучения; из ядра происходит также истечение газа. Имеется множество подобных галактик – например: Туманность Андромеды (ее масса и светимость в 2 раза больше по сравнению с нашей Галактикой); другие спиральные галактики не так массивны (109-1011Мо).

Эллиптические галактики, подобные сферическим подсистемам спиральных: карликовые (107-108о, гигантские (1012Мо, в 10 раз больше нашей Галактики). Светимости пропорциональны массам.

Третий тип галактик – неправильные: их массы и светимости не превышают 0.1 доли этих величин для  нашей Галактики.

Эти три типа галактик открыты Хабблом.

Известны и другие типы галактик, не укладывающиеся в первоначальную классификацию. Экстремальными объектами такого рода являются квазары. В них звездная составляющая не обнаруживается: или вообще отсутствует, или (что более вероятно) имеется, но дает весьма малый вклад в полную светимость, доходящую до 1046-1047 эрг/с, что на 3-4 порядка больше светимости  нашей Галактики. Эта энергия исходит из областей размером 1016-1018 см (на 4-6 порядков меньше Галактики). Вследствие гигантской светимости квазары видны на очень больших расстояниях. Именно квазары являются самыми удаленными объектами, очерчивающими границы Метагалактики.

Большая часть галактик входит в группы или скопления галактик: первые содержат десятки, а вторые – сотни и даже тысячи участников. Судя по динамике галактик в скоплениях, можно ожидать, что в них содержится еще больше (в 3-10 раз) количества вещества, которое проявляет себя только гравитационно («скрытые массы»).

Иерархия космических структур обрывается на скоплениях  и сверхскоплениях.

В различных областях Метагалактики, имеющих размер, значительно превышающий средний размер скоплений и сверхскоплений, т.е. ~100-300 Мпс и более, и содержащих много галактик и скоплений, средняя плотность видимого вещества галактик оказывается одинаковой, где бы эти области ни находились:

~(1-5)10-31 г/см3.

С учетом «скрытых масс» эта величина возрастает в 3-10 раз: 10-31  10-29 г/см3.

Среднее расстояние между скоплениями 30 Мпс (в 10 раз больше, чем размеры скоплений). Однако, если взять в 10 раз больший масштаб, то в кубе со стороной 300 Мпс будет находиться приблизительно 1000 скоплений галактик, и в таком масштабе Вселенная практически однородна. Отклонения от среднего значения плотности распределения вещества в масштабе 1000 Мпс не превышает 3%, а в больших масштабах эти отклонения еще меньше.

Напоминание: 1 Мпс=106пс30,91018км=30,91023см.

Таким образом:

1. Важнейшей особенностью Вселенной является ее неоднородность в малом масштабе и однородность в большом масштабе.

2.  Вторая фундаментальная особенность Вселенной  - нестационарность.

Теория тяготения Ньютона описывает нестационарность Вселенной.

Пользоваться теорией тяготения Эйнштейна (1916 г.) нужно только в том случае, когда гравитационные поля становятся очень сильными, а скорости движения в них приближаются к скорости света.

Рассмотрим такие приложения.

1) Сферически-симметричная однородная материальная оболочка не создает никакого гравитационного поля во внутренней полости.    Это действительно так, если  записать для двух площадок на оболочке  .

Здесь использован 3-ий закон Кеплера и выражение для ускорения по круговой орбите материальной точки:

 и .

И для силы, с которыми площадки массами М1 и М2 на оболочке притягивают материальную точку с массой m внутри нее:

           .

                                                                     

Итак, силы уравновешиваются. Значит,  внутри сферы нет сил тяготения.

В однородной Вселенной выделяем шар произвольного радиуса . Галактики, находящиеся на границе сферы, будут притягиваться к центру шара с силой, пропорциональной массе шара  и обратно пропорциональной .

По доказанному выше, все остальное вещество Вселенной (можно представить, как последовательные сферические оболочки все большего и большего радиуса) ничего не добавит. Следовательно, галактика  на поверхности шара  притягивается к его центру .

Ускорение, согласно 3-музакону Кеплера: . Следовательно, любые две галактики, находящиеся в однородной Вселенной на расстоянии , испытывают относительное ускорение.

Итак,  в общем случае Вселенная должна быть нестационарной. Будет сжиматься или расширяться – зависит от начальной скорости. Галактики должны двигаться – удаляться или сближаться, радиус  должен изменяться со временем, плотность вещества должна изменяться со временем.

Величину скорости теория не дает – она берется из наблюдений.

Вернемся к закону Хаббла.

Закон Хаббла:  скорость  ( - постоянная Хаббла, 500 км/сМпс по определению Хаббла).

Чтобы установить свой закон, Хаббл определял расстояния до галактик и вычислял их скорости по величине красного смещения (эффект Допплера - увеличение длины волны  при движении источника света). В первых работах (1929г.) максимальные скорости были около 1200 км/с, что соответствует0.004. Эти галактики находятся в ближайших наших окрестностях. В настоящее время наблюдательные возможности астрономии увеличились, измеряются 0.637 (для галактик) и до 3.5 (для квазаров) и расстояния – до 1010пс. Все это привело к тому, что теперь постоянная Хаббла 50-100 км/сМпс.

Как меняется расширение Вселенной в прошлом?

Ускорение (замедление) разбегания галактик, как мы уже установили выше,

.

Определим зависимость радиуса шара от времени, учтя определение плотности:

 ( - плотность вещества,  310-31310-28 г/см3).

Тогда

 -  ускорение прямо пропорционально расстоянию.

Получается, что в настоящий момент времени и скорости разбегания галактик, и их ускорения (замедление) пропорциональны расстоянию. Значит, так будет и в последующие моменты времени, и так было в предыдущие моменты времени. Однако расширение тормозится, раньше коэффициент пропорциональности был больше.

Сделаем оценки с учетом закона Хаббла:

км/сМпс210-18 с –1.

Обратная величина ~21018 с -  возраст Вселенной  1018/864001013 суток 31010 лет 30 млрд. лет.

Возраст Земли (по распаду радиоактивных элементов) ~3 млрд. лет.

Горизонт событий 31010см/с 1018с=31028с=10000Мпс.

За пределами горизонта событий мы ничего не знаем о Вселенной.

Поэтому знание скорости света важно для самых фундаментальных физических соображений о горизонте событий и о структуре и свойствах Вселенной в целом.

2) Знание скорости света в вакууме и в различных средах существенно для проверки важнейших соотношений теории Максвелла:  в теории Максвелла.

3) Практическое применение (повышение точности радиолокационных измерений – особенно в космосе).


Скорость света в вакууме
(c) является одной из основных физических постоянных.

1) Величина скорости распространения света в свободном от вещества пространстве  не зависит от частоты излучения (экспериментально проверено от радиоволн длиной ~1км до - лучей).

2) Скорость света в вакууме входит в   уравнения электромагнитной теории Максвелла, куда она попала исходно как некоторый коэффициент перехода от одной системы единиц к другой, и лишь затем выяснилось неслучайное совпадение этого коэффициента со скоростью света в вакууме.

3) Скорость света в вакууме входит в некоторые важные константы атомной теории:

- магнетон Бора эрг/Гс,

- обратная постоянная тонкой структуры .

Методы определения скорости света

Методы определения скорости света делятся на два класса: астрономические и лабораторные.

Астрономические методы

Астрономические методы имеют в настоящее время главным образом историческое значение, и мы рассмотрим лишь два из них.

1) 1675 г., О. К. Рëмер: нарушение периодичности затмений спутника Юпитера Ио – открыт Галилеем в 1610 г. вместе с еще тремя спутниками Юпитера.        

РИС. 4-1

=1.77 сут.=152928 с.

(За это время наблюдается затмение Ио с Земли).

РИС. 4-2

- Солнце,  - Земля, - Юпитер.

Пока Земля  перемещается из позиции   в    позицию , произойдет  затмений Ио. Суммарное время наблюдения всех этих затмений: .

При перемещении из  в  произойдет столько же затмений Ио. Суммарное время всех этих затмений:

.

Разность времен:   .

Наблюдалось  с; =150000000 км.  Значит 300000км/с=31010 см/с.

(Рëмер получил 214000 км/с, так как он не знал точно радиус орбиты Земли!)

2) Аберрация неподвижных звезд.

1725 г., Дж. Брэдли  обнаружил сезонное изменение положения звезд, в частности -Дракона, находящейся в зените: почти круговое движение с диаметром 40.5 угл. сек. Для звезд, более близких к горизонту, обнаружилось движение по более или менее вытянутым эллиптическим орбитам, длина большой оси тоже ~40.5 угл.сек. Это явление не связано с движением самих звезд (смещение одинаковое и очень большое!). Скорость света конечна, а наблюдение ведется с Земли, движущейся по орбите с некоторой немалой скоростью (система отсчета, связанная с Землей, не является инерциальной).

РИС. 4-3

Наблюдателю, находящемуся на Земле, кажется, что свет имеет горизонтальную составляющую скорости .

Для звезды, находящейся в зените, аберрация является максимальной, когда скорость Земли перпендикулярна линии наблюдения. При этом

,  =30 км/с,   ”=110-4рад,  .

Отсюда 300000 км/с=31010 см/с.

Лабораторные методы

1)  Метод Физо.       А. Л. И. Физо (1849 г.).

РИС. 4-4


Время прохождения светом базы длиной
L,  .

Выйти в базу свет может только в том случае, если на его пути будет отверстие, а не зубец. Если прерыватель вращается с такой угловой скоростью, что за время «путешествия» на его пути окажется зубец, то наблюдатель увидит затемнение. Для этого необходимо, чтобы за время  прерыватель повернулся на угол  (угловое расстоянием между просветом и зубцом).

При угловой скорости вращения колеса  это условие выполнится, если время прохождения базы L  совпадет с временем поворота на один зубец:  

.

Из приведенной ниже таблицы видно, как повышалась точность измерения скорости света  этим методом по мере увеличения базы и наблюдения затмения более высокого порядка (Перротен в 1902 г. наблюдал затемнение 32-го порядка):

Физо (1849 г.)

=8.63 км

=315000 км/с

Корню (1876 г.)

=23 км

=300000300 км/с

Перротен (1902 г.)

=46 км

=29987050 км/с

В более современных установках, основанных (в принципе) на методе Физо, используют в качестве прерывателя электрооптические кристаллы (эффект Керра) или пьезокварцевые модуляторы (дифракция в кварце при прохождении звуковых волн) – это в видимой области спектра, а в качестве приемника – фотоэлементы и фотоумножители. При этом удалось сократить базу до ~3м. Используются также модификации этого метода с вращающимся зеркалом, где время прохождения базы фиксируется по смещению «зайчика».

В радиочастотном диапазоне и в диапазоне  - излучения используют метод совпадения импульсов – тот же метод Физо, но чувствительность приемника модулируется с частотой .

РИС. 4-5

На приемнике появляется сигнал только в том случае, если время прохождения базы () . Отсюда .

2) Метод объемного резонатора.

Можно с высокой степенью точности определить число полуволн электромагнитного излучения, укладывающихся в объемном резонаторе. Скорость света определяется из соотношения

,          .

Этим методом получено: 299792.51 км/с.



3) Распространение света в движущейся среде (А.  Л. И. Физо, 1851 г.).

Вода движется со скоростью .

РИС. 4-6

Скорость света в неподвижной воде , где  - показатель преломления.

Для наблюдателя, относительно которого свет  движется,

- из принципа относительности Галилея.

Экспериментально было установлено (и подтверждено современными измерениями):

.

Следовательно, классическая формула сложения скоростей здесь неприменима.

, где величина  - коэффициент увлечения, .


Для света, распространяющегося в воде:

расчетное значение:             =0.438;

Физо:                                       =0.46;

Майкельсон-Морли (1886 г.): =0.4340.020.

Итак, экспериментально установлено следующее.

  1.  Скорость света в вакууме является физической константой
    (мировой постоянной) 299792456.2
    1.1 м/с и не зависит  от частоты электромагнитных волн и от способа измерения.
  2.  Для скорости света неприменима классическая формула сложения скоростей (опыт Физо, 1851 г.), т.е. основанная на принципе относительности Галилея:

Галилей -    ,

Физо -           .

 

Рассмотрим эксперименты, подтверждающие следующее.

3) Скорость света не зависит от взаимного движения приемника или источника.

а) Опыт Майкельсона-Морли

А. А. Майкельсон (1881 г.) поставил опыт с целью измерения влияния движения Земли на скорость света.  Был использован интерферометр с равными плечами, одно - по движению Земли, другое перпендикулярно. Искался эфирный ветер, якобы увлекаемый Землей при ее прохождении через эфир, который и должен менять скорость света. Опыт не дал результата, как  и опыт Морли в 1885 г.

РИС. 4-6-1

б) Опыт Саде (данный материал можно пропустить)

Опыт Саде (1963 г.) по влиянию движения электрон-позитронных пар на скорость испускаемых  - лучей. Распространяющаяся с испусканием  - лучей частица (электрон-позитронная пара) движется со скоростью ~, и измеряется скорость распространения  - лучей для этого случая и для неподвижной пары. С точностью  10% установлено, что скорость - лучей в обоих случаях одинакова и равна .

4) Скорость света является максимальной достижимой скоростью движения материальных частиц  

Опыт Бертоцци,1964 г.

РИС. 4-7

Электроны ускоряются электростатическим полем, а затем свободно движутся в вакууме без поля. Кинетическая энергия электронов определяется по нагреву мишени из Al. В результате ускорения полем электрон приобретает кинетическую энергию . В данном опыте =106 В, =106эВ=1 МэВ=1.610-6 эрг.

Если поток электронов составляетштук в секунду, то на мишени выделяется мощность  эрг/с  -  это точно определяется термопарой.

Зная величину тока (,  - заряд электрона), можно легко рассчитать  .

С другой стороны,  ( - масса электрона). Скорость электрона можно измерить по времени пролета t участка L. Теперь можно построить график зависимости v2 от K, где обе величины измерены независимо. В классической механике эта зависимость должна быть линейной.

РИС. 4-8

Максимальной достижимой скоростью движения материальных частиц, как следует из эксперимента,   действительно является скорость света.

Зная лишь часть изложенной информации, Эйнштейн сформулировал постулат (принцип относительности):

Скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям и в любой области данной ИСО и одинакова во всех ИСО.

Из постулата следует:

в системе  (неподвижной)   ,

в системе  (движущейся)  .

Это означает, что световая волна, сферическая в одной ИСО, будет сферической в любой другой ИСО.

Известные нам соображения о равноправии всех ИСО Эйнштейн сформулировал таким образом:

Все тождественные физические явления во всех ИСО при одинаковых начальных условиях протекают одинаково.

Это означает отсутствие какой-либо привилегированной системы отсчета, отсутствие абсолютного пространства. Все ИСО равноправны. Для построения СТО достаточно добавить сюда экспериментальный факт, что скорость света в вакууме является предельной скоростью передачи сигнала. Так как все ИСО равноправны и во всех ИСО законы природы идентичны, то и скорость света должна быть одинаковой во всех ИСО.

6 Лекция 6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5156. Рушійні сили економічного прогресу: протиріччя, потреби, стимули, інтереси 2.09 MB
  3 виникнення політичної економи представники її різних напрямів, шкіл і течій намагалися з'ясувати рушійні сили розвитку економіки. Так, причини розвитку суспільства, в тому числі економіки, вони вбачали у зростанні населення, географічному середовищі, прогресі техніки, психобіологічних...
5157. Будущее железнодорожных вокзалов 156.5 KB
  Будущее железнодорожных вокзалов. Железные дороги и вокзалы оказывают заметное влияние на развитие городов, вносят изменения в их структуру. В свою очередь, город предъявляет все более новые требования к решениям транспортных узлов и комплексам вокз...
5158. Расчет и выбор посадок подшипников качения 67 KB
  ЗАДАНО: Условное обозначение подшипника 1216 класс точности 0 нагрузка радиальная корпус вращается: характер нагрузки - (тяжелый). 1. Расшифровать условное обозначение подшипника: 1216 — подшипник шариковый радиальный сферический двухря...
5159. Определение гранулометрического (зернового) состава грунта 61 KB
  Определение гранулометрического (зернового) состава грунта. Цель работы: определить вид и степень неоднородности грунта. Приборы и оборудование: набор сит (с поддоном) сита с размером отверстий 107 53 2 1 0,5 0,25 мм весы лабораторные по ГО...
5160. Определение физических характеристик грунта 124 KB
  Определение физических характеристик грунта Цель работы: определить основные и производные физические характеристики грунта. Приборы и оборудование: весы лабораторные по ГОСТ 19491 пикнометры по ГОСТ 22524-77 шкаф сушильный шпатель режущее коль...
5161. Определение консистенции связного грунта 40.5 KB
  Определение консистенции связного грунта. Цель работы: определить вид и состояние глинистого грунта. Приборы и оборудование, весы лабораторные по ГОСТ 19491 ступка фарфоровая по ГОСТ 9147-73 пестик по ГОСТ 9147-73 с резиновым наконечником чашка ф...
5162. Компрессионные испытания грунтов 161.5 KB
  Компрессионные испытания грунтов. Цель работы: освоить методику испытания грунта методом компрессионного сжатия для определения коэффициента сжимаемости, модуля деформации Е, структурной прочности на сжатие . Приборы и оборудование: компрессионный...
5163. Определение прочностных характеристик грунта 114 KB
  Определение прочностных характеристик грунта Цель работы:освоить методику испытания грунта методом одноплоскостного среза для определения прочностных характеристик грунтов (сопротивления грунта срезу угла внутреннего трения и удельного сцепле...
5164. Дорожная строительная техника. Погрузчики 342.5 KB
  Погрузчики Погрузчики – это современные высокопроизводительные машины, предназначенные для выполнения землеройных работ, погрузки и переработки разнородных материалов: различных видов грунтов и горных пород, угля, песка, щебня, металлической ст...