73512

Движение в инерциальных системах отсчета, перемещающихся друг относительно друга с любой скоростью

Лекция

Туризм и рекреация

Заряд q в системе покоится – следовательно, в этой системе он создает лишь электростатическое поле; в системе этот заряд движется. Движение заряда эквивалентно протеканию тока и, значит, приводит к возникновению магнитного поля.

Русский

2014-12-17

8.37 MB

0 чел.

Перешли к изучению III крупного раздела нашего курса:

движение в инерциальных системах отсчета, перемещающихся друг относительно друга с любой скоростью   .

Мы говорили о том, что скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям и в любой области ИСО и одинакова во всех ИСО.

В свою очередь, это утверждение о сферичности электромагнитной волны в любой ИСО приводит к явлению относительной одновременности.

Первое важное обстоятельство - относительность одновременности

РИС. 4-9

В системе  фотоэлементы ФЭ1 и ФЭ2    сработают одновременно.

В неподвижной системе отсчета   фронт световой волны будет по-прежнему
(как и в ) сферическим. Поскольку ФЭ1 приближается к источнику, а ФЭ2 удаляется от него, сначала сигнал регистрирует ФЭ1, потом ФЭ2.

События, которые происходили одновременно в , сделались неодновременными в .


Второе важное обстоятельство - преобразования Галилея меняют вид уравнений Максвелла

(уравнения Максвелла неинвариантны относительно преобразований Галилея).

РИС. 4-10 

Заряд q в системе  покоится – следовательно, в этой системе он создает лишь электростатическое поле; в системе   этот заряд движется. Движение заряда эквивалентно протеканию тока и, значит, приводит к возникновению магнитного поля.

Итак, один и тот же заряд q:     

  •  в системе  создает лишь электростатическое поле,
  •  в системе создает постоянное магнитное поле.

Этот результат противоречит принципу эквивалентности ИСО (первому постулату Эйнштейна).

Задача, которую решил Г. А. Лоренц (1853-1928):

найти преобразования координат () – такие, чтобы уравнения Максвелла были инвариантны относительно этих преобразований.

Правильность полученных преобразований должна быть подтверждена  инвариантностью законов Ньютона, основ термодинамики, законов сохранения, а также всеми следствиями из этих преобразований.


Преобразования Лоренца

РИС. 4-11

Пусть даны координаты события в системе K: .

Ищем координаты события в системе K’: .

В силу однородности пространства преобразования должны быть линейными:

  16 неизвестных коэффициентов в правой части.

Переходим к определению некоторых соотношений между этими коэффициентами.

(Необходимо знание общего принципа определения коэффициентов.)

1) Рассмотрим движение  начала координат системы K’, т.е. точки . При этом  в силу назначенного направления движения системы K’; по той же причине можем полагать . Получаем:  .

2) Если , то  и  при любых   и  . Следовательно, . Получаем:  .

3) Если , то и  при любых   и  . Следовательно, . Получаем: .

4) В силу изотропности пространства оси  и  равноправны, их можно поменять местами. Из этого следует: .

Осталась система уравнений:

  6 неизвестных коэффициентов в правой части.

Теперь воспользуемся постулатом о постоянстве скорости света в любой ИСО: сферическая волна в любой ИСО.

Напоминание 

Уравнение сферы радиуса :  ; центр сферы находится  в начале координат.

Итак, если световая волна распространяется из начала координат и начала она распространяться в момент времени , то в произвольный момент времени  радиус волновой поверхности есть  .

Уравнение сферической волны:  

.

Условие сферичности волны в любой ИСО:

.

Отсюда видно, что время относительно, так как в противном случае получится, что имеются две одинаковые сферы с центрами в двух различных точках пространства, что бессмысленно.

Подставляем полученные выше выражения для  в это соотношение:

Приравниваем коэффициенты при равных степенях переменных:


Коэффициент   при

Слева

     Справа

Номер уравнения                        

            

1                             =        

(1)

   

1                             =        

(2)

   

1                             =        

(3)

    

                       =         

(4)

   

0                             =       

(5)

   

0                             =        

(6)

   

0                             =        

(7)

   

0                             =         

(8)

   

0                             =         

(9)

    

0                             =         

(10)

Таким образом,  для определения 6 неизвестных коэффициентов мы получили 10 уравнений; значит, эти уравнения не независимы.

Какие между ними связи?

1) Из (2) и (3) следует, что .

2) Из (8) следует, что или , или . Поскольку , то получаем . Тогда . Знак минус соответствует повороту осей на 1800, и вследствие изотропности пространства это не имеет физического смысла.  Выбираем .

3) Поскольку в уравнения (6)-(10) входят справа или ,  или , то они удовлетворяются тождественно и интереса не представляют.

Осталось три уравнения:

 

Из уравнения (5) находим:    .

Подставляем в (4):

                    .

Полученное подставляем в (1):

          

                 

   (знак плюс выбираем из физических соображений – изотропия пространства).

Отсюда сразу находим закон преобразования пространственных координат:

;        ;          .

Подставляем значение  в уравнение (4):

.

Делим на  и находим :

      

.

Подставляем полученное значение и А1  в ранее полученное выражение (5) и находим :

      

.

Находим закон преобразования временной координаты:

.

Итак, получены преобразования Лоренца:

KK’

K’K

      

      

       

    

    

    

Обычно вводят обозначения  . Тогда:

KK’

K’ K

       

       

       

 

    

    

  

Преобразования Лоренца обеспечивают инвариантность уравнений Максвелла при переходе от одной ИСО к другой.

При « преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (), т. е. удовлетворяют принципу соответствия.

Примечание

Уравнение Шредингера неинвариантно относительно преобразований Лоренца


Следствия из преобразований Лоренца

Следствие 1

Относительность длины

Рассмотрим некоторую линейку (масштаб), неподвижную в движущейся системе отсчета .

РИС. 4п-1

Длина этой линейки в системе :

,     -  так называемая собственная длина линейки.

Какова длина этой же линейки в системе , т.е. какую длину этой линейки измерит наблюдатель, находящийся в неподвижной системе отсчета ?

Воспользуемся преобразованиями Лоренца:

Положения концов линии  -  это события, поэтому в системе  нужно задать координаты событий:

 -  положение одного конца линейки,

 -  положение другого конца линейки.

Величина  может считаться длиной линейки (масштаба) в том, и только в том случае, если пространственные координаты обоих концов определяются одновременно, т.е. ,  или  .

Рассмотрим это положение подробнее. Для этого разберем пример.

Пример  

Измерение длины движущегося поезда.

РИС. 4п-2

1) Собственную длину  измеряем непосредственно в поезде путем протягивания мерной ленты через все вагоны и паровоз.

2) Измеряем длину поезда из неподвижной системы координат K.

а) Пусть в момент  измерено положение хвоста поезда ; в момент времени  измерено положение головы поезда . Однако за время  поезд прошел расстояние . Поэтому кажущаяся его длина в неподвижной системе отсчета .

РИС. 4п-3


б) Другая последовательность измерений.

Пусть в момент  фиксируется положение головы поезда , в момент времени  фиксируется положение хвоста поезда .

.

РИС. 4п-4

Если интервал, промежуток времени , достаточно велик, то можно получить абсурдный результат .

Общий вывод 

Пространственной длиной масштаба (или просто длиной масштаба) называется величина  при условии, что пространственные координаты концов его определялись одновременно.

Итак, длина масштаба, измеренная из неподвижной системы отсчета при условии :        

  

 

Длина масштаба  в системе  в направлении движения меньше его собственной длины  в системе . Это явление называется лоренцовым сокращением длины.

Поскольку сокращение происходит только в направлении движения тела, его объем есть     .

Движущееся тело сплющивается в направлении движения.

Вывод 

Длина, линейный размер, объем не являются понятиями абсолютными, они относительны, они зависят от того, в какой системе отсчета они измеряются.

Следствие 2

Относительность промежутков времени

Если часы находятся в точке , то преобразование времени:

.

Пусть в неподвижной системе отсчета прошел некий промежуток времени: начало ,  конец ,  интервал .

Тогда в движущейся системе отсчета:

.

Поскольку   , то всегда .

В движущейся системе отсчета время течет медленнее.

Экспериментальное доказательство явления замедления времени

Распад    +- мезона на     +- мезон и нейтрино:     + ++ .

Среднее время жизни +- мезона (пиона) в собственной системе отсчета (т.е. в системе отсчета, в которой он покоится) равно 0 = 2.510-8 с. В опытах, выполненных в 1952 г., были образованы пучки +- мезонов, для которых , т.е. скорость +-мезонов была близка к скорости света.


Время жизни пионов в лабораторной системе отсчета (в которой они движутся):

  (,  - последним слагаемым пренебрегаем).

Как измерить экспериментально?

Пучки пионов движутся со скоростью . Если бы не существовало явления замедления времени, то до распада пучок проходил бы расстояние

с)(31010см/с) =7.5102 см=7.5 м.

Измеренный путь пучка:

 =750 м, что соответствует 2.510-6с  -  в соответствии с предсказанием СТО.

  

Следствие 3

Инвариантность интервала

(иметь представление о следствии и ходе рассуждений)

РИС. 4п-5

Мысленный эксперимент

В начальный момент времени , когда по условию оба начала отсчета совпадают, в общем начале отсчета проведем вспышку света. В обеих ИСО,   и , свет распространяется по всем направлениям с одинаковой скоростью. Следовательно, в обеих ИСО волновой фронт будет сферическим.

Запишем уравнения сферы:

В системе  

В системе

Мы знаем теперь, что в системах  и  время течет по-разному, значит радиусы сфер (волновых фронтов) будут разными в разных системах отсчета, так что

,

или

,

или

Итак, в данном мысленном эксперименте речь идет о двух событиях:

1) отправление светового сигнала из точки  (конкретно, из точки );

2) приход светового сигнала в другую точку .

Общее определение интервала:

координаты события 1  -  ;

координаты события 2  -  .

Введем обозначение интервала  -     или  .

Основным свойством интервала между событиями является его инвариантность относительно перехода от одной ИСО к другой ИСО.


В неподвижной системе отсчета :

.

В движущейся системе отсчета :

(пользуемся преобразованиями Лоренца, вывод можно пропустить, но нужно знать последовательность математической операции)

==

= ==

  -  что и требовалось доказать.

Рассмотрим плоскость  и  события, происходящие в этой плоскости. Введем новую переменную   - расстояние, которое свет проходит за время .

                                                       РИС. 4п-5а


Геометрическая интерпретация преобразований Лоренца

                                                       РИС. 4п-6

Начала отсчета систем , совпадают, так как, согласно преобразованиям Лоренца, из условия  следует  .

Ищем положение оси . Определением этой оси является условие . Подставляем в преобразование Лоренца: .

Отсюда     -      это уравнение оси .

Следовательно, ось  повернута относительно оси на угол  против часовой стрелки.  При , и угол поворота .

Положение оси  определяется из условия :      .

Уравнение оси :   -  ось повернута относительно оси  на угол  по часовой стрелке. При , и угол поворота . По биссектрисе распространяется свет.

Вывод

Преобразования Лорентца    соответствуют переходу от прямоугольной системе координат  к косоугольной системе .


Переход :

РИС. 4п-7

Следствие 4

Относительность одновременности

(иметь представление о следствии и ходе рассуждений)

РИС. 4п-9

В неподвижной системе  в некоторых точках  и  в моменты времени    и  происходят два события. Пусть события будут одновременными: .


В системе  этим событиям будут соответствовать координаты:

,                     .

Рассмотрим различные варианты

А) Пусть в системе  события 1 и 2 происходят не только одновременно, т.е. , но и в одной точке пространства, т.е. .

Тогда в :  ,          

 , но  (сравните формулы) и  при этом события происходят тоже в одной точке пространства.

Б) В системе  события  происходят одновременно, т.е. , но в разных точках пространства: .

Тогда в :   , т.е. .

События не будут одновременными:

.

Пусть для определенности , т.е. .

а) Положим , тогда , и это означает, что сначала произошло событие 2, затем  событие 1.

б) Положим , тогда , и в системе  сначала произойдет событие 1, затем событие 2.

В зависимости от направления движения системы  может измениться последовательность событий в ней.


РИС.4п-10

Следствие 5

Сложение скоростей в СТО

(иметь представление о следствии и ходе рассуждений)

РИС. 4п-11

Материальная точка P имеет компоненты вектора скорости () в системе .


Ищем компоненты вектора скорости () той же точки
P  в неподвижной ИСО:

,

,

.

Подставляем :

,

,

,

;

(подставляем )

=

=;

  

  

Особая роль   обусловлена тем, что направление движения системы  выбрано вдоль оси .

Пример

Релятивистские преобразования не противоречат закону постоянства скорости света. Пусть ux=c, тогда в движущей системе координат согласно закону сложения скоростей ux=c.

В соответствии с постулатом Эйнштейна скорость света – это предельная скорость распространения сигнала в ИСО.

Пример практического использования теоремы сложения скоростей в СТО.

Аберрация неподвижных звезд

РИС. 4п-12

Система  связана с неподвижными звездами. Система  - на Земле, скорость ее движения  30 км/с относительно неподвижных звезд. Следовательно, неподвижные звезды имеют относительно системы  скорость .

В неподвижной системе отсчета .

В системе :   .

Угол, под которым видны неподвижные звезды  из движущейся системы отсчета:

. Поскольку релятивистская поправка мала (, следовательно, ), то  -  в соответствии с результатами, полученными ранее из геометрических соображений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1796. Толерантність. Позитивне значення толерантності у формуванні цілісної особистості молодої людини 70.5 KB
  Психологічна установка. Поняття про толерантність. Діагностика толерантної особистості. Мудрість з дерева пізнання (Обговорення висловів видатних людей про толерантність). Виконання творчого завдання в групах.
1797. Друг — це означає другий Я 74 KB
  Учити дітей сприймати різні життєві ситуації, аналізувати їх і знаходити шляхи виходу з них, виховувати у дітей правильне ставлення до таких понять як друг, дружба, розвивати в учнів загальнолюдські чесноти.
1798. Урок-виховний захід. Я і мій класний колектив 23.54 KB
  Навчати учнів культури спілкування, пошуку конструктивних способів вирішення проблемних ситуацій у класі, сприяти поліпшенню психологічного клімату в класі, налагодженню доброзичливих стосунків, виховувати в учнів повагу одне до одного, відповідальність за власні слова і вчинки.
1799. Критерії успішної виховної діяльності вчителя 16.85 KB
  Утримування рівня організованості учнівського колективу як у навчанні так і в позаурочній роботі. Підвищення рівня розвитку учнівського колективу (його згуртованість, активність, ініціативність учнів, виховний вплив колективу на його членів).
1800. Виховний захід: Весвітній день Космонавтики 22.38 KB
  Познайомити з історією святкування Всесвітнього дня авіації і космонавтики, ознайомити з біографією першого космонавта України – Леонідом Каденюком, розвивати творчі здібності, мислення, знання про космос, фізичні основи польоту, прививати цікавість до пізнання космічних просторів.
1801. Виховна година: Безпека людини в небезпечних та надзвичайних ситуаціях 39.5 KB
  Актуалізувати і узагальнити знання учнів з безпечної поведінки під час небезпечних та надзвичайних ситуацій, навчити їх запобігати; формувати в учнів якості свідомої особистості, виховувати мужність і спроможність приймати швидкі і правильні рішення в екстремальних умовах; попередити прояви паніки в небезпечних та надзвичайних ситуаціях.
1802. Виховний захід. Свято Миколая 23.89 KB
  Розширити і поглибити знання учнів про народні св′ята, особливо про Миколая. Виховувати в учнів повагу до українських звичаїв та традиції та до спадщини українського народу.
1803. Виховна бесіда: Дезертирство з життя 88.5 KB
  Розкрити значення і цінність життя людини. Формувати уміння бачити в життєвих негараздах лише тимчасові труднощі і бажання долати їх.
1804. Харчування - запорука здорового життя 60.81 KB
  Обговорити правила культури харчування, провести дискусію на дану тему, акцентуючи увагу на зв’язок між здоров’ям і харчуванням, розширювати знання учнів про ГМЇ та ГМО, харчові добавки, розвивати і зміцнювати в учнів естетичні смаки, повагу до традицій і звичаїв української кухні.