73512

Движение в инерциальных системах отсчета, перемещающихся друг относительно друга с любой скоростью

Лекция

Туризм и рекреация

Заряд q в системе покоится – следовательно, в этой системе он создает лишь электростатическое поле; в системе этот заряд движется. Движение заряда эквивалентно протеканию тока и, значит, приводит к возникновению магнитного поля.

Русский

2014-12-17

8.37 MB

0 чел.

Перешли к изучению III крупного раздела нашего курса:

движение в инерциальных системах отсчета, перемещающихся друг относительно друга с любой скоростью   .

Мы говорили о том, что скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям и в любой области ИСО и одинакова во всех ИСО.

В свою очередь, это утверждение о сферичности электромагнитной волны в любой ИСО приводит к явлению относительной одновременности.

Первое важное обстоятельство - относительность одновременности

РИС. 4-9

В системе  фотоэлементы ФЭ1 и ФЭ2    сработают одновременно.

В неподвижной системе отсчета   фронт световой волны будет по-прежнему
(как и в ) сферическим. Поскольку ФЭ1 приближается к источнику, а ФЭ2 удаляется от него, сначала сигнал регистрирует ФЭ1, потом ФЭ2.

События, которые происходили одновременно в , сделались неодновременными в .


Второе важное обстоятельство - преобразования Галилея меняют вид уравнений Максвелла

(уравнения Максвелла неинвариантны относительно преобразований Галилея).

РИС. 4-10 

Заряд q в системе  покоится – следовательно, в этой системе он создает лишь электростатическое поле; в системе   этот заряд движется. Движение заряда эквивалентно протеканию тока и, значит, приводит к возникновению магнитного поля.

Итак, один и тот же заряд q:     

  •  в системе  создает лишь электростатическое поле,
  •  в системе создает постоянное магнитное поле.

Этот результат противоречит принципу эквивалентности ИСО (первому постулату Эйнштейна).

Задача, которую решил Г. А. Лоренц (1853-1928):

найти преобразования координат () – такие, чтобы уравнения Максвелла были инвариантны относительно этих преобразований.

Правильность полученных преобразований должна быть подтверждена  инвариантностью законов Ньютона, основ термодинамики, законов сохранения, а также всеми следствиями из этих преобразований.


Преобразования Лоренца

РИС. 4-11

Пусть даны координаты события в системе K: .

Ищем координаты события в системе K’: .

В силу однородности пространства преобразования должны быть линейными:

  16 неизвестных коэффициентов в правой части.

Переходим к определению некоторых соотношений между этими коэффициентами.

(Необходимо знание общего принципа определения коэффициентов.)

1) Рассмотрим движение  начала координат системы K’, т.е. точки . При этом  в силу назначенного направления движения системы K’; по той же причине можем полагать . Получаем:  .

2) Если , то  и  при любых   и  . Следовательно, . Получаем:  .

3) Если , то и  при любых   и  . Следовательно, . Получаем: .

4) В силу изотропности пространства оси  и  равноправны, их можно поменять местами. Из этого следует: .

Осталась система уравнений:

  6 неизвестных коэффициентов в правой части.

Теперь воспользуемся постулатом о постоянстве скорости света в любой ИСО: сферическая волна в любой ИСО.

Напоминание 

Уравнение сферы радиуса :  ; центр сферы находится  в начале координат.

Итак, если световая волна распространяется из начала координат и начала она распространяться в момент времени , то в произвольный момент времени  радиус волновой поверхности есть  .

Уравнение сферической волны:  

.

Условие сферичности волны в любой ИСО:

.

Отсюда видно, что время относительно, так как в противном случае получится, что имеются две одинаковые сферы с центрами в двух различных точках пространства, что бессмысленно.

Подставляем полученные выше выражения для  в это соотношение:

Приравниваем коэффициенты при равных степенях переменных:


Коэффициент   при

Слева

     Справа

Номер уравнения                        

            

1                             =        

(1)

   

1                             =        

(2)

   

1                             =        

(3)

    

                       =         

(4)

   

0                             =       

(5)

   

0                             =        

(6)

   

0                             =        

(7)

   

0                             =         

(8)

   

0                             =         

(9)

    

0                             =         

(10)

Таким образом,  для определения 6 неизвестных коэффициентов мы получили 10 уравнений; значит, эти уравнения не независимы.

Какие между ними связи?

1) Из (2) и (3) следует, что .

2) Из (8) следует, что или , или . Поскольку , то получаем . Тогда . Знак минус соответствует повороту осей на 1800, и вследствие изотропности пространства это не имеет физического смысла.  Выбираем .

3) Поскольку в уравнения (6)-(10) входят справа или ,  или , то они удовлетворяются тождественно и интереса не представляют.

Осталось три уравнения:

 

Из уравнения (5) находим:    .

Подставляем в (4):

                    .

Полученное подставляем в (1):

          

                 

   (знак плюс выбираем из физических соображений – изотропия пространства).

Отсюда сразу находим закон преобразования пространственных координат:

;        ;          .

Подставляем значение  в уравнение (4):

.

Делим на  и находим :

      

.

Подставляем полученное значение и А1  в ранее полученное выражение (5) и находим :

      

.

Находим закон преобразования временной координаты:

.

Итак, получены преобразования Лоренца:

KK’

K’K

      

      

       

    

    

    

Обычно вводят обозначения  . Тогда:

KK’

K’ K

       

       

       

 

    

    

  

Преобразования Лоренца обеспечивают инвариантность уравнений Максвелла при переходе от одной ИСО к другой.

При « преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (), т. е. удовлетворяют принципу соответствия.

Примечание

Уравнение Шредингера неинвариантно относительно преобразований Лоренца


Следствия из преобразований Лоренца

Следствие 1

Относительность длины

Рассмотрим некоторую линейку (масштаб), неподвижную в движущейся системе отсчета .

РИС. 4п-1

Длина этой линейки в системе :

,     -  так называемая собственная длина линейки.

Какова длина этой же линейки в системе , т.е. какую длину этой линейки измерит наблюдатель, находящийся в неподвижной системе отсчета ?

Воспользуемся преобразованиями Лоренца:

Положения концов линии  -  это события, поэтому в системе  нужно задать координаты событий:

 -  положение одного конца линейки,

 -  положение другого конца линейки.

Величина  может считаться длиной линейки (масштаба) в том, и только в том случае, если пространственные координаты обоих концов определяются одновременно, т.е. ,  или  .

Рассмотрим это положение подробнее. Для этого разберем пример.

Пример  

Измерение длины движущегося поезда.

РИС. 4п-2

1) Собственную длину  измеряем непосредственно в поезде путем протягивания мерной ленты через все вагоны и паровоз.

2) Измеряем длину поезда из неподвижной системы координат K.

а) Пусть в момент  измерено положение хвоста поезда ; в момент времени  измерено положение головы поезда . Однако за время  поезд прошел расстояние . Поэтому кажущаяся его длина в неподвижной системе отсчета .

РИС. 4п-3


б) Другая последовательность измерений.

Пусть в момент  фиксируется положение головы поезда , в момент времени  фиксируется положение хвоста поезда .

.

РИС. 4п-4

Если интервал, промежуток времени , достаточно велик, то можно получить абсурдный результат .

Общий вывод 

Пространственной длиной масштаба (или просто длиной масштаба) называется величина  при условии, что пространственные координаты концов его определялись одновременно.

Итак, длина масштаба, измеренная из неподвижной системы отсчета при условии :        

  

 

Длина масштаба  в системе  в направлении движения меньше его собственной длины  в системе . Это явление называется лоренцовым сокращением длины.

Поскольку сокращение происходит только в направлении движения тела, его объем есть     .

Движущееся тело сплющивается в направлении движения.

Вывод 

Длина, линейный размер, объем не являются понятиями абсолютными, они относительны, они зависят от того, в какой системе отсчета они измеряются.

Следствие 2

Относительность промежутков времени

Если часы находятся в точке , то преобразование времени:

.

Пусть в неподвижной системе отсчета прошел некий промежуток времени: начало ,  конец ,  интервал .

Тогда в движущейся системе отсчета:

.

Поскольку   , то всегда .

В движущейся системе отсчета время течет медленнее.

Экспериментальное доказательство явления замедления времени

Распад    +- мезона на     +- мезон и нейтрино:     + ++ .

Среднее время жизни +- мезона (пиона) в собственной системе отсчета (т.е. в системе отсчета, в которой он покоится) равно 0 = 2.510-8 с. В опытах, выполненных в 1952 г., были образованы пучки +- мезонов, для которых , т.е. скорость +-мезонов была близка к скорости света.


Время жизни пионов в лабораторной системе отсчета (в которой они движутся):

  (,  - последним слагаемым пренебрегаем).

Как измерить экспериментально?

Пучки пионов движутся со скоростью . Если бы не существовало явления замедления времени, то до распада пучок проходил бы расстояние

с)(31010см/с) =7.5102 см=7.5 м.

Измеренный путь пучка:

 =750 м, что соответствует 2.510-6с  -  в соответствии с предсказанием СТО.

  

Следствие 3

Инвариантность интервала

(иметь представление о следствии и ходе рассуждений)

РИС. 4п-5

Мысленный эксперимент

В начальный момент времени , когда по условию оба начала отсчета совпадают, в общем начале отсчета проведем вспышку света. В обеих ИСО,   и , свет распространяется по всем направлениям с одинаковой скоростью. Следовательно, в обеих ИСО волновой фронт будет сферическим.

Запишем уравнения сферы:

В системе  

В системе

Мы знаем теперь, что в системах  и  время течет по-разному, значит радиусы сфер (волновых фронтов) будут разными в разных системах отсчета, так что

,

или

,

или

Итак, в данном мысленном эксперименте речь идет о двух событиях:

1) отправление светового сигнала из точки  (конкретно, из точки );

2) приход светового сигнала в другую точку .

Общее определение интервала:

координаты события 1  -  ;

координаты события 2  -  .

Введем обозначение интервала  -     или  .

Основным свойством интервала между событиями является его инвариантность относительно перехода от одной ИСО к другой ИСО.


В неподвижной системе отсчета :

.

В движущейся системе отсчета :

(пользуемся преобразованиями Лоренца, вывод можно пропустить, но нужно знать последовательность математической операции)

==

= ==

  -  что и требовалось доказать.

Рассмотрим плоскость  и  события, происходящие в этой плоскости. Введем новую переменную   - расстояние, которое свет проходит за время .

                                                       РИС. 4п-5а


Геометрическая интерпретация преобразований Лоренца

                                                       РИС. 4п-6

Начала отсчета систем , совпадают, так как, согласно преобразованиям Лоренца, из условия  следует  .

Ищем положение оси . Определением этой оси является условие . Подставляем в преобразование Лоренца: .

Отсюда     -      это уравнение оси .

Следовательно, ось  повернута относительно оси на угол  против часовой стрелки.  При , и угол поворота .

Положение оси  определяется из условия :      .

Уравнение оси :   -  ось повернута относительно оси  на угол  по часовой стрелке. При , и угол поворота . По биссектрисе распространяется свет.

Вывод

Преобразования Лорентца    соответствуют переходу от прямоугольной системе координат  к косоугольной системе .


Переход :

РИС. 4п-7

Следствие 4

Относительность одновременности

(иметь представление о следствии и ходе рассуждений)

РИС. 4п-9

В неподвижной системе  в некоторых точках  и  в моменты времени    и  происходят два события. Пусть события будут одновременными: .


В системе  этим событиям будут соответствовать координаты:

,                     .

Рассмотрим различные варианты

А) Пусть в системе  события 1 и 2 происходят не только одновременно, т.е. , но и в одной точке пространства, т.е. .

Тогда в :  ,          

 , но  (сравните формулы) и  при этом события происходят тоже в одной точке пространства.

Б) В системе  события  происходят одновременно, т.е. , но в разных точках пространства: .

Тогда в :   , т.е. .

События не будут одновременными:

.

Пусть для определенности , т.е. .

а) Положим , тогда , и это означает, что сначала произошло событие 2, затем  событие 1.

б) Положим , тогда , и в системе  сначала произойдет событие 1, затем событие 2.

В зависимости от направления движения системы  может измениться последовательность событий в ней.


РИС.4п-10

Следствие 5

Сложение скоростей в СТО

(иметь представление о следствии и ходе рассуждений)

РИС. 4п-11

Материальная точка P имеет компоненты вектора скорости () в системе .


Ищем компоненты вектора скорости () той же точки
P  в неподвижной ИСО:

,

,

.

Подставляем :

,

,

,

;

(подставляем )

=

=;

  

  

Особая роль   обусловлена тем, что направление движения системы  выбрано вдоль оси .

Пример

Релятивистские преобразования не противоречат закону постоянства скорости света. Пусть ux=c, тогда в движущей системе координат согласно закону сложения скоростей ux=c.

В соответствии с постулатом Эйнштейна скорость света – это предельная скорость распространения сигнала в ИСО.

Пример практического использования теоремы сложения скоростей в СТО.

Аберрация неподвижных звезд

РИС. 4п-12

Система  связана с неподвижными звездами. Система  - на Земле, скорость ее движения  30 км/с относительно неподвижных звезд. Следовательно, неподвижные звезды имеют относительно системы  скорость .

В неподвижной системе отсчета .

В системе :   .

Угол, под которым видны неподвижные звезды  из движущейся системы отсчета:

. Поскольку релятивистская поправка мала (, следовательно, ), то  -  в соответствии с результатами, полученными ранее из геометрических соображений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60721. Создание, переименование, перемещение, копирование, удаление, распечатка объектов Windows 235 KB
  Скажите что нужно сделать если вы хотите создать папку на рабочем столе Если вам нужно переименовать папку Если вы хотите переместить папку Если вы хотите копировать папку...
60722. Текстовый редактор Microsoft Word. Назначение. Настройки 382 KB
  Цель: дать понятие учащимся о текстовом редакторе Microsoft Word его назначение и о его настройки. Задачи: сформировать у учащихся представления о настройках текстового редактора Microsoft Word.
60723. Меню, панели «Стандартная», «Форматирование» 296 KB
  С помощью этой панели можно быстро и удобно выполнять операции по изменению шрифта вида выравнивания абзацев включать режим ввода списка оформлять обрамление текста его границы...
60724. Классификация программ растровой графики 2.42 MB
  Цель: дать учащимся понятие классификации программ растровой графики. И какие существуют виды компьютерной графики. Что такое векторная графика Назовите достоинства и недостатки векторной графики.
60725. Пример решения жизненной задачи 156.5 KB
  Это разнообразило бы отдых учащихся да и сами вы не прочь прокатится с горки. Итак у вас появляется жизненная задача построение ледяной горки. Основная часть Итак приступаем к построению ледяной горки.
60726. Проверка знаний по теме: «Microsoft Excel и моделирование в задачах управления» 377 KB
  Цель: проверка знаний учащихся по данному разделу Электронная таблица Microsoft Excel и моделирование в задачах управления. Закрепить на практике умения учащихся работать в электронной таблице Microsoft Excel.
60727. Моделирование биологической системы 1.27 MB
  Цель: дать понятие учащимся о моделирование биологической системы Задачи: сформировать у учащихся представления о моделировании биологической системы. актуализировать и углубить знания о моделях и моделировании.
60728. Пользовательский интерфейс графического редактора 339 KB
  Цель: дать учащимся понятие о пользовательском интерфейс графического редактора аdobe PhotoShop. Закрепить на практике умения учащихся использовать графический редактор аdobe PhotoShop.
60729. Сканирование изображений 3.05 MB
  Задачи: Актуализировать знания учащихся о компьютерной графике. Закрепить на практике умения учащихся использовать графический редактор Paint. Развивать творческое мышление через задания творческого характера.