73513

Четырехмерный мир (пространство-время)

Лекция

Физика

Последовательность событий происходящих с материальной точкой частицей образует в мире Минковского некоторую кривую называемую мировой линией частицы. Последовательность происходящих с частицей материальной точкой телом событий образует в мире Минковского некоторую кривую называемую мировой линией частицы. В качестве временного интервала возьмем собственное время частицы материальной точки...

Русский

2014-12-17

3.89 MB

4 чел.

8Четырехмерный мир (пространство-время) 

В пространственных координатах положение каждой точки задается тройкой чисел (координатами точки). Расстояние между двумя бесконечно близкими точками многообразия – важная характеристика пространства – определяет основные геометрические характеристики: длины векторов, углы между ними, расстояния, площади и объемы.

В мире, в котором мы живем, с большой точностью справедлива геометрия Евклида.  В декартовых координатах, которые выделены своей простотой:

 (теорема Пифагора для диагонали трехмерного прямоугольного параллелепипеда), не зависит от выбора системы координат, т. е. – инвариант.

Вспомним общее определение интервала:

координаты события 1  -  ;

координаты события 2  -  .

Введем обозначение интервала  -     или  .

Основным свойством интервала между событиями является его инвариантность относительно перехода от одной ИСО к другой ИСО.

Инвариантом является также расстояние между точками:

.

Нельзя представить себе четырехмерное пространство наглядно, но это и не нужно. Будем просто переносить на n-мерное пространство соотношения, полученные для трехмерного пространства.

4-мерное пространство:  .

Расстояние между бесконечно близкими точками:

.

Расстояние между точками (инвариант):

.


Можно обозначить:    .

Тогда для n-мерного  пространства:

.

Расстояние между точками:

.

Итак, задав определенные для данного типа пространства инварианты (в нашем случае евклидова пространства инвариантом является расстояние между точками), можно построить геометрические соотношения для пространства любой размерности.

Итак, 4-мерный пространственно-временной континуум, точками которого являются события, называют миром Минковского.

Немецкий ученый H. Minkowski – В 1907-1908 г. объединил трехмерное пространство и время. Точки в этом 4-мерном пространстве обозначают события в СТО.

Последовательность событий, происходящих с материальной точкой (частицей), образует в мире Минковского некоторую кривую, называемую мировой линией частицы.

Основные выводы

1) 4-мерный пространственно-временной континуум, точками которого являются события, называют миром Минковского.

2) «Расстояние» между точками в мире Минковского – это интервал СТО, он инвариантен относительно преобразований Лоренца.

3) Вместо обычных 3-мерных векторов (и тензоров) в мире Минковского мы строим 4-мерные векторы и (4-мерные тензоры) таким образом, чтобы они обладали инвариантностью по отношению к преобразованиям Лоренца.

4) Построение этих 4-мерных векторов не всегда осуществляется просто. Обычно
3-мерный вектор образует пространственную часть искомого 4-мерного вектора, а четвертая (временная
-ударение на а) компонента часто имеет неожиданное, но при ближайшем рассмотрении вполне естественное выражение, которое в нерелятивистском приближении переходит в классическое.

5) Последовательность происходящих с частицей (материальной точкой, телом) событий образует в мире Минковского некоторую кривую, называемую мировой линией частицы.

Классификация интервалов в СТО   

(данный материал является дополнительным)

РИС. 6-4

Если взять две мировые точки, то квадрат интервала между ними:

.

Пусть событие 1 наступило в точке , . Любые события, наступившие до и после события 1, изображаются точками на плоскости .

«Расстояние» (интервал) от события 1 до любого события на плоскости    мира Минковского:   .

На прямых     всегда .

Такой интервал называется светоподобным.

 

Светоподобным называется интервал между событиями, расстояние между которыми на псевдоевклидовой плоскости равно нулю.


Светоподобные прямые выделяют на плоскости   четыре квадранта:

  1.  . Для всех событий этого квадранта ; значит, все эти события происходят позже события 1 и никаким выбором системы отсчета это изменить нельзя. Следовательно, интервал между событием 1 и любым событием в квадранте I – времени - подобный, и квадрант I – это область абсолютного будущего. Легко убедиться, что последовательность событий в квадранте I не зависит от выбора системы отсчета.

Будущее – это все события, на которые, вообще говоря, может повлиять, то, что мы делаем здесь и сейчас. Эти события находятся в световом конусе будущего.

Примечание

  - это уравнение, описывающее распространение света в 4-мерном пространстве, с точки зрения математики это есть уравнение конуса, который обычно называют световым конусом.

  1.  , но для всех событий этого квадранта , т. е. все события в этом квадранте произошли раньше события 1. Это область абсолютного прошлого.

Прошлое – это множество всех событий, которые, вообще говоря, могли бы оказать воздействие на то, что происходит здесь и сейчас.

Итак, внутренние полости конуса соответствуют областям «абсолютного будущего» и «абсолютного прошлого». Между событиями, лежащими на внутренней полости световых конусов, может существовать причинная связь.

В квадрантах III  и  IV  , такой интервал называют пространственно-подобным: все события в квадрантах III  и  IV происходят в точках пространства, не совпадающих с точкой события 1; изменить это путем соответствующего выбора системы отсчета невозможно. Однако можно найти такие системы отсчета, в которых события, находящиеся в квадрантах III  и  IV, произошли бы раньше, позже или одновременно с событием 1, поскольку понятия «раньше», «позже» или «одновременно» для этих событий относительны, ибо эти события не могут быть связаны с событием 1 причинной связью.

Классификация интервалов

Квадранты

Соотношения между координатами и временем для двух событий

Тип интервала

Характер связи между событиями

I

II

Времени-подобный

Может быть причинно-следственная связь

III

IV

Пространственно-подобный

Нет причинной связи

Биссектриса

Свето-подобный

События могут быть связаны световым сигналом

На евклидовой плоскости  геометрическим местом точек, равноудаленных от

начала координат, является окружность  .

                              РИС.6-5                                             РИС.6-6

На псевдоевклидовой плоскости  квадрат «расстояния» от начала координат до равноудаленных от него точек:   -  это уравнение гиперболы.

Световой конус – это асимптоты гипербол.

О парадоксе близнецов (часов) 

Напомнание! 

При , и угол поворота . Свет распространяется по биссектрисе.

РИС. 4п-6

 

 

РИС. 6-8

   

Исходно близнецы находятся в точке .

Путешественник совершает движение на участке , затем на участке  -  движение равномерное и прямолинейное везде кроме небольших участков вблизи точек , где он совершает разгон, поворот и торможение, т.е. движется с ускорением. Поскольку мы ничего не знаем о движении с ускорением (не знаем, как ускорение влияет на ход часов), будем полагать, что эти участки малы по сравнению с  и .

Сделаем важное определение.

Псевдопифагорова теорема  

       

РИС. 6-1

  .

Теперь вспомним определение интервала между точками А и В, .  Этот результат получен в соответствии с определением интервала в СТО, он похож на теорему Пифагора, но противоречит ей.

Итак, длина мировой линии «путешественника» согласно псевдопифагоровой теореме:

-------------------------------

.

Длина мировой линии «домоседа»:

  -   больше, чем длина мировой линии «путешественника».

Значит, по собственному времени «путешественник» прожил меньше, чем «домосед».

Парадоксальным является утверждение о том, что с точки зрения «путешественника» он является «домоседом», а «домосед» - «путешественником».

Еще раз о парадоксе близнецов с применением некоторых формул 

(дополнительный материал)

Имеем двое синхронизованных часов  и  .

В момент  часы  и  находятся в начале отсчета (точка ).  Пусть  покоятся в точке , а  совершают следующее движение: ускоряются на участке , движутся равномерно со скоростью  на участке , тормозятся той же силой на отрезке , движутся равномерно и прямолинейно на отрезке , затем та же сила тормозит часы, и они приходят в исходную точку .

РИС. 6-9

При бесконечно большой внешней силе время, необходимое для ускорения часов на участке  и торможения в точке поворота , равно нулю. Значит, время, необходимое для путешествия, равно удвоенному времени пролета отрезка  с постоянной скоростью .

По часам  от момента «отъезда» до момента «приезда» прошло время , а по часам  - .

По часам в неподвижной системе K:

.

С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с часами : часы  покоятся, а часы  сначала удаляются, затем приближаются, поэтому наблюдатель в системе K’ будет утверждать:

.

Когда наблюдатели встретятся, то каждый из них будет утверждать, что он моложе другого. В этом и состоит парадокс часов (персонифицированный вариант – парадокс близнецов).

РИС. 6-10

- момент прибытия часов  в точку ;

- показания часов  в этот же момент времени;

.

Разрешение парадокса состоит в том, что ускорение, торможение и поворот – это движение в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции эквивалентны силам тяжести. Согласно ОТО появление гравитационного поля изменяет геометрию пространства-времени: там, где существует сила тяжести, ход часов замедляется (потенциал гравитационного поля влияет на ход часов). Значит, в системе, которая претерпевает ускорение, часы идут медленнее; по движущимся часам кажется, что прошел час, а на самом деле (с точки зрения неподвижного наблюдателя) – сутки или год.


Релятивистская  динамика

Мы начинаем построение релятивистской динамики.

Как уже говорилось, процесс этот состоит в том, чтобы создавать 4-мерные векторы, у которых 3-мерная (пространственная) часть – это обычный вектор, а временная (ударение на а) часть исчезает при  (принцип соответствия).

Почему мы должны поступать таким образом?

-   Неинвариантность уравнений Ньютона относительно преобразований Лоренца.

- Неопределенность понятия силы из-за неинвариантности пространственного расстояния  относительно преобразований Лоренца и т.д.

Нужно обеспечить инвариантность уравнений механики относительно релятивистских преобразований координат и времени.

4-мерный вектор скорости

4-мерный вектор скорости будем искать как производную 4-мерного радиус - вектора по временному интервалу. В качестве временного интервала возьмем собственное время частицы (материальной точки) в мгновенно-сопутствующей системе отсчета.

По аналогии с построением соответствующих величин в обычном (3-мерном) пространстве, где скорость определялась как производная радиус-вектора по времени, , имеем:  (здесь - собственное время частицы;  - инвариант, в то время как ни , ни  инвариантами не являются).

Собственное время мы отсчитываем в мгновенно-сопутствующей системе отсчета K'.

Мгновенно-сопутствующей системой отсчета будем называть систему отсчета, постоянная скорость которой равна мгновенной скорости частицы  (скорость 3-мерная).

В мгновенно-сопутствующей системе отсчета K’ за бесконечно малый промежуток времени  (в течение которого как раз ) координаты частицы не изменяются: , т. е. частица покоится в мгновенно-сопутствующей системе K’.

Пользуясь высказанными соображениями, введем еще раз понятие собственного времени частицы, связав его с интервалом между событиями.

Интервал инвариантен:

;   отсюда с учетом  , имеем

.

- квадрат модуля вектора мгновенной скорости частицы, поэтому

.                                                                            

Собственное время частицы: .

Примечание

Поскольку ускорение влияет на ход часов, мы не можем связывать часы с движущейся частицей. Время нужно отсчитывать по часам в неподвижной системе отсчета, переходя к измерению полного собственного времени  частицы путем суммирования  (интегрирования): .

Вводим 4-мерный вектор скорости: .

Компоненты скорости (индекс не путать со степенью!):    

,        .


Убедимся в
инвариантности квадрата 4-мерного вектора скорости относительно преобразований Лоренца.

(Дополнительный материал.)

Для этого подставим выражение для интервала вместо dR -  и собственное время частицы в выражение для скорости:

invariant.

                                                                                                                                                                    

Заметим, что при  множитель , компоненты  переходят в , т.е. совпадают с обычной скоростью. Компонента  отлична от нуля даже при  (частица покоится). При этом . Смысл в том, что время остановить нельзя, оно всегда течет (точнее - летит).

В 4-мерном мире Минковского покоя (в смысле ) – быть не может.

4-мерная сила и 4-мерное уравнение движения

Напоминание 1

Основное уравнение динамики в модели Галилея-Ньютона:

, или ,  или    

( -  3-мерный импульс,  -  3-мерная сила).

Напоминание 2

Возьмем уравнение . Умножим правую и левую части на :

 ( левая часть – изменение энергии системы, правая – работа силы  на пути ).

Под знак дифференциала в левой части уравнения можно ввести произвольное постоянное слагаемое   (энергия, которой обладает тело в состоянии покоя). Тогда полная энергия тела . Обычно в классической механике выбирают , и полная энергия свободного тела  (при ) совпадает с его кинетической энергией.

Напоминание 3

Если частица находится в потенциальном поле , то .

Так как , а , то

; отсюда закон сохранения энергии     .

4-мерный импульс

По аналогии с трехмерным импульсом  вводим 4-мерный импульс как произведение инвариантной скалярной массы  на 4-мерную скорость, т.е.

,  .

Здесь записаны компоненты импульса в виде матрицы.

Отличие от 3-мерного импульса - в множителе, возникающем в результате преобразования скоростей:

.

Из этой записи возникает распространенное впечатление о зависимости массы частицы от скорости: .

Тогда: .

РИС. 6-11

На самом деле масса инвариантна и не изменяется при переходе от одной ИСО к другой.


М
атематическое отступление

Матрица – система элементов  (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы (таблицы).

Если матрица имеет  строк и  столбцов, говорят о матрице .

Если , то матрица называется квадратной , а число  - ее порядком. Матрица может состоять из одной строки или из одного столбца. Запись матрицы:

.

Действия над матрицами

Произведением прямоугольной  - матрицы на число  называется матрица, элементы которой получены из элементов  умножением на :

.

Сумма определяется только для матриц одинакового строения – элементы суммы равны суммам соответствующих элементов:

.

Умножение матриц определяется только для таких прямоугольных матриц, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя.

Произведением матрицы  на матрицу  будет матрица  -  такая, что , где ,   .

Элементы строки умножаются на соответствующие элементы столбца и складываются.

При умножении:

1) нет коммутативности, ; если , то матрицы называются перестановочными;

2) произведение двух ненулевых матриц может быть равно нулевой матрице.

4-мерное уравнение движения (пространственная часть)

(Вывод можно пропустить.)

По аналогии с основным уравнением классической динамики запишем:

 (- собственное время частицы).

Компоненты вектора 4-мерной силы еще предстоит определить.

То же уравнение в компонентах:

.

Определяем компоненты :

;     

Используем определение 4-мерного импульса, тогда

.

Приравнивая 4-мерные векторы, мы приравниваем компоненты:

Чтобы выполнялся принцип соответствия, пространственные компоненты 4-мерной силы должны быть пропорциональны компонентам 3-мерной силы. Тогда при  релятивистские уравнения движения перейдут в уравнения Галилея-Ньютона:

,  ( -  компоненты 3-мерной силы).

Так как   , то

=,            =.


Умножая правую и левую части на соответствующие координатные орты  и складывая результаты, получаем:

Это - пространственная часть уравнения движения в релятивистском приближении.

Отличается от классического уравнения лишь определением импульса  , да и то можно превратить в классическую форму, если ввести зависящую от скорости массу: .

Временная компонента 4-мерной силы

(Вывод можно пропустить.)

Запишем инварианты 4-мерной скорости:

.

Продифференцируем уравнение по собственному времени частицы:

   .

     

                

Здесь записано то, что нам уже известно о величинах, входящих в дифференциал инварианта. Подставляем:

;

;

 -  временная компонента 4-мерной силы.

Найдены компоненты 4-мерной силы Минковского:

.

Временная компонента релятивистского уравнения движения

Приравниваем соответствующие компоненты   и  :

.

Умножаем правую и левую части на :

                                   ;

слева - изменение во времени полной    энергии свободной релятивистской частицы, справа -  работа трехмерной силы .

Пространственно-временное уравнение движения:

(1)                     -       векторное,

(2)              -      скалярное.

При   уравнение (1) переходит в уравнение классической динамики, а уравнение (2) превращается в тождество 00:

делим левую и правую части (2) на , тогда

;

в левой части  ,  поэтому производная равна 0;

в правой части  при  , поэтому векторное произведение равно 0.


Полная энергия свободной
() релятивистской частицы

Запишем пространственно-временное уравнение движения (2):

                                         ;

слева, по аналогии с классическим  уравнением, изменение полной энергии свободной частицы, справа - работа силы  на пути .

Определим полную энергию свободной релятивистской частицы, помня о том, что уравнение (2) дает полную энергию с точностью до постоянной величины:

,

где   и    - абсолютная величина 3-мерной скорости частицы.

Из выражения     видно, что при , и выясняется, что частица обладает энергией покоя:

.

Какая величина энергии покоя?

=1 г,   =91020см22        1021эрг/г1014 Дж/г.

Примечание 

Существенно не то, сколько энергии содержит та или иная система, а  то, сколько энергии может быть использовано. До начала использования ядерной энергии энергия покоя никак не реализовывалась, соответственно всегда сохранялась масса (взвешивание всегда было одним из самых точных измерений). Действительно, нагревание 1 кг воды на 1000 изменяет массу на 510-9г, т.е. относительное изменение массы =510-12  –  за пределами точности.

             Кинетическая энергия свободной релятивистской частицы =

             =(полная энергия) – (энергия покоя):

           ;

           .


При каких условиях это выражение переходит в классическое?

Разложим  в ряд по малому параметру :

,

;           .

члены порядка не ниже .

Условно принято считать, что релятивистской поправкой можно пренебрегать, если   (1%). Это соответствует

Итоги:

Итак, мы получили 4-мерные векторы динамических переменных:

;

;

.

Получили также пространственно-временные уравнения движения:

(1)                     -       векторное,

(2)              -      скалярное.

Здесь  -  мгновенная скорость частицы,  - сила, действующая на частицу,   - инвариантная масса.


4-мерный вектор энергии-импульса

(Вывод можно пропустить.)

Вспомним запись - компоненты 4-мерного импульса:

, так как  , где  - полная энергия свободной частицы.

Теперь 4-мерный импульс можно записать в форме:

=, где .

Квадрат 4-мерного импульса является важным инвариантом:

, при этом сравниваются выражения для импульса
(с. 110) и энергии (с. 115), а также  (с. 109).

,  или

- релятивистский инвариант.

По существу это   закон сохранения энергии - импульса, заменивший закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.

Заметим, что .  Вообще говоря, знак минус перед выражением для полной энергии свободной частицы имеет физический смысл: море частиц с отрицательной полной энергией ненаблюдаемо; вырывая из этого моря одну частицу и переводя ее в состояние с положительной энергией, мы можем наблюдать не только эту частицу, но и оставшееся свободное место – античастицу (модель Дирака).

Гамильтониан свободной релятивистской частицы

(Вывод можно пропустить.)

Гамильтонианом (функцией Гамильтона) свободной частицы называют ее энергию, выраженную через ее импульс (, поэтому только через импульс).

Для свободной частицы .

,

,

    .

Вспоминаем:  -  скорость.

Следовательно (для свободной частицы):    .

Отсюда:                    Умножаем на  и складываем:     .

Импульс ультрарелятивистских частиц, :       .

Энергия ультрарелятивистских частиц:  .

Направление импульса совпадает с направлением скорости: ;

энергия фотона , следовательно, импульс фотона .

Примечание 

Если частица находится в потенциальном поле, то сохраняется ее полная энергия: энергия покоя + кинетическая + потенциальная, т.е.

.

Гамильтониан: .

О взаимосвязи массы и энергии

Соотношение  рассматривалось А. Эйнштейном как самый значительный вывод СТО.

Однако величина изменения массы при изменении энергии (в неядерных масштабах) – мала.

Пример 1 

При соударении и слиянии двух частиц, каждая  массой =1 г, имеющих равные и противоположно направленные скорости =105 см/с, добавочная масса покоя слипшейся пары будет:

;        -  за пределами погрешности взвешивания.

Пример 2 

Атом водорода состоит из электрона, связанного с протоном. Его масса покоя () должна быть меньше суммы масс протона () и электрона  () на величину, соответствующую энергии связи (=13.6 эВ):    

=13.6 [эВ]/=2210-12  [эрг] / 91020 [см22]=2.410-32 г.

Измеренная масса атома водорода =1.6733810-24г. Значит,   - за пределами погрешности измерения.

Пример 3 

Сумма масс покоя протона () и нейтрона ():

г = 3.347310-24 г.

Экспериментально найденная масса покоя дейтрона (ядро тяжелого изотопа водорода – дейтерия) 3.3433410-24г.

Энергия связи ядра (т.е. дейтрона):   .

(3.3473-3.34334)10-24 г = 3,96 10-27г.

3,9610-27 [г]91020 [см22] = 3.5610-6эрг = 2.225 МэВ.

Измеренное значение энергии связи нейтрона в дейтроне 2.234 МэВ.

Пример 4

Важнейшим источником энергии Солнца и большинства звезд является ядерное сжигание протонов с образованием He. В этом процессе суммарное изменение в одном акте синтеза равно (=9.10953410-28 г = 0.5110034 МэВ).

В каждом акте синтеза выделяется, следовательно, ~25МэВ.

Полная энергия системы частиц

(Дополнительный материал, знать определения.)

,          

- полная масса системы, которую хотим узнать,

- суммарный импульс всех частиц системы.

А. Невзаимодействующие частицы

Для системы невзаимодействующих частиц суммарная (полная) энергия системы равна сумме полных энергий каждой из частиц:

 -  этим выражен тот факт, что частицы между собой не взаимодействуют.

Подставим:

.

Перейдем в такую систему отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю (система центра масс).

Тогда    , или .

Энергия отдельной частицы:.  

Тогда   .

Масса покоя системы невзаимодействующих частиц превосходит сумму масс покоя составляющих частиц на величину полной кинетической энергии системы
(в единицах массы, т.е. деленную на ), вычисленную в системе отсчета, где полный импульс системы равен нулю.

Б. Взаимодействующие частицы

В системе центра масс () с учетом ,

где  - энергия взаимодействия частиц, получаем:

.

Так как ,  то   

 -   полная масса системы взаимодействующих частиц.

Примечание 

Состояние любой системы частиц всегда характеризуется соотношением между кинетической и потенциальной энергиями системы. Например,

 -  газ;     -  кристалл (или вообще любая связанная система);

 -  жидкость.

Если возвратиться к нашему случаю, то при условии  (связанная система):

.

В системе взаимодействующих частиц всегда полная масса системы отличается от суммы масс составляющих систему частиц, и разность называется

дефектом массы.

Дефект массы определяют как разность суммарной и полной масс системы:

.

Для устойчивой системы (действуют силы притяжения)   и . Если энергии связи значительны (например, в атомных ядрах), то по дефекту масс можно определить энергию связи частиц.

Литература к лекциям 6-8

(см. также литературу к лекциям 1-5)

  1.  В. А. Угаров. Специальная теория относительности. 2-е издание, Наука, М., 1977.
  2.  И. И. Гольденблат, С. В. Ульянов. Введение в теорию относительности и ее приложения к новой технике, Наука, М., 1979.
  3.  Р. Утияма. Теория относительности. Атомиздат, М., 1979.
  4.  В. Паули. Теория относительности. 2-е издание, Наука, М., 1983.
  5.  М. Боулер. Гравитация и относительность. Мир, М., 1979.

8 Лекция 8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72775. Проведение SWOT-анализа деятельности предприятия 866 KB
  Модель также позволяет решать множество аналитических и креативных задач. В контексте данной методики модель может быть использована для определения объекта SWOT-анализа (либо просто проставляются «галочки», либо дается краткое описание бизнес – направлению, которое будет подвергаться исследованию).
72776. Выбор эргономически обоснованных параметров мобильного транспортного средства на основе оптимизированной модели его колебательной системы 623.37 KB
  Параметры пружин демпферов; длины моменты инерции функции дороги Для оптимизации было выбрано линейное ускорение массы М2 при варьировании параметров. Этот подход усложнит формулу кинетической энергии однако упростит формулы для потенциальной энергии и диссипативной функции.
72777. Проектирование районной электрической сети 266 KB
  Задачи при курсовом проектировании районных электрических сетей заключаются в следующем: выборе конфигурации и основных параметров схемы развития сети; выборе трансформаторов, автотрансформаторов и компенсирующих устройств на подстанциях; обеспечение требуемого уровня напряжения в сети...
72779. Проектирование районной электрической сети 1.21 MB
  При разработке схемы электроснабжения необходимо учитывать, что во всех пунктах потребления существуют потребители всех трех категорий, следовательно к ним выдвигаются разные требования по надежности электроснабжения, соединения оборудования подстанция должны быть согласованы со схемами соединения сети и удовлетворять ее требованиям.