73515

Преобразования Галилея

Лекция

Физика

Например упругие силы. Случай 2 в этом случае действие силы определяет изменение импульса тела с переменной массой. Если система замкнутая то внешние силы отсутствуют и в соответствии с 3им законом Ньютона. Работа и энергия Работа силы на перемещении производится проекцией составляющей силы на это направление: скалярное произведение.

Русский

2014-12-17

5.06 MB

0 чел.

2

Преобразования Галилея

           

РИС. 2-3     

                                                   

Система  K  движется со скоростью  относительно K.                 

Равенство  означает  абсолютность времени. Это  особенность классической механики вообще, когда  предполагается, что  - скорость передачи сигнала бесконечна.

Преобразование скоростей      

РИС. 2-4

;           .

Дифференцируя   по времени, находим закон преобразования скоростей.                                                           

- скорость в неподвижной системе отсчета;

- скорость в движущейся системе  отсчета.

Так как , то  .

Подставив , получаем .

Преобразование ускорений

 .

- ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

 

Показать самостоятельно, что расстояние между двумя точками     инвариантно относительно преобразований Галилея:     

(это легко сделать, если вспомнить, как определяется  расстояние между двумя точками в декартовой системе.)

2-ой закон Ньютона  и преобразования Галилея

Основной закон динамики (2-ой закон Ньютона) инвариантен относительно преобразований Галилея.

Рассмотрим преобразование второго закона Ньютона .

Ускорение  инвариантно относительно преобразований Галилея.

Стоящая справа сила всегда является функцией инвариантных величин: или расстояний между точками, или разности скоростей взаимодействующих частиц.

Например, упругие силы:

.

В движущейся системе  координат :

Итак, 2-ой закон Ньютона (основное уравнение динамики) инвариантен относительно преобразований Галилея: .

Уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея  -  принцип относительности Галилея.

Обобщение: законы природы одинаковы (инвариантны) во всех ИСО.

Точнее (по Эйнштейну): 

законы природы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к какой из ИСО относятся эти изменения.

Сказанное справедливо при любых скоростях относительного движения, однако при (строго говоря, вместо знака равно нужно использовать знак приблизительно!) нужно применять уже не преобразования Галилея, а преобразования Лоренца.

Движение, впрочем, может по-разному выглядеть в различных ИСО:

РИС. 2-5

Траектория свободно падающей материальной точки :

-прямая вертикальная линия для наблюдателя в вагоне;

-парабола для внешнего наблюдателя.

Покажем продуктивность высказанных соображений; выведем, пользуясь принципом относительности Галилея, уравнение движения тела переменной массы, например ракеты или реактивного снаряда.

РИС. 2-6

Воспользуемся приближением материальной точки.

Формулировка задачи: в момент  материальная точка P имеет массу ; присоединяемая (отделяемая) масса имеет скорость .

Введем инерциальную систему , скорость которой равна скорости  точки  в момент , т.е. точка  покоится в ИСО  (сопутствующая ИСО).

За интервал времени  (от  до ) материальная точка  приобретет импульс . Этот импульс точка получает, во-первых, за счет действия внешних сил  и, во-вторых, за счет присоединения (отделения) массы :

.

Поделив на , получаем

                - уравнение Мещерского.

Мещерский Иван Всеволодович  (1859 -1935 г.г.) – советский ученый в области теоретической и прикладной механики. В 1882 г. окончил физико-математический факультет Санкт-Петербургского университета, с 1890 г. – приват-доцент кафедры механики, с 1902 г. – заведующий кафедрой
Санкт-Петербургского, затем Ленинградского политехнического института. Основополагающие труды по механике тел переменной массы, ставшие основой решения различных проблем реактивной техники, небесной механики. Последовательно проводил в жизнь идею тесной связи теоретической и прикладной механики.

Полученное в одной конкретной инерциальной системе (сопутствующая ИСО), это уравнение  - в силу принципа относительности Галилея - справедливо в любой другой ИСО.

Слагаемое   - реактивная сила.

Если  (потеря массы) и   направлена в сторону, противоположную , то   -  реактивная сила вызывает ускорение материальной точки.

Два частных случая

Случай 1      = 0.

Уравнение похоже на основное уравнение динамики, но с массой, зависящей от времени:

   (под  подразумевается равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку).

Случай 2  ,                    

(в этом случае действие силы определяет изменение импульса  тела с переменной массой).

Закон сохранения массы

Мы говорили о сохранении массы (числа частиц и т.п.), исходя из релятивистской связи между массой и энергией. Обоснуем закон, исходя из  принципа относительности Галилея.

Пусть два тела (две материальные точки)  с массами  и  сталкиваются между собой и превращаются в единое тело (материальную точку) с массой  (пластилиновые шары, химическая или ядерная реакция). Спрашивается, какова будет масса составного тела. Покажем, что .

Рассматриваем движение тел в некоторой «покоящейся» системе . Пусть скорости до столкновения -    и  , после столкновения скорость составного тела  -  .

Из закона сохранения импульса следует:.

В системе отсчета  (движущейся со скоростью ) скорости соответственно
, , а закон сохранения импульса справедлив с прежней силой:

.

Скорости в системе :

,   ,  .

Отсюда

.

Принимая во внимание закон сохранения импульса в системе , получаем:

     -   свойство аддитивности массы.

Если в результате химической реакции из нескольких различных атомов получается несколько иных молекул, то можно обобщить: сумма масс веществ до реакции равна сумме масс веществ после реакции.

Однако это соотношение верно лишь приближенно, так как принцип относительности Галилея является частным случаем принципа относительности Эйнштейна (при «).  Релятивистская теория требует в балансе масс учитывать и энергию.

Для случая химических реакций поправка пренебрежимо мала.

Пример

  C + O2  →  CO2  + 4∙1012эрг .

12 г   32 г        44г         

Дефект массы: г.

Относительная погрешность .

В случае ядерных реакций (деления или синтеза) энергетический выход значительно больше, так что  и дефект массы   -  вполне заметная, существенная  величина.

Теорема о движении центра масс

Для любой материальной точки ,

иначе  , где   - количество движения.

Для системы материальных точек количество движения:

.

Введем понятие центра масс системы:

это такая воображаемая точка, радиус-вектор которой  задается через
радиусы-векторы  и массы  всех точек системы следующим образом:

, где  - полная масса системы.

Продифференцируем по  и умножим на :

;       - скорость движения центра масс.

    .

Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила - векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Если система материальных точек является замкнутой, то сумма всех внешних сил .

Следовательно,    .

Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно.

Понятие о приведенной массе

РИС. 2-7

Пусть система состоит из двух материальных точек с массами m1  и  m2. Уравнения  движения этих  двух точек:              ,       .

Вычитая из второго уравнения первое, находим:

.

Если система замкнутая, то внешние силы отсутствуют и, в соответствии с 3-им законом Ньютона, .

Учитывая, что , получаем:

.

Вводя обозначение ,

получаем уравнение: , где   -  приведенная масса.

Уравнение описывает движение частиц вокруг общего центра масс.

Если, например, , то, поделив на  числитель и знаменатель, получаем:

- движение легкой частицы вокруг тяжелой.

Приведенная масса – целесообразное обозначение, облегчающее решение ряда задач.

Эффект Мессбауэра (ядерный - резонанс) как яркий пример законов сохранения

(данный материал можно пропустить)

РИС. 2-8

Испускание (или поглощение) - кванта с энергией  атомным ядром  при переходе из состояния  в состояние .  

Разность внутренних энергий ядра ћ  ( - частота); разность импульсов , - волновой вектор - кванта ( - волновое число). 

Изменение полной энергии ядра:

,

,

,

,  

,   ,        .

Если бы излучающее ядро оставалось неподвижным, то излучаемая частота определялась бы только разностью внутренних энергий в начальном и конечном состояниях  . Однако ядро приобретает так называемую отдачу , причем могут встречаться скорости  ~10-4 .    

Итак, излучаемая энергия зависит от скорости излучающего ядра, причем ядра могут получать различные скорости , значит будут излучаться различные
- кванты. Спектр будет состоять из набора линий, соответствующих различным скоростям атомов – фактически из широкой полосы, отражающей распределение атомов по скоростям отдачи. Однако, если поместить излучающие ядра (атомы) в кристалл, поставив их в условия, когда они не могли бы передавать энергию колебаниям решетки (для этого нужно, чтобы энергия - квантов была не слишком велика,  кэВ, а температура кристалла достаточно низка, 100
K), то  в этом случае обмен импульсом будет происходить с кристаллом в целом. При этом уравнение сохранения энергии нужно переписать так:

.  Здесь - макроскопическая величина,  - пренебрежимо малая величина.

Получается чрезвычайно узкая линия, ее относительная ширина в первых опытах достигала 10-10, сейчас меньше 10-15, так что с помощью эффекта Мессбауэра удается наблюдать одно из следствий общей теории относительности (ОТО) -  влияние гравитационного поля Земли на частоту излучения.

Рудольф Людвиг Мессбауэр (родился 31.01.1929 г. в Мюнхене) – Нобелевская премия 1961 г. «за исследование резонансного поглощения - излучения и открытие эффекта, названного его именем».

Работа и энергия

Работа силы  на перемещении  производится проекцией (составляющей) силы на это направление  :

- скалярное произведение.

В зависимости от направления силы по отношению к перемещению (т.е. от знака проекции ) знак работы будет разным - положительным, отрицательным, или работа будет равна нулю при .

РИС. 2-9

Работа силы  на траектории  между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках (вся траектория разбивается на участки , такие, что они хорошо аппроксимируют криволинейную траекторию отрезками прямых линий):

РИС. 2-10

-   криволинейный интеграл вектора  по траектории .

РИС. 2-11

   ().

На участке 1-2 совершена работа.


Можно записать работу и по-другому:

 (второй закон Ньютона), , отсюда

.

Если , то .

Для конечных перемещений:

   -    работа равнодействующей нескольких сил равна сумме работ каждой из этих сил.

Размерности:

1 Н 1м = 1 Дж;   1 дина 1 см = 1 эрг;  1 Дж = 107 эрг;

1 эВ = 1.602 10-12 эрг –  энергия, приобретаемая электроном при прохождении разности потенциалов 1 В.  1 кэВ = 103 эВ, 1 МэВ = 106 эВ.

Мощность:    [Дж /с = Вт ]; .

Поскольку работу можно записать в виде , то в случае массы, не зависящей от скорости, то есть в нерелятивистском приближении, .

Поскольку , при выполнении работы по перемещению точки с массой  из положения 1 в положение 2 (скорости соответственно и ) имеем:

.

Кинетическая энергия материальной точки:

.

Таким образом,  .

Работа силы на отрезке пути равна изменению кинетической энергии материальной  точки на этом отрезке.

Мощность – скорость совершения работы .

;  делим на : .   Итак, .


Для системы материальных точек
 -  кинетическая энергия определяется суммой кинетических энергий каждой из точек. Единственно – добавим, что в системе материальных точек работу совершают и внешние, и внутренние силы. Поэтому: работа всех сил, действующих в системе материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.

Заметим, что внутренние силы не могут изменять количество движения системы вследствие равенства действия и противодействия. Приращение количества движения определяется  лишь внешними силами.

В замкнутой системе двух притягивающихся точек полное количество движения  = const, но движение точек навстречу друг другу приводит к совершению положительной работы и к возрастанию кинетической энергии системы.

Преобразование кинетической энергии (по Галилею)

  -  в системе K.

Тогда в системе K, движущейся относительно K со скоростью :

;

. Здесь  - импульс материальной точки в системе K,

- скалярное произведение векторов.

Консервативные и неконсервативные силы.

Если работа силы при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то сила называется консервативной.

Силы, не удовлетворяющие этому условию, называются неконсервативными.

Примеры консервативных сил

Пример 1. Сила упругости .

Пример 2. Гравитационная (или кулоновская сила)

,                  - гравитационная,

                                      - кулоновская.

.

Работа этой силы на пути 1-2:

.

Пример 3. Сила тяжести:       

РИС. 2-12

 ( - ускорение свободного падения,  - единичный орт),

;

.

Работа силы на пути 1-2:

.

Легко видеть, что каким бы способом мы ни выбирали точки 1 и 2, работа сил тяжести будет определяться только разностью «высот» этих точек и ничем более.

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями перемещающейся точки.

Центральные силы 

Сила называется центральной, если она направлена к одной и той же точке (или от нее) и  зависит только от расстояния до этой точки, называемой силовым центром.

Таковы сила гравитации, кулоновская сила.

Запишем ;     - проекция элементарного перемещения на направление силы проекция на направление радиуса
  
 .    

, причем следует еще раз подчеркнуть, что сила зависит только от абсолютного значения .

Полная величина работы определяется, следовательно, как

- значение этого интеграла зависит только от расстояний   и  , но не от пути между   и  . В эту формулу путь перехода просто-напросто не входит, в нее входит только расстояние до силового центра.

Очевидно также, что при учете перемещения силового центра (в предыдущих рассуждениях мы полагали силовой центр неподвижным) мы получим тот же результат.

Действительно, в этом случае мы должны рассмотреть систему, составленную из двух частиц. Работа в системе аддитивна:

.

В соответствии с третьим законом Ньютона

.

Отсюда:

 ( -  взаимное расстояние точек).

Отсюда следует, что любую из рассматриваемых точек можно считать неподвижной, а другую перемещаемой.

Вывод:  все центральные силы (и сила тяжести) являются силами консервативными.

Работа консервативных сил по замкнутому пути

Работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю.


Рассмотрим работу, совершаемую над одной материальной точкой.   

По определению консервативных сил . Так как силы зависят только от конфигурации системы, то . Отсюда следует, что .

РИС. 2-13

Примеры неконсервативных сил

  1.  диссипативные силы  -  силы трения, например, при движении двух абсолютно твердых тел друг по другу (const,  - путь), сила сопротивления среды ( при ламинарном течении  закон Стокса;  при турбулентном течении, но с малой скоростью    закон Ньютона), движение заряженной частицы в переменном электрическом поле, то есть в электромагнитном поле. Действие всех этих сил связано с выделением тепла.

Работа диссипативных сил (в частности, сил трения) всегда отрицательна: .

Определение 

Диссипативными называются такие силы, полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательна.

Диссипативные силы: сила трения, силы сопротивления среды (жидкости, газа). Эти силы зависят не только от конфигурации, но и от относительных скоростей взаимодействующих тел: .

Диссипативные силы всегда направлены против скорости тела, поэтому производимая ими работа всегда отрицательна.

  1.  Гироскопические силы – силы, всегда направленные перпендикулярно скорости, поэтому производимая ими  работа  всегда равна нулю.

а)   Сила Лоренца, действующая на заряд  в магнитном поле :       .                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

б) Силы Кориолиса,  которые возникают при движении в неинерциальных (вращающихся) системах отсчета (см. ниже),  .

Потенциальное поле сил

Определения

1) Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно изменяющаяся от точки к точке.

2) Если сила в каждой точке не зависит от времени, то такое поле называется стационарным.

3) Стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, но зависит только от положения самих этих точек, называется потенциальным полем,  а силы этого поля являются консервативными.

Для потенциального поля  можно ввести понятие потенциальной энергии частицы .  

РИС. 2-14

Работа сил поля не зависит от пути, каким частица была переведена из точки 0 в точку 1,2,3…, а зависит только от положения точек 1,2,3... Значит, эта работа есть некоторая функция радиуса - вектора точки 1, 2, 3….., т. е.

, , .

Вспомним, что работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю:

,   ,      . .

Работа консервативных сил на пути равна убыли потенциальной энергии точки в данном поле.

Заметим, что точке 0 можно задать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии, так как путем измерения работы можно определить только разность потенциальных энергий в двух точках, но не абсолютное значение. Однако, как только зафиксировано, назначено значение потенциальной энергии в одной из точек поля  -   сразу же задаются значения потенциальной энергии во всех других точках.

Примеры

РИС. 2-15

Пример 1  Сила тяжести   

(- орт оси , направлен вертикально вверх).

.

Потенциальная энергия для однородной силы тяжести .

Пример 2  Кулоновская  или гравитационная сила   

( - гравитационная,  - кулоновская).

Потенциальная энергия .

Пример 3   Упругая сила .   Потенциальная энергия .

Определение поля сил по заданной потенциальной энергии

Работа силы  равна   убыли потенциальной энергии:

- для элементарной работы.

Скалярное произведение можно записать в другом виде:

.

Пусть перемещение происходит по какому-нибудь выделенному направлению, например по оси . Тогда

.

Проекция силы на ось :   .

Аналогично: ;    .

Умножая на единичные орты  и складывая, получаем:

,

где   - вектор-оператор «набла».   

- вектор,  можно рассматривать как символическое умножение вектора-оператора   на скаляр  .

Введем понятие о градиенте скалярной функции

Градиент скалярной функции   есть вектор  , направленный по нормали к поверхности  в сторону возрастания функции.

РИС. 2-16


Итак, если задана потенциальная энергия как функция  положения точки , силовое поле  определяется соотношением

.   

Сила поля равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии в данной точке поля.

Представим себе, что мы имеем  систему материальных точек. Пусть  в этой системе действуют только консервативные силы. Тогда для каждой из материальных точек справедливо:

;   ;  , где   -  координаты - ой материальной точки.

Назовем:   -  обобщенная координата - ой материальной точки.

Тогда .

В состоянии равновесия все силы в системе должны обращаться в нуль, так как  наличие силы означает ускорение какой-либо материальной точки, т.е. отсутствие равновесия. Следовательно, в состоянии равновесия все .

Однако это – условие экстремума потенциальной энергии: система будет находиться в равновесии, если ее потенциальная энергия минимальна (устойчивое равновесие) или максимальна (неустойчивое равновесие).

 Если в системе не действуют диссипативные силы, то она находится в равновесии при условии, что ее потенциальная энергия экстремальна.

  -    полная энергия в изолированной системе постоянна.

Работа   приращение кинетической энергии и убыль потенциальной.

2 Лекция 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68663. Особенности перевода газетных аннотаций и заголовков и способы их передачи на русский язык 161.86 KB
  Лексические грамматические и синтаксические особенности перевода газетных аннотаций и заголовков. Перевод как межъязыковая коммуникация Особенности перевода газетно публицистического стиля. Заголовок как элемент публицистического стиля Лексические особенности перевода газетных заголовков и аннотаций...
68664. Композиционные материалы. Арамидное волокно и ткани на их основе 293.81 KB
  Стальная проволока перерабатывается в тканые сетки которые используются для получения композиционных материалов с ориентацией арматуры в двух направлениях. Особенностью является то что матрицу образуют различные полимеры служащие связующими для арматуры которая может быть в виде волокон ткани пленок стеклотекстолита.
68665. Анализ вариантов регулирования с помощью имитационной модели 479 KB
  После второй мировой войны были предприняты попытки создания международной торговой организации, призванной обеспечить глобальную координацию внешнеторговой политики. По поводу одного из разделов соглашения об образовании международной организации...
68666. Совершенствование налогообложения малых предприятий с помощью экономико-математических методов 440 KB
  Малое предпринимательство неотъемлемый элемент современной рыночной системы хозяйствования без которого экономика и общество в целом не могут нормально существовать и развиваться Из концепции Государственная политика и развитие малого предпринимательства в России Целью экономических реформ...
68668. Оценка экономической эффективности инвестиций в создание автомобильного производства «Автофрамос» в г. Москве 1.51 MB
  В конечном итоге именно производство создает базу для получения валового внутреннего продукта страны поэтому обеспечение производства основными и оборотными средствами которое осуществляется через инвестирование является необходимым условием экономического роста.