73516

Теорема Гамильтона

Лекция

Туризм и рекреация

В изолированной системе согласно закону сохранения энергии. Теперь наша задача состоит в том чтобы найти уравнения движения в любой инерциальной системе отсчета т. Система движется по отношению к системе поступательно с некоторой скоростью и некоторым ускорением.

Русский

2014-12-17

4.9 MB

0 чел.

46

3Теорема Гамильтона

Рассмотрим систему N частиц (материальных точек). Чтобы полностью задать состояние системы, нужно задать координаты и импульсы всех частиц:

  -  3N  переменных;

- 3N  переменных;

                 _________________

                     6N  переменных.

Полная энергия системы  - это сумма кинетической (K) и потенциальной () энергии:

,    ,     .

В изолированной системе  - согласно закону сохранения энергии.

= -  функция Гамильтона.

Полная энергия системы, заданная в виде функции координат и импульсов частиц, называется функцией Гамильтона, или, проще – гамильтонианом системы:      .

Теорема. Задание   полностью определяет динамику системы, и  уравнения движения имеют вид:

;    

 

(где   -  обобщенная координата,    -  обобщенный импульс,   ).

Эти уравнения были получены Гамильтоном исходя из принципа наименьшего действия.

Действие – это физическая величина (S), имеющая размерность произведения энергии на время [Джс] и являющаяся одной из важных характеристик движения системы.

Для механической системы действие обладает следующим основным свойством:

Если рассмотреть некоторую совокупность возможных движений системы  между двумя ее положениями (состояниями), то истинное (т.е. фактически происходящее) движение системы будет отличаться от всех прочих тем, что для него действие имеет наименьшее значение.

Функция Лагранжа    

.

Если учесть то из определения действия  - целое кратное (, 6.6310-34 Джс – постоянная Планка, или квант действия).

;   , если .

Получим закон сохранения энергии

Воспользуемся уравнениями движения в форме Гамильтона, чтобы получить закон сохранения энергии для простейшей замкнутой системы.

РИС. 2-17

Рассмотрим систему из 2-х частиц, способных двигаться только по направлению . Гамильтониан этой системы  (все аргументы зависят от времени).

Чтобы доказать закон сохранения энергии, нужно убедиться в том, что полная  энергия не зависит от времени.

Продифференцируем по времени:

.                                               

Уравнения Гамильтона для этой системы:

.

Подставим:

, т. е. .

Вывод: Полная  энергия сохраняется (не зависит от времени).

Финитное и инфинитное движение частицы

РИС. 2-18

Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия, можно судить о характере движения частицы. Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, это - финитное движение, если двигается как угодно далеко - инфинитное. Пример финитного движения - потенциальная яма, или движение с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения.

До сих пор мы всегда относили движение к одной из бесчисленных ИСО, в которых уравнение движения может быть записано или в ньютоновой форме ,  или в гамильтоновой форме .

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти уравнения движения в любой инерциальной системе отсчета, т.е. найти  законы преобразования ускорений и сил. При этом мы обязаны постулировать:

расстояния и промежутки времени инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой, произвольно движущейся.

Это справедливо только для малых скоростей движения, когда скорости движения тел в системах и скорости относительного движения систем малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

II. Движение в неинерциальных системах отсчета

1. Система  движется по отношению к системе  поступательно с некоторой скоростью  и некоторым  ускорением .

РИС. 3-1

- радиус-вектор начала системы ,

- радиус-вектор точки  в системе ,

- радиус-вектор точки  в системе .

Очевидно, что в системе  (которую считаем неподвижной)

,      .

Если элементарное перемещение точки  в системе  есть , то это элементарное перемещение складывается из перемещения  вместе с системой  и перемещения  в системе . Поделив на , получаем формулу преобразования скоростей:

,

,  .

Продифференцировав закон преобразования скоростей по времени, получаем закон преобразования ускорений:

,    .

Сразу видно, что, если , т. е. система  -  инерциальная, то .

(Вспомним определения ИСО !)

Умножим в последней формуле правую и левую части на массу частицы :

.  

Здесь  -  равнодействующая всех сил, действующих на частицу в неподвижной системе отсчета,   - некая добавочная сила, возникающая только из-за того, что система отсчета является неинерциальной (опять вспомним ИСО - если система отсчета будет двигаться без ускорения, т.е. , то и эта сила =0).

Это - сила инерции:

= -.

Основное уравнение динамики (2-ой закон Ньютона) в неинерциальной системе отсчета:      


2.
Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе .   

РИС. 3-2

1)Обе системы отсчета имеют общее начало . Радиус-вектор точки  будет одним и тем же в обеих системах отсчета: .

2) Точка   в системе  неподвижна. Значит, движение этой точки в системе  происходит только за счет вращения системы .

Перемещение:  

Допустим теперь, что точка  движется в системе  со скоростью . Суммарное перемещение этой точки за время  будет:

  (Здесь первое слагаемое – перемещение за счет движения
точки , второе – за счет вращения системы ).

Поделив на   и  вспоминая, что , имеем:

    – так изменяется скорость.

3) Приращение вектора скорости за время  (измеряется в системе ):

  - это просто полный дифференциал закона преобразования скоростей.

Приращение вектора скорости  за тот же интервал времени в системе :

.                        

РИС. 3-3

В выражение для   подставляем  и :

Поделив на , находим закон преобразования ускорений:

Преобразуем двойное векторное произведение типа , пользуясь правилом  «бац-цаб»:

, где учтено ,  - радиус-вектор, кратчайшим путем соединяющий точку  с осью вращения, а также правило сложения векторов.


РИС. 3-4

Итак, ,        -  осестремительное  ускорение,

                                                -  кориолисово (ударение на подчеркнутом «и»)            ускорение.

Если теперь предположить, что вся неинерциальная система отсчета  движется относительно инерциальной  с поступательным ускорением , то ускорение точки  в инерциальной системе отсчета будет:

    для ,

 для    .  

Последнее выражение -  

основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета , вращающейся  с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, перемещающейся с ускорением  относительно  инерциальной системы .

- инерциальная система,  - неинерциальная.


Умножая данное уравнение слева и справа на  и учитывая, что  в инерциальной системе отсчета , имеем:

,  или

,

где

 -  сила инерции, обусловленная поступательным ускорением системы отсчета ,

 -  центробежная сила, направлена по нормали! (Рис. 3-4)

 -  кориолисова сила; направлена по тангенциальной составляющей!

и    обусловлены вращением системы отсчета .

Силы инерции зависят от свойств неинерциальной системы отсчета, а также от положения  и скорости  частицы  в данной системе отсчета.

Проявление центробежной силы инерции – уменьшение ускорения свободного падения по мере удаления от полюсов и приближения к экватору, а вот размыв правых берегов рек в северном полушарии (закон Бэра) – пример тангенциональной силы.

РИС. 3-5

Обратите внимание: сила - нормальная к поверхности!

Радиус Земли  - . Заменим его вместо r.

-     на полюсах ,

                          на экваторе .

, где - ускорение свободного падения на полюсах,  - широта местности. 

Задача: поворот плоскости качания маятника Фуко за счет кориолисовой силы. Решение этой задачи французским ученым Фуко в 1852 г. доказало вращение Земли. При колебании маятника на полюсе плоскость его колебаний будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную вращению Земли, с угловой скоростью вращения Земли -15 градусов в час. В ИСО плоскость остается неизменной!

.  Эта сила направлена вправо по ходу маятника и лежит в горизонтальной плоскости.

РИС. 3-6  

Особенности сил инерции

  1.  Силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета и обусловлены не взаимодействием тел (как все прочие силы), а свойствами систем отсчета.
  2.   Силы инерции пропорциональны массе тела, подобно силам тяготения. Следовательно, движение тел в однородном поле сил инерции эквивалентно движению в однородном поле сил тяготения.

Отсюда - принцип эквивалентности Эйнштейна:

в однородном поле сил инерции все физические процессы происходят совершенно так же, как и в однородном поле сил тяготения.

Смысл таков. Допустим, мы не знаем, где находится лаборатория – в космическом пространстве, в невесомости, на Земле, или совершает поступательное движение с некоторым ускорением, или вращается с постоянной угловой скоростью относительно неподвижной оси. Мы замечаем только, что все тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением. При этом мы не можем сделать вывод о природе этого явления  -  вызвано это полем тяготения, или ускоренным движением лаборатории, или обеими этими причинами.


Момент количества движения
 (момент импульса)

РИС. 3-7

- неподвижное начало отсчета (полюс),   - радиус-вектор,   - импульс.

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,.

Компоненты:

.

Рассмотрим теперь, каким образом и по какой причине момент количества движения (момента импульса) изменяется во времени.

Для этого  продифференцируем по времени:

.

Первое слагаемое есть  векторное произведение коллинеарных векторов (геометрический смысл: прямые проходящие в направлении векторов параллельны) () и поэтому равно нулю:.

Во втором слагаемом      - сумма всех сил, действующих на  частицу.

Отсюда ,    -  момент сил,  действующих на частицу,

 -  уравнение моментов.

Заметим, что, если система отсчета является неинерциальной, то момент сил  включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции.

Из уравнения моментов  сразу видно, что при    и, следовательно, .

Важное свойство:

Если момент равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку, равен нулю относительно некоторой точки и в течение некоторого промежутка времени, то момент количества движения  относительно той же точки остается постоянным в течение этого же промежутка времени.

Момент количества движения в системе материальных точек

Для системы материальных точек справедливо:

для моментов импульса и сил

  и      ( - момент всех сил,  - моменты отдельных сил).

Последнее следует из:

:

Используя векторное умножение слева и справа на , находим:

             .

Под  следует понимать момент, создаваемый в системе всеми силами, как внешними, так и внутренними.

Теорема. Полный момент внутренних сил, действующих в системе материальных точек, относительно любого полюса всегда равен нулю.

Доказательство

Внутренние силы всегда действуют попарно: силе , с которой материальная точка  действует на материальную точку j, всегда соответствует равная и противоположно направленная сила , с которой точка (частица) j действует на точку i, причем обе эти силы направлены вдоль одной прямой.

РИС. 3-8

Вспомогательная теорема

Момент силы  не изменится, если точку приложения силы  перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

РИС. 3-9

Доказательство

Так как , то  равняется  площади OABC. Площади OABC и  OABC равны, так как они имеют  общее основание OC и высоту – что требовалось доказать.

Отсюда следует:  равные силы  и  можно перенести в одну точку, где они друг друга скомпенсируют. Следовательно, полный момент внутренних сил равен нулю.


Обобщение
 

-   производная по времени момента количества движения системы материальных точек относительно произвольного неподвижного полюса равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же полюса.

Следовательно, если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент количества движения (момент импульса) системы материальных точек относительно того же начала остается постоянным во времени.

Закон сохранения момента количества движения:

;   (не изменяется ни величина, ни направление)

Момент количества движения в случае центральных сил

Определение

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, соединяющей эти частицы, называются центральными силами.

Примеры

Если одна из частиц в рассматриваемой системе обладает значительно большей массой, чем другие, (Солнечная система) и значительно большим зарядом (ядро и электроны), то движение происходит вокруг этой частицы, так как ее можно считать неподвижной. Направления всех сил, действующих в системе, проходят через неподвижный силовой центр :

РИС. 3-10

Следовательно, момент центральных сил относительно силового центра равен нулю, и момент количества движения сохраняется:  .

3 Лекция 3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4069. Оценка стоимости машин, оборудования и транспортных средств методом чистых активов 242 KB
  Введение Стабилизация и дальнейшее развитие российской экономики непосредственно зависит от развития производственного аппарата промышленности, формируемого в первую очередь отраслями машиностроения. Машины и оборудование, транспортные средства сост...
4070. Психолого-акмеологическое обеспечение эффективности организационного лидерства 238.5 KB
  В рамках курса слушатели академии пополняют знания относительно важного в государственном управлении социально-психологического явления - лидерства, овладевают современными акмеологическими и психолого-педагогическими технологиями, ориентир...
4071. Предпринимательство: сущность и роль в экономическом развитии. Формы и сферы 97.5 KB
  Введение У истоков теории предпринимательства стоял шотландский экономист французского происхождения Р. Кантильен, который и ввел понятие «предприниматель» в экономическую теорию. По Кантильену, предприниматель- это человек с неопределен...
4072. Проблемы и перспективы европейской экономической интеграции 150.5 KB
  Международная экономическая интеграция — характерная особенность современного этапа развития мировой экономики. В конце XX в. она стала мощным инструментом ускоренного развития региональных экономик и повышения конкурентоспособности на...
4073. Экономические взгляды Джона Мейнарда Кейнса 71.5 KB
  Вступление В истории экономической науки имя Джона Мейнарда Кейнса (1883 - 1946) стоит в ряду ученых, оказавших наибольшее влияние на развитие современного им общества. Кейнс стал знаменит и почитаем еще при жизни, а споры по поводу его взглядов не ...
4074. Линейные электрические цепи постоянного тока 6.55 MB
  Цель работы: Для электрической схемы, изображенной на рисунке 1, по заданным в таблице 1 сопротивлениям и э.д.с. выполнить следующее: Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа, и найти...
4075. Исследование законов Кирхгофа 117 KB
  Цель работы: экспериментально проверить справедливость законов Кирхгофа, научиться строить потенциальную диаграмму и составлять баланс мощностей. Рисунок 1 Порядок выполнения работы: Собираем цепь по схеме. Включаем источники...
4076. Исследование принципа наложения и свойства взаимности 109.5 KB
  Цель работы: экспериментально проверить справедливость принципа наложения. Рисунок 1 Порядок выполнения работы: Собираем цепь по схеме. Включаем источники, устанавливаем на них разные напряжения в пределах 10-15 В. Опре...
4077. Исследование теплового излучения абсолютно чёрного тела 113 KB
  Цель работы – исследование температурной зависимости энергетической светимости абсолютно черного тела. Приборы и принадлежности –лабораторная работа выполняется на установке ФПК-11, которая включает: - объект исследования – тер...