73516

Теорема Гамильтона

Лекция

Туризм и рекреация

В изолированной системе согласно закону сохранения энергии. Теперь наша задача состоит в том чтобы найти уравнения движения в любой инерциальной системе отсчета т. Система движется по отношению к системе поступательно с некоторой скоростью и некоторым ускорением.

Русский

2014-12-17

4.9 MB

0 чел.

46

3Теорема Гамильтона

Рассмотрим систему N частиц (материальных точек). Чтобы полностью задать состояние системы, нужно задать координаты и импульсы всех частиц:

  -  3N  переменных;

- 3N  переменных;

                 _________________

                     6N  переменных.

Полная энергия системы  - это сумма кинетической (K) и потенциальной () энергии:

,    ,     .

В изолированной системе  - согласно закону сохранения энергии.

= -  функция Гамильтона.

Полная энергия системы, заданная в виде функции координат и импульсов частиц, называется функцией Гамильтона, или, проще – гамильтонианом системы:      .

Теорема. Задание   полностью определяет динамику системы, и  уравнения движения имеют вид:

;    

 

(где   -  обобщенная координата,    -  обобщенный импульс,   ).

Эти уравнения были получены Гамильтоном исходя из принципа наименьшего действия.

Действие – это физическая величина (S), имеющая размерность произведения энергии на время [Джс] и являющаяся одной из важных характеристик движения системы.

Для механической системы действие обладает следующим основным свойством:

Если рассмотреть некоторую совокупность возможных движений системы  между двумя ее положениями (состояниями), то истинное (т.е. фактически происходящее) движение системы будет отличаться от всех прочих тем, что для него действие имеет наименьшее значение.

Функция Лагранжа    

.

Если учесть то из определения действия  - целое кратное (, 6.6310-34 Джс – постоянная Планка, или квант действия).

;   , если .

Получим закон сохранения энергии

Воспользуемся уравнениями движения в форме Гамильтона, чтобы получить закон сохранения энергии для простейшей замкнутой системы.

РИС. 2-17

Рассмотрим систему из 2-х частиц, способных двигаться только по направлению . Гамильтониан этой системы  (все аргументы зависят от времени).

Чтобы доказать закон сохранения энергии, нужно убедиться в том, что полная  энергия не зависит от времени.

Продифференцируем по времени:

.                                               

Уравнения Гамильтона для этой системы:

.

Подставим:

, т. е. .

Вывод: Полная  энергия сохраняется (не зависит от времени).

Финитное и инфинитное движение частицы

РИС. 2-18

Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия, можно судить о характере движения частицы. Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, это - финитное движение, если двигается как угодно далеко - инфинитное. Пример финитного движения - потенциальная яма, или движение с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения.

До сих пор мы всегда относили движение к одной из бесчисленных ИСО, в которых уравнение движения может быть записано или в ньютоновой форме ,  или в гамильтоновой форме .

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти уравнения движения в любой инерциальной системе отсчета, т.е. найти  законы преобразования ускорений и сил. При этом мы обязаны постулировать:

расстояния и промежутки времени инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой, произвольно движущейся.

Это справедливо только для малых скоростей движения, когда скорости движения тел в системах и скорости относительного движения систем малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

II. Движение в неинерциальных системах отсчета

1. Система  движется по отношению к системе  поступательно с некоторой скоростью  и некоторым  ускорением .

РИС. 3-1

- радиус-вектор начала системы ,

- радиус-вектор точки  в системе ,

- радиус-вектор точки  в системе .

Очевидно, что в системе  (которую считаем неподвижной)

,      .

Если элементарное перемещение точки  в системе  есть , то это элементарное перемещение складывается из перемещения  вместе с системой  и перемещения  в системе . Поделив на , получаем формулу преобразования скоростей:

,

,  .

Продифференцировав закон преобразования скоростей по времени, получаем закон преобразования ускорений:

,    .

Сразу видно, что, если , т. е. система  -  инерциальная, то .

(Вспомним определения ИСО !)

Умножим в последней формуле правую и левую части на массу частицы :

.  

Здесь  -  равнодействующая всех сил, действующих на частицу в неподвижной системе отсчета,   - некая добавочная сила, возникающая только из-за того, что система отсчета является неинерциальной (опять вспомним ИСО - если система отсчета будет двигаться без ускорения, т.е. , то и эта сила =0).

Это - сила инерции:

= -.

Основное уравнение динамики (2-ой закон Ньютона) в неинерциальной системе отсчета:      


2.
Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе .   

РИС. 3-2

1)Обе системы отсчета имеют общее начало . Радиус-вектор точки  будет одним и тем же в обеих системах отсчета: .

2) Точка   в системе  неподвижна. Значит, движение этой точки в системе  происходит только за счет вращения системы .

Перемещение:  

Допустим теперь, что точка  движется в системе  со скоростью . Суммарное перемещение этой точки за время  будет:

  (Здесь первое слагаемое – перемещение за счет движения
точки , второе – за счет вращения системы ).

Поделив на   и  вспоминая, что , имеем:

    – так изменяется скорость.

3) Приращение вектора скорости за время  (измеряется в системе ):

  - это просто полный дифференциал закона преобразования скоростей.

Приращение вектора скорости  за тот же интервал времени в системе :

.                        

РИС. 3-3

В выражение для   подставляем  и :

Поделив на , находим закон преобразования ускорений:

Преобразуем двойное векторное произведение типа , пользуясь правилом  «бац-цаб»:

, где учтено ,  - радиус-вектор, кратчайшим путем соединяющий точку  с осью вращения, а также правило сложения векторов.


РИС. 3-4

Итак, ,        -  осестремительное  ускорение,

                                                -  кориолисово (ударение на подчеркнутом «и»)            ускорение.

Если теперь предположить, что вся неинерциальная система отсчета  движется относительно инерциальной  с поступательным ускорением , то ускорение точки  в инерциальной системе отсчета будет:

    для ,

 для    .  

Последнее выражение -  

основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета , вращающейся  с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, перемещающейся с ускорением  относительно  инерциальной системы .

- инерциальная система,  - неинерциальная.


Умножая данное уравнение слева и справа на  и учитывая, что  в инерциальной системе отсчета , имеем:

,  или

,

где

 -  сила инерции, обусловленная поступательным ускорением системы отсчета ,

 -  центробежная сила, направлена по нормали! (Рис. 3-4)

 -  кориолисова сила; направлена по тангенциальной составляющей!

и    обусловлены вращением системы отсчета .

Силы инерции зависят от свойств неинерциальной системы отсчета, а также от положения  и скорости  частицы  в данной системе отсчета.

Проявление центробежной силы инерции – уменьшение ускорения свободного падения по мере удаления от полюсов и приближения к экватору, а вот размыв правых берегов рек в северном полушарии (закон Бэра) – пример тангенциональной силы.

РИС. 3-5

Обратите внимание: сила - нормальная к поверхности!

Радиус Земли  - . Заменим его вместо r.

-     на полюсах ,

                          на экваторе .

, где - ускорение свободного падения на полюсах,  - широта местности. 

Задача: поворот плоскости качания маятника Фуко за счет кориолисовой силы. Решение этой задачи французским ученым Фуко в 1852 г. доказало вращение Земли. При колебании маятника на полюсе плоскость его колебаний будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную вращению Земли, с угловой скоростью вращения Земли -15 градусов в час. В ИСО плоскость остается неизменной!

.  Эта сила направлена вправо по ходу маятника и лежит в горизонтальной плоскости.

РИС. 3-6  

Особенности сил инерции

  1.  Силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета и обусловлены не взаимодействием тел (как все прочие силы), а свойствами систем отсчета.
  2.   Силы инерции пропорциональны массе тела, подобно силам тяготения. Следовательно, движение тел в однородном поле сил инерции эквивалентно движению в однородном поле сил тяготения.

Отсюда - принцип эквивалентности Эйнштейна:

в однородном поле сил инерции все физические процессы происходят совершенно так же, как и в однородном поле сил тяготения.

Смысл таков. Допустим, мы не знаем, где находится лаборатория – в космическом пространстве, в невесомости, на Земле, или совершает поступательное движение с некоторым ускорением, или вращается с постоянной угловой скоростью относительно неподвижной оси. Мы замечаем только, что все тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением. При этом мы не можем сделать вывод о природе этого явления  -  вызвано это полем тяготения, или ускоренным движением лаборатории, или обеими этими причинами.


Момент количества движения
 (момент импульса)

РИС. 3-7

- неподвижное начало отсчета (полюс),   - радиус-вектор,   - импульс.

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,.

Компоненты:

.

Рассмотрим теперь, каким образом и по какой причине момент количества движения (момента импульса) изменяется во времени.

Для этого  продифференцируем по времени:

.

Первое слагаемое есть  векторное произведение коллинеарных векторов (геометрический смысл: прямые проходящие в направлении векторов параллельны) () и поэтому равно нулю:.

Во втором слагаемом      - сумма всех сил, действующих на  частицу.

Отсюда ,    -  момент сил,  действующих на частицу,

 -  уравнение моментов.

Заметим, что, если система отсчета является неинерциальной, то момент сил  включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции.

Из уравнения моментов  сразу видно, что при    и, следовательно, .

Важное свойство:

Если момент равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку, равен нулю относительно некоторой точки и в течение некоторого промежутка времени, то момент количества движения  относительно той же точки остается постоянным в течение этого же промежутка времени.

Момент количества движения в системе материальных точек

Для системы материальных точек справедливо:

для моментов импульса и сил

  и      ( - момент всех сил,  - моменты отдельных сил).

Последнее следует из:

:

Используя векторное умножение слева и справа на , находим:

             .

Под  следует понимать момент, создаваемый в системе всеми силами, как внешними, так и внутренними.

Теорема. Полный момент внутренних сил, действующих в системе материальных точек, относительно любого полюса всегда равен нулю.

Доказательство

Внутренние силы всегда действуют попарно: силе , с которой материальная точка  действует на материальную точку j, всегда соответствует равная и противоположно направленная сила , с которой точка (частица) j действует на точку i, причем обе эти силы направлены вдоль одной прямой.

РИС. 3-8

Вспомогательная теорема

Момент силы  не изменится, если точку приложения силы  перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

РИС. 3-9

Доказательство

Так как , то  равняется  площади OABC. Площади OABC и  OABC равны, так как они имеют  общее основание OC и высоту – что требовалось доказать.

Отсюда следует:  равные силы  и  можно перенести в одну точку, где они друг друга скомпенсируют. Следовательно, полный момент внутренних сил равен нулю.


Обобщение
 

-   производная по времени момента количества движения системы материальных точек относительно произвольного неподвижного полюса равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же полюса.

Следовательно, если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент количества движения (момент импульса) системы материальных точек относительно того же начала остается постоянным во времени.

Закон сохранения момента количества движения:

;   (не изменяется ни величина, ни направление)

Момент количества движения в случае центральных сил

Определение

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, соединяющей эти частицы, называются центральными силами.

Примеры

Если одна из частиц в рассматриваемой системе обладает значительно большей массой, чем другие, (Солнечная система) и значительно большим зарядом (ядро и электроны), то движение происходит вокруг этой частицы, так как ее можно считать неподвижной. Направления всех сил, действующих в системе, проходят через неподвижный силовой центр :

РИС. 3-10

Следовательно, момент центральных сил относительно силового центра равен нулю, и момент количества движения сохраняется:  .

3 Лекция 3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44717. Degrees of Comparison of Adjectives and Adverbs 48.5 KB
  Prctise reding the following wordcombintions: erliest times useful power hotir engines solr energy solr evportion sunctivted processes surrounding ir sun’s rys stright lines the most effective wys the loss of energy glsslike mteril effective prevention trnsprent sheets of glss or plstic ctul pplictions typicl rrngements highpressure boilers lrge block of electric power. TEXT 5 Solr Power The sun’s energy mnifests itself s therml photoelectric nd photochemicl effects. Men hve tried to use solr energy since...
44718. Modal verbs. Nouns as attribute 88.7 KB
  II Prctise reding twosyllble words with the stress on the first syllble rdr rnging hrbour lnding trvel mesure becon presence wether echo signl timer system object constnt mountin strongest portion during. Prctise reding the following word combintions: cpble of determining the presence of objects their chrcter ll of them ultrhigh frequency rdio wve energy directionl ntenn in bem visul redble signls within the field of view of rdr the use of these timed pulses t the constnt velocity the fluorescent screen...
44719. Sequence of Tenses. Imperative Mood. Quantifiers and their equivalents 54 KB
  LBERT EINSTEIN 18791955 €œImgintion is more importnt thn knowledge†Einstein lbert Einstein ws born in Germny on Mrch 141879. t the ge of 21 fter four yers of university study lbert Einstein got job s clerk t n office. Einstein expressed his theory in the eqution E=mc roughly tht energy equls mss times the squre of the speed of light. lbert Einstein ws very tlented mn gret thinker.
44720. Infinitive (forms and functions) 33.55 KB
  The oceans cover 147 million square miles of the earth's total surface of 197 million square miles. Geographically, this vast expanse of water has been very thoroughly explored; the surface currents have been charted, the depths of the seas bordering the land have been carefully sounded. Yet, the nature of the ocean was practically unknown until recently, when new techniques and careful mapping did disclose new details of the ocean waters.
44721. Gerund (forms and functions) 114.28 KB
  Prctise reding the following twosyllble words with the stress on the second syllble: Include between employ pply design convert trnsform obtin Prctise reding the following mny syllble words: Electricity impossible ccumulte numerous resistnce temperture emergency photocell complicted Prctise reding the following words with double stress: Engineering semiconductor utomtion conductivity irrespective reproduce Memorize the spelling nd pronuncition of the following words: Vry ['vεərI]...
44722. Ing forms: Participle/Gerund/Verbal Noun 51 KB
  Trnsistors mde it possible to design compct smlldimensioned electronic devices which consume very little power. The trnsistors re successfully used for direct trnsformtion of het energy into electricl energy by mens of therml elements. In lter yers light sources nd lsers were built on the bsis of trnsistors.
44723. Participle (Passive and Perfect Forms) 33.83 KB
  Rdio supplies the communiction service which is so essentil to the modern world nd meeting these needs it hs become rpidly developing industry itself. It is from rdio tht the subject of electronics ws born which being pplied to utomtion brought such remrkble chnges to the technique of tody. The fstest most relible wy to detect n rtificil stellite nd to determine its orbit is by rdio.
44724. Nominative Absolute Participle Clause. Participle+Infinitive 54 KB
  PrticipleInfinitive TEXT 12 The Fundmentl Problems of Television. The word “television†by common cceptnce hs come to men the essentilly instntneous trnsmission either by wire or rdio of moving pictures or imges. Essentilly three steps re involved in television nmely: 1 the nlysis of the light imge into electricl signl; 2 the trnsmission of the electricl signl to the points of reception; nd 3 the synthesis of visible reproduction of the originl imge from the electricl signl. nswer the questions: Wht does the word “televisionâ€...
44725. Infinitive (Passive and Perfect Forms) 80.5 KB
  From the first electronic digital computers of the forties to to-day’s versatile computers and most up-to-date microcomputers, very little has changed as far as basic computer operation is concerned. In the last thirty years, vast improvements in the size, speed and capabilities of computers have taken place