73516

Теорема Гамильтона

Лекция

Туризм и рекреация

В изолированной системе согласно закону сохранения энергии. Теперь наша задача состоит в том чтобы найти уравнения движения в любой инерциальной системе отсчета т. Система движется по отношению к системе поступательно с некоторой скоростью и некоторым ускорением.

Русский

2014-12-17

4.9 MB

0 чел.

46

3Теорема Гамильтона

Рассмотрим систему N частиц (материальных точек). Чтобы полностью задать состояние системы, нужно задать координаты и импульсы всех частиц:

  -  3N  переменных;

- 3N  переменных;

                 _________________

                     6N  переменных.

Полная энергия системы  - это сумма кинетической (K) и потенциальной () энергии:

,    ,     .

В изолированной системе  - согласно закону сохранения энергии.

= -  функция Гамильтона.

Полная энергия системы, заданная в виде функции координат и импульсов частиц, называется функцией Гамильтона, или, проще – гамильтонианом системы:      .

Теорема. Задание   полностью определяет динамику системы, и  уравнения движения имеют вид:

;    

 

(где   -  обобщенная координата,    -  обобщенный импульс,   ).

Эти уравнения были получены Гамильтоном исходя из принципа наименьшего действия.

Действие – это физическая величина (S), имеющая размерность произведения энергии на время [Джс] и являющаяся одной из важных характеристик движения системы.

Для механической системы действие обладает следующим основным свойством:

Если рассмотреть некоторую совокупность возможных движений системы  между двумя ее положениями (состояниями), то истинное (т.е. фактически происходящее) движение системы будет отличаться от всех прочих тем, что для него действие имеет наименьшее значение.

Функция Лагранжа    

.

Если учесть то из определения действия  - целое кратное (, 6.6310-34 Джс – постоянная Планка, или квант действия).

;   , если .

Получим закон сохранения энергии

Воспользуемся уравнениями движения в форме Гамильтона, чтобы получить закон сохранения энергии для простейшей замкнутой системы.

РИС. 2-17

Рассмотрим систему из 2-х частиц, способных двигаться только по направлению . Гамильтониан этой системы  (все аргументы зависят от времени).

Чтобы доказать закон сохранения энергии, нужно убедиться в том, что полная  энергия не зависит от времени.

Продифференцируем по времени:

.                                               

Уравнения Гамильтона для этой системы:

.

Подставим:

, т. е. .

Вывод: Полная  энергия сохраняется (не зависит от времени).

Финитное и инфинитное движение частицы

РИС. 2-18

Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия, можно судить о характере движения частицы. Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, это - финитное движение, если двигается как угодно далеко - инфинитное. Пример финитного движения - потенциальная яма, или движение с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения.

До сих пор мы всегда относили движение к одной из бесчисленных ИСО, в которых уравнение движения может быть записано или в ньютоновой форме ,  или в гамильтоновой форме .

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти уравнения движения в любой инерциальной системе отсчета, т.е. найти  законы преобразования ускорений и сил. При этом мы обязаны постулировать:

расстояния и промежутки времени инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой, произвольно движущейся.

Это справедливо только для малых скоростей движения, когда скорости движения тел в системах и скорости относительного движения систем малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

II. Движение в неинерциальных системах отсчета

1. Система  движется по отношению к системе  поступательно с некоторой скоростью  и некоторым  ускорением .

РИС. 3-1

- радиус-вектор начала системы ,

- радиус-вектор точки  в системе ,

- радиус-вектор точки  в системе .

Очевидно, что в системе  (которую считаем неподвижной)

,      .

Если элементарное перемещение точки  в системе  есть , то это элементарное перемещение складывается из перемещения  вместе с системой  и перемещения  в системе . Поделив на , получаем формулу преобразования скоростей:

,

,  .

Продифференцировав закон преобразования скоростей по времени, получаем закон преобразования ускорений:

,    .

Сразу видно, что, если , т. е. система  -  инерциальная, то .

(Вспомним определения ИСО !)

Умножим в последней формуле правую и левую части на массу частицы :

.  

Здесь  -  равнодействующая всех сил, действующих на частицу в неподвижной системе отсчета,   - некая добавочная сила, возникающая только из-за того, что система отсчета является неинерциальной (опять вспомним ИСО - если система отсчета будет двигаться без ускорения, т.е. , то и эта сила =0).

Это - сила инерции:

= -.

Основное уравнение динамики (2-ой закон Ньютона) в неинерциальной системе отсчета:      


2.
Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе .   

РИС. 3-2

1)Обе системы отсчета имеют общее начало . Радиус-вектор точки  будет одним и тем же в обеих системах отсчета: .

2) Точка   в системе  неподвижна. Значит, движение этой точки в системе  происходит только за счет вращения системы .

Перемещение:  

Допустим теперь, что точка  движется в системе  со скоростью . Суммарное перемещение этой точки за время  будет:

  (Здесь первое слагаемое – перемещение за счет движения
точки , второе – за счет вращения системы ).

Поделив на   и  вспоминая, что , имеем:

    – так изменяется скорость.

3) Приращение вектора скорости за время  (измеряется в системе ):

  - это просто полный дифференциал закона преобразования скоростей.

Приращение вектора скорости  за тот же интервал времени в системе :

.                        

РИС. 3-3

В выражение для   подставляем  и :

Поделив на , находим закон преобразования ускорений:

Преобразуем двойное векторное произведение типа , пользуясь правилом  «бац-цаб»:

, где учтено ,  - радиус-вектор, кратчайшим путем соединяющий точку  с осью вращения, а также правило сложения векторов.


РИС. 3-4

Итак, ,        -  осестремительное  ускорение,

                                                -  кориолисово (ударение на подчеркнутом «и»)            ускорение.

Если теперь предположить, что вся неинерциальная система отсчета  движется относительно инерциальной  с поступательным ускорением , то ускорение точки  в инерциальной системе отсчета будет:

    для ,

 для    .  

Последнее выражение -  

основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета , вращающейся  с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, перемещающейся с ускорением  относительно  инерциальной системы .

- инерциальная система,  - неинерциальная.


Умножая данное уравнение слева и справа на  и учитывая, что  в инерциальной системе отсчета , имеем:

,  или

,

где

 -  сила инерции, обусловленная поступательным ускорением системы отсчета ,

 -  центробежная сила, направлена по нормали! (Рис. 3-4)

 -  кориолисова сила; направлена по тангенциальной составляющей!

и    обусловлены вращением системы отсчета .

Силы инерции зависят от свойств неинерциальной системы отсчета, а также от положения  и скорости  частицы  в данной системе отсчета.

Проявление центробежной силы инерции – уменьшение ускорения свободного падения по мере удаления от полюсов и приближения к экватору, а вот размыв правых берегов рек в северном полушарии (закон Бэра) – пример тангенциональной силы.

РИС. 3-5

Обратите внимание: сила - нормальная к поверхности!

Радиус Земли  - . Заменим его вместо r.

-     на полюсах ,

                          на экваторе .

, где - ускорение свободного падения на полюсах,  - широта местности. 

Задача: поворот плоскости качания маятника Фуко за счет кориолисовой силы. Решение этой задачи французским ученым Фуко в 1852 г. доказало вращение Земли. При колебании маятника на полюсе плоскость его колебаний будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную вращению Земли, с угловой скоростью вращения Земли -15 градусов в час. В ИСО плоскость остается неизменной!

.  Эта сила направлена вправо по ходу маятника и лежит в горизонтальной плоскости.

РИС. 3-6  

Особенности сил инерции

  1.  Силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета и обусловлены не взаимодействием тел (как все прочие силы), а свойствами систем отсчета.
  2.   Силы инерции пропорциональны массе тела, подобно силам тяготения. Следовательно, движение тел в однородном поле сил инерции эквивалентно движению в однородном поле сил тяготения.

Отсюда - принцип эквивалентности Эйнштейна:

в однородном поле сил инерции все физические процессы происходят совершенно так же, как и в однородном поле сил тяготения.

Смысл таков. Допустим, мы не знаем, где находится лаборатория – в космическом пространстве, в невесомости, на Земле, или совершает поступательное движение с некоторым ускорением, или вращается с постоянной угловой скоростью относительно неподвижной оси. Мы замечаем только, что все тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением. При этом мы не можем сделать вывод о природе этого явления  -  вызвано это полем тяготения, или ускоренным движением лаборатории, или обеими этими причинами.


Момент количества движения
 (момент импульса)

РИС. 3-7

- неподвижное начало отсчета (полюс),   - радиус-вектор,   - импульс.

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,.

Компоненты:

.

Рассмотрим теперь, каким образом и по какой причине момент количества движения (момента импульса) изменяется во времени.

Для этого  продифференцируем по времени:

.

Первое слагаемое есть  векторное произведение коллинеарных векторов (геометрический смысл: прямые проходящие в направлении векторов параллельны) () и поэтому равно нулю:.

Во втором слагаемом      - сумма всех сил, действующих на  частицу.

Отсюда ,    -  момент сил,  действующих на частицу,

 -  уравнение моментов.

Заметим, что, если система отсчета является неинерциальной, то момент сил  включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции.

Из уравнения моментов  сразу видно, что при    и, следовательно, .

Важное свойство:

Если момент равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку, равен нулю относительно некоторой точки и в течение некоторого промежутка времени, то момент количества движения  относительно той же точки остается постоянным в течение этого же промежутка времени.

Момент количества движения в системе материальных точек

Для системы материальных точек справедливо:

для моментов импульса и сил

  и      ( - момент всех сил,  - моменты отдельных сил).

Последнее следует из:

:

Используя векторное умножение слева и справа на , находим:

             .

Под  следует понимать момент, создаваемый в системе всеми силами, как внешними, так и внутренними.

Теорема. Полный момент внутренних сил, действующих в системе материальных точек, относительно любого полюса всегда равен нулю.

Доказательство

Внутренние силы всегда действуют попарно: силе , с которой материальная точка  действует на материальную точку j, всегда соответствует равная и противоположно направленная сила , с которой точка (частица) j действует на точку i, причем обе эти силы направлены вдоль одной прямой.

РИС. 3-8

Вспомогательная теорема

Момент силы  не изменится, если точку приложения силы  перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

РИС. 3-9

Доказательство

Так как , то  равняется  площади OABC. Площади OABC и  OABC равны, так как они имеют  общее основание OC и высоту – что требовалось доказать.

Отсюда следует:  равные силы  и  можно перенести в одну точку, где они друг друга скомпенсируют. Следовательно, полный момент внутренних сил равен нулю.


Обобщение
 

-   производная по времени момента количества движения системы материальных точек относительно произвольного неподвижного полюса равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же полюса.

Следовательно, если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент количества движения (момент импульса) системы материальных точек относительно того же начала остается постоянным во времени.

Закон сохранения момента количества движения:

;   (не изменяется ни величина, ни направление)

Момент количества движения в случае центральных сил

Определение

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, соединяющей эти частицы, называются центральными силами.

Примеры

Если одна из частиц в рассматриваемой системе обладает значительно большей массой, чем другие, (Солнечная система) и значительно большим зарядом (ядро и электроны), то движение происходит вокруг этой частицы, так как ее можно считать неподвижной. Направления всех сил, действующих в системе, проходят через неподвижный силовой центр :

РИС. 3-10

Следовательно, момент центральных сил относительно силового центра равен нулю, и момент количества движения сохраняется:  .

3 Лекция 3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51142. Косвенные однократные измерения 117.85 KB
  Недостатком этих измерений является возможность грубой ошибки промаха; многократное измерение измерение физической величины одного и того же размера результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений т. состоящее из ряда однократных измерений. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных факторов на результат измерений; б по характеру точности по условиям измерения: равноточные измерения ряд измерений какойлибо величины выполненных одинаковыми по точности СИ в одних и тех же...
51143. Измерение углов токарного резца. Методические указания 306.93 KB
  На токарных станках можно выполнить следующие виды работ: точение в центрах, в патроне и на планшайбе; растачивание; торцовое точение; отрезку и подрезку; нарезание резьбы; точение конусов, фасонных поверхностей и другие виды работ с применением соответствующих инструментов и приспособлений.
51145. Операционный блок микропрограммируемого процессора 53.57 KB
  Цель работы: изучение операционного блока на уровне структурной схемы, ознакомление с составом микрокоманд и порядком их выполнения, составление и отладка микропрограмм.
51146. Изучение микроконтроллера MSP430F2013 и адаптера eZ430-F2013 587.63 KB
  Микроконтроллеры широко применяются в автоматических системах во всех сферах жизни человека, например, в промышленности, на транспорте, в быту. Микроконтроллеры являются ядром системы управления роботов, мехатронных систем, автоматических устройств. Большой интерес вызывает активно развивающееся семейство микроконтроллеров MSP430 с флэш-памятью и сверхмалым энергопотреблением, производимых корпорацией Texas Instruments.
51147. Изучение способов адресации микроконтроллеров MSP430 204.88 KB
  Задание на лабораторную работу Разработка схемы алгоритма решения задачи Разработка программы Результаты вычислительного эксперимента Выводы Список литературы Введение Производительность микроконтроллера во многом определяется его центральным процессорным устройством ЦПУ. Разработка алгоритма Схема алгоритма...
51148. Программирование циклических алгоритмов 237.19 KB
  Последовательно вводятся N целых чисел. Найти сумму всех отрицательных среди них. Введи количество чисел Сумма отрицательных элементов Результат работы Задание...
51149. Изучение представления графической информации в WINDOWS 129.3 KB
  Цель работы: Написать программу, реализующую просмотр графического файла (формат BMP). Программа должна: загружать и выводить на экран произвольный файл (с использованием файловых функций); осуществлять проверку на допустимый формат файла;
51150. Построение и расчет временных параметров моделей СПУ 129.71 KB
  Согласно номеру своего варианта получите следующие исходные данные: время нормальной длительности каждой работы сетевой модели и описание упорядочения этих работ. В соответствии с сетевыми методиками: рассчитайте и отобразите на сетевом графике временные параметры событий: ранний и поздний срок свершения события резерв события; рассчитайте и представьте в таблице временные параметры работ: время раннего и позднего начала работ; время раннего и позднего окончания работ; полный и свободный резервы...