73517

Элементы векторной алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Векторное произведение направление есть вывинчивание правого винта от r к p Моментом количества движения частицы материальной точки P относительно некоторой точки называется вектор Рис. Координаты события...

Русский

2014-12-17

3.85 MB

0 чел.

52

4Напоминание. Элементы векторной алгебры

Рис. 2-4

Сложение

Вычитание  

Преобразования Галилея:

Рис. 2-9

Скалярное произведение

Работа силы  на перемещении  производится проекцией силы на это направление  :   - скалярное произведение.

Рис. 3-7

Векторное произведение-направление есть вывинчивание правого винта (от r  к  p)

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,


Рис. 1-2

Координаты события:

Положение точки: , расстояние между точками 1 и 2: .

См. Рис. 2-4

Мгновенная и средняя скорость

                                                   =                   .

Мгновенное ускорение            .

Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе :

                       

 правило   «бац-цаб»

Сложение векторов

Умножение векторов =

x3=x1+x2

x3=y1z2-z1y2

y3=y1+y2

y3=z1x2-x1z2

z3=z1+z2

z3=x1y2-y1x2


Движение по окружности

Рис. 3-2

Псевдовектор

Угловая скорость:

направление есть ввинчивание правого винта (направление dr есть вывинчивание, т.е. вверх!)

Связь с линейными характеристиками:

Изменение скорости  и ускорения

,      -  - осестремительное  ускорение, нормальное!

                                       - кориолисово ускорение, тангенциальное.

                                               

Дифференцирование и интегрирование

Определение: 

производная функции f(x) по x:  

Смысл –угловой коэффициент касательной к f(x) в  т. x

Вектор мгновенной скорости и производная:

 

= =

=      В итоге: три производные от координат!

Определенный интеграл от f(x) в пределах от a до b есть предел интегральной суммы при разбиении промежутка [ab]  на малые промежутки , т. е.

Имеет смысл площади под f(x) на  [ab].

Рис. 2-10

Работа силы  на траектории  между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках:

-   криволинейный интеграл по .

Конец Напоминания.

 


Проблема движения планет

Воспользуемся полученной информацией для рассмотрения проблемы движения планет Солнечной системы.

РИС. 3-11

Радиус орбиты движения Земли (T) вокруг Солнца (S)  150000000 км.

Если пренебречь взаимодействием между планетами,

задача сводится к проблеме движения материальной точки в поле центральных сил.

Введем понятие секториальной скорости. 

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , через промежуток времени  -  радиусом-вектором .

РИС. 3-12

Величине  придается векторный смысл, чтобы зафиксировать направление движения.  Площадь, ометаемая радиусом-вектором точки, движущейся вокруг силового центра О, за время : .


Скорость изменения площади, ометаемой радиусом-вектором (
секториальная скорость):                                .

По определению момента количества движения .

 -  в случае движения материальной точки в центральном поле ее момент количества движения пропорционален ее секториальной скорости.

Два следствия

1) Постоянство вектора – это постоянство не только его абсолютного значения (модуля), но и его направления. Значит, плоскость, перпендикулярная , занимает постоянное положение в пространстве; именно в этой плоскости  лежат вектора   и  . Следовательно, траектория движения материальной точки в поле центральных сил – это плоская кривая.     

1-ый закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении, т.е. в задаче двух тел, орбита движущейся точки есть плоская кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Из постоянства модуля вектора  следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле центральных сил, ометает равные  площади.

РИС. 3-13

2-ой закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором точки, движущейся в поле центральных сил, изменяется пропорционально времени.

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Оба эти закона Кеплера были в свое время получены в результате обработки экспериментальных данных Тихо Браге (1546-1601) и привели впоследствии Ньютона к установлению закона всемирного тяготения:   -  всегда притяжение – единственная сила, управляющая движением астрономических тел.

3-ий закон Кеплера (1619 год).

Формулировка Кеплера:

квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца:

Справедливость 3-го закона Кеплера можно доказать, если считать орбиты планет круговыми. Это предположение не слишком грубое, так как эксцентриситет орбит планет невелик: для орбиты Земли 0.017, для орбиты Меркурия 0.205.

Напоминание

Эксцентриситет  кривой второго порядка (конического сечения) – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой 2-го порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы.   

РИС. 3-14

У эллипса две директрисы (), каждая соответствует своему фокусу ; эксцентриситет: . Уравнение директрис: ;  .  Если , то  и эллипс  вырождается в  прямую . Если , то директриса удаляется в бесконечность, фокусы сливаются в один. Эллипс превращается в окружность.

Итак, малость эксцентриситетов орбит планет Солнечной системы позволяет считать их орбиты круговыми.

Пусть одна планета имеет массу , круговую орбиту радиуса  и период обращения , вторая планета - .

Стационарное состояние: центробежная сила равна и противоположно направлена силе притяжения:

, где  - масса Солнца,

Гравитационная постоянная      =6,6710-11 м3/кгс2 или

(6.67320.0031) 10-8 динсм22    [Нм2/кг2].

- универсальная константа.

Заменяя , находим:

   или         

Для планет, движущихся по круговым орбитам, 3-ий закон Кеплера:

Мы знаем, что ускорение материальной точки (планеты) при равномерном движении по круговой орбите:

. Подставим следующее обозначение:    (постоянная Кеплера);   ; тогда     и соответственно сила .    

Поскольку планета и Солнце равноправно должны входить в закон взаимодействия:

, где   -  масса Солнца. Из сравнения сил видно, что

постоянная Кеплера  .

Ньютон не объяснил происхождения гравитационного взаимодействия – одной из фундаментальных сил природы. Общая теория относительности тоже не дает какого-либо наглядного толкования тяготения, дает лишь новый способ описания и более глубокое обобщение закона всемирного тяготения.

4 Лекция 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32428. Сертификаты, СА, SSL, аутентификация с помощью сертификатов 397.63 KB
  Структура сертификата: Оговаривается стандартом Х509 последняя3я версия которого появилась в 1996 году. Стандарт оговаривает следующие компоненты сертификата: Номер версии Уникальный порядковый номер Стандарты ЭЦП и хэшфункция используемые для подписи сертификата Имя субъекта и его организация. Для аннулирования сертификата необходимы следующие причины: потеря ЛК изменение места работы Внешнее коммерческое СА используется: Когда действительность ключа должна быть подтверждена доверенной 3й стороной Не хватает...
32429. Стеганография(СГ). Цифровые водяные знаки 18.79 KB
  форматы либо избыточность аудио графической информации. В первом случаем можно использовать для упрятывания информации зарезервированные поля компьютерного формата данных. : небольшое количество информации низкая степень скрытности. Виды стеганографии: Суррогатная – данные информации обычно шумят и необходимо заменять шумящие биты скрываемой информацией.
32430. Направления в области ЗИ от НСД , Показатели защищенности СВТ, порядок оценки класса защищенности СВТ, понятие и подсистемы АС , Классификация СВТ и АС по уровню защищенности от НСД 1.07 MB
  Первое связано с СВТ второе – с АС. СВТ – средства вычислительной техники. СВТ совокупность программ и технических элементов систем обработки данных способная функционировать как самостоятельно так и в составе других систем.
32431. Классификация СЗИ по уровню контроля отсутствия недекларируемых воздействий 20.5 KB
  Классификация распространяется на ПО предназначенное для защиты информации ограниченного доступа. Для ПО используемого при защите информации отнесенной к государственной тайне должен быть обеспечен уровень контроля не ниже третьего. Самый высокий уровень контроля первый достаточен для ПО используемого при защите информации с грифом ОВ. Второй уровень контроля достаточен для ПО используемого при защите информации с грифом CC.
32432. Биометрические методы идентификации 19.11 KB
  Располагается на расстоянии 50 см и сравнивает ткани вокруг зрачка Стандарты биометрической аутентификации можно разделить на несколько иерархических категорий: I Стандарты определяющие требования для систем использующих биометрические технологии II Стандарты определяющие требования к процедуре использования биометрического распознавания в различных областях III Стандарты определяющие программный интерфейс PI для разработки биометрических систем IV Стандарты определяющие единый формат биометрических данных V Стандарты представления и...
32433. Электронные идентификаторы iButton 21.32 KB
  Все iButton имеют ПЗУ где хранится информация в виде поликремниевых проводников что не требует энергии для хранения. Это ПЗУ содержит 6 байтовый серийный номер – уникальный. Таблетки DS 2404S01 – двухпортовая память содержит 64битную память ПЗУ. Группы: Для работы с содержимым ПЗУ.
32434. Secret Net5.0-C, архитектура СЗИ НСД, состав семейства, администрирование системы и пользователей, организация разграничения доступа, контроль целостности, аудит 4.13 MB
  0C архитектура СЗИ НСД состав семейства администрирование системы и пользователей организация разграничения доступа контроль целостности аудит.Разграничение доступа и зашиты ресурсов.Разграничение доступа к устройствам компьютера. Механизм разграничения доступа к устройствам РДУ предназначен для разграничения доступа к устройствам с целью предотвращения несанкционированной утечки информации с защищаемого компьютера.
32435. Электронные ключи 16.58 KB
  На базе программируемых логических матриц Реализуют функцию x и y – могут представлять последовательность чисел Электронные ключи энергозависимой программируемой памятью имеется возможность дистанционного перепрограммирования ключей. Возможность усиленной защиты за счет встраиваемой функции. Возможность защиты от НСД к данным за счет их шифрования с использованием параметров электронного ключа. Возможность выбирать схему защиты.