73517

Элементы векторной алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Векторное произведение направление есть вывинчивание правого винта от r к p Моментом количества движения частицы материальной точки P относительно некоторой точки называется вектор Рис. Координаты события...

Русский

2014-12-17

3.85 MB

0 чел.

52

4Напоминание. Элементы векторной алгебры

Рис. 2-4

Сложение

Вычитание  

Преобразования Галилея:

Рис. 2-9

Скалярное произведение

Работа силы  на перемещении  производится проекцией силы на это направление  :   - скалярное произведение.

Рис. 3-7

Векторное произведение-направление есть вывинчивание правого винта (от r  к  p)

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,


Рис. 1-2

Координаты события:

Положение точки: , расстояние между точками 1 и 2: .

См. Рис. 2-4

Мгновенная и средняя скорость

                                                   =                   .

Мгновенное ускорение            .

Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе :

                       

 правило   «бац-цаб»

Сложение векторов

Умножение векторов =

x3=x1+x2

x3=y1z2-z1y2

y3=y1+y2

y3=z1x2-x1z2

z3=z1+z2

z3=x1y2-y1x2


Движение по окружности

Рис. 3-2

Псевдовектор

Угловая скорость:

направление есть ввинчивание правого винта (направление dr есть вывинчивание, т.е. вверх!)

Связь с линейными характеристиками:

Изменение скорости  и ускорения

,      -  - осестремительное  ускорение, нормальное!

                                       - кориолисово ускорение, тангенциальное.

                                               

Дифференцирование и интегрирование

Определение: 

производная функции f(x) по x:  

Смысл –угловой коэффициент касательной к f(x) в  т. x

Вектор мгновенной скорости и производная:

 

= =

=      В итоге: три производные от координат!

Определенный интеграл от f(x) в пределах от a до b есть предел интегральной суммы при разбиении промежутка [ab]  на малые промежутки , т. е.

Имеет смысл площади под f(x) на  [ab].

Рис. 2-10

Работа силы  на траектории  между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках:

-   криволинейный интеграл по .

Конец Напоминания.

 


Проблема движения планет

Воспользуемся полученной информацией для рассмотрения проблемы движения планет Солнечной системы.

РИС. 3-11

Радиус орбиты движения Земли (T) вокруг Солнца (S)  150000000 км.

Если пренебречь взаимодействием между планетами,

задача сводится к проблеме движения материальной точки в поле центральных сил.

Введем понятие секториальной скорости. 

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , через промежуток времени  -  радиусом-вектором .

РИС. 3-12

Величине  придается векторный смысл, чтобы зафиксировать направление движения.  Площадь, ометаемая радиусом-вектором точки, движущейся вокруг силового центра О, за время : .


Скорость изменения площади, ометаемой радиусом-вектором (
секториальная скорость):                                .

По определению момента количества движения .

 -  в случае движения материальной точки в центральном поле ее момент количества движения пропорционален ее секториальной скорости.

Два следствия

1) Постоянство вектора – это постоянство не только его абсолютного значения (модуля), но и его направления. Значит, плоскость, перпендикулярная , занимает постоянное положение в пространстве; именно в этой плоскости  лежат вектора   и  . Следовательно, траектория движения материальной точки в поле центральных сил – это плоская кривая.     

1-ый закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении, т.е. в задаче двух тел, орбита движущейся точки есть плоская кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Из постоянства модуля вектора  следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле центральных сил, ометает равные  площади.

РИС. 3-13

2-ой закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором точки, движущейся в поле центральных сил, изменяется пропорционально времени.

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Оба эти закона Кеплера были в свое время получены в результате обработки экспериментальных данных Тихо Браге (1546-1601) и привели впоследствии Ньютона к установлению закона всемирного тяготения:   -  всегда притяжение – единственная сила, управляющая движением астрономических тел.

3-ий закон Кеплера (1619 год).

Формулировка Кеплера:

квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца:

Справедливость 3-го закона Кеплера можно доказать, если считать орбиты планет круговыми. Это предположение не слишком грубое, так как эксцентриситет орбит планет невелик: для орбиты Земли 0.017, для орбиты Меркурия 0.205.

Напоминание

Эксцентриситет  кривой второго порядка (конического сечения) – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой 2-го порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы.   

РИС. 3-14

У эллипса две директрисы (), каждая соответствует своему фокусу ; эксцентриситет: . Уравнение директрис: ;  .  Если , то  и эллипс  вырождается в  прямую . Если , то директриса удаляется в бесконечность, фокусы сливаются в один. Эллипс превращается в окружность.

Итак, малость эксцентриситетов орбит планет Солнечной системы позволяет считать их орбиты круговыми.

Пусть одна планета имеет массу , круговую орбиту радиуса  и период обращения , вторая планета - .

Стационарное состояние: центробежная сила равна и противоположно направлена силе притяжения:

, где  - масса Солнца,

Гравитационная постоянная      =6,6710-11 м3/кгс2 или

(6.67320.0031) 10-8 динсм22    [Нм2/кг2].

- универсальная константа.

Заменяя , находим:

   или         

Для планет, движущихся по круговым орбитам, 3-ий закон Кеплера:

Мы знаем, что ускорение материальной точки (планеты) при равномерном движении по круговой орбите:

. Подставим следующее обозначение:    (постоянная Кеплера);   ; тогда     и соответственно сила .    

Поскольку планета и Солнце равноправно должны входить в закон взаимодействия:

, где   -  масса Солнца. Из сравнения сил видно, что

постоянная Кеплера  .

Ньютон не объяснил происхождения гравитационного взаимодействия – одной из фундаментальных сил природы. Общая теория относительности тоже не дает какого-либо наглядного толкования тяготения, дает лишь новый способ описания и более глубокое обобщение закона всемирного тяготения.

4 Лекция 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38365. Логистика и ее сущность 506.5 KB
  Параметрами материального потока являются: номенклатура ассортимент и количество продукции; габаритные характеристики объем площадь линейные размеры; весовые характеристики общая масса вес брутто вес нетто; физикохимическис свойства; характеристики тары упаковки; условия транспортировки и хранения; стоимостные характеристики и др.Характеристика микро и макрологистики Микрологистика изучает способы и методы оптимизации движения поступающих на предприятия обрабатываемых там и выходящих потоков продукции и сопутствующих...
38366. Міжнародні перевезення 35.31 KB
  Поняття міжнародних перевезень Транспорт одна з найважливіших галузей суспільного виробництва що покликана задовольняти потреби населення та інших галузей суспільного виробництва в перевезеннях. З допомогою транспортних засобів суб'єкти господарювання надають два різновиди послуг: перевезення вантажу пасажирів та їхнього багажу а також транспортування нафти природного газу електроенергії тощо. Міжнародними вважаються перевезення вантажів і пасажирів між двома чи кількома державами. На залізничному транспорті у разі відсутності угоди...
38367. Податкове право і податкове законодавство України 703.5 KB
  Ця структура включає в себе самостійні базові інститути оподаткування інститут оподаткування фізичних осіб; інститут місцевих податків і зборів; інститут податкової відповідальності тощо. Таким чином податкове право: виступає як інститут предметний тобто присвячений строго певному предмету різновиду відносин що складаються з приводу встановлення сплати й стягнення податків і зборів їх зміни й скасування; регулює суспільні відносини щодо встановлення й справляння податкових платежів їх зміни й скасування; розподіл і використання...
38368. Политология как научная дисциплина 284.5 KB
  при правлении Наполеона в Париже была открыта студия полит. Был проведён первый конгресс учённых по проблемам изучения полит. Под эгидой ЮНЕСКО проходит первый международный коллоквиум по проблемам полит. Они пришли к выводу что ПЛ как наука изучает: историю полит.
38369. Политология и ее развитие 246 KB
  Основные этапы развития политологии исторически определенные периоды становления и развития знаний о политике политической власти государстве политическом человеке и других вопросах политической жизни общества. Аквинского о божественном происхождении государства и власти моральном характере правления и другие вопросы оказали заметное влияние на политологию. Марксистсколенинская концепция политики исходила из признания экономического базиса первоосновой политической надстройки классовости политики которую определяла как область...
38370. Основи економічної теорії 212 KB
  Сутність капіталу. Просте і розширене відтворення індивідуального капіталу.Нагромадження капіталу.Форми нагромадження концентрація і централізація капіталу та виробництва.
38371. Міжнародне право 401 KB
  В сучасних умовах розвиток міжнародних звязків України відкритість суспільства зумовили широку трудову міграцію працездатного населення до інших країн у пошуках роботи. При викладанні зазначеного курсу активно використовується порівняльний метод дослідження теоретичних та практичних аспектів трудового та соціального права України з аналогічним правом інших країн США Франція Англія Німеччина Росія та ін.
38372. Постійні представництва держав при міжнародних організаціях структура, персонал та особливості діяльності 40.5 KB
  Постійні представництва держав при міжнародних організаціях структура персонал та особливості діяльності Для міждержавної організації характерними ознаками єчленство держав; наявність міжнародного договору на підставі якого засновано організацію; постійно діючі органивизнання суверенітету державчленів. Отже так само як і посольства постійні представництва при міжнародних організаціях входять до системи зарубіжних органів зовнішніх зносин і є складовою частиною дипломатичної служби держави. Головна з них полягає в тому що посольства...