73517

Элементы векторной алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Векторное произведение направление есть вывинчивание правого винта от r к p Моментом количества движения частицы материальной точки P относительно некоторой точки называется вектор Рис. Координаты события...

Русский

2014-12-17

3.85 MB

1 чел.

52

4Напоминание. Элементы векторной алгебры

Рис. 2-4

Сложение

Вычитание  

Преобразования Галилея:

Рис. 2-9

Скалярное произведение

Работа силы  на перемещении  производится проекцией силы на это направление  :   - скалярное произведение.

Рис. 3-7

Векторное произведение-направление есть вывинчивание правого винта (от r  к  p)

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,


Рис. 1-2

Координаты события:

Положение точки: , расстояние между точками 1 и 2: .

См. Рис. 2-4

Мгновенная и средняя скорость

                                                   =                   .

Мгновенное ускорение            .

Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе :

                       

 правило   «бац-цаб»

Сложение векторов

Умножение векторов =

x3=x1+x2

x3=y1z2-z1y2

y3=y1+y2

y3=z1x2-x1z2

z3=z1+z2

z3=x1y2-y1x2


Движение по окружности

Рис. 3-2

Псевдовектор

Угловая скорость:

направление есть ввинчивание правого винта (направление dr есть вывинчивание, т.е. вверх!)

Связь с линейными характеристиками:

Изменение скорости  и ускорения

,      -  - осестремительное  ускорение, нормальное!

                                       - кориолисово ускорение, тангенциальное.

                                               

Дифференцирование и интегрирование

Определение: 

производная функции f(x) по x:  

Смысл –угловой коэффициент касательной к f(x) в  т. x

Вектор мгновенной скорости и производная:

 

= =

=      В итоге: три производные от координат!

Определенный интеграл от f(x) в пределах от a до b есть предел интегральной суммы при разбиении промежутка [ab]  на малые промежутки , т. е.

Имеет смысл площади под f(x) на  [ab].

Рис. 2-10

Работа силы  на траектории  между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках:

-   криволинейный интеграл по .

Конец Напоминания.

 


Проблема движения планет

Воспользуемся полученной информацией для рассмотрения проблемы движения планет Солнечной системы.

РИС. 3-11

Радиус орбиты движения Земли (T) вокруг Солнца (S)  150000000 км.

Если пренебречь взаимодействием между планетами,

задача сводится к проблеме движения материальной точки в поле центральных сил.

Введем понятие секториальной скорости. 

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , через промежуток времени  -  радиусом-вектором .

РИС. 3-12

Величине  придается векторный смысл, чтобы зафиксировать направление движения.  Площадь, ометаемая радиусом-вектором точки, движущейся вокруг силового центра О, за время : .


Скорость изменения площади, ометаемой радиусом-вектором (
секториальная скорость):                                .

По определению момента количества движения .

 -  в случае движения материальной точки в центральном поле ее момент количества движения пропорционален ее секториальной скорости.

Два следствия

1) Постоянство вектора – это постоянство не только его абсолютного значения (модуля), но и его направления. Значит, плоскость, перпендикулярная , занимает постоянное положение в пространстве; именно в этой плоскости  лежат вектора   и  . Следовательно, траектория движения материальной точки в поле центральных сил – это плоская кривая.     

1-ый закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении, т.е. в задаче двух тел, орбита движущейся точки есть плоская кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Из постоянства модуля вектора  следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле центральных сил, ометает равные  площади.

РИС. 3-13

2-ой закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором точки, движущейся в поле центральных сил, изменяется пропорционально времени.

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Оба эти закона Кеплера были в свое время получены в результате обработки экспериментальных данных Тихо Браге (1546-1601) и привели впоследствии Ньютона к установлению закона всемирного тяготения:   -  всегда притяжение – единственная сила, управляющая движением астрономических тел.

3-ий закон Кеплера (1619 год).

Формулировка Кеплера:

квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца:

Справедливость 3-го закона Кеплера можно доказать, если считать орбиты планет круговыми. Это предположение не слишком грубое, так как эксцентриситет орбит планет невелик: для орбиты Земли 0.017, для орбиты Меркурия 0.205.

Напоминание

Эксцентриситет  кривой второго порядка (конического сечения) – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой 2-го порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы.   

РИС. 3-14

У эллипса две директрисы (), каждая соответствует своему фокусу ; эксцентриситет: . Уравнение директрис: ;  .  Если , то  и эллипс  вырождается в  прямую . Если , то директриса удаляется в бесконечность, фокусы сливаются в один. Эллипс превращается в окружность.

Итак, малость эксцентриситетов орбит планет Солнечной системы позволяет считать их орбиты круговыми.

Пусть одна планета имеет массу , круговую орбиту радиуса  и период обращения , вторая планета - .

Стационарное состояние: центробежная сила равна и противоположно направлена силе притяжения:

, где  - масса Солнца,

Гравитационная постоянная      =6,6710-11 м3/кгс2 или

(6.67320.0031) 10-8 динсм22    [Нм2/кг2].

- универсальная константа.

Заменяя , находим:

   или         

Для планет, движущихся по круговым орбитам, 3-ий закон Кеплера:

Мы знаем, что ускорение материальной точки (планеты) при равномерном движении по круговой орбите:

. Подставим следующее обозначение:    (постоянная Кеплера);   ; тогда     и соответственно сила .    

Поскольку планета и Солнце равноправно должны входить в закон взаимодействия:

, где   -  масса Солнца. Из сравнения сил видно, что

постоянная Кеплера  .

Ньютон не объяснил происхождения гравитационного взаимодействия – одной из фундаментальных сил природы. Общая теория относительности тоже не дает какого-либо наглядного толкования тяготения, дает лишь новый способ описания и более глубокое обобщение закона всемирного тяготения.

4 Лекция 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8559. Барт. Миф сегодня 36 KB
  Р. Барт. Миф сегодня Что же такое миф сегодня. На этот вопрос я сразу же дам простой ответ, точно согласующийся с этимологией: миф - это слово. Разумеется, это не какое угодно слово: чтобы язык стал мифом, он должен обладать некоторыми особыми...
8560. Бердяев. Соотношение философии, религии и науки 41 KB
  Н. А. Бердяев. Соотношение философии, религии и науки Первое и самое сильное нападение философии пришлось выдержать со стороны религии, и это не прекращается и до сих пор, так как религия есть вечная функция человеческого духа. Именно столкновение ф...
8561. Типовой проект Соглашения РФ о поощрении и взаимной защите капиталовложений 32.5 KB
  В соглашениях с участием России в большинстве случаев термин «капиталовложения» означает любые имущественные ценности, которые вкладываются инвестором одной Договаривающейся стороны на территории другой Договаривающейся стороны в любой правовой форме в соответствии с законодательством последней
8562. Бодрийяр. Общество потребления 50 KB
  Ж. Бодрийяр.Общество потребления Существует сегодня вокруг нас своего рода фантастическая очевидность потребления и изобилия, основанная на умножении богатств, услуг, материальных благ и составляющая род глубокой мутации в экологии человеческо...
8563. Боэций. О родах и видах 48.5 KB
  Боэций. О родах и видах Аристотель написал книгу, которая называется О десяти категориях с той целью, чтобы посредством немногих родовых обозначений сделать доступным пониманию бесконечное многообразие вещей, неохватное для знания чтобы, таким обра...
8564. Бэкон о методе 49 KB
  Ф. Бэкон о методе Те, кто осмелился говорить о природе как об исследованном уже предмете, делали ли они это из самоуверенности или из тщеславия и привычки поучать - нанесли величайший ущерб философии и наукам. Ибо, насколько они были сильны для того...
8565. Декарт. О методе 41 KB
  Р. Декарт. О методе Здравомыслие (bonsens) есть вещь, распределённая справедливее всего каждый считает себя настолько им наделённым, что даже те, кого всего труднее удовлетворить в каком-либо другом отношении, обыкновенно не стремятся иметь з...
8566. Камю. О проблеме самоубийства 39 KB
  А. Камю. О проблеме самоубийства Есть лишь одна по-настоящему серьезная философская проблема - проблема самоубийства. Решить, стоит или не стоит жизнь того, чтобы ее прожить - значит ответить на фундаментальный вопрос философии. Все остальное...
8567. Кант об априорных основаниях познания 60.5 KB
  И. Кант об априорных основаниях познания Метафизическое познание должно содержать исключительно суждение apriori, этого требует особенность его источников. Но какое бы происхождение и какую бы логическую форму ни имели суждения, во всяком случ...