73517

Элементы векторной алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Векторное произведение направление есть вывинчивание правого винта от r к p Моментом количества движения частицы материальной точки P относительно некоторой точки называется вектор Рис. Координаты события...

Русский

2014-12-17

3.85 MB

0 чел.

52

4Напоминание. Элементы векторной алгебры

Рис. 2-4

Сложение

Вычитание  

Преобразования Галилея:

Рис. 2-9

Скалярное произведение

Работа силы  на перемещении  производится проекцией силы на это направление  :   - скалярное произведение.

Рис. 3-7

Векторное произведение-направление есть вывинчивание правого винта (от r  к  p)

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,


Рис. 1-2

Координаты события:

Положение точки: , расстояние между точками 1 и 2: .

См. Рис. 2-4

Мгновенная и средняя скорость

                                                   =                   .

Мгновенное ускорение            .

Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе :

                       

 правило   «бац-цаб»

Сложение векторов

Умножение векторов =

x3=x1+x2

x3=y1z2-z1y2

y3=y1+y2

y3=z1x2-x1z2

z3=z1+z2

z3=x1y2-y1x2


Движение по окружности

Рис. 3-2

Псевдовектор

Угловая скорость:

направление есть ввинчивание правого винта (направление dr есть вывинчивание, т.е. вверх!)

Связь с линейными характеристиками:

Изменение скорости  и ускорения

,      -  - осестремительное  ускорение, нормальное!

                                       - кориолисово ускорение, тангенциальное.

                                               

Дифференцирование и интегрирование

Определение: 

производная функции f(x) по x:  

Смысл –угловой коэффициент касательной к f(x) в  т. x

Вектор мгновенной скорости и производная:

 

= =

=      В итоге: три производные от координат!

Определенный интеграл от f(x) в пределах от a до b есть предел интегральной суммы при разбиении промежутка [ab]  на малые промежутки , т. е.

Имеет смысл площади под f(x) на  [ab].

Рис. 2-10

Работа силы  на траектории  между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках:

-   криволинейный интеграл по .

Конец Напоминания.

 


Проблема движения планет

Воспользуемся полученной информацией для рассмотрения проблемы движения планет Солнечной системы.

РИС. 3-11

Радиус орбиты движения Земли (T) вокруг Солнца (S)  150000000 км.

Если пренебречь взаимодействием между планетами,

задача сводится к проблеме движения материальной точки в поле центральных сил.

Введем понятие секториальной скорости. 

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , через промежуток времени  -  радиусом-вектором .

РИС. 3-12

Величине  придается векторный смысл, чтобы зафиксировать направление движения.  Площадь, ометаемая радиусом-вектором точки, движущейся вокруг силового центра О, за время : .


Скорость изменения площади, ометаемой радиусом-вектором (
секториальная скорость):                                .

По определению момента количества движения .

 -  в случае движения материальной точки в центральном поле ее момент количества движения пропорционален ее секториальной скорости.

Два следствия

1) Постоянство вектора – это постоянство не только его абсолютного значения (модуля), но и его направления. Значит, плоскость, перпендикулярная , занимает постоянное положение в пространстве; именно в этой плоскости  лежат вектора   и  . Следовательно, траектория движения материальной точки в поле центральных сил – это плоская кривая.     

1-ый закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении, т.е. в задаче двух тел, орбита движущейся точки есть плоская кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Из постоянства модуля вектора  следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле центральных сил, ометает равные  площади.

РИС. 3-13

2-ой закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором точки, движущейся в поле центральных сил, изменяется пропорционально времени.

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Оба эти закона Кеплера были в свое время получены в результате обработки экспериментальных данных Тихо Браге (1546-1601) и привели впоследствии Ньютона к установлению закона всемирного тяготения:   -  всегда притяжение – единственная сила, управляющая движением астрономических тел.

3-ий закон Кеплера (1619 год).

Формулировка Кеплера:

квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца:

Справедливость 3-го закона Кеплера можно доказать, если считать орбиты планет круговыми. Это предположение не слишком грубое, так как эксцентриситет орбит планет невелик: для орбиты Земли 0.017, для орбиты Меркурия 0.205.

Напоминание

Эксцентриситет  кривой второго порядка (конического сечения) – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой 2-го порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы.   

РИС. 3-14

У эллипса две директрисы (), каждая соответствует своему фокусу ; эксцентриситет: . Уравнение директрис: ;  .  Если , то  и эллипс  вырождается в  прямую . Если , то директриса удаляется в бесконечность, фокусы сливаются в один. Эллипс превращается в окружность.

Итак, малость эксцентриситетов орбит планет Солнечной системы позволяет считать их орбиты круговыми.

Пусть одна планета имеет массу , круговую орбиту радиуса  и период обращения , вторая планета - .

Стационарное состояние: центробежная сила равна и противоположно направлена силе притяжения:

, где  - масса Солнца,

Гравитационная постоянная      =6,6710-11 м3/кгс2 или

(6.67320.0031) 10-8 динсм22    [Нм2/кг2].

- универсальная константа.

Заменяя , находим:

   или         

Для планет, движущихся по круговым орбитам, 3-ий закон Кеплера:

Мы знаем, что ускорение материальной точки (планеты) при равномерном движении по круговой орбите:

. Подставим следующее обозначение:    (постоянная Кеплера);   ; тогда     и соответственно сила .    

Поскольку планета и Солнце равноправно должны входить в закон взаимодействия:

, где   -  масса Солнца. Из сравнения сил видно, что

постоянная Кеплера  .

Ньютон не объяснил происхождения гравитационного взаимодействия – одной из фундаментальных сил природы. Общая теория относительности тоже не дает какого-либо наглядного толкования тяготения, дает лишь новый способ описания и более глубокое обобщение закона всемирного тяготения.

4 Лекция 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79693. Система материального стимулирования сотрудника для повышения эффективности работы предприятия 292.5 KB
  Истинные причины, побуждающие работника максимально прикладывать усилия в работе определить нелегко. Этими условиями являются его желание, возможности, квалификация и, конечно же, мотивация - то есть побуждение
79694. Історична панорама розвитку математики 82.22 KB
  Паралельно розвивалися уявлення про число Число́ одне з найголовніших понять математики яке в багатьох випадках може виступати як міра кількості чогось. Математика найдавніших цивілізацій Найдавніші відомості про використання математики господарські задачі в Стародавньому Єгипті Старода́вній Єги́пет одна з найдавніших держав на Землі і колиска цивілізації Середземноморя. Папірус Рінда Московський папірус Шкіряний сувій єгипетської математики та Вавилонії Вавило́нія давня держава в південній частині Месопотамії територія...
79695. Математика Християнського середньовіччя та епохи Відродження 485.53 KB
  Опанувавши елементарні знання, кращі учні монастирських і соборних шкіл вивчали «сім вільних мистецтв», які поділялися на дві частини: тривіум (граматика, риторика, діалектика) і квадривіум (арифметика, геометрія, астрономія, музика)
79696. Математика в Стародавньому Китаї 245.75 KB
  Періоди розвитку математики в Китаї Древнє математичне Десятікніжье Математика Китаю Висновок Список літератури Введення Математика в Китаї розвивалася з глибокої давнини і досягла свого найбільшого розвитку до XIV ст. Наша увага буде приділена математики стародавнього Китаю в період з II ст. Історія математики стародавнього Китаю розглядається в роботі у вигляді декількох глав кожна з яких є по суті незалежної один від одного про найбільш характерні проблеми математики стародавнього...
79697. Основні етапи розвитку математики 70.41 KB
  Основні етапи розвитку математики. Основні етапи становлення сучасної математики. Основні етапи розвитку математики. Історію математики не можна розглядати у відриві від історії розвитку філософії і науки в цілому бо усі ці три інтелектуальні пізнання тісно повязані між собою і роблять вплив один на одного як за часів Стародавнього світу так і в Новий час.
79698. Развитие математики 37.52 KB
  История развития математики это не только история развития математических идей понятий и направлений но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью социально-экономическими условиями различных эпох.Становление и развитие математики как науки возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях контроле особенно в областях аграрной промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием.
79699. Андрей Николаевич Колмогоров - историк математики 29.4 KB
  В случае с историей математики это выглядит даже более естественно чем с физикой: напомню что свою научную карьеру в самом начале 20х гг. Статья начинается с определения математики данного Ф. Согласно Колмогорову история эта распадается на четыре этапа: 1 период зарождения математики на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал 2 период элементарной математики начинающийся в VIV вв.
79700. Нормативно-правовой акт и его виды 41.5 KB
  Обозначенные отличия нормативно-правового акта от иных источников права являются и выражением основных признаков нормативно-правового акта. Что касается видов, тот требуется более четкого рассмотрения каждого в по отдельности, как закона так и подзаконного акта.
79701. Правотворчество и систематизация законодательства 61 KB
  К способам правотворчества относят: Принятие нормативноправовых актов органами государства Принятие нормативных актов народом путем референдума Заключение различного рода нормативных договоров Признание юридических прецедентов Санкционирование обычаев или норм выработанных негосударственными организациями. В юриспруденции выработан ряд принципов правотворчества выражающихся в следующих закрепленных принципах: Принцип демократизма население должно привлекаться к участию в правотворчестве а его мнение учитываться при разработке и...