73517

Элементы векторной алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Векторное произведение направление есть вывинчивание правого винта от r к p Моментом количества движения частицы материальной точки P относительно некоторой точки называется вектор Рис. Координаты события...

Русский

2014-12-17

3.85 MB

0 чел.

52

4Напоминание. Элементы векторной алгебры

Рис. 2-4

Сложение

Вычитание  

Преобразования Галилея:

Рис. 2-9

Скалярное произведение

Работа силы  на перемещении  производится проекцией силы на это направление  :   - скалярное произведение.

Рис. 3-7

Векторное произведение-направление есть вывинчивание правого винта (от r  к  p)

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,


Рис. 1-2

Координаты события:

Положение точки: , расстояние между точками 1 и 2: .

См. Рис. 2-4

Мгновенная и средняя скорость

                                                   =                   .

Мгновенное ускорение            .

Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе :

                       

 правило   «бац-цаб»

Сложение векторов

Умножение векторов =

x3=x1+x2

x3=y1z2-z1y2

y3=y1+y2

y3=z1x2-x1z2

z3=z1+z2

z3=x1y2-y1x2


Движение по окружности

Рис. 3-2

Псевдовектор

Угловая скорость:

направление есть ввинчивание правого винта (направление dr есть вывинчивание, т.е. вверх!)

Связь с линейными характеристиками:

Изменение скорости  и ускорения

,      -  - осестремительное  ускорение, нормальное!

                                       - кориолисово ускорение, тангенциальное.

                                               

Дифференцирование и интегрирование

Определение: 

производная функции f(x) по x:  

Смысл –угловой коэффициент касательной к f(x) в  т. x

Вектор мгновенной скорости и производная:

 

= =

=      В итоге: три производные от координат!

Определенный интеграл от f(x) в пределах от a до b есть предел интегральной суммы при разбиении промежутка [ab]  на малые промежутки , т. е.

Имеет смысл площади под f(x) на  [ab].

Рис. 2-10

Работа силы  на траектории  между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках:

-   криволинейный интеграл по .

Конец Напоминания.

 


Проблема движения планет

Воспользуемся полученной информацией для рассмотрения проблемы движения планет Солнечной системы.

РИС. 3-11

Радиус орбиты движения Земли (T) вокруг Солнца (S)  150000000 км.

Если пренебречь взаимодействием между планетами,

задача сводится к проблеме движения материальной точки в поле центральных сил.

Введем понятие секториальной скорости. 

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , через промежуток времени  -  радиусом-вектором .

РИС. 3-12

Величине  придается векторный смысл, чтобы зафиксировать направление движения.  Площадь, ометаемая радиусом-вектором точки, движущейся вокруг силового центра О, за время : .


Скорость изменения площади, ометаемой радиусом-вектором (
секториальная скорость):                                .

По определению момента количества движения .

 -  в случае движения материальной точки в центральном поле ее момент количества движения пропорционален ее секториальной скорости.

Два следствия

1) Постоянство вектора – это постоянство не только его абсолютного значения (модуля), но и его направления. Значит, плоскость, перпендикулярная , занимает постоянное положение в пространстве; именно в этой плоскости  лежат вектора   и  . Следовательно, траектория движения материальной точки в поле центральных сил – это плоская кривая.     

1-ый закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении, т.е. в задаче двух тел, орбита движущейся точки есть плоская кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Из постоянства модуля вектора  следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле центральных сил, ометает равные  площади.

РИС. 3-13

2-ой закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором точки, движущейся в поле центральных сил, изменяется пропорционально времени.

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Оба эти закона Кеплера были в свое время получены в результате обработки экспериментальных данных Тихо Браге (1546-1601) и привели впоследствии Ньютона к установлению закона всемирного тяготения:   -  всегда притяжение – единственная сила, управляющая движением астрономических тел.

3-ий закон Кеплера (1619 год).

Формулировка Кеплера:

квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца:

Справедливость 3-го закона Кеплера можно доказать, если считать орбиты планет круговыми. Это предположение не слишком грубое, так как эксцентриситет орбит планет невелик: для орбиты Земли 0.017, для орбиты Меркурия 0.205.

Напоминание

Эксцентриситет  кривой второго порядка (конического сечения) – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой 2-го порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы.   

РИС. 3-14

У эллипса две директрисы (), каждая соответствует своему фокусу ; эксцентриситет: . Уравнение директрис: ;  .  Если , то  и эллипс  вырождается в  прямую . Если , то директриса удаляется в бесконечность, фокусы сливаются в один. Эллипс превращается в окружность.

Итак, малость эксцентриситетов орбит планет Солнечной системы позволяет считать их орбиты круговыми.

Пусть одна планета имеет массу , круговую орбиту радиуса  и период обращения , вторая планета - .

Стационарное состояние: центробежная сила равна и противоположно направлена силе притяжения:

, где  - масса Солнца,

Гравитационная постоянная      =6,6710-11 м3/кгс2 или

(6.67320.0031) 10-8 динсм22    [Нм2/кг2].

- универсальная константа.

Заменяя , находим:

   или         

Для планет, движущихся по круговым орбитам, 3-ий закон Кеплера:

Мы знаем, что ускорение материальной точки (планеты) при равномерном движении по круговой орбите:

. Подставим следующее обозначение:    (постоянная Кеплера);   ; тогда     и соответственно сила .    

Поскольку планета и Солнце равноправно должны входить в закон взаимодействия:

, где   -  масса Солнца. Из сравнения сил видно, что

постоянная Кеплера  .

Ньютон не объяснил происхождения гравитационного взаимодействия – одной из фундаментальных сил природы. Общая теория относительности тоже не дает какого-либо наглядного толкования тяготения, дает лишь новый способ описания и более глубокое обобщение закона всемирного тяготения.

4 Лекция 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21113. Література і літописання XIV – першої половини XVII ст. 25.69 KB
  Література і літописання XIV першої половини XVII ст. зявляються також нові розширені версії перекладних повістей про Олександра Македонського Олександрія оповідання про Трою Бовукоролевича у XVI ст. До найзначніших літописів тієї доби слід віднести Короткий Київський літопис XIV XVI ст. Виробництво власного паперу в Україні почалося в Галичині тільки в першій половині XVI ст.
21114. Релігійна полеміка другої половини XVI – першої половини XVII ст 23.14 KB
  У творчості цього полеміста чи не найповніше виражено віру у швидке відродження національної культури та її майбутній розквіт. Він виступав проти вищої ієрархії що призвела до унії а також проти католицької та західної культури. Якщо в часи ренесансних віянь в Україні та за її межами під враженням від давніх київських руїн часто висловлювалася думка що Київ це ніщо інше як гомерівська Троя то з початком поширення барокової культури в Україні виникає концепція Києва як Другого Єрусалима Й. який має стати надійним оплотом не тільки...
21115. Архітектура доби пізнього Середньовіччя (XIV – перша половина XVII ст.) 22.82 KB
  Найбільшими будівлями цього стилю були католицькі костели у Львові кінець XIV ст. Найстарішою памяткою готичної доби де готичні елементи співіснують з візантійськомало азійським стилем є Вірменська церква у Львові закладена у 1363 р. особливо у Львові панував стиль пізнього Ренесансу. У цьому стилі у Львові збудовані Високий замок будинок Гепнера Чорна камяниця 1570 будинок грецького купця й уславленого мецената Корнякта 1580 каплиця Трьох святителів 1578 вежа Вірменської церкви 1576 а також вежа Корнякта дзвіниця...
21116. Образотворче мистецтво у XIV – першій половині XVII ст 28.59 KB
  Образотворче мистецтво у XIV першій половині XVII ст. У фресковий розпис проникають народні й світські мотиви повязані з раннім Ренесансом хоча в цілому памятки монументального фрескового живопису XIV середини XVI ст. У цілому ж до середини XVI ст. З XVI ст.
21117. Театральне мистецтво і музична культура доби пізнього Середньовіччя (XIV - перша половина XVII ст.) 15.84 KB
  Театральне мистецтво і музична культура доби пізнього Середньовіччя XIV перша половина XVII ст. Театральне мистецтво. Зароджується також театральне мистецтво. Розвиваються народні ігри та мистецтво скоморохів виконавців і творців розважальної усної поезії музичного фольклору.
21118. Освіта у другій половині XVII – XVIII ст. 21.54 KB
  періодично то набував то втрачав статус академії доки цей статус не було остаточно затверджено 1701 р. Студенти Київської академії здебільшого йшли до війська пожежі та військова руїна нищили шкільні будинки та надані маєтності. починається новий розквіт діяльності академії який свого апогею досягає на межі століть. У стінах Академії відбуваються численні публічні диспути з різних наук затверджується звичай рекреацій культурномистецьких свят з виставами та іграми приуроченими до завершення навчального року.
21119. Література у другій половині XVII – XVIII ст. 26.69 KB
  Література у другій половині XVII XVIII ст. Розвиток літератури протягом другої половини XVII першої половини XVIII ст. Так званий леонінський вірш що поширився у XVIII ст. В кінці XVIII ст.
21120. Козацькі літописи (друга половина XVII - XVIII ст.) 17.41 KB
  Літописом Самовидця назвав цей твір Пантелеймон Куліш бо неназваний автор вважається що ним був представник козацької старшини Роман Ракушка став очевидцем подій від початку Визвольної війни і до 1702 р. Цей твір має не лише історіографічну а й значну літературну вартість. Але й недописаний твір складається з чотирьох томів які систематично охоплюють події 16481700 рр. Твір написано емоційно образною книжною українською мовою з використанням народної фразеології поетичних творів українських авторів.
21121. Філософія у другій половині XVII - XVIII ст. Творчість Г. С. Сковороди 17.36 KB
  Сковороди Певний внесок зробив Ф. Феноменальним явищем в історії української культури була творчість Григорія Савича Сковороди 17221794. Характерним для філософської позиції Сковороди є широке використання мови образів символів а не чітких раціоналістичних понять які не в змозі відповідно розкрити сутність філософської та життєвої істини. Тому заклик Сковороди пізнай себе означає в нього пізнати Бога в собі у глибині свого єства.