73517

Элементы векторной алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Векторное произведение направление есть вывинчивание правого винта от r к p Моментом количества движения частицы материальной точки P относительно некоторой точки называется вектор Рис. Координаты события...

Русский

2014-12-17

3.85 MB

0 чел.

52

4Напоминание. Элементы векторной алгебры

Рис. 2-4

Сложение

Вычитание  

Преобразования Галилея:

Рис. 2-9

Скалярное произведение

Работа силы  на перемещении  производится проекцией силы на это направление  :   - скалярное произведение.

Рис. 3-7

Векторное произведение-направление есть вывинчивание правого винта (от r  к  p)

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки  называется вектор ,


Рис. 1-2

Координаты события:

Положение точки: , расстояние между точками 1 и 2: .

См. Рис. 2-4

Мгновенная и средняя скорость

                                                   =                   .

Мгновенное ускорение            .

Система  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, неподвижной в системе :

                       

 правило   «бац-цаб»

Сложение векторов

Умножение векторов =

x3=x1+x2

x3=y1z2-z1y2

y3=y1+y2

y3=z1x2-x1z2

z3=z1+z2

z3=x1y2-y1x2


Движение по окружности

Рис. 3-2

Псевдовектор

Угловая скорость:

направление есть ввинчивание правого винта (направление dr есть вывинчивание, т.е. вверх!)

Связь с линейными характеристиками:

Изменение скорости  и ускорения

,      -  - осестремительное  ускорение, нормальное!

                                       - кориолисово ускорение, тангенциальное.

                                               

Дифференцирование и интегрирование

Определение: 

производная функции f(x) по x:  

Смысл –угловой коэффициент касательной к f(x) в  т. x

Вектор мгновенной скорости и производная:

 

= =

=      В итоге: три производные от координат!

Определенный интеграл от f(x) в пределах от a до b есть предел интегральной суммы при разбиении промежутка [ab]  на малые промежутки , т. е.

Имеет смысл площади под f(x) на  [ab].

Рис. 2-10

Работа силы  на траектории  между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках:

-   криволинейный интеграл по .

Конец Напоминания.

 


Проблема движения планет

Воспользуемся полученной информацией для рассмотрения проблемы движения планет Солнечной системы.

РИС. 3-11

Радиус орбиты движения Земли (T) вокруг Солнца (S)  150000000 км.

Если пренебречь взаимодействием между планетами,

задача сводится к проблеме движения материальной точки в поле центральных сил.

Введем понятие секториальной скорости. 

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , через промежуток времени  -  радиусом-вектором .

РИС. 3-12

Величине  придается векторный смысл, чтобы зафиксировать направление движения.  Площадь, ометаемая радиусом-вектором точки, движущейся вокруг силового центра О, за время : .


Скорость изменения площади, ометаемой радиусом-вектором (
секториальная скорость):                                .

По определению момента количества движения .

 -  в случае движения материальной точки в центральном поле ее момент количества движения пропорционален ее секториальной скорости.

Два следствия

1) Постоянство вектора – это постоянство не только его абсолютного значения (модуля), но и его направления. Значит, плоскость, перпендикулярная , занимает постоянное положение в пространстве; именно в этой плоскости  лежат вектора   и  . Следовательно, траектория движения материальной точки в поле центральных сил – это плоская кривая.     

1-ый закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении, т.е. в задаче двух тел, орбита движущейся точки есть плоская кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Из постоянства модуля вектора  следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле центральных сил, ометает равные  площади.

РИС. 3-13

2-ой закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором точки, движущейся в поле центральных сил, изменяется пропорционально времени.

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Оба эти закона Кеплера были в свое время получены в результате обработки экспериментальных данных Тихо Браге (1546-1601) и привели впоследствии Ньютона к установлению закона всемирного тяготения:   -  всегда притяжение – единственная сила, управляющая движением астрономических тел.

3-ий закон Кеплера (1619 год).

Формулировка Кеплера:

квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца:

Справедливость 3-го закона Кеплера можно доказать, если считать орбиты планет круговыми. Это предположение не слишком грубое, так как эксцентриситет орбит планет невелик: для орбиты Земли 0.017, для орбиты Меркурия 0.205.

Напоминание

Эксцентриситет  кривой второго порядка (конического сечения) – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой 2-го порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы.   

РИС. 3-14

У эллипса две директрисы (), каждая соответствует своему фокусу ; эксцентриситет: . Уравнение директрис: ;  .  Если , то  и эллипс  вырождается в  прямую . Если , то директриса удаляется в бесконечность, фокусы сливаются в один. Эллипс превращается в окружность.

Итак, малость эксцентриситетов орбит планет Солнечной системы позволяет считать их орбиты круговыми.

Пусть одна планета имеет массу , круговую орбиту радиуса  и период обращения , вторая планета - .

Стационарное состояние: центробежная сила равна и противоположно направлена силе притяжения:

, где  - масса Солнца,

Гравитационная постоянная      =6,6710-11 м3/кгс2 или

(6.67320.0031) 10-8 динсм22    [Нм2/кг2].

- универсальная константа.

Заменяя , находим:

   или         

Для планет, движущихся по круговым орбитам, 3-ий закон Кеплера:

Мы знаем, что ускорение материальной точки (планеты) при равномерном движении по круговой орбите:

. Подставим следующее обозначение:    (постоянная Кеплера);   ; тогда     и соответственно сила .    

Поскольку планета и Солнце равноправно должны входить в закон взаимодействия:

, где   -  масса Солнца. Из сравнения сил видно, что

постоянная Кеплера  .

Ньютон не объяснил происхождения гравитационного взаимодействия – одной из фундаментальных сил природы. Общая теория относительности тоже не дает какого-либо наглядного толкования тяготения, дает лишь новый способ описания и более глубокое обобщение закона всемирного тяготения.

4 Лекция 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1463. ПЕРЕДАЧА ПРАГМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ОБРАЗНЫХ ФРАЗЕОЛОГИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ В ПУБЛИЦИСТИЧЕСКОМ ТЕКСТЕ 319.71 KB
  Определить место и роль контекста в выявлении наиболее полной реализации прагматического потенциала ФЕ. Сопоставить прагматическую составляющую образных фразеологических единиц в английском и русском языках.
1464. КАТЕГОРИЯ ИНТЕРДИСКУРСИВНОСТИ В НАУЧНО- ДИДАКТИЧЕСКОМ ТЕКСТЕ 320.83 KB
  Целью исследования является создание классификации маркеров интердискурсивности и их выявление в текстах лекций на немецком и русском языках.
1465. Конфликтология 321.32 KB
  Методические указания по изучению дисциплины. Содержание разделов дисциплины. Методические рекомендации студентам по организации изучения дисциплины. Прогнозирование и профилактика конфликтов. Трудовые конфликты и пути их разрешения.
1466. ДИАЛОГ АРГУМЕНТАТИВНОГО ТИПА: КОГНИТИВНЫЕ АСПЕКТЫ; СТРУКТУРА, СЕМАНТИКА, ПРАГМАТИКА (на материале русских и английских текстов интервью) 322.43 KB
  Цель данной диссертационной работы заключается в выявлении макроструктуры, создаваемой журналистами-участниками интервью и исследовании их аргументативных стратегий по методике, принятой в когнитивной лингвистике и прагмалингвистике.
1467. ЛИНГВОКУЛЬТУРОЛОГИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ГЕНДЕРНЫХ ОТНОШЕНИЙ: СОПОСТАВИТЕЛЬНЫЙ АСПЕКТ 325.77 KB
  Целью данной работы является сравнительный анализ манифестации лингвокультурологического аспекта гендерных отношений в казахском, немецком и русском языках.
1468. ОРГАНИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА 327.99 KB
  Курсовой проект состоит из графической части в объеме 2 чертежных листов формата АI и расчетно-пояснительной записки, содержащей 25-30 страниц текста. Исходные данные приведены в прил. 1, схема здания выдается преподавателем. Вариант задания назначается преподавателем.
1469. ЖАНРОВО-КУЛЬТУРНАЯ СПЕЦИФИКА РУКОВОДСТВ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ БЫТОВЫХ ПРИБОРОВ. АСПЕКТЫ ПЕРЕВОДА 328.15 KB
  Цель исследования заключается в разработке технологии перевода, основанной на результатах сопоставительного изучения жанровых особенностей русскоязычных и англоязычных руководств по эксплуатации с точки зрения организации и реализации макроструктуры текстов данного жанра.
1470. Дискурсивные аспекты политических дебатов (на материале русских и английских текстов) 329.27 KB
  На основе выработанного метода определить сопоставительные характеристики дискурсивных особенностей англоязычной и русскоязычной речи. Представить сравнительное описание речевого поведения участников политических дебатов через призму теории пресуппозиций в рамках политического дискурса. Выявить степень привязанности к контексту речевого поведения политических деятелей, а также определить те аспекты, которые обусловливают нарушение контекстуальных фреймов.
1471. ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИЧНОСТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ КОММУНИКАЦИИ В НОВЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ 329.94 KB
  Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и последующей классификации общих, универсальных и специфических, уникальных особенностей реализации личностно-ориентированной коммуникации при сопоставлении вариантов ее осуществления в русскоязычном и англоязычном киберпространстве.