7352

Эффект Холла. Магнитный поток

Лекция

Физика

Тема: Эффект Холла. Магнитный поток. Эффект Холла (холловская разность потенциалов) Магнитогидродинамический генератор Контур с током в магнитном поле Магнитный поток. Теорема Остроградского-Гаусса для ма...

Русский

2013-01-21

122.5 KB

49 чел.

Тема: Эффект Холла. Магнитный поток.

  1.  

  1.  Эффект Холла

(холловская разность потенциалов)

  1.  Магнитогидродинамический генератор

  1.  

  1.  Контур с током в магнитном поле

  1.  

  1.  Магнитный поток.

Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля.

  1.  Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

  1.  Эффект Холла

Если проводящую пластину с током I поместить в поперечное () однородное магнитное поле, то между гранями, параллельными направлению тока и магнитной индукции возникает разность потенциалов (холловская разность потенциалов). Это явление, открытое в 1879г. американским ученым Э. Холлом называется эффектом Холла.

Эффектом Холла называется явление возникновения разности потенциалов между гранями проводящей пластины с током, помещенной в магнитное поле.

Экспериментально было установлено, что разность потенциалов U пропорциональна силе тока I, магнитной индукции В и обратно пропорциональна ширине d пластины

, (1)

где Rx – постоянная Холла.

Выведем формулу для холловской разности потенциалов. Для простоты положим, что все носители тока в проводнике движутся со средней скоростью <υ>. На положительные носители действует сила Лоренца, по модулю равная  и вызывающая отклонение носителей к верхней грани пластины. Под действием этой силы на верхней грани будет скапливаться положительный заряд, а на нижней – отрицательный. Между этими гранями возникнет электрическое поле с постоянно растущей напряженностью Е, препятствующее такому движению частиц. При определенном значении напряженности Е сила , действующая на заряды со стороны электрического поля, сравняется с силой Лоренца

(2)

и установится стационарное электрическое поле.

Разность потенциалов U связана с напряженностью Е поля известным соотношением

. (3)

Из формул (2) и (3) получим

. (4)

Среднюю скорость определим из известной формулы  классической теории электропроводности для плотности тока

или, выразив плотность тока через силу тока I и площадь  поперечного сечения пластины,

. (5)

Подстановкой формулы (5) в формулу (4) получим искомую формулу для холловской разности потенциалов

.(6)

Сравнивая формулы (6) и (1) получим формулу для постоянной Холла

. (7)

Экспериментально определив знак и значение постоянной Холла можно установить значение концентрации носителей тока в материале и их знак. Этот способ используется для определения типа проводимости полупроводников.

  1.  Магнитогидродинамический генератор

Магнитогидродинамическим генератором (МГД–генератор) называется устройство, предназначенное для непосредственного преобразования внутренней энергии в электрическую. Принцип действия  МГД–генератора состоит в следующем. Сильно ионизированный газ (плазма), образующийся в результате сгорания топлива, пропускается через поперечное магнитное поле. Под действием силы Лоренца разноименные заряды накапливаются на электродах А и К. При замыкании электродов на нагрузку Rн в ней будет протекать электрический ток. В этом случае работа электрического тока совершается за счет уменьшения кинетической энергии струи плазмы.

  1.  Контур с током в магнитном поле

Рассмотрим жесткий прямоугольный контур с током I, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В (рисунок а). На каждую из сторон a и b рамки действует сила Ампера. Силы Fb, действующие на стороны b, направлены в противоположные стороны и уравновешивают друг друга, стремясь только растянуть рамку. Стороны a перпендикулярны магнитной индукции, и действующие на них силы определяются формулой

(8).

Т.к. на стороны a рамки действует пара сил Fa, то появится вращающий момент, под действием которого рамка будет поворачиваться.

Найдем формулу для вращающего момента, действующего на рамку. Для этого рассмотрим вид сверху (рисунок б). Названный вращающий момент определяется известной формулой

. (9)

Подставив формулу (8) в формулу (9) для момента получим

. (10)

Произведение сторон a и b рамки дает ее площадь , а произведение силы тока I в рамке и площади, ограниченной ею, равно магнитному моменту . С учетом последних формул получим формулу для вращающего момента

.(11)

Вектор pm магнитного момента направлен по нормали n к поверхности рамки, а направление вектора вращающего момента совпадает с направлением вектора . Поэтому формулу (11) можно представить в векторной форме

. (12)

Из формулы (11) следует, что в магнитном поле рамка с током будет поворачиваться так, чтобы ее плоскость была перпендикулярна вектору магнитной индукции.

Мы рассмотрели рамку в однородном магнитном поле. В случае неоднородного поля линии магнитной индукции не параллельны и составляют некоторый угол с плоскостью рамки. Поэтому и сила F, действующая на рамку, будет составлять некоторый угол с указанной плоскостью.  Параллельные составляющие F  этой силы будут создавать лишь растягивающее усилие. В то же время перпендикулярные составляющие F будут вызывать поступательное перемещение рамки. При указанном на рисунке направлении магнитного момента pm рамка будет втягиваться в область поля с большей магнитной индукцией. Если направление тока в рамке изменить на противоположное, то она будет выталкиваться из поля. В общем случае  на рамку также будет действовать вращающий момент. Действие магнитного поля на рамку с током широко используется в различных электроизмерительных приборах.

  1.   Магнитный поток. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля.

Рассмотрим однородное магнитное поле с индукцией В. Поместим в это поле плоскую площадку площадью S. Ориентацию площадки в пространстве зададим единичным вектором (нормалью), перпендикулярным к плоскости площадки.

Потоком вектора  однородного поля через плоскую площадку S называется скалярная физическая величина, равная произведению модуля вектора , площади S и Cosα

(1)  или   (2),

где α– угол между вектором  магнитной индукции поля и нормалью  к поверхности.

Поток вектора  через площадку S численно равен числу силовых линий, пересекающих эту площадку.

Единицей измерения магнитного потока является 1Вб (Вебер), 1Вб=1Тл∙1м2.

В случае неоднородного поля и поверхности S любой формы выбирают элемент dS поверхности таких малых размеров, что его можно считать плоским, а поле в его окрестности – однородным. Тогда поток через этот элемент dS (элементарный поток) равен

(3),

а полный поток через поверхность S вычисляется интегрированием выражения (3) по всей поверхности

(4)

Из формулы (1) видно, что значение потока может быть как положительным (при α<900), так и отрицательным (при α>900).

При вычислении потока через любую замкнутую поверхность за положительное направление нормали обычно принимается направление наружу. Тогда силовые линии, выходящие из объема, ограниченного этой поверхностью, создают положительный поток, а входящие в объем создают отрицательный поток.

Поток через замкнутую поверхность вычисляется по формуле

     (5)

Так как силовые линии магнитного поля замкнуты, то каждая линия будет входить в замкнутый объем и выходить из него. В первом случае поток будет отрицательным, а во втором случае – положительным. В итоге поток через замкнутую поверхность будет равен нулю. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля гласит, что

поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Математическая формула теоремы имеет следующий вид

. (6)

  1.  Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух закрепленных проводников, соединенных с источником Э.Д.С., и на которые наложена скользящая перемычка АС. В отсутствие магнитного поля энергия источника будет затрачиваться на поддержание электрического тока в цепи и нагревание проводников. При включении магнитного поля скользящая перемычка АС будет смещаться под действием возникшей силы Ампера . То есть сила Ампера будет совершать работу. На элементарном перемещении dx эта работа определится формулой

. (7)

Из рисунка видно, что произведение длины l проводника на его перемещение dx равно площади dS поверхности, очерчиваемой проводником при его движении. Поэтому произведение  равно магнитному потоку  через указанную поверхность. С учетом этого получим формулу для элементарной работы по перемещению проводника с током в магнитном поле

. (8)

Интегрируя выражение (8) получим формулу для работы на некотором конечном перемещении 

. (9)

Таким образом,

работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока I в проводнике и магнитного потока  через поверхность, очерчиваемую проводником при его перемещении.

Вопросы для самопроверки:

  1.  В чем заключается эффект Холла?
  2.  От чего зависит знак холловской разности потенциалов? Где на практике может  быть  использован эффект Холла?
  3.  Что такое магнитный поток, и в каких единицах он измеряется?
  4.  Как формулируется теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля? Почему магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю?
  5.  Вывести формулу для работы по перемещению проводника с током в магнитном поле.


+

Fл

+

+

+

I

B

а

d

+

+

+

+

+

+

+

+

υ

+

В

Rн

А

К

I

Fa

a)

Fb

Fb

Fa

a

b

B

n

+

Fa

Fa

б)

B

n

b

F

F

F

F

F

F

B

n

I

pm

l

I

FA

B

dx

A

C


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29462. Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана 78.92 KB
  Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.
29463. Признак Абеля, пример 33.9 KB
  Признак Абеля сходимости несобственных интегралов[править] Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла. Признак Абеля для несобственного интеграла Iрода для бесконечного промежутка. Признак Абеля для несобственного интеграла IIрода для функций с конечным числом разрывов.
29464. Признак Дирихл 50.3 KB
  Признак Дирихле теорема указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемостибесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика ЛежёнаДирихле. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода Пусть выполнены условия: и имеет на ограниченную первообразную то есть ; функция ; .
29465. Метод среднего арифметического в числовых рядах 44.37 KB
  Утверждение: Сумма расходящегося ряда равна по методу средних арифметических. Итого и ряд имеет сумму по методу средних арифметических. [править]Необходимый признак Из предыдущего пункта вытекает необходимый признак: Утверждение: Если ряд суммируется методом средних арифметических то .
29466. Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости 23.15 KB
  Понятие равномерной сходимости Равномерная сходимость функционального ряда Пусть функции комплексной переменной z. Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда. Каждое значение x ∈ I для которого последовательность 3 имеет некоторый конечный предел принадлежит области сходимости этой последовательности.
29470. Необходимый признак сходимости(расходимости) гармонического ряда 23.45 KB
  Необходимый признак сходимостирасходимости гармонического ряда Необходимый признак сходимости ряда. Если то ряд расходится это достаточный признак расходимости ряда. Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:1 Данный ряд расходится при . Еще раз подчеркиваю что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно чему равна сумма например ряда важен сам факт что он сходится.