73536

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Лекция

Физика

Приведена ВАХ типового нелинейного элемента полупроводникового диода. Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным а зависит от того в какой точке ВАХ оно определяется.

Русский

2014-12-17

183 KB

14 чел.

2.7.1 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Все цепи, рассматриваемые до сих пор, относились к классу линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Если элементы электрической цепи R, L и С зависят от воздействия, то цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного RLC-контура, сопротивление которого зависит от напряжения uc, получим:

  .                                                                (1)

Такой колебательный контур является нелинейным. Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным. Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.

Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u, т. е, нелинейная характеристика i = F(u). Наиболее распространенными резистивными нелинейными элементами являются ламповые и полупроводниковые приборы, используемые для усиления и преобразования сигналов. На рисунке 12.1 приведена ВАХ типового нелинейного элемента (полупроводникового диода).

Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется.

Рисунок 12.1 - ВАХ нелинейного элемента

По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как

                                                                                       (2)

где U0 - приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение;

I0 = F(U0) — протекающий по цепи постоянный ток. Это сопротивление постоянному току (или статическое). Оно зависит от приложенного напряжения.

Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U0 + Umcoswt, причем амплитуда Um, переменной составляющей достаточно мала (рисунок 12.2), так что тот небольшой участок ВАХ в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным. Тогда ток. протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение: i = I0 + Imcoswt.

Определим сопротивление Rдиф как отношение амплитуды переменного напряжения Um к амплитуде переменного тока Im (на графике это отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di):

                                                                               (3)

Рисунок 12.2 - Воздействие малого гармонического сигнала на нелинейный элемент

Это сопротивление называется дифференциальным (динамическим) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде Rдиф=du/di. 

Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отрицательным сопротивлением,  так  как  на этих участках производные di/du < 0  и du/di < 0.

К нелинейным реактивным элементам относятся нелинейная емкость и нелинейная индуктивность. Примером нелинейной емкости может служить любое устройство  обладающее  нелинейной вольт-кулонной характеристикой q = F(u) (например, вариконд и варикап). Нелинейной индуктивностью является катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения.

Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействия. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.

Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = au2. Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u1 + u2, то отклик i = a (u1 + u2)2  = au12 + au22 + 2au1u2 отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (au12 + au22) наличием компоненты 2au1u2, которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.

Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных цепей. Пусть u = u1 + u2 = Um1cosw0t + Um2cosWt ,

где Um1 и Um2 - амплитуды напряжений u1 и u2.

Тогда ток в нелинейном элементе с ВАХ i = au2 будет иметь вид:

              (4)

На рисунке 12.3 построены спектры напряжения и тока. Все спектральные компоненты тока оказались новыми, не содержащимися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты. В этом смысле нелинейные цепи обладают гораздо большими возможностями, чем линейные, и широко используются для преобразований сигналов, связанных с изменением их спектров.

При изучении же теории нелинейных цепей можно не учитывать устройство нелинейного элемента и опираться только на его внешние характеристики подобно тому, как при изучении теории линейных цепей не рассматривают устройство резисторов конденсаторов и катушек и пользуются только их параметрами R, L и С.

Рисунок 12.3 - Спектры напряжения и тока квадратичного нелинейного элемента

Иллюстрация указанного воздействия на реальный полупроводниковый диод

2.7.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Как правило, ВАХ нелинейных элементов i = F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков. Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями, приходится прибегать к аппроксимации. 

Обозначим заданную таблично или графически ВАХ нелинейного элемента  i = FV(u), а аналитическую функцию, аппроксимирующую заданную характеристику, i = F(u, a0, a1, a2, … , aN). где a0, a1, … , aN коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

А) В методе Чебышева коэффициенты a0, a1, … , aN функции F(u) находятся из условия:

,                                                                    (5)

т. е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь uk, k = 1, 2, ..., G — выбранные значения напряжения u.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты a0, a1, …, aN должны быть такими, чтобы минимизировать величину

                                         (6)

Б) Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции  i = F(u) рядом Тейлора в окрестности точки u = U0:

                   (7)

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости F(u) более простой линейной зависимостью. Такая замена называемся линеаризацией характеристик.

Первый член разложения F(U0) = I0 представляет собой постоянный ток в рабочей точке при u = U0, а второй член

    -                                                                (8)

дифференциальную крутизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке, т. е. при u = U0.

В) Наиболее распространенным способом приближения заданной функции является интерполяция (метод выбранных точек), при которой коэффициенты a0, a1, …, aN аппроксимирующей функции F(u) находятся из равенства этой функции и заданной Fx(u) в выбранных точках (узлах интерполяции) uk = 1, 2, ..., N+1.

Д) Степенная (полиномиальная) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами:

                           (9)

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точки U0, называемой рабочей. Тогда используют степенной полином

        (10)

Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия, поэтому требуется достаточно точное воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Е) Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции. Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами.

С математической точки зрения это означает, что на каждом заменяемом участке  характеристики  используются  степенные полиномы первой степени (N = 1) с различными значениями коэффициентов a0, a1, …, aN.

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше методов.

Воздействие гармонического сигнала на цепь с нелинейным элементом


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28425. Дипломатическое право международных организаций 146.57 KB
  представительства и миссии при международных организациях; Каждый член международной организации имеет право учреждать при ней постоянные представительства или постоянные миссии наблюдателей для выполнения таких функций: обеспечение представительства государства что посылает; поддержание связи между государством что посылает и международной организацией; обеспечение участия государства что посылает в деятельности организации и защиты ее интересов и т. Назначение членов представительства и его главы не требуют согласия или разрешения...
28426. Дипломатическое право 27.5 KB
  Позднее организация дипломатии из Италии была перенята по всей Европе а затем стала определяющей и для всего зарождающегося международного права. постоянные консулы стали общепринятым институтом в практике защиты интересов своих торговых людей большинства стран Западной Европы Новым моментом развивающегося дипломатического права следует считать образование и развитие международных организаций. мы можем говорить о процессе превращения б посольского права в дипломатическое т.
28427. Дипломатические представительства 86.5 KB
  На практике если посольство не получило специальной экзекватуры на консульский округ оно может заниматься консульскими делами через министерство иностранных дел. Если этого не учитывать то местные власти не смогут предпринять необходимых действий по просьбам обращенным к ним непосредственно пока они не получат согласия министерства иностранных дел. Статья 70 обязывает чтобы консульский округ входящий в ведение дипломатического представительства был определен и фамилии сотрудников посольства которые назначены в консульскую секцию...