73536

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Лекция

Физика

Приведена ВАХ типового нелинейного элемента полупроводникового диода. Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным а зависит от того в какой точке ВАХ оно определяется.

Русский

2014-12-17

183 KB

14 чел.

2.7.1 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Все цепи, рассматриваемые до сих пор, относились к классу линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Если элементы электрической цепи R, L и С зависят от воздействия, то цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного RLC-контура, сопротивление которого зависит от напряжения uc, получим:

  .                                                                (1)

Такой колебательный контур является нелинейным. Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным. Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.

Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u, т. е, нелинейная характеристика i = F(u). Наиболее распространенными резистивными нелинейными элементами являются ламповые и полупроводниковые приборы, используемые для усиления и преобразования сигналов. На рисунке 12.1 приведена ВАХ типового нелинейного элемента (полупроводникового диода).

Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется.

Рисунок 12.1 - ВАХ нелинейного элемента

По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как

                                                                                       (2)

где U0 - приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение;

I0 = F(U0) — протекающий по цепи постоянный ток. Это сопротивление постоянному току (или статическое). Оно зависит от приложенного напряжения.

Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U0 + Umcoswt, причем амплитуда Um, переменной составляющей достаточно мала (рисунок 12.2), так что тот небольшой участок ВАХ в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным. Тогда ток. протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение: i = I0 + Imcoswt.

Определим сопротивление Rдиф как отношение амплитуды переменного напряжения Um к амплитуде переменного тока Im (на графике это отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di):

                                                                               (3)

Рисунок 12.2 - Воздействие малого гармонического сигнала на нелинейный элемент

Это сопротивление называется дифференциальным (динамическим) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде Rдиф=du/di. 

Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отрицательным сопротивлением,  так  как  на этих участках производные di/du < 0  и du/di < 0.

К нелинейным реактивным элементам относятся нелинейная емкость и нелинейная индуктивность. Примером нелинейной емкости может служить любое устройство  обладающее  нелинейной вольт-кулонной характеристикой q = F(u) (например, вариконд и варикап). Нелинейной индуктивностью является катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения.

Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействия. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.

Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = au2. Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u1 + u2, то отклик i = a (u1 + u2)2  = au12 + au22 + 2au1u2 отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (au12 + au22) наличием компоненты 2au1u2, которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.

Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных цепей. Пусть u = u1 + u2 = Um1cosw0t + Um2cosWt ,

где Um1 и Um2 - амплитуды напряжений u1 и u2.

Тогда ток в нелинейном элементе с ВАХ i = au2 будет иметь вид:

              (4)

На рисунке 12.3 построены спектры напряжения и тока. Все спектральные компоненты тока оказались новыми, не содержащимися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты. В этом смысле нелинейные цепи обладают гораздо большими возможностями, чем линейные, и широко используются для преобразований сигналов, связанных с изменением их спектров.

При изучении же теории нелинейных цепей можно не учитывать устройство нелинейного элемента и опираться только на его внешние характеристики подобно тому, как при изучении теории линейных цепей не рассматривают устройство резисторов конденсаторов и катушек и пользуются только их параметрами R, L и С.

Рисунок 12.3 - Спектры напряжения и тока квадратичного нелинейного элемента

Иллюстрация указанного воздействия на реальный полупроводниковый диод

2.7.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Как правило, ВАХ нелинейных элементов i = F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков. Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями, приходится прибегать к аппроксимации. 

Обозначим заданную таблично или графически ВАХ нелинейного элемента  i = FV(u), а аналитическую функцию, аппроксимирующую заданную характеристику, i = F(u, a0, a1, a2, … , aN). где a0, a1, … , aN коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

А) В методе Чебышева коэффициенты a0, a1, … , aN функции F(u) находятся из условия:

,                                                                    (5)

т. е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь uk, k = 1, 2, ..., G — выбранные значения напряжения u.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты a0, a1, …, aN должны быть такими, чтобы минимизировать величину

                                         (6)

Б) Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции  i = F(u) рядом Тейлора в окрестности точки u = U0:

                   (7)

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости F(u) более простой линейной зависимостью. Такая замена называемся линеаризацией характеристик.

Первый член разложения F(U0) = I0 представляет собой постоянный ток в рабочей точке при u = U0, а второй член

    -                                                                (8)

дифференциальную крутизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке, т. е. при u = U0.

В) Наиболее распространенным способом приближения заданной функции является интерполяция (метод выбранных точек), при которой коэффициенты a0, a1, …, aN аппроксимирующей функции F(u) находятся из равенства этой функции и заданной Fx(u) в выбранных точках (узлах интерполяции) uk = 1, 2, ..., N+1.

Д) Степенная (полиномиальная) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами:

                           (9)

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точки U0, называемой рабочей. Тогда используют степенной полином

        (10)

Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия, поэтому требуется достаточно точное воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Е) Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции. Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами.

С математической точки зрения это означает, что на каждом заменяемом участке  характеристики  используются  степенные полиномы первой степени (N = 1) с различными значениями коэффициентов a0, a1, …, aN.

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше методов.

Воздействие гармонического сигнала на цепь с нелинейным элементом


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67126. Мертвые души, Ревизор, Петербургские повести, 3-4 рассказа из духовной прозы, Тарас Бульба 42.5 KB
  Замысел произведения возник в 1835 году. В плане замысла ему помогает А. С. Пушкин, он подсказывает Гоголю сюжет. Тогда же Гоголем были сделаны первые наброски авантюрно-сатирического романа, в котором автор пытался показать хотя бы с одного бока, но всю Русь.
67127. Воздействие опасности на человека и техносферу 18.58 KB
  Повышение привычных уровней потоков сопровождается негативными воздействиями на человека и или природную среду. Результат взаимодействия человека со средой обитания может изменяться в широких пределах от позитивного до катастрофического сопровождающегося гибелью людей и разрушением компонентов среды обитания.
67128. Информационное общество и информационная культура 38 KB
  Информационное общество – термин введен американским экономистом Машлуп. Работа вышла в 1962 году – «Производство и распространение знаний в США». Начинает рассматривать информационную концепцию. Он делал акцент на степени развития информационных технологий...
67129. ФОРМЫ ГОСУДАРСТВА 147 KB
  Категория формы государства показывает особенности внутренней организации государства порядок образования и структуру органов государственной власти специфику их территориальной обособленности характер взаимоотношения друг с другом и населением а также те методы которые используются...
67130. ОСТАНОВКА КРОВОТЕЧЕНИЯ. ОСТРАЯ КРОВОПОТЕРЯ 308.5 KB
  Кровотечением называется вытекание крови из кровеносных сосудов при нарушении целостности их стенки в ткани полости организма во внешнюю среду. В силу большого давления крови кровотечение самостоятельно не останавливается.
67131. Розвиток культури у другій половині XVII - ХVІІІ ст. Доба бароко та її особливості в Україні. Козацтво як явище соціально-політичної історії та культури українського народу 281.5 KB
  Барокова архітектура. Таке розуміння філософії акцентуація уваги на проблемі людина і Всесвіт що як уже згадувалося притаманне філософській думці доби Бароко визначає вагоме місце яке посідає в системі поглядів києвомогилянців натурфілософська проблематика.
67132. Товар и товарная политика в маркетинге. Классификация товаров промышленного назначения 74.5 KB
  Концепция жизненного цикла товара Смысл концепции жизненного цикла товара ЖЦТ заключается в том что каждый товар имеет определенный период рыночной устойчивости т. Графически жизненный цикл товара можно описать в виде кривой рис. Кривая жизненного цикла товара Как правило жизненный цикл товара...
67133. Поняття про функції - «друзі» класу 78.5 KB
  Технологія об'єктно-орієнтованого програмування дає змогу організувати доступ до закритих членів класу функціями, які не є його членами. Для цього достатньо оголосити ці функції дружніми до цього класу. Щоб зробити функцію “другом” класу, потрібно помістити її прототип в public-розділ оголошення класу і попередити його ключовим словом friend.