73541

Параллельный колебательный контур и резонанс токов

Лекция

Физика

Параллельный колебательный контур с потерями и векторные диаграммы Комплексная входная проводимость такого контура: комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и емкостью соответственно...

Русский

2014-12-17

193.5 KB

3 чел.

2.3.1 Параллельный колебательный контур и резонанс токов

Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях R1 и R2 имеет вид, изображенный на рисунке 9.1а. 

Рисунок 9.1 - Параллельный колебательный контур с потерями и векторные диаграммы

Комплексная входная проводимость такого контура:

Y =  +  = G1 + G2 - j(B1 - B2) = G - jB,                                                    (1)

где = G1 - jB1;  = G2 - jB2 - комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и емкостью соответственно.

Проводимости G1, G2, B1, B2 можно найти из формул преобразования:

G1 = R1/Z21;  G2 = R2/Z22;  B1 = wL/Z21;  B2 = (1/wC)/Z22,                          (2)

где Z1 = ; Z2 = .  

Из условия резонанса токов имеем j = arctg(B/G) = 0. Отсюда следует:

B = B1 - B2 = {wL/[R12 + (wL)2]} - {(1/wC)/[R22 + (1/wC)2]} = 0.                  (3)

Решив (3) относительно w , получим уравнение резонансной частоты

w p =     .                                            (4)

Резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае неотрицательности подкоренного выражения (т. е. при R1 < r и R2 < r или R1 > r и R2 > r ).

Реактивные составляющие токов в ветвях при резонансе равны друг другу:

Ip1 = UB1 = Ip2 = UB2.                                                                                         (5)

При этом ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения:

i0 = U/R ,                                                                                             (6)

где активное сопротивление R называют эквивалентным резонансным сопротивлением параллельного контура.

Входной ток контура совпадает по фазе с приложенным напряжением. Величину R можно найти из условия резонанса токов. Так как при резонансе токов В = 0, то полная эквивалентная проводимость контура:

G = G1 + G2 = .                             (7)

Подставив значение wр, получим G = (r1 + R2)/(r2 + R1R2), откуда:

R = (r 2 + R1R2)/(R1 + R2) .                                                                 (8)

Наибольший теоретический и практический интерес представляют резонанс токов в контурах без потерь и с малыми потерями.

Контур без потерь. Для контура без потерь (R1 = R2 = 0) уравнение резонансной частоты принимает вид:

wр = w0 = 1/,                                                                                               (9)

т. е. совпадает с выражением для последовательного контура.

Эквивалентное сопротивление контура без потерь R = µ и входной ток равен нулю, а добротность обращается в бесконечность.

Сумма энергий электрического и магнитного полей для параллельного контура без потерь, как и для последовательного контура, остается неизменной.

Контур с малыми потерями. (R1 << r ; R2 << r ). Резонансная частота для этого случая будет приближенно совпадать с частотой w0. Для контура с малыми потерями можно принять, что r2 >> R1R2, тогда:

R » r 2/(R1 + R2) = r 2/R = Q2R,                                                                     (10)

где R = R1 + R2. 

Ток в неразветвленной части цепи: I0 = U/R = U/(Q2R), а действующие значения токов в ветвях:

I1 = I2 = U/r = U/(QR).                                                                                     (11)

То есть, отношение токов в ветвях к току в неразветвленной части цепи равно добротности контура: I1/I0 = I2/I0 = Q, т. е. ток в реактивных элементах L и С при резонансе в Q раз больше тока на входе контура (отсюда термин “резонанс токов”). На рисунке 9.1в изображена векторная диаграмма токов для этого случая. В контуре с потерями сумма энергий электрического и магнитного полей не остается постоянной.

При R1 = R2 = r для wр получаем неопределенность, при этом входное сопротивление контура будет носить чисто активный характер на любой частоте (случай безразличного резонанса).

2.3.2 Частотные характеристики параллельного контура 

Контур без потерь. Частотные зависимости параметров параллельного контура от частоты имеют вид:

BL(w) = 1/(wL);   BC(w) = wC;  B(w) = (1/wL) - wC;  X(w) = 1/B(w) .          (12)

На рисунке 9.2 изображены графики этих зависимостей. Из рисунка следует: при w < w0 входное сопротивление контура Х носит индуктивный, а при w > w0 ёмкостной характер, причём вследствие отсутствия потерь при переходе через частоту w = w0 ФЧХ контура изменяется скачком от -p/2 до p/2, а входное реактивное сопротивление контура претерпевает разрыв (|Х| = µ ). 

Частотная зависимость входного тока определяется уравнением I(w) = U|B(w)|, т. е. является зеркальным отображением модуля реактивной проводимости В(w) (на рисунке 9.2 показано штриховой линией).

Рисунок 9.2 - Частотные зависимости параллельного контура без потерь

Контур с малыми потерями. Комплексное эквивалентное сопротивление контура можно определить уравнением:

.                                                                      (13)

Выделяя активную RЭ и реактивную XЭ составляющие, получим уравнения частотных характеристик:

;    ;    ;    .                            (14-17)

На рисунке 9.3 изображены нормированные относительно R частотные характеристики Rэ/R, Xэ/R и Zэ/R как функции обобщенной расстройки x. 

Рисунок 9.3 - Нормированные частотные характеристики параллельного контура

Фазочастотная характеристика цепи определится уравнением:

j = -arctg(Xэ/Rэ) = -arctgx .                                                                             (18)

Анализ полученных зависимостей показывает, что по своему виду частотные характеристики контура с потерями существенно отличаются от характеристик контура без потерь. Это отличие касается, прежде всего, зависимости реактивного сопротивления контура от частоты: для контура с потерями при резонансе оно оказывается равным нулю, а в контуре без потерь терпит разрыв (см. рисунок 9.2).

Частотная зависимость токов I1(w) и I2(w) в ветвях определяется согласно закону Ома:

;      ,      (19, 20)

т. e. I1 с увеличением w уменьшается, а I2 растет, причем в пределе I1(µ ) = 0; I2(µ ) = U/R2.

Колебательный контур подключается обычно к источнику с задающим напряжением  и определённым внутренним сопротивлением RГ. При этом напряжение на контуре определяется:

.                                                                             (21)

При резонансе токов:  .                                     (22)

Определяя частотную зависимость и вводя понятие эквивалентной добротности контура

,                                                                                                  (23)

могут быть получены АЧХ и ФЧХ относительно напряжения на контуре, нормированного к напряжению UКР :

;            .                         (24, 25)

На рисунке 9.4 показан характер этих зависимостей при различных сопротивлениях RГ источника.

Рисунок 9.4 - Частотные характеристики параллельного контура

Полоса пропускания параллельного контура определяется как полоса частот, на границах которой напряжение на контуре уменьшается в раз относительно UКР. Отсюда уравнения граничных частот полосы пропускания:

;                                                                                 (26)

(абсолютная полоса)                                                  (27)

 Параллельный контур в общем случае имеет более широкую полосу, чем последовательный. И только при Rг = ¥ (см. рисунок 9.4) их полосы пропускания будут равны. Так образом, для улучшения избирательных свойств параллелью контура его необходимо возбуждать источником тока. Параллельный контур нельзя использовать для усиления напряжения, так как всегда Uк.р < Uг.

Электрические фильтры. Общие положения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81303. Предмет и методология теории государства и права 36.86 KB
  Предметом теории государства и права являются основные общее закономерности возникновения функционирования и развития государства и права. Данная наука изучает причины происхождения государства и права их формы и типологию основные закономерности построения системы органов государства и системы права их функциональное воздействие на общественную жизнь. Особенности предмета теории государства и права как науки выражаются в следующем...
81304. Теория государства и права в системе общественных и юридических наук. Функции теории государства и права 39.25 KB
  Функции теории государства и права. Теория права и государства существует и развивается как один из важнейших компонентов сложной и целостной системы знаний об обществе. Право регулирует общественные отношения в самых различных субъектов права по самым различным фактическим основаниям в самых различных обстоятельствах.
81305. Происхождение государства и права 36.48 KB
  Еще в Древнем Египте Вавилоне и Иудее выдвигались идеи божественного происхождения государства и права. Основной смысл данной теории в том чтобы утвердить приоритет духовной организации церкви над светской государством и доказать что нет государства и власти не от бога . Религиозные учения о происхождении государства и права имеют хождение и поныне.
81306. Теологическая теория происхождения государства и права 35.26 KB
  Согласно теологической теории творец всего сущего на Земле в том числе государства Бог проникнуть же в тайну божественного замысла постичь природу и сущность государства невозможно. Известно что ещё в древнем Египте и Вавилоне возникли идеи божественного происхождения государства и права. Основной смысл данной теории в том чтобы утвердить приоритет духовной организации церкви над светской государством и доказать что нет государства и власти не от бога.
81307. Теория общественного договора 39.4 KB
  Поэтому данная теория связывается с механическим представлением о происхождении государства выступающего как искусственное произведение сознательной воли людей согласившихся соединиться ради лучшего обеспечения свободы и порядка. Классическое обоснование договорная теория получила в трудах Руссо. Как же практически обстояло дело со свободой справедливостью и с правом в тех странах где господствовала теория божественного происхождения государства и права Отвечая на этот вопрос Гольбах писал что свобода в этих странах была запрещена...
81308. Марксизм о государстве и праве 35.44 KB
  Именно поэтому в этот период появляются такие направления философии марксизм который ставит перед собой задачу исследовать действительность открыть ее законы понять и объяснить жизнь общества Рассматривая марксистское учение о государстве и праве необходимо прежде всего подчеркнуть что марксистская концепция происхождения государства и права опирается на историко-материалистическое учение об обществе и общественном развитии на классовую трактовку государства и права. Марксистская теория происхождения государства наиболее полно...
81309. Особи, які беруть участь у виконавчому провадженні та залучаються до проведення виконавчих дій 28.53 KB
  До учасників виконавчого провадження належать сторони виконавчого провадження тобто стягувач та боржник представники сторін органи державної влади та місцевого самоврядування. Сторони є головними та обовязковими учасниками виконавчого провадження що мають особисту заінтересованість у наслідках виконавчих дій. Сторонами виконавчого провадження є стягувач і боржник. У Законі Про виконавче провадження ст.
81310. Особи, які сприяють вчиненню виконавчого провадження, їх права та обов’язки 28.86 KB
  Експерт або спеціаліст зобовязаний надати письмовий висновок, а суб\'єкт оціночної діяльності - субєкт господарювання - письмовий звіт з питань, що містяться в постанові державного виконавця, а також надати усні рекомендації щодо дій, які виконуються за його присутності.