73542

Простые колебательные контуры

Лекция

Физика

Цепи в которых возникает явление резонанса называют колебательными контурами или резонансными цепями. изображена схема последовательного контура с реактивными элементами L и С и активным сопротивлением R характеризующим потери в контуре. Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте определяется согласно уравнению...

Русский

2014-12-17

106 KB

3 чел.

2.2.1 Простые колебательные контуры

Резонансом называют такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжением равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют колебательными контурами, или резонансными цепями.

Резонансные цепи являются составной частью многих устройств: избирательные цепи, частотно-зависимые элементы автогенераторов, фильтров, других аналоговых устройств. Для получения высоких технико-экономических показателей (избирательности, полосы пропускания, коэффициента прямоугольности, равномерности и т. д.) резонансные цепи должны иметь достаточно сложную структуру (многоконтурные связанные цепи, активные резонансные системы и др.).

Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкостной элементы, соединенные последовательно (последовательный контур) или параллельно (параллельный контур). Различают два типа резонансов: напряжений и токов. В последовательном контуре возникает резонанс напряжении, а в параллельном — резонанс токов. Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной.

2.2.2 Последовательный колебательный контур и резонанс напряжений

На рисунке 8.1 изображена схема последовательного контура с реактивными элементами L и С и активным сопротивлением R, характеризующим потери в контуре.

Рисунок 8.1 - Последовательный колебательный контур

Приложим к контуру гармоническое напряжение с частотой w. Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте определяется согласно уравнению:

= R + jX = R + j(w L - 1/w C),                                                                        (1)

а ток в контуре уравнением = //(R + jX).

Фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением

j = arctg = arctg X/R .                                                                  (2)

При резонансе j = 0, что возможно, если X = w L - (1/w C) = 0. Отсюда получаем уравнение резонансной частоты w0:

w = w0 =  .                                                                                             (3)

На резонансной частоте комплексное сопротивление носит чисто активный характер, т. е.  =  R, ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения . Реактивные сопротивления контура на резонансной частоте w0 будут равны друг другу:

XL0 = XC0 = w0L = 1/(w0C) = = r .                                                (4)

Величина r носит название волнового (характеристического) сопротивления контура. Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура: Q = r /R. 

Величина Q безразмерна и обычно колеблется для реальных контуров от 10 до 100 и выше. Для выяснения физического смысла параметра Q найдем отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (L и С) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:

UL0/U = UC0/U = (I0w0L)/U = I0/(w0CU) = r/R = Q .                                         (5)

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз резонансные напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение. Отсюда следует и термин резонанс напряжений”. Энергия источника расходуется только на покрытие тепловых потерь в элементе активного сопротивления R; реактивная мощность при резонансе не потребляется.

2.2.3 Частотные характеристики и полоса пропускания последовательного колебательного контура

Анализируя характер уравнений напряжений и токов в RLC-цепи, фазовых сдвигов между ними при гармоническом воздействии, видно, что они являются частотно-зависимыми. Эта зависимость вытекает непосредственно из зависимости сопротивлений реактивных элементов ХL и ХC от частоты w. На рисунке 8.2 изображены зависимости ХL(w), ХC(w), Z(w), j (w), определяемые формулами:

ХL(w) = wL;  ХC(w) = 1/(wC);  Х(w) = wL - 1/wC;                                       (6)

Z(w) = ,                                                                       (7)

j (w) = arctg{[wL - 1/(wC)]/R}.                                                                   (8)

Рисунок 8.2 - Зависимость сопротивлений и фазы от частоты в последовательном колебательном контуре

Зависимости ХL(w), ХC(w), X(w), Z(w) носят название частотных характеристик параметров цепи, а зависимость j (w) - фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

Из представленных характеристик следует, что при w < w0 цепь имеет емкостной характер (Х<0; j<0) и ток опережает по фазе приложенное напряжение; при w > w0 характер цепи индуктивный (X>0; j>0) и ток отстает по фазе от приложенного напряжения; при w = w0 наступает резонанс напряжений (X=0; j=0) и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принимает при этом минимальное значение Z = R.

Зависимость действующего значения тока от частоты можно найти:

 .                                                                            (9)

Действующие значения напряжений на реактивных элементах можно найти согласно закону Ома:

UL(w) = I(w)XL(w) = .                                                       (10)

UC(w) = I(w)XC(w) =       .                                            (11)

Зависимости I(w), UL(w), UC(w) называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) относительно тока и напряжений, или резонансными характеристиками, (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3 - АЧХ и полоса пропускания последовательного колебательного контура

Анализ зависимости I(w ) показывает, что она достигает максимума при резонансе w = w0:  I0 = U/R. Зависимости UL(w) и UC(w) также носят экстремальный характер, причем при w = ¥:  (XL = ¥ ) и UL(¥ ) = U; 

при w = w0 имеем:

UL(w0) = UL0 = UC0 = I0r = UQ.                                                                       (12)

Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания. Полосой пропускания принято называть полосу частот вблизи резонанса, на границе которой ток снижается в раз относительно I0 (рисунок 8.3). Абсолютная полоса пропускания D fA определяется как разность граничных частот f2 и f1:

D fA = f2 - f1 = f0/Q;                                                                                         (13)

Уравнение (13) может быть положено в основу экспериментального определения добротности по АЧХ. Чем выше добротность Q, тем меньше полоса пропускания и наоборот. Причем, поскольку с увеличением потерь R добротность контура падает, то подключение к контуру сопротивления нагрузки или источника с внутренним сопротивлением приводит к расширению полосы пропускания.

 

Параллельный колебательный контур и его свойства