73589

Симметрийный анализ магнитных стуктур

Лекция

Туризм и рекреация

Для описания и классификации магнитной структуры возможны два способа. Один из них – это путь магнитной симметрии, другой – применение теории представлений групп. Магнитная структура может быть описана псевдовекторной функцией

Русский

2014-12-18

303.5 KB

0 чел.

Лекция 6.

Симметрийный анализ магнитных стуктур

Способы классификации магнитных структур

Два подхода к описанию магнитной структуры

Для описания и классификации магнитной структуры возможны два способа. Один из них – это путь магнитной симметрии, другой – применение теории представлений групп. Магнитная структура может быть описана псевдовекторной функцией S(r),  определенной на дискретной системе точек (атомов). Если оператор g принадлежащий пространственной группе G действует на эту функцию, то возможны два результата.

Оператор g не изменяет S(r), т.е. S(r) – инвариантная функция относительно операции g, или g преобразует S(r) в другую функцию S’(r) определенную на этой же системе точек. Следовательно, можно описать функцию S(r) с помощью набора операторов, которые не изменяют функцию S(r). Тогда этот набор есть собственная группа симметрии функции S(r). Это путь магнитной симметрии или указание Шубниковских магнитных групп.

С другой стороны можно описать симметрию и тип функции S(r) в кристалле путем перечисления всех функций S’(r), которые возникают благодаря действию всех элементов кристаллографической пространственной группы S(r). Очевидно, что набор функций S’(r) зависит от вида S(r) и способа ее преобразования под действием элементов g  G, т.е. от того, к какому представлению группы G относится рассматриваемая функция S(r). Это путь представленческого анализа.  

Классификационный символ

Цель классификации магнитных структур – найти универсальный и определенный классификационный символ Km магнитной структуры, который удовлетворял бы двум требованиям. Во-первых, он должен однозначно и полно характеризовать магнитную структуру, его однозначность должна позволять возможность правильно нарисовать по Km  саму магнитную структуру. Полнота учета симметрии, имеющейся у магнитной структуры, должна выражаться в том, что число фигурирующих в Km базисных спинов должно быть минимальным. Во-вторых, все многообразие магнитных структур, имеющихся в природе должно получаться, если придавать отдельным конкретным символам, входящим в Km все допустимые значения в известном интервале.

Определение шубниковской группы данной магнитной группы.

Рассмотрим магнитную структуру ромбического кристалла CrCl2.

 

Пространственная группа кристалла CrCl2 есть Pnnm. Два магнитных атома Cr занимают позицию 2a с координатами 1(0,0,0) и 2(½, ½,½). Магнитные моменты атомов 1 и 2 антипараллельны. Периоды магнитной ячейки в направлении осей y и z удвоены по сравнению с кристаллографическими периодами, а ось антиферромагнетизма L ориентирована в некотором общем направлении. Магнитные моменты обозначим как 1(u,v,w) и 2(-u,-v,-w).

Когда кристалл претерпевает переход к дальнему магнитному порядку, трансляции вдоль b и c не являются более трансляциями и становятся антитрансляциями. Ось 2y есть винтовая ось группы Pnnm, поэтому она не может сохраниться в шубниковской группе Sh в чистой форме или в прим-форме. Это же справедливо для my и mz плоскостей. Следовательно, элементы 2y, my, mz не являются элементами группы Sh. Другие элементы 2x, 2z, -1, mx должны быть подтвергнуты провекре в чистом штрихованном виде на их сохраняемость в в магнитной фазе.

Итак, состав элементов симметрии группы Sh есть:

Sh = {1000}, {-1000}, {1100}, {-1100},  {1010} , {-1010} {1001} ,

{-1001},  {1011} ,  {-1010},.....

Можно видеть, что только идентичное преобразование сохраняется в магнитной группе, следовательно, это черно-белая группа Sh = Ps-1.  

В этом случае элементы, связывающие атом 1 с атомом 2 не принадлежат группе Sh. Следовательно, для определения этой магнитной структуры должны быть даны два базисных спина S1 и S2 к дополнению к магнитной группе. Суммируя получаем, что классификационный символ Km имеет следующую форму: 

         Km = {Pnnm, 2a, Ps-1},

         S1 = (u, v, w), S2 = (-u,-v,-w).                                                                    (8.1)

Недостаточность описания симметрии магнетиков с помощью Шубниковских групп.

 Как мы видели в предыдущем примере, элементы симметрии, устанавливающие соотношение между атомами 1 и 2 не возникают в шубниковской группе Ps-1 магнитного CrCl2.

Слабость шубниковского пути отчетливо проявляется в случае несоизмеримых магнитных структур. Очевидная и относительно простая закономерность в ориентации спинов в таких структурах не может быть отражена в какой-либо любой шубнковской группе потому, что они не включают повороты на некристаллографический угол. Особенно, это касается случая продольных и поперечных спиновых волн.

Идеи метода симметрийного анализа.

В основе метода лежит следующая концепция. Любая магнитная структура может рассматриваться как результат магнитного фазового перехода из некоторой исходной фазы, и она может быть выражена через базисные функции неприводимых представлений группы симметрии исходной фазы (обычно это парамагнитная фаза). Следовательно, проблема нахождения возможной магнитной структуры сводится к расчету базисных функций неприводимых представлений группы волнового вектора.

 В общем случае магнитная структура может характеризоваться более, чем одним волновым вектором, они характеризуют звезду волнового вектора {k}. Звездой называется набор всех неэквивалентных векторов, которые получаются из данного под действием всех элементов симметрии точечной группы кристалла. Два вектора называются эквивалентными если они различаются друг от друга на вектор обратной решетки. Волновые векторы, образующие звезду, называются лучами. Число лучей lk определяется локальной симметрией позиции волнового вектора в обратном пространстве. Если звезда многолучевая, то имеет место соотношение

        Sni = eikLtnSL0i ,                                                                                     (8.3)

                 L

Суммирование выполняется по всем лучам звезды. Если примитивная ячейка содержит магнитных атомов, то описание магнитной структуры достигается выбором звезды волнового вектора {k} и всеми lk  векторами SL0i, связанными с нулевой ячейкой.

Фундаментальное соотношение (8.3) – есть математический вид концепции о том, что магнитная структура описывается одной звездой волнового вектора. Магнитные структуры с двумя звездами очень редки.

Волновые векторы должны быть взяты из первой зоны Бриллюэна :

                          k =  1b1 + 2b2 +3b3 ,                                                       (8.4)

где b1, b2, и b3 – базисные векторы обратной решетки. Они выражаются с помощью кратчайших трансляций :

  b1 = (2/V)[t2  t3],  b2 = (2/V)[t3  t1], b3 = (2/V)[t1  t2],                 (8.5)

где, V – объем примитивной ячейки,

                                   bitk = 2 ik.                                                                                                   (8.6)

Чтобы определить волновой вектор, нужно из индексов Миллера первого магнитного рефлекса вычесть индексы соответствующего ядерного рефлекса :

             k = (h k l)mag – (h k l) nucl .                                                               (8.7)

Полученные таким образом индексы (hL kL lL) соответствуют рефлексу - родоночальнику. Установление системы рефлексов родоначальников позволяет однозначно определить волновые векторы магнитной структуры используя соотношение :

                         kL = hLb1 + kLb2 + lLb3,                                                            (8.9)

Следует отметить, что рефлекс – родоначальник может отсутствовать на нейтронограмме из-за случайного погасания, но все магнитные рефлексы не могут быть погашены. Одного из них достаточно для определения родоночальника. Полный перечень установленных рефлексов родоначальников определяет канал перехода.   

 Как вы знаете, имеется 14 решеток Браве и каждой из них соответствует собственная система звезд. Пример кубической структуры.                     

Соответсвие между векторами и точками :

Γ = 0,

M = ½b1 + ½b2,  

R = ½b1 + ½b2 + ½b3,

T = ½b1 + ½b2 + νb3,

Σ = νb1 + νb2,

Λ = νb1 + νb2 + νb3.

           Лифшицевские звезды это звезды, волновые векторы которых оканчиваются в симметричных точках зоны Бриллюэна, они играют специальную роль в теории магнитных и кристаллических структур (например, точки Γ, M, R). Магнитная структура, характеризуемая лившецевской звездой, имеет магнитную решетку, которая одна из 36 решеток Браве шубниковской (черно-белой) симметрии. Нелифшицевские звезды содержат текущие параметры в выражении их лучей через векторы обратной решетки (например, точки Σ и Λ).

8.4 Рабочие формулы для расчета базисных функций.

Итак, концепция фазовых переходов сводит проблему определения возможных магнитных структур в заданном кристалле к вычислению псевдовекторных базисных функций неприводимых представлений пространственной группы.

Состав магнитного представления для волнового вектора k дается соотношением:

= ,                                                                                       (8.10)

,                                                             (8.11)

,                                                      (8.12)

Где,    означает характер магнитного представления группы Gk.

Атомные компоненты базисных функций неприводимого представления dk группы Gk даются выражениями:

     ,                      (8.13)

       = exp[ ikLap(gL,i)]hL RhL.                                                (8.14)

Последнее соотношение определяет базисные функции луча kL через базисные функции исходного луча k = k1.    Мы получаем kL = hLk, где hL означает поворотную часть элемента представителя gL = {hLhL}.  

К этим формулам нужно добавить соотношение, позволяющее определять возвращающиеся трансляции ap :     

grj = hrj + h  ri + ap(g,j),                                                                  (8.15)

и соотношение, устанавливающее соответствие между номерами атомов i и i в формуле (8.14) :

        gLri = hLri + hL  ri + ap(gL,i).                                                               (8.16)

 Матрицы неприводимого представления входящего в вышенаписанные формулы берутся из таблиц, содержащихся, например, в книге Ковалева. Матрицы Rh  поворотных частей  элементов пространственных групп ыписаны в табл. 2. Вычисление базисных функций должно начинаться с составления таблицы переходов магнитных атомов примитивной ячейки  под действием элементов нулевого блока группы Gk и элементов представителей gL.  

8.5. Образец расчета базисных функций :

Рассчитаем базисные функции для кристалла CrCl2 crystal. Перейдем от международной системы координат к системе Ковалева : 1(0, 0, -1/4), 2(½, ½, ½).

Согласно нейтронографическим данным магнитная структура CrCl2 может быть описана звездой {k23} группы D2h12: k = ½(b2 + b3). Эта звезда имеет один лучь, Gk = G = D2h12.

Прежде всего, мы должны проверить как трансформируется номера атомов группы под действием элементов Gk = k.

{h2½ ½ 0}(0, 0, -1/4) = (0, 0, ¼) + (½ ½ 0) = (½ ½ ¼),

      {h2½ ½ 0}(½ ½ ¼)  = (1/2 -1/2 -1/4) + (1/2 ½ 0) = (0 0 -1/4) + (100).

Мы видим, что атом 1 переходит в атом 2, а атом 2 в атом 1, возвращающаяся трансляция ap естьis (100) для атома 2.   Окончательно получаем таблицу.

 

Атом

Элементы симметрии

h1

h2

h3

h4

h25

h26

h27

h28

1

1

2

2

1

1

2

2

1

ap

-

-

-

-

001

-

-

001

2

2

1

1

2

2

1

1

2

ap

-

100

010

-1-10

-1-10

011

101

-

             

Рассчитаем характеры магнитного представления

km({h40 0 0}) = -1{1 + exp[-i½ (b1 +b2)(-t1t2)]} = 0,

Так как                  

                            ap = (-1 -1 0) = -t1t2.

Тогда km({h10 0 0}) = 6 и km({h250 0 1/2}) = -6.

Характеры остальных элементов равны нулю.

Используя матрицы неприводимых представлений 1 и 2 группы Gk мы получаем

                                                 dmk = 32.

Так как 2 – двумерное представление, размерность dmk равна 6 как и можно ожидать в случае двух магнитных атомов в примитивной ячейке, 3m = 6.

Рассчитаем псевдовекторные базисные функции неприводимых представлений группы Gk, используем (8.13). Фиксируем , j, и : = 1, j = 1, и = z. Чтобы рассчитать векторы S на атоме1 (8.13), суммирование надо проводить по всем элементам, которые удовлетворяют условию

              gr1 = r1 + ap.

Как видно из табл., такие элементов : h1, h4, h25, h28. Получаем:

    = () , = ().

Когда рассчитываем векторы S на атоме 2 суммирование проводится по элементам h2, h3, h26, h27 

                                         Gr1 = r2 + ap.

Получаем

    = () , = ().

 Выбирая = y и = x для тех же самых и j , два набора линейно независимых базисных функций.

   Базисные функции

          k2(1)

           k2(2)

          k2(3)

          Старт

           = x

           = y

         = z

        Атомы

 1                    2

 1                     2  

 1                    2

         = 1

100                100         

010                0-10

001               00-1

         = 2

-i00               i00

0-i0                0-i0

00i                00i

PAGE  10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82477. Экономический цикл: понятие, модели, виды. Государственное антициклическое регулирование 33.31 KB
  Кейнсианский подход: государством используются финансовобюджетные инструменты денежнокредитная политика играет вспомогательную роль. В фазе кризиса и депрессии увеличиваются государственные расходы проводится политика дешевых денег. Классический подход: основным инструментом является денежнокредитная политика. Проводится политика дорогих денег кредитная рестрикция путем повышения ставок что должно содействовать борьбе с перенакоплением капитала.
82478. Финансовая система. Госбюджет и его структура. Центральный банк и кредитно-финансовые институты 28.16 KB
  Финансовая система: Финансы властных структур Федеральные финансы Бюджет Внебюджетные фонды Пенсионный фонд Фонд социального страхования Фонд обязательного медицинского страхования Финансы субъектов Федерации Бюджет Внебюджетные фонды Финансы местного самоуправления Бюджет Финансы предприятий Финансы населения Финансы властных структур делятся на государственные и муниципальные местного самоуправления. Финансы федеральной власти субъектов Федерации и муниципальные финансы делятся на бюджетные фонды или проще бюджеты и...
82479. Денежно-кредитная система. Кредиты, их формы. Предложение кредитных денег коммерческими банками 33.21 KB
  Кредиты предоставляются на основе следующих принципов: возвратности означает необходимость возврата полученных от кре дитора финансовых ресурсов в полном объеме; срочность отражает необходимость его возврата не в любое приемле мое для заемщика время а в точно определенный срок зафиксированный в кредитном договоре; платность кредита выражает необходимость не только прямого воз врата кредита но и оплаты права на его использование в виде ссудного про цента; обеспеченность кредита выражает необходимость обеспечения защи ты...
82480. Деньги: возникновение, сущность, функции. Измерение денежной массы. Денежные агрегаты 32.39 KB
  Вторая деньги появились в результате эволюционного процесса который независимо от воли людей привел к тому что некоторые предметы выделились из общей массы и заняли особое место посредника в акте обмена. Сущность денег Деньги являются самым активным элементом экономики важнейшей частью экономической деятельности связующим звеном между участниками рынка и производством. Деньги обладают свойством обмениваемости на товары включая недвижимость драгоценности и художественные произведения. Функции денег Если рассматривать функции денег...
82481. Инфляция: сущность, виды, последствия 34.04 KB
  Сопровождается скачкообразным повышением цен от 1020 до 200300 в месяц. Рост цен не регулируется инфляция охватывает все сферы хозяйственной жизни. Поледствия инфляции: страдают больше всего те кто имеет фиксированные доходы; обесцениваются сбережение населения; падение реальной заработной платы по сравнению с номинальной; влияние на народное хозяйство: усиливается диспропорциональность развития производства; капиталы из сферы производства отвлекаются в спекулятивную торговлю; искажается нормальная структура потребительского...
82482. Антиинфляционная политика государства. Кривая Филлипса 46.16 KB
  Антиинфляционная политика государства может проводиться методами активной и адаптивной политики. Активная политика проводится с целью ликвидации причин инфляции а адаптивная для приспособления к ней экономики и смягчения ее отрицательных последствий. Активная антиинфляционная политика предполагает использование метода шоковой терапии при которой за короткий период времени уничтожаются причины инфляции как на стороне спроса так и на стороне предложения Адаптивная политика предполагает использование метода постепенного сокращения инфляции...
82483. Социальная политика государства. Источники доходов населения. Система социальной защиты 30.8 KB
  Источники доходов населения. Доходы населения это совокупность средств и затрат в натуральном выражении для поддержания физического морального экономического и интеллектуального состояния человека. Формирования денежных доходов осуществляется за счет оплаты труда работников выплат из социальных фондов социальных трансфертов предпринимательских доходов Социальная защита населения это одно из важнейших направлений социальной политики государства заключающееся в установлении и поддержании общественно необходимого материального и...
82484. Государственное регулирование экономики: социальное неравенство, измерение распределения доходов. Черта бедности. Кривая Лоренца, коэффициент Джини 55.12 KB
  ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИКИ одна из основных форм участия государства в экономике состоящая в его воздействии на распределение ресурсов и доходов на уровень и темпы экономического развития и благосостояние населения страны. К числу наиболее распространенных индикаторов дифференциации доходов населения относят коэффициент концентрации доходов индекс Джини и кривую Лоренца характеризующие степень удаления от состояния равенства в распределении доходов. Степень неравенства в распределении доходов в западной экономической...
82485. Теория сравнительных преимуществ и протекционизм. Международная торговля и распределение доходов 33.02 KB
  Она исходит из наличия двух стран и двух товаров; издержек производства только в виде заработной платы которая к тому же одинакова для всех профессий; игнорирования различий в уровне заработной платы между странами; отсутствия транспортных издержек и наличия свободной торговли. увеличению производства в отраслях ориентированных на экспорт и сокращению производства в отраслях конкурирующих с импортом. Теория ХекшераОлинадает возможность оценить последствия развития внешней торговли для владельцев различных факторов производства рабочих...