73589

Симметрийный анализ магнитных стуктур

Лекция

Туризм и рекреация

Для описания и классификации магнитной структуры возможны два способа. Один из них – это путь магнитной симметрии, другой – применение теории представлений групп. Магнитная структура может быть описана псевдовекторной функцией

Русский

2014-12-18

303.5 KB

2 чел.

Лекция 6.

Симметрийный анализ магнитных стуктур

Способы классификации магнитных структур

Два подхода к описанию магнитной структуры

Для описания и классификации магнитной структуры возможны два способа. Один из них – это путь магнитной симметрии, другой – применение теории представлений групп. Магнитная структура может быть описана псевдовекторной функцией S(r),  определенной на дискретной системе точек (атомов). Если оператор g принадлежащий пространственной группе G действует на эту функцию, то возможны два результата.

Оператор g не изменяет S(r), т.е. S(r) – инвариантная функция относительно операции g, или g преобразует S(r) в другую функцию S’(r) определенную на этой же системе точек. Следовательно, можно описать функцию S(r) с помощью набора операторов, которые не изменяют функцию S(r). Тогда этот набор есть собственная группа симметрии функции S(r). Это путь магнитной симметрии или указание Шубниковских магнитных групп.

С другой стороны можно описать симметрию и тип функции S(r) в кристалле путем перечисления всех функций S’(r), которые возникают благодаря действию всех элементов кристаллографической пространственной группы S(r). Очевидно, что набор функций S’(r) зависит от вида S(r) и способа ее преобразования под действием элементов g  G, т.е. от того, к какому представлению группы G относится рассматриваемая функция S(r). Это путь представленческого анализа.  

Классификационный символ

Цель классификации магнитных структур – найти универсальный и определенный классификационный символ Km магнитной структуры, который удовлетворял бы двум требованиям. Во-первых, он должен однозначно и полно характеризовать магнитную структуру, его однозначность должна позволять возможность правильно нарисовать по Km  саму магнитную структуру. Полнота учета симметрии, имеющейся у магнитной структуры, должна выражаться в том, что число фигурирующих в Km базисных спинов должно быть минимальным. Во-вторых, все многообразие магнитных структур, имеющихся в природе должно получаться, если придавать отдельным конкретным символам, входящим в Km все допустимые значения в известном интервале.

Определение шубниковской группы данной магнитной группы.

Рассмотрим магнитную структуру ромбического кристалла CrCl2.

 

Пространственная группа кристалла CrCl2 есть Pnnm. Два магнитных атома Cr занимают позицию 2a с координатами 1(0,0,0) и 2(½, ½,½). Магнитные моменты атомов 1 и 2 антипараллельны. Периоды магнитной ячейки в направлении осей y и z удвоены по сравнению с кристаллографическими периодами, а ось антиферромагнетизма L ориентирована в некотором общем направлении. Магнитные моменты обозначим как 1(u,v,w) и 2(-u,-v,-w).

Когда кристалл претерпевает переход к дальнему магнитному порядку, трансляции вдоль b и c не являются более трансляциями и становятся антитрансляциями. Ось 2y есть винтовая ось группы Pnnm, поэтому она не может сохраниться в шубниковской группе Sh в чистой форме или в прим-форме. Это же справедливо для my и mz плоскостей. Следовательно, элементы 2y, my, mz не являются элементами группы Sh. Другие элементы 2x, 2z, -1, mx должны быть подтвергнуты провекре в чистом штрихованном виде на их сохраняемость в в магнитной фазе.

Итак, состав элементов симметрии группы Sh есть:

Sh = {1000}, {-1000}, {1100}, {-1100},  {1010} , {-1010} {1001} ,

{-1001},  {1011} ,  {-1010},.....

Можно видеть, что только идентичное преобразование сохраняется в магнитной группе, следовательно, это черно-белая группа Sh = Ps-1.  

В этом случае элементы, связывающие атом 1 с атомом 2 не принадлежат группе Sh. Следовательно, для определения этой магнитной структуры должны быть даны два базисных спина S1 и S2 к дополнению к магнитной группе. Суммируя получаем, что классификационный символ Km имеет следующую форму: 

         Km = {Pnnm, 2a, Ps-1},

         S1 = (u, v, w), S2 = (-u,-v,-w).                                                                    (8.1)

Недостаточность описания симметрии магнетиков с помощью Шубниковских групп.

 Как мы видели в предыдущем примере, элементы симметрии, устанавливающие соотношение между атомами 1 и 2 не возникают в шубниковской группе Ps-1 магнитного CrCl2.

Слабость шубниковского пути отчетливо проявляется в случае несоизмеримых магнитных структур. Очевидная и относительно простая закономерность в ориентации спинов в таких структурах не может быть отражена в какой-либо любой шубнковской группе потому, что они не включают повороты на некристаллографический угол. Особенно, это касается случая продольных и поперечных спиновых волн.

Идеи метода симметрийного анализа.

В основе метода лежит следующая концепция. Любая магнитная структура может рассматриваться как результат магнитного фазового перехода из некоторой исходной фазы, и она может быть выражена через базисные функции неприводимых представлений группы симметрии исходной фазы (обычно это парамагнитная фаза). Следовательно, проблема нахождения возможной магнитной структуры сводится к расчету базисных функций неприводимых представлений группы волнового вектора.

 В общем случае магнитная структура может характеризоваться более, чем одним волновым вектором, они характеризуют звезду волнового вектора {k}. Звездой называется набор всех неэквивалентных векторов, которые получаются из данного под действием всех элементов симметрии точечной группы кристалла. Два вектора называются эквивалентными если они различаются друг от друга на вектор обратной решетки. Волновые векторы, образующие звезду, называются лучами. Число лучей lk определяется локальной симметрией позиции волнового вектора в обратном пространстве. Если звезда многолучевая, то имеет место соотношение

        Sni = eikLtnSL0i ,                                                                                     (8.3)

                 L

Суммирование выполняется по всем лучам звезды. Если примитивная ячейка содержит магнитных атомов, то описание магнитной структуры достигается выбором звезды волнового вектора {k} и всеми lk  векторами SL0i, связанными с нулевой ячейкой.

Фундаментальное соотношение (8.3) – есть математический вид концепции о том, что магнитная структура описывается одной звездой волнового вектора. Магнитные структуры с двумя звездами очень редки.

Волновые векторы должны быть взяты из первой зоны Бриллюэна :

                          k =  1b1 + 2b2 +3b3 ,                                                       (8.4)

где b1, b2, и b3 – базисные векторы обратной решетки. Они выражаются с помощью кратчайших трансляций :

  b1 = (2/V)[t2  t3],  b2 = (2/V)[t3  t1], b3 = (2/V)[t1  t2],                 (8.5)

где, V – объем примитивной ячейки,

                                   bitk = 2 ik.                                                                                                   (8.6)

Чтобы определить волновой вектор, нужно из индексов Миллера первого магнитного рефлекса вычесть индексы соответствующего ядерного рефлекса :

             k = (h k l)mag – (h k l) nucl .                                                               (8.7)

Полученные таким образом индексы (hL kL lL) соответствуют рефлексу - родоночальнику. Установление системы рефлексов родоначальников позволяет однозначно определить волновые векторы магнитной структуры используя соотношение :

                         kL = hLb1 + kLb2 + lLb3,                                                            (8.9)

Следует отметить, что рефлекс – родоначальник может отсутствовать на нейтронограмме из-за случайного погасания, но все магнитные рефлексы не могут быть погашены. Одного из них достаточно для определения родоночальника. Полный перечень установленных рефлексов родоначальников определяет канал перехода.   

 Как вы знаете, имеется 14 решеток Браве и каждой из них соответствует собственная система звезд. Пример кубической структуры.                     

Соответсвие между векторами и точками :

Γ = 0,

M = ½b1 + ½b2,  

R = ½b1 + ½b2 + ½b3,

T = ½b1 + ½b2 + νb3,

Σ = νb1 + νb2,

Λ = νb1 + νb2 + νb3.

           Лифшицевские звезды это звезды, волновые векторы которых оканчиваются в симметричных точках зоны Бриллюэна, они играют специальную роль в теории магнитных и кристаллических структур (например, точки Γ, M, R). Магнитная структура, характеризуемая лившецевской звездой, имеет магнитную решетку, которая одна из 36 решеток Браве шубниковской (черно-белой) симметрии. Нелифшицевские звезды содержат текущие параметры в выражении их лучей через векторы обратной решетки (например, точки Σ и Λ).

8.4 Рабочие формулы для расчета базисных функций.

Итак, концепция фазовых переходов сводит проблему определения возможных магнитных структур в заданном кристалле к вычислению псевдовекторных базисных функций неприводимых представлений пространственной группы.

Состав магнитного представления для волнового вектора k дается соотношением:

= ,                                                                                       (8.10)

,                                                             (8.11)

,                                                      (8.12)

Где,    означает характер магнитного представления группы Gk.

Атомные компоненты базисных функций неприводимого представления dk группы Gk даются выражениями:

     ,                      (8.13)

       = exp[ ikLap(gL,i)]hL RhL.                                                (8.14)

Последнее соотношение определяет базисные функции луча kL через базисные функции исходного луча k = k1.    Мы получаем kL = hLk, где hL означает поворотную часть элемента представителя gL = {hLhL}.  

К этим формулам нужно добавить соотношение, позволяющее определять возвращающиеся трансляции ap :     

grj = hrj + h  ri + ap(g,j),                                                                  (8.15)

и соотношение, устанавливающее соответствие между номерами атомов i и i в формуле (8.14) :

        gLri = hLri + hL  ri + ap(gL,i).                                                               (8.16)

 Матрицы неприводимого представления входящего в вышенаписанные формулы берутся из таблиц, содержащихся, например, в книге Ковалева. Матрицы Rh  поворотных частей  элементов пространственных групп ыписаны в табл. 2. Вычисление базисных функций должно начинаться с составления таблицы переходов магнитных атомов примитивной ячейки  под действием элементов нулевого блока группы Gk и элементов представителей gL.  

8.5. Образец расчета базисных функций :

Рассчитаем базисные функции для кристалла CrCl2 crystal. Перейдем от международной системы координат к системе Ковалева : 1(0, 0, -1/4), 2(½, ½, ½).

Согласно нейтронографическим данным магнитная структура CrCl2 может быть описана звездой {k23} группы D2h12: k = ½(b2 + b3). Эта звезда имеет один лучь, Gk = G = D2h12.

Прежде всего, мы должны проверить как трансформируется номера атомов группы под действием элементов Gk = k.

{h2½ ½ 0}(0, 0, -1/4) = (0, 0, ¼) + (½ ½ 0) = (½ ½ ¼),

      {h2½ ½ 0}(½ ½ ¼)  = (1/2 -1/2 -1/4) + (1/2 ½ 0) = (0 0 -1/4) + (100).

Мы видим, что атом 1 переходит в атом 2, а атом 2 в атом 1, возвращающаяся трансляция ap естьis (100) для атома 2.   Окончательно получаем таблицу.

 

Атом

Элементы симметрии

h1

h2

h3

h4

h25

h26

h27

h28

1

1

2

2

1

1

2

2

1

ap

-

-

-

-

001

-

-

001

2

2

1

1

2

2

1

1

2

ap

-

100

010

-1-10

-1-10

011

101

-

             

Рассчитаем характеры магнитного представления

km({h40 0 0}) = -1{1 + exp[-i½ (b1 +b2)(-t1t2)]} = 0,

Так как                  

                            ap = (-1 -1 0) = -t1t2.

Тогда km({h10 0 0}) = 6 и km({h250 0 1/2}) = -6.

Характеры остальных элементов равны нулю.

Используя матрицы неприводимых представлений 1 и 2 группы Gk мы получаем

                                                 dmk = 32.

Так как 2 – двумерное представление, размерность dmk равна 6 как и можно ожидать в случае двух магнитных атомов в примитивной ячейке, 3m = 6.

Рассчитаем псевдовекторные базисные функции неприводимых представлений группы Gk, используем (8.13). Фиксируем , j, и : = 1, j = 1, и = z. Чтобы рассчитать векторы S на атоме1 (8.13), суммирование надо проводить по всем элементам, которые удовлетворяют условию

              gr1 = r1 + ap.

Как видно из табл., такие элементов : h1, h4, h25, h28. Получаем:

    = () , = ().

Когда рассчитываем векторы S на атоме 2 суммирование проводится по элементам h2, h3, h26, h27 

                                         Gr1 = r2 + ap.

Получаем

    = () , = ().

 Выбирая = y и = x для тех же самых и j , два набора линейно независимых базисных функций.

   Базисные функции

          k2(1)

           k2(2)

          k2(3)

          Старт

           = x

           = y

         = z

        Атомы

 1                    2

 1                     2  

 1                    2

         = 1

100                100         

010                0-10

001               00-1

         = 2

-i00               i00

0-i0                0-i0

00i                00i

PAGE  10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58823. Подвійні зорі. Фізичні змінні зорі 68.5 KB
  Мета уроку: дати загальні уявлення про подвійні та фізичні змінні зорі їхні фізичні характеристики та процеси що в них проходять; про метод цефеїд визначення відстаней до галактик; розвивати вміння робити висновки; виховувати в учнів інтерес до астрономії; формувати науковий світогляд.
58824. Іменники-синоніми, іменники-антоніми. Багатозначні іменники. Пряме і переносне значення іменників 55 KB
  Вміти влучно використовувати слова в прямому і переносному значенні застосовувати в мовленні багатозначні іменники. Хвилинка каліграфії зашифроване слова праця з творчим завданням. Підберіть будьласка спільнокореневі слова до слова праця таким чином щоб вони були різними частинами мови...
58825. Дієслова-синоніми, дієслова-антоніми. Розпізнавання дієслів у реченнях 42 KB
  Мета: Закріплювати вміння відрізняти дієслова від інших частин мови правильно вживати їх у мовленні. Чи потрібні дієслова у нашому мовленні Прочитаємо текст. Визначіть дієслова в тексті і спробуйте прочитати його без дієслів.
58826. Свято Миколая: виховний захід для учнів 1-5кл 70 KB
  Ведучий2: Сядьно тихо мій глядаче І прислухайся на мить: Правда ж чути десь неначе Дивна музика бринить Звідки звуки долинають Здогадався ти чи ні Так звичайно витинають Музиканти чарівні . звучить пісня бременських музик...
58827. Тушение пожаров 1.21 MB
  Тушение пожара это действия, направленные на спасение людей, имущества и ликвидацию пожара (ликвидация горения). Тушение пожаров является одной из основных функций системы обеспечения пожарной безопасности.
58828. Процесс сбора, расчета, хранения, обработки и предоставления информации об проведенных судьями дел, судьях, подсудимых и мониторингах 969.5 KB
  При разработке программного продукта важным моментом является осознание того, в какой информационной среде он будет использоваться, полноценное исследование данной области позволит достичь максимального эффекта при его использовании. Именно поэтому на стадии анализа необходимо уделить большое внимание описанию предметной области функционирования продукта.
58829. Разработка программного обеспечения контроля исполнения распорядительных документов 8.14 MB
  Данный дипломный проект посвящен разработке информационной системы контроля исполнения распорядительных документов предприятия. Разработаны алгоритмы ее функционирования и программная реализация. Проведены экспериментальные исследования работоспособности и эффективности системы, анализ предметной области и описание разработки функциональной и информационно-логической моделей
58830. Расчет и тестирование сложным модулированным сигналом базовой станции РЧУМ 4.2 MB
  С точки зрения оператора сети, требования касательно выхода по энергии вытекают не только из характеристик усилителей РЧ-мощности (РЧУМ) мобильных телефонов, но также из характеристик сети связи у базовой станции. В стремлении сделать базовую станцию РЧУМ более эффективной есть как коммерческие факторы, так и факторы, связанные с окружающей средой
58831. Проект телекомунікаційної мережі бібліотечно-інформаційного центру Дон НТУ. Розробка проекту сегменту бездротової мережі 2.44 MB
  Розроблена бездротова телекомунікаційна мережа, яка поєднує в собі передачу даних, Інтернет. Було розраховано трафік цієї мережі та вибране відповідне мережеве обладнання. Здійснено прогнозування покриття бездротової мережі у пакеті Wireless Control System 5.2. На основі цих даних було проведено моделювання мережі за допомогою пакету Packet Tracer 5.0.