73589

Симметрийный анализ магнитных стуктур

Лекция

Туризм и рекреация

Для описания и классификации магнитной структуры возможны два способа. Один из них – это путь магнитной симметрии, другой – применение теории представлений групп. Магнитная структура может быть описана псевдовекторной функцией

Русский

2014-12-18

303.5 KB

1 чел.

Лекция 6.

Симметрийный анализ магнитных стуктур

Способы классификации магнитных структур

Два подхода к описанию магнитной структуры

Для описания и классификации магнитной структуры возможны два способа. Один из них – это путь магнитной симметрии, другой – применение теории представлений групп. Магнитная структура может быть описана псевдовекторной функцией S(r),  определенной на дискретной системе точек (атомов). Если оператор g принадлежащий пространственной группе G действует на эту функцию, то возможны два результата.

Оператор g не изменяет S(r), т.е. S(r) – инвариантная функция относительно операции g, или g преобразует S(r) в другую функцию S’(r) определенную на этой же системе точек. Следовательно, можно описать функцию S(r) с помощью набора операторов, которые не изменяют функцию S(r). Тогда этот набор есть собственная группа симметрии функции S(r). Это путь магнитной симметрии или указание Шубниковских магнитных групп.

С другой стороны можно описать симметрию и тип функции S(r) в кристалле путем перечисления всех функций S’(r), которые возникают благодаря действию всех элементов кристаллографической пространственной группы S(r). Очевидно, что набор функций S’(r) зависит от вида S(r) и способа ее преобразования под действием элементов g  G, т.е. от того, к какому представлению группы G относится рассматриваемая функция S(r). Это путь представленческого анализа.  

Классификационный символ

Цель классификации магнитных структур – найти универсальный и определенный классификационный символ Km магнитной структуры, который удовлетворял бы двум требованиям. Во-первых, он должен однозначно и полно характеризовать магнитную структуру, его однозначность должна позволять возможность правильно нарисовать по Km  саму магнитную структуру. Полнота учета симметрии, имеющейся у магнитной структуры, должна выражаться в том, что число фигурирующих в Km базисных спинов должно быть минимальным. Во-вторых, все многообразие магнитных структур, имеющихся в природе должно получаться, если придавать отдельным конкретным символам, входящим в Km все допустимые значения в известном интервале.

Определение шубниковской группы данной магнитной группы.

Рассмотрим магнитную структуру ромбического кристалла CrCl2.

 

Пространственная группа кристалла CrCl2 есть Pnnm. Два магнитных атома Cr занимают позицию 2a с координатами 1(0,0,0) и 2(½, ½,½). Магнитные моменты атомов 1 и 2 антипараллельны. Периоды магнитной ячейки в направлении осей y и z удвоены по сравнению с кристаллографическими периодами, а ось антиферромагнетизма L ориентирована в некотором общем направлении. Магнитные моменты обозначим как 1(u,v,w) и 2(-u,-v,-w).

Когда кристалл претерпевает переход к дальнему магнитному порядку, трансляции вдоль b и c не являются более трансляциями и становятся антитрансляциями. Ось 2y есть винтовая ось группы Pnnm, поэтому она не может сохраниться в шубниковской группе Sh в чистой форме или в прим-форме. Это же справедливо для my и mz плоскостей. Следовательно, элементы 2y, my, mz не являются элементами группы Sh. Другие элементы 2x, 2z, -1, mx должны быть подтвергнуты провекре в чистом штрихованном виде на их сохраняемость в в магнитной фазе.

Итак, состав элементов симметрии группы Sh есть:

Sh = {1000}, {-1000}, {1100}, {-1100},  {1010} , {-1010} {1001} ,

{-1001},  {1011} ,  {-1010},.....

Можно видеть, что только идентичное преобразование сохраняется в магнитной группе, следовательно, это черно-белая группа Sh = Ps-1.  

В этом случае элементы, связывающие атом 1 с атомом 2 не принадлежат группе Sh. Следовательно, для определения этой магнитной структуры должны быть даны два базисных спина S1 и S2 к дополнению к магнитной группе. Суммируя получаем, что классификационный символ Km имеет следующую форму: 

         Km = {Pnnm, 2a, Ps-1},

         S1 = (u, v, w), S2 = (-u,-v,-w).                                                                    (8.1)

Недостаточность описания симметрии магнетиков с помощью Шубниковских групп.

 Как мы видели в предыдущем примере, элементы симметрии, устанавливающие соотношение между атомами 1 и 2 не возникают в шубниковской группе Ps-1 магнитного CrCl2.

Слабость шубниковского пути отчетливо проявляется в случае несоизмеримых магнитных структур. Очевидная и относительно простая закономерность в ориентации спинов в таких структурах не может быть отражена в какой-либо любой шубнковской группе потому, что они не включают повороты на некристаллографический угол. Особенно, это касается случая продольных и поперечных спиновых волн.

Идеи метода симметрийного анализа.

В основе метода лежит следующая концепция. Любая магнитная структура может рассматриваться как результат магнитного фазового перехода из некоторой исходной фазы, и она может быть выражена через базисные функции неприводимых представлений группы симметрии исходной фазы (обычно это парамагнитная фаза). Следовательно, проблема нахождения возможной магнитной структуры сводится к расчету базисных функций неприводимых представлений группы волнового вектора.

 В общем случае магнитная структура может характеризоваться более, чем одним волновым вектором, они характеризуют звезду волнового вектора {k}. Звездой называется набор всех неэквивалентных векторов, которые получаются из данного под действием всех элементов симметрии точечной группы кристалла. Два вектора называются эквивалентными если они различаются друг от друга на вектор обратной решетки. Волновые векторы, образующие звезду, называются лучами. Число лучей lk определяется локальной симметрией позиции волнового вектора в обратном пространстве. Если звезда многолучевая, то имеет место соотношение

        Sni = eikLtnSL0i ,                                                                                     (8.3)

                 L

Суммирование выполняется по всем лучам звезды. Если примитивная ячейка содержит магнитных атомов, то описание магнитной структуры достигается выбором звезды волнового вектора {k} и всеми lk  векторами SL0i, связанными с нулевой ячейкой.

Фундаментальное соотношение (8.3) – есть математический вид концепции о том, что магнитная структура описывается одной звездой волнового вектора. Магнитные структуры с двумя звездами очень редки.

Волновые векторы должны быть взяты из первой зоны Бриллюэна :

                          k =  1b1 + 2b2 +3b3 ,                                                       (8.4)

где b1, b2, и b3 – базисные векторы обратной решетки. Они выражаются с помощью кратчайших трансляций :

  b1 = (2/V)[t2  t3],  b2 = (2/V)[t3  t1], b3 = (2/V)[t1  t2],                 (8.5)

где, V – объем примитивной ячейки,

                                   bitk = 2 ik.                                                                                                   (8.6)

Чтобы определить волновой вектор, нужно из индексов Миллера первого магнитного рефлекса вычесть индексы соответствующего ядерного рефлекса :

             k = (h k l)mag – (h k l) nucl .                                                               (8.7)

Полученные таким образом индексы (hL kL lL) соответствуют рефлексу - родоночальнику. Установление системы рефлексов родоначальников позволяет однозначно определить волновые векторы магнитной структуры используя соотношение :

                         kL = hLb1 + kLb2 + lLb3,                                                            (8.9)

Следует отметить, что рефлекс – родоначальник может отсутствовать на нейтронограмме из-за случайного погасания, но все магнитные рефлексы не могут быть погашены. Одного из них достаточно для определения родоночальника. Полный перечень установленных рефлексов родоначальников определяет канал перехода.   

 Как вы знаете, имеется 14 решеток Браве и каждой из них соответствует собственная система звезд. Пример кубической структуры.                     

Соответсвие между векторами и точками :

Γ = 0,

M = ½b1 + ½b2,  

R = ½b1 + ½b2 + ½b3,

T = ½b1 + ½b2 + νb3,

Σ = νb1 + νb2,

Λ = νb1 + νb2 + νb3.

           Лифшицевские звезды это звезды, волновые векторы которых оканчиваются в симметричных точках зоны Бриллюэна, они играют специальную роль в теории магнитных и кристаллических структур (например, точки Γ, M, R). Магнитная структура, характеризуемая лившецевской звездой, имеет магнитную решетку, которая одна из 36 решеток Браве шубниковской (черно-белой) симметрии. Нелифшицевские звезды содержат текущие параметры в выражении их лучей через векторы обратной решетки (например, точки Σ и Λ).

8.4 Рабочие формулы для расчета базисных функций.

Итак, концепция фазовых переходов сводит проблему определения возможных магнитных структур в заданном кристалле к вычислению псевдовекторных базисных функций неприводимых представлений пространственной группы.

Состав магнитного представления для волнового вектора k дается соотношением:

= ,                                                                                       (8.10)

,                                                             (8.11)

,                                                      (8.12)

Где,    означает характер магнитного представления группы Gk.

Атомные компоненты базисных функций неприводимого представления dk группы Gk даются выражениями:

     ,                      (8.13)

       = exp[ ikLap(gL,i)]hL RhL.                                                (8.14)

Последнее соотношение определяет базисные функции луча kL через базисные функции исходного луча k = k1.    Мы получаем kL = hLk, где hL означает поворотную часть элемента представителя gL = {hLhL}.  

К этим формулам нужно добавить соотношение, позволяющее определять возвращающиеся трансляции ap :     

grj = hrj + h  ri + ap(g,j),                                                                  (8.15)

и соотношение, устанавливающее соответствие между номерами атомов i и i в формуле (8.14) :

        gLri = hLri + hL  ri + ap(gL,i).                                                               (8.16)

 Матрицы неприводимого представления входящего в вышенаписанные формулы берутся из таблиц, содержащихся, например, в книге Ковалева. Матрицы Rh  поворотных частей  элементов пространственных групп ыписаны в табл. 2. Вычисление базисных функций должно начинаться с составления таблицы переходов магнитных атомов примитивной ячейки  под действием элементов нулевого блока группы Gk и элементов представителей gL.  

8.5. Образец расчета базисных функций :

Рассчитаем базисные функции для кристалла CrCl2 crystal. Перейдем от международной системы координат к системе Ковалева : 1(0, 0, -1/4), 2(½, ½, ½).

Согласно нейтронографическим данным магнитная структура CrCl2 может быть описана звездой {k23} группы D2h12: k = ½(b2 + b3). Эта звезда имеет один лучь, Gk = G = D2h12.

Прежде всего, мы должны проверить как трансформируется номера атомов группы под действием элементов Gk = k.

{h2½ ½ 0}(0, 0, -1/4) = (0, 0, ¼) + (½ ½ 0) = (½ ½ ¼),

      {h2½ ½ 0}(½ ½ ¼)  = (1/2 -1/2 -1/4) + (1/2 ½ 0) = (0 0 -1/4) + (100).

Мы видим, что атом 1 переходит в атом 2, а атом 2 в атом 1, возвращающаяся трансляция ap естьis (100) для атома 2.   Окончательно получаем таблицу.

 

Атом

Элементы симметрии

h1

h2

h3

h4

h25

h26

h27

h28

1

1

2

2

1

1

2

2

1

ap

-

-

-

-

001

-

-

001

2

2

1

1

2

2

1

1

2

ap

-

100

010

-1-10

-1-10

011

101

-

             

Рассчитаем характеры магнитного представления

km({h40 0 0}) = -1{1 + exp[-i½ (b1 +b2)(-t1t2)]} = 0,

Так как                  

                            ap = (-1 -1 0) = -t1t2.

Тогда km({h10 0 0}) = 6 и km({h250 0 1/2}) = -6.

Характеры остальных элементов равны нулю.

Используя матрицы неприводимых представлений 1 и 2 группы Gk мы получаем

                                                 dmk = 32.

Так как 2 – двумерное представление, размерность dmk равна 6 как и можно ожидать в случае двух магнитных атомов в примитивной ячейке, 3m = 6.

Рассчитаем псевдовекторные базисные функции неприводимых представлений группы Gk, используем (8.13). Фиксируем , j, и : = 1, j = 1, и = z. Чтобы рассчитать векторы S на атоме1 (8.13), суммирование надо проводить по всем элементам, которые удовлетворяют условию

              gr1 = r1 + ap.

Как видно из табл., такие элементов : h1, h4, h25, h28. Получаем:

    = () , = ().

Когда рассчитываем векторы S на атоме 2 суммирование проводится по элементам h2, h3, h26, h27 

                                         Gr1 = r2 + ap.

Получаем

    = () , = ().

 Выбирая = y и = x для тех же самых и j , два набора линейно независимых базисных функций.

   Базисные функции

          k2(1)

           k2(2)

          k2(3)

          Старт

           = x

           = y

         = z

        Атомы

 1                    2

 1                     2  

 1                    2

         = 1

100                100         

010                0-10

001               00-1

         = 2

-i00               i00

0-i0                0-i0

00i                00i

PAGE  10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33238. Работа электрического тока 13.09 KB
  Мощность электрического тока показывает работу тока совершенную в единицу времени и равна отношению совершенной работы ко времени в течение которого эта работа была совершена.
33239. Второй закон Кирхгофа 13.06 KB
  В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках
33240. Магни́тное по́ле 13.55 KB
  Принцип работы асинхронного электродвигателя основан на взаимодействии вращающегося магнитного поля возникающего при прохождении трехфазного переменного тока по обмоткам обмоткам статора с током индуктированным полем статора в обмотках ротора в результате чего возникают механические усилия заставляющие ротор вращаться в сторону вращения магнитного поля при условии что частота вращения ротора n меньше частоты вращения поля n1 .
33241. Электромагнит 13.3 KB
  Обычно электромагнит состоит из обмотки и ферромагнитного сердечника который приобретает свойства магнита при прохождении по обмотке ток Регулирование скорости асинхронного двигателя Наиболее распространены следующие способы регулирования скорости асинхронного двигателя: изменение дополнительного сопротивления цепи ротора изменение напряжения подводимого к обмотке статора двигателя изменение частоты питающего напряжения а также переключение числа пар полюсов. Регулирование частоты вращения асинхронного двигателя путем введения...
33242. Закон полного тока 13.38 KB
  2Преимущества асинхронных электродвигателей с короткозамкнутым ротором следующие: приблизительно постоянная скорость при разных нагрузках; возможность кратковременных механических перегрузок; простота конструкции; простота пуска и легкость его автоматизации; более высокие соs j и к. чем у двигателей с фазным ротором. Практически асинхронные электродвигатели с короткозамкнутым ротором применяются в тех случаях когда не требуется регулирования скорости вращения двигателя. Преимущества асинхронных электродвигателей с фазным ротором: большой...
33243. Закон ома для магнитной цепи 12.92 KB
  Когда по катушке состоящей из до витков проходит ток I то он возбуждает магнитный поток Ф величина которого будет тем больше чем больше будет число ампервитков Iw. Произведение тока I на число витков w намагничивающая сила измеряется в амперах.
33244. Ферромагнитные материалы 13.25 KB
  Вращаясь вместе с ротором относительно статора поток в соответствии с законом электромагнитной индукции ЭМИ индуцирует в каждой фазе обмотки статора ЭДС . При замкнутой внешней цепи по обмоткам статора протекает ток нагрузки I который в свою очередь образует МДС статора . МДС создает магнитный поток реакции якоря и поток рассеяния аналогичный асинхронному двигателю который замыкается поперёк пазов статора и вокруг лобовых частей обмотки статора. Потоки и наводят в обмотке статора соответственно ЭДС и .
33245. Гистерезис 13.81 KB
  Электрические потери Рэл возникают в обмотках трансформатора и обусловлены их нагреванием при протекании по ним электрического тока. КПД трансформатора определяется как отношение активной мощности на выходе трансформатора к активной мощности на выходе первичной обмотки. КПД трансформатора зависит: 1 от конструкции трансформатора; 2 от степени загрузки трансформатора рис 4.9 Максимальный КПД будет у трансформатора с коэффициентом загрузки β = 045.
33246. Потенциал электростатического поля 13.32 KB
  Потенциал электростатического поля скалярная величина равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность. Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля.