73697

Генерирование колебаний в электрических цепях

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В цепях, содержащих обратные связи, могут возникнуть изменяющиеся во времени электрические токи без воздействия на эти цепи внешних управляющих сигналов. Такие цепи называют автоколебательными системами, а колебания - автоколебаниями.

Русский

2014-12-19

668.5 KB

4 чел.

Л. 19-21

  1.  Генерирование колебаний  в электрических цепях

  1.  Автоколебательная система - устройство с ОС.

В цепях, содержащих обратные связи, могут возникнуть изменяющиеся во времени электрические токи без воздействия на эти цепи внешних управляющих сигналов. Такие цепи называют автоколебательными системами, а колебания - автоколебаниями.

Типичная структура автоколебательной системы - это структура с обратной связью, в которой часть выходного сигнала возвращается на вход через цепь обратной связи (см. рис.).

В наиболее общем случае колебательная система включает источник питания, энергия которого, в конечном случае, и преобразуется в энергию колебаний, цепь управления этим преобразованием, избирательную цепь, служащую для отфильтровывания нужных колебаний, и цепь обратной связи. При анализе таких систем, как правило, источник питания рассматривают как составную часть управляющей цепи (активный управляющий элемент, например, усилитель), а избирательную цепь как составную часть либо активного элемента (колебательный контур в составе резонансного усилителя), либо цепи обратной связи (RC - автогенератором гармонических колебаний, мультивибратора и т.д.). Таким образом анализ колебательной системы сводится к анализу активной цепи с обратной связью (см. рис.).

С электротехнической точки зрения активный элемент колебательной системы является нелинейным четырехполюсником, коэффициент передачи которого зависит от действующих в его цепях токов и напряжений, а цепь обратной связи - линейным четырехполюсником. Эти свойства элементов системы определяют ее принцип действия.

Действительно, при соответствующем выборе параметров система с обратной связью становится неустойчивой. При этом малые амплитуды любых колебаний, существующих в системе, например, тепловых или коммутационных колебаний, начинают возрастать. С ростом амплитуды коэффициент передачи активного элемента, как правило, уменьшается, и при некотором его значении нарастание амплитуды колебаний прекращается. Установившиеся значение называется стационарным.

При анализе и расчете автоколебательных систем - автогенераторов решают две основные задачи:

  1.  определение условий при которых, устройство с обратной связью становится неустойчивым, т.е. самовозбуждаются;
  2.  определение амплитуды и частоты автоколебаний в стационарном режиме.

Наиболее сложной является вторая задача, в которой исследуется нелинейная система с обратной связью в режиме больших амплитуд, когда нелинейностью пренебречь нельзя. Первую же задачу решить относительно несложно, поскольку при малых амплитудах автоколебания на начальном этапе процесса нелинейный активный элемент может быть эквивалентно заменен линейной схемой замещения, такой как, например,  у обычного линейного усилителя с ОС. Некоторые сведения об условиях самовозбуждения можно получить даже в общем случае, не рассматривая конкретной схемы автогенератора.

Действительно, коэффициент передачи по напряжению линейного четырехполюсника, охваченного обратной связью, определяется формулой:

где - коэффициент передачи активного элемента автогенератора, а  - коэффициент передачи по цепи обратной связи.

В соответствии с алгебраическим критерием устойчивости система становится неустойчивой когда петлевой коэффициент передачи:

 (1)

В силу комплексности величины, входящих в (1), это соотношение разлагается на два условия:

- условие баланса амплитуд

 (2)

- и условие баланса фаз

(3).

Первое из них свидетельствует о том, что автоколебания в системе возможны, если активный элемент компенсирует все потери энергии в системе, включая нагрузку; второе условие требует, чтобы при этом колебания на входе и выходе петли обратной связи были синфазными.

В общем случае параметры  зависят от частоты. Поэтому условия (2) и (3) обычно выполняются ил только для одной частоты или в достаточно узком диапазоне частот. Чтобы ответить на вопрос “на какой частоте возможны колебания?”, необходимо анализировать конкретную схему.

  1.  Самовозбуждение LC - автогенератора гармонических колебаний.

Рассмотрим схему, в которой при определенных условиях могут возникать и существовать автоколебания. Схема содержащая полевой транзистор, колебательный контур и индуктивную цепь обратной связи. Будем считать, что ток стока транзистора связан с напряжением затвор-исток нелинейной зависимостью i0=I(UЗИ).

В колебательном контуре уравнения, связывающие ток в емкости iС c током iL записывается в виде системы:

или как одно уравнение

Для цепи обратной связи имеем

Следовательно, полную систему уравнений цепи можно записать таким образом:

 (4)

или в развернутом виде:

 (3)

После включения источников постоянного напряжения в цепи начинается заряд емкости и протекания тока в индуктивности, причем начальные значения iL(t) и UC(t) весьма малы. Напряжение U(t) при этом также будет незначительно отличаться от ЕСМ и зависимость I(U)  может быть существенно упрощена.

Пусть I(U)=a0+a1U+a2U2+... (см. рис.). Так как

то

Если принять, что

 

то можно линеаризовать зависимость iC(t)-I(ECM)=a1DU=S0DU, где S0 - начальная крутизна, равная тангенсу угла наклона касательной к графику I(U) в точке U=EСМ.

Дифференциальное уравнение для тока  будет таким:

или

 (6).

Обозначим  Тогда уравнение (6) можно записать в виде:

Это линеаризованное уравнение колебательного процесса в автогенераторе на стадии возникновения и нарастания колебаний. Его решения определяет закон суммирования амплитуды колебаний:

и их частоту

Начальные значения амплитуды и фазы колебаний можно найти из начальных условий. Но в рассматриваемом случае исходными следует считать случайными флуктуациями токов и напряжений, поэтому особого значения определения их величины не имеет.

Более важным является другое. Если aЭ>0, то какой бы ни была начальная флуктуация тока, процесс в цепи будет затухать. Если же aЭ<0, то сколь угодно малая начальная флуктуация тока будет нарастать с течением времени.

В первом случае цепь является устойчивой. Корни характеристического уравнения

имеют отрицательную действительную часть.

Во втором случае цепь неустойчива. Неустойчивость может привести к автоколебаниям в цепи. Условием возникновения автоколебаний является положительность действительной части корней характеристического уравнения цепи. Рассмотрим физический смысл условия неустойчивости. Согласно уравнения (6), для возникновения автоколебаний необходимо иметь aЭ<0, т.е.

Сопротивление потерь в цепи, т.е. превращение энергии колебаний в теплоту, должно быть меньше некоторого значения, обусловленного крутизной характеристики активного элемента и коэффициентом обратной связи. Очевидно, что это условие эквивалентно условию баланса амплитуд вида (2). Фазовое условие существования автоколебаний вида (3) в данном анализе трансформировалось в выражение для частоты колебаний.

Полученное уравнение (6) справедливо только для малых приращений iL(t). Поэтому решение в виде растущей экспоненты справедливо для цепи только на начальном этапе развития процесса автоколебаний. Амплитуда этих колебаний будет возрастать не бесконечно, а достигнет некоторого стационарного значения. Для расчета стационарной амплитуды и частоты колебаний в установившемся режиме используют другой метод, называемый гармонической линеаризацией.

  1.  Анализ стационарного режима автогенератора методом гармонической линеаризации

В методе гармонической линеаризации нелинейный резистивный четырехполюсник, включая и избирательный фильтр, заменяется некоторым эквивалентным линейным четырехполюсником с комплексной частотной характеристикой, зависящей от амплитуды входного сигнала. Рассмотрим, как осуществляется такая замена.

Пусть имеется цепь, состоящая из полевого транзистора с колебательным контуром, включенным в цепь стока (см. рис.). Как и прежде нелинейная зависимость тока стока от напряжения затвор-исток задается многочленом i0=I(U)= =a0+a1U+a2U2+... .

Можно показать (см. след. Раздел), что если напряжение затвор-исток гармоническое - UЗИ=U0cos(w0t+j0), то ток истока будет определять гармоники с частотами wi=iw0:

Если колебательный контур настроен на частоту первой гармоники , то на частоте w0 сопротивление контура . На частотах [(0, 2, 3 ... n) w0], сопротивление контура будет близко нулю. При этом ток в индуктивности  где I1 - амплитуда первой гармоники тока  в нелинейном элементе. В свою очередь, амплитуда тока первой гармоники в нелинейном элементе зависит от вида характеристики этого элемента I(U), т.е. от коэффициентов а1, а3, а5... и т.д., и от амплитуды входного сигнала U. Поэтому

I1=I11, а3, а5..., U).

Эта зависимость для заданного нелинейного элемента называется колебательной характеристикой. Для нелинейного четырехполюсника описываемого многочленом третьей степени, колебательная характеристика имеет следующий вид: (см. рис.).

Учитывая сказанное и принимая в качестве входного сигнала гармоническое колебание для тока стока бедам иметь:

Относительно первой гармоники получаем

где  - коэффициент передачи (крутизна ВАХ) нелинейного безынерционного элемента на первой гармонике (проводимость).

Таким образом, для каждой конкретной точки U*=const колебательной характеристики (для которой К(U*)=const), зависимость тока первой гармоники от входного напряжения имеет линейный характер I1*=K*U*.

Вернемся к схеме рассматриваемого автогенератора гармонических колебаний. Разомкнем цепь обратной связи и подключим по входу транзистора независимый источник гармонического напряжения e(t) (см. рис.).

Пусть e(t)=Ucosw0t, . Тогда, согласно методу гармонической линеаризации ток в индуктивности  где j1 - сдвиг фазы между напряжением U1 и током iL. Напряжение   Предположим, что амплитуда этого напряжения равна амплитуде входного напряжения, т.е. , а . Тогда, если мгновенно отключить внешний источник e(t) и замкнуть обратной связи, то колебания в цепи будут продолжаться, как будто бы ничего не изменилось. Это условие стационарного режима: при обходе по петле обратной связи амплитуда остается неизменной, а сдвиг фаз кратен 2p.

Первое условие, как и ранее, является условием баланса амплитуд, второе - условием баланса фаз:

(7)

(8)

Здесь K(U) - коэффициент передачи (крутизна ВАХ) безынерционного нелинейного элемента по первой гармонике; KOC(w0) - коэффициент передачи цепи обратной связи; jк - фазовый сдвиг нелинейного элемента, а jОС(w0) - фазовый сдвиг в цепи обратной связи.

Из уравнений (7) и (8) определяется стационарная амплитуда U и стационарная частота w0 колебаний. Для рассматриваемой цепи имеем:

4.4 Графический метод анализа стационарного режима.

Понятие колебательной характеристики линейной цепи позволяет определить стационарную амплитуду в цепи с обратной связью графическим методом.

По определению, колебательная характеристика есть зависимость амплитуды первой гармоники выходного тока I1 нелинейного элемента от амплитуды U входного гармонического напряжения. Поэтому для графического решения уравнения баланса амплитуд необходима характеристика обратной связи, представляющая собой зависимость амплитуды напряжения обратной связи U от амплитуды тока I1. Поскольку цепь обратной связи линейная, искомая зависимость  представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Угол наклона ее зависит от способа реализации обратной связи. В нашем случае  и  и прямой обратной связи (см. рис.). Графики будут иметь две точки пересечения: начало координат и некоторую точку UCT, ICT. Эти точки соответствуют двум возможным стационарном состояниям цепи: первая - отсутствию колебаний, вторая - стационарным автоколебаниям с амплитудой UCT. Покажем, что первая точка является неустойчивой. Пусть имеется небольшая начальная флуктуация DU. Ей будет соответствовать появление тока с амплитудой первой гармоники DI1. Этот ток создает в цепи обратной связи напряжение U*, которое приведет к появлению тока I* и т.д. Таким образом, малая начальная флуктуация DU приведет к установлению стационарной ненулевой амплитуды колебаний.

Для того, чтобы нулевая точка была неустойчивой, прямая обратной связи должна проходить в начале координат ниже графика колебательной характеристики:

Это условие самовозбуждения было уже получено из анализа корней характеристического многочлена дифференциального уравнения цепи.

Рассмотренная цепь считается находящейся в мягком режиме самовозбуждения, когда колебания возникает при . Очевидно (из построений), что точка UСТ, IСТ является устойчивой, поскольку любые DU приводят к ее возврату в прежнее положение.

Расположение линии обратной связи по отношении к колебательной характеристике может быть и иным (см. рис.). В этом случае стационарный режим будет при нулевой амплитуде. В цепи, не возникает автоколебаний при любых отклонениях DU.

Если график колебательной характеристики I1(U) имеет S - образную форму (см. след. Рис.), но начальная точка будет устойчивой, однако цепь может самовозбудиться, если в ней возникнет начальная флуктуация DU>Uпар. Режим, когда начальная точка является устойчивой, но существует пороговое значение флуктуаций, превышение которого приводит к самовозбуждению, называется жестким режимом возбуждения генератора.

Таким образом, нелинейная цепь может вести себя по разному при малых и сильных внешних воздействий. Если по линеаризованному дифференциальному уравнению можно установить устойчивость или неустойчивость цепи “в малом”, то анализ колебательной характеристики совместно с прямой обратной связи позволяет провести анализ устойчивости “ в большом” и определить возможность существования жесткого режима возбуждения.

Метод гармонической линеаризации пригоден для анализа цепей с узкополосными фильтрами - колебательными контурами с высокой добротностью. Если же фильтр не является таким контуром, то автоколебания будут возникать не только на первой гармонике, но и на других (w=nw0). При этом ....... колебаний будет негармонической. Для анализа процессов в таких цепях используют метод уравнений состояния и их численное интегрирование.

  1.  Анализ автоколебаний методом уравнений состояния

Уравнение (4), получение для автоколебательной цепи, эквивалентно системе уравнений первого порядка:

(9)

Такое представление уравнений цепи соответствует уравнениям состояния.

В силу нелинейного характера функции I(U) найти решение (9) аналитически нельзя. Для анализа процессов применяют численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений - численное моделирование.

Простейший подход состоит в приближенной замене производной от функции f(t):

Обозначим  получим

(10)

Предположим, что известна начальная флуктуация iL(0)=i0; V(0)=0. Поскольку функция I(U) может быть вычислена для любых значений аргумента, подставляя в (10), получаем:

Теперь, подставив полученные значения снова в (10), найдем iL2, V2 и т.д. Этот метод приближенного решения носит название метода Эйлера.

Решение системы уравнений вида (10) может быть представлено графически на плоскости состояния (см. рис.).

Рассмотрение процессов в автоколебательных цепях на плоскости состояния часто оказывается более наглядным, чем в другой форме.

Рассмотрим примеры, показывающие взаимосвязь характеристики и линии ОС с траекторией на плоскости состояния и осциллограммы процессов, полученных численным решением уравнений состояния.

1. Автоколебательная цепь в мягком режиме самовозбуждения с монотонным установлением амплитуды.

2. Мягкий режим самовозбуждения с немонотонным установлением амплитуды

3. Жесткий режим с монотонным установлением колебаний

4.6. RC - автогенераторы гармонических колебаний

Гармонические колебания можно получить в системах, не содержащих колебательного контура. Выделение колебания нужной частоты здесь основано на том, что условия самовозбуждения (2) и (3) в ряде случаев могут выполнять только на одной частоте.

Рассмотрим вариант такой системы (см. рис.) состоящий из усилителя с коэффициентом передачи  и цепи обратной связи с коэффициентом передачи . Чтобы воспользоваться формами (2) и (3) примем, что  и определим . Для этого воспользуемся методом контурных токов, в соответствии с которым составим систему уравнений, связывающих 

решая эту систему относительно , находим

Так как  то

 (11)

Так как фазовый сдвиг, вносимый усилителем, составляет p рад, то условие самовозбуждения (3) будет выполнено, если jOC(w)= =arctg(Im/Re)=p.

Как следует из (11) последнее выполняется при условии

Откуда для частоты генерации находим:

(12)

Подставляя (12) в (11) находим значения модуля передаточной функции:

(13)

Используя (13) в (2) находим коэффициент усиления усилителя, при котором возможна генерация:

Аналогичным образом анализируется и другие схемы RC - автогенераторов.

PAGE  3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53408. Компьютерная среда и алгоритмы 47 KB
  Тема: Компьютерная среда и алгоритмы. Цель: закрепление и проверка знаний учащихся по теме Алгоритмы и изучение нового материала по теме Компьютерная среда Логомиры Задачи: Обучающая: усвоить понятие алгоритма компьютерная среда логомиры. Она называется Компьютерная среда и алгоритмы Напомните мне что такое алгоритм Правильно. Среда каждой программы имеет свои инструменты и допускает определённый набор действий которые можно выполнить.
53409. Настроювання параметрів сторінок. Створення колонтитулів. Робота з редактором формул 651.5 KB
  Тому важливо оформити документ так щоб він гарно виглядав не тільки на екрані але й на аркуші паперу вміти правильно задати параметри сторінки. План Розмір сторінки поля. Орієнтація сторінки. Встановлення параметрів сторінки.
53410. Алгоритми та їх властивості 55 KB
  Алгоритми та їх властивості Епіграф до уроку: Коль кругом все будет мирно Так сидеть он будет смирно; Но лишь чуть со стороны Ожидать тебе войны Иль набега силы бранной Иль другой беды незваной Вмиг тогда мой петушок Приподымет гребешок Закричит и встрепенется И в то место обернется. Навчальна: дати поняття про алгоритм його властивості; навчити розпізнавати алгоритми навколо себе; вміти розрізняти правильно та неправильно сформульовані алгоритми; формувати цілісну уяву про картину всесвіту; формувати науковий світогляд;...
53411. оздание документов в текстовом процессоре 45 KB
  Задачи: помочь учащимся получить представление об офисном пакете OpenOffice познакомиться с возможностями программы Word научить основным операциям редактирования и форматирования текста в Word. Вопрос: Назовите этапы подготовки текстовых документов. Вопрос: Какие операции входят в процесс редактирования текстового документа Ответ: – Исправление ошибок правописание удаление и добавление фрагментов.
53412. Кодирование 71 KB
  Прогнозируемые результаты: Дети познакомятся с новыми понятиям кодирование и декодирование. Дети научатся решать задачи при помощи кодирования и декодирования. № Этапы Деятельность учителя Деятельность учащихся Примечания 1 Организационный момент Здравствуйте дети Меня зовут Алиса Андреевна.Что такое графыКак обозначаются графы Что такое круг Что такое точкаЧто такое стрелочки Дети называют тему.
53413. Сатирическая журналистика второй половины XVIII века. Полемика в изданиях «Трутень» и «Всякая всячина» в аспекте образования и просвещения 122.5 KB
  Целью данной курсовой работы будет являться выявление самых главных вопросов об образовании и просвещении, которые ставили Екатерина II и Новиков, полемизируя на страницах «Всякой всячины» и «Трутня».
53414. Славянские Боги и Богини 111 KB
  Тема: Славѧнские Боги и Богини. Богиня Доля или как ее в древние времена называли Богиня Среча – Небесная Богиня счастливой судьбы счастья и удачи в жизни и в созидательных деяниях. Богиня Доля весьма искусная мастерица и рукодельница. Богиня Доля самая младшая дочь Небесной Богородицы Макоши и она же является младшей сестрой Богини Недоли или как ее называли Нестреча.
53415. Проектирование ПС напряжением 35/10 кВ и электрической сети 10 кВ 8.14 MB
  Электрические нагрузки подстанции определяют для выбора силовых трансформаторов, электрических аппаратов и токоведущих частей, релейной защиты и компенсирующих устройств, а также для расчета потерь электроэнергии в трансформаторах.
53416. Інклюзивне навчання: рівні можливості для кожного 50 KB
  Тренінг для педагогічних працівників Мета: познайомити вчителів з особливостями інклюзивного навчання в сиситемі освіти; сформувати толерантне ставлення до впровадження інклюзивного навчання у закладах освіти. Чи знаєте ви що таке інклюзивне навчанняа так; б ні. Як ви вважаєте чи готова школа створити умови для впровадження інклюзивного навчання а так; б ні; в частково.