73701

Работа сил электростатического поля

Лекция

Физика

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. Эта формула справедлива не только для поля точечного заряда но и для электростатического поля вообще. Работа сил электростатического поля по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Стокса циркуляция вектора напряженности электростатического поля по контуру L равна потоку ротора поля через поверхность.

Русский

2014-12-19

223.5 KB

5 чел.

Лекция №3.

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. Эта формула справедлива не только для поля точечного заряда, но и для электростатического поля вообще.

Работа сил электростатического поля по замкнутому контуру  называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Равенствоназывается теоремой о циркуляции в интегральной форме.

Если имеется произвольный замкнутый контур L, и на него натянута произвольная замкнутая поверхность S, наложено электростатическое поле , то согласно т. Стокса, циркуляция вектора напряженности электростатического поля по контуру L равна потоку ротора поля  через поверхность S.  

Поскольку , то и при любой форме поверхности S. Теперь легко записать теорему о циркуляции в дифференциальной форме , она справедлива в каждой точке пространства.

Дифференциальный оператор набла - это вектор, компоненты которого – частные производные по координатам .

Rot – векторное произведение оператора набла  на вектор поля, ротор которого мы берем. Записав  в виде символического определителя, теорему о циркуляции вектора  можно представить следующим образом .

Заметим, что эта формула верна не только для электростатического поля, н.р. гравитационное поле тоже потенциально, работа гравитационного поля по замкнутому контуру равна нулю , а это означает, что и .

Так же следует отметить, что в отличие от т. Гаусса, т. о циркуляции в таком виде справедлива только в электростатическом поле, т.е. когда заряды неподвижны, или движутся равномерно. Если поля переменные т. о циркуляции не выполняется.

Электростатическое поле вблизи заряженных поверхностей

(граничные условия).

Рассмотрим тонкую поверхность, т.е. при любом выборе пощади площади S толщина поверхности h много меньше чем . Пусть - поверхностная плотность заряда.

Исследуем особенности электростатического поля сверху и снизу от поверхности. В общем случае функция поля  может быть любой, даже разрывной.

Выберем на поверхности площадку, на столько малую, что её можно считать частью плоскости, а электрическое поле сверху и снизу от неё не изменяются (сверху и снизу поля разные, но постоянные).

Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра так, чтобы его основания были параллельны площадке. Поскольку цилиндрик на столько мал, что вектора и на его поверхности постоянны, то поток электростатического поля  через него можно записать следующим образом , где  и  проекции векторов и  на перпендикуляр к площадке, - поток через боковую поверхность цилиндра. Теперь будем уменьшать высоту  цилиндра  , т.к. .

По теореме Гаусса , где  - заряд на площадке, откуда . Итак, при переходе через поверхность нормальная компонента вектора  испытывает скачок, равный  с точностью до константы .

Найдем соотношение для тангенциальной компоненты вектора  при переходе через поверхность. Опять же выберем на поверхности площадку, на столько малую, что её можно считать частью плоскости, а электрическое поле сверху и снизу от неё не изменяются (сверху и снизу поля разные, но постоянные). Теперь выберем замкнутый контур виде прямоугольника т.о., чтобы площадка  его пересекала под прямым углом. Длины сторон прямоугольника, параллельных площадке равны , а боковые. Запишем циркуляцию вектора  по замкнутому контуру , где  и  - тангенциальные составляющие вектора  к площадке.  тангенциальная составляющая вектора  всегда непрерывна.

Соотношения  и  называются граничными условиями.

Пример1.

Проверим, выполняются ли граничные условия для равномерно заряженной сферы. Знаем, что поле сферы равно .

Поле на сфере всегда направленно по нормали к поверхности, поэтому все тангенциальные компоненты вектора  равны нулю.

Поле внутри сферы равно нулю, поэтому . А вне сферы . Граничные условия выполняются.

Пример2. Бесконечная заряженная плоскость.

Обе тангенциальные компоненты вектора  равны нулю, они непрерывны. Разность нормальных компонент вектора равна .

Граничные условия помогают решать некоторые задачи.


Разность потенциалов. Потенциал.

Рассмотрим произвольное электростатическое поле а пространстве. В это поле поместим единичный положительный заряд.

Выберем в пространстве две точки 1 и 2. Найдем работу сил поля по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Эту работу будем обозначать следующим образом . А по определению, это интеграл по некоторой траектории . Эта работа не зависит от пути, поэтому такую работу можно назвать характеристикой этих двух точек данного поля. Данная работа называется разностью потенциалов между точками 1 и 2.

Если рассматриваемое нами поле постоянно, то можно зафиксировать одну любую точку и объявить, что потенциал этой точки равен нулю . Работа по перемещению заряда из любой точки 1 в фиксированную точку, у которой потенциал считается равным нулю, характеризует не пару точек, а одну, из которой движется заряд. Работу по перемещению из любой точки пространства в некоторую фиксированную, будем называть потенциалом, причем потенциал этой фиксированной точки не обязательно равен нулю. Таким образом каждую точку пространства можно охарактеризовать потенциалом, тем самым мы получим скалярное поле.

Пример1.  Рассмотрим точечный заряд величины .

Разность потенциалов поля, создаваемого точечным зарядом равна . Разность потенциалов  больше нуля , если  и . Чем ближе к заряду, тем потенциал больше. Чтобы считать , точку 2 надо взять в бесконечности . В данном случае потенциал произвольной точки 1 определяется как  - работа сил поля точечного заряда по перемещению единичного положительного точечного заряда из точки 1 в бесконечность.

Пример1.  рассмотрим бесконечную заряженную плоскость.

Разность потенциалов поля, создаваемого бесконечной заряженной плоскостью  Предположим, что потенциал – работа по перемещению положительного единичного заряда из точки 1 в бесконечность, тогда . Это означает, что ноль мы должны задать в любой конкретной точке, но не бесконечности.

Если к числам  и  добавить любое число, то  не изменится. В этом смысле потенциал – величина относительная. Для нас представляет интерес только разность потенциалов, а не сам потенциал.

Уравнение Пуассона.

Рассмотрим в пространстве произвольное электростатическое поле. Введем декартовую систему координат. Зафиксируем некоторую точку А и построим вокруг неё меленький кубик, на столько маленький, что внутри него не меняется поле и объёмная плотность заряда. Его ребра параллельны осям координат и называются ,  и .

Поместим туда единичный положительный заряд с посчитаем работу по его перемещению вдоль оси  на . Эта работа равна , где -орт. Из этого равенства получим следующее соотношение . Проделав ту же операцию по другим координатам получим: , . Теперь сконструируем вектор

Теперь вспомним т. Гаусса в дифференциальной форме:

Дивергенция вектора выражается следующим образом: , а дивергенция от градиента потенциала:

, где

-- оператор Лапласа (лапласиан) обозначается символами , или . Итак, получается, что в электростатике справедлива следующая формула:  видим, что потенциал определяется через объёмную плотность заряда в точке. Это уравнение можно решить в очень ограниченном числе случаев.

Следует заметить частный случай, когда мы рассматриваем точку, в которой нет зарядов, но рядом может находиться заряженное тело, тогда в этой точке .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54386. Основные тенденции развития мировой культуры на рубеже XX - XXI веков 17.12 KB
  Анализируя произошедшие исторические события, развитие научно-технического прогресса, панораму художественной культуры, следует выделить основные тенденции и проблемы развития мировой культуры ХХ-XXI вв.
54387. Європейське середньовічне місто 276.5 KB
  Європейське середньовічне місто. Пояснити причини появи середньовічних міст; охарактеризувати цехове ремесло побут житло і заняття городян показати середньовічне місто як центр ремесла і торгівлі; розвивати навички роботи а групах аналізу документів вміння розвязувати історичні задачі й проблемні завдання; виховувати інтерес до середньовічної історії. На кінець уроку ми зможемо:...
54388. Раціональні числа. Додавання і віднімання раціональних чисел. Система координат 46.5 KB
  Розмістити числа в порядку зростання. Але ці числа не прості кожному з них відповідає літера. Чому числа бувають додатні і відємні Числа люди Країна Модульна Вірш про додатні і відємні числа Казка про числа Предмет математика наскільки серйозний що корисно використовувати будьяку нагоду зробити його цікавим.
54389. Значение культурологии в профессиональной деятельности современного специалиста в сфере национальной экономики и управления 14.73 KB
  Культурология - новая дисциплина с пока неустоявшейся предметной областью и огромным познавательным потенциалом — занимает особое место среди гуманитарных дисциплин.
54390. Значение культурологии в разрешении глобальных проблем современности 15.16 KB
  В последнее время остро чувствуется тревога за экологические катастрофы, распространения экстремизма и терроризма, мирового финансового кризиса, дисбаланса базовых ценностей культуры, стихийного развития цивилизаций
54392. Міжнародний географічний поділ праці. Міжнародна економічна інтеграція 95.5 KB
  Країни як люди. Бо від правильності вибору професії від того наскільки він раціональний залежить добробут народу тієї чи іншої країни в тому числі і нашої. Як природні умови і забезпеченість країни природними ресурсами впливають на її спеціалізацію Наведіть дватри приклади. Фактори формування міжнародної спеціалізації а Географічне положення приморські країни як правило мають флот ловлять рибу континентальні ні.
54393. Многогранники. Тіла обертання 813.5 KB
  Триєдина мета: ввести поняття призми піраміди циліндра конуса кулі елементів цих фігур; формули для обчислення бічної повної поверхонь обєму; розвивати просторову уяву логічне мислення математичне мовлення; уміння працювати з додатковою літературою довідковим матеріалом компютером. Розвязання. Розвязання. Розвязання.
54394. Правильні многогранники урок 51.5 KB
  Мета проекту: сформувати в учнів поняття про елемент правильних многогранників; виробляти вміння знаходити математичні закономірності в навколишньому світі; розвивати компетентності саморозвитку і самоосвіти інформаційні та комунікативні компетентності продуктивної творчої діяльності. Домогтися засвоєння учнями означення правильного многогранника та пяти видів правильних многогранників; сформувати в учнів поняття про елементи правильних многогранників; вдосконалювати навички розвязування задач про правильні многогранники на основі...