73701

Работа сил электростатического поля

Лекция

Физика

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. Эта формула справедлива не только для поля точечного заряда но и для электростатического поля вообще. Работа сил электростатического поля по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Стокса циркуляция вектора напряженности электростатического поля по контуру L равна потоку ротора поля через поверхность.

Русский

2014-12-19

223.5 KB

5 чел.

Лекция №3.

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. Эта формула справедлива не только для поля точечного заряда, но и для электростатического поля вообще.

Работа сил электростатического поля по замкнутому контуру  называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Равенствоназывается теоремой о циркуляции в интегральной форме.

Если имеется произвольный замкнутый контур L, и на него натянута произвольная замкнутая поверхность S, наложено электростатическое поле , то согласно т. Стокса, циркуляция вектора напряженности электростатического поля по контуру L равна потоку ротора поля  через поверхность S.  

Поскольку , то и при любой форме поверхности S. Теперь легко записать теорему о циркуляции в дифференциальной форме , она справедлива в каждой точке пространства.

Дифференциальный оператор набла - это вектор, компоненты которого – частные производные по координатам .

Rot – векторное произведение оператора набла  на вектор поля, ротор которого мы берем. Записав  в виде символического определителя, теорему о циркуляции вектора  можно представить следующим образом .

Заметим, что эта формула верна не только для электростатического поля, н.р. гравитационное поле тоже потенциально, работа гравитационного поля по замкнутому контуру равна нулю , а это означает, что и .

Так же следует отметить, что в отличие от т. Гаусса, т. о циркуляции в таком виде справедлива только в электростатическом поле, т.е. когда заряды неподвижны, или движутся равномерно. Если поля переменные т. о циркуляции не выполняется.

Электростатическое поле вблизи заряженных поверхностей

(граничные условия).

Рассмотрим тонкую поверхность, т.е. при любом выборе пощади площади S толщина поверхности h много меньше чем . Пусть - поверхностная плотность заряда.

Исследуем особенности электростатического поля сверху и снизу от поверхности. В общем случае функция поля  может быть любой, даже разрывной.

Выберем на поверхности площадку, на столько малую, что её можно считать частью плоскости, а электрическое поле сверху и снизу от неё не изменяются (сверху и снизу поля разные, но постоянные).

Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра так, чтобы его основания были параллельны площадке. Поскольку цилиндрик на столько мал, что вектора и на его поверхности постоянны, то поток электростатического поля  через него можно записать следующим образом , где  и  проекции векторов и  на перпендикуляр к площадке, - поток через боковую поверхность цилиндра. Теперь будем уменьшать высоту  цилиндра  , т.к. .

По теореме Гаусса , где  - заряд на площадке, откуда . Итак, при переходе через поверхность нормальная компонента вектора  испытывает скачок, равный  с точностью до константы .

Найдем соотношение для тангенциальной компоненты вектора  при переходе через поверхность. Опять же выберем на поверхности площадку, на столько малую, что её можно считать частью плоскости, а электрическое поле сверху и снизу от неё не изменяются (сверху и снизу поля разные, но постоянные). Теперь выберем замкнутый контур виде прямоугольника т.о., чтобы площадка  его пересекала под прямым углом. Длины сторон прямоугольника, параллельных площадке равны , а боковые. Запишем циркуляцию вектора  по замкнутому контуру , где  и  - тангенциальные составляющие вектора  к площадке.  тангенциальная составляющая вектора  всегда непрерывна.

Соотношения  и  называются граничными условиями.

Пример1.

Проверим, выполняются ли граничные условия для равномерно заряженной сферы. Знаем, что поле сферы равно .

Поле на сфере всегда направленно по нормали к поверхности, поэтому все тангенциальные компоненты вектора  равны нулю.

Поле внутри сферы равно нулю, поэтому . А вне сферы . Граничные условия выполняются.

Пример2. Бесконечная заряженная плоскость.

Обе тангенциальные компоненты вектора  равны нулю, они непрерывны. Разность нормальных компонент вектора равна .

Граничные условия помогают решать некоторые задачи.


Разность потенциалов. Потенциал.

Рассмотрим произвольное электростатическое поле а пространстве. В это поле поместим единичный положительный заряд.

Выберем в пространстве две точки 1 и 2. Найдем работу сил поля по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Эту работу будем обозначать следующим образом . А по определению, это интеграл по некоторой траектории . Эта работа не зависит от пути, поэтому такую работу можно назвать характеристикой этих двух точек данного поля. Данная работа называется разностью потенциалов между точками 1 и 2.

Если рассматриваемое нами поле постоянно, то можно зафиксировать одну любую точку и объявить, что потенциал этой точки равен нулю . Работа по перемещению заряда из любой точки 1 в фиксированную точку, у которой потенциал считается равным нулю, характеризует не пару точек, а одну, из которой движется заряд. Работу по перемещению из любой точки пространства в некоторую фиксированную, будем называть потенциалом, причем потенциал этой фиксированной точки не обязательно равен нулю. Таким образом каждую точку пространства можно охарактеризовать потенциалом, тем самым мы получим скалярное поле.

Пример1.  Рассмотрим точечный заряд величины .

Разность потенциалов поля, создаваемого точечным зарядом равна . Разность потенциалов  больше нуля , если  и . Чем ближе к заряду, тем потенциал больше. Чтобы считать , точку 2 надо взять в бесконечности . В данном случае потенциал произвольной точки 1 определяется как  - работа сил поля точечного заряда по перемещению единичного положительного точечного заряда из точки 1 в бесконечность.

Пример1.  рассмотрим бесконечную заряженную плоскость.

Разность потенциалов поля, создаваемого бесконечной заряженной плоскостью  Предположим, что потенциал – работа по перемещению положительного единичного заряда из точки 1 в бесконечность, тогда . Это означает, что ноль мы должны задать в любой конкретной точке, но не бесконечности.

Если к числам  и  добавить любое число, то  не изменится. В этом смысле потенциал – величина относительная. Для нас представляет интерес только разность потенциалов, а не сам потенциал.

Уравнение Пуассона.

Рассмотрим в пространстве произвольное электростатическое поле. Введем декартовую систему координат. Зафиксируем некоторую точку А и построим вокруг неё меленький кубик, на столько маленький, что внутри него не меняется поле и объёмная плотность заряда. Его ребра параллельны осям координат и называются ,  и .

Поместим туда единичный положительный заряд с посчитаем работу по его перемещению вдоль оси  на . Эта работа равна , где -орт. Из этого равенства получим следующее соотношение . Проделав ту же операцию по другим координатам получим: , . Теперь сконструируем вектор

Теперь вспомним т. Гаусса в дифференциальной форме:

Дивергенция вектора выражается следующим образом: , а дивергенция от градиента потенциала:

, где

-- оператор Лапласа (лапласиан) обозначается символами , или . Итак, получается, что в электростатике справедлива следующая формула:  видим, что потенциал определяется через объёмную плотность заряда в точке. Это уравнение можно решить в очень ограниченном числе случаев.

Следует заметить частный случай, когда мы рассматриваем точку, в которой нет зарядов, но рядом может находиться заряженное тело, тогда в этой точке .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47556. Менеджмент организации. Учебно-методическое пособие 619 KB
  В учебно-методическом пособии сформулированы основные требования предъявляемые к организации и проведению преддипломной практики содержанию дипломного проекта его оформлению и защите. Предложена примерная тематика исследований и приведены формы основных документов необходимых для оформления отчета по преддипломной практике и дипломного проекта. Цель дипломного проектирования [2. Выбор темы дипломного проекта [2.
47557. ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА МЕНЕДЖЕРА 949.5 KB
  Методические указания освещают вопросы выбора темы и написания выпускной квалификационной работы дипломного проекта требования по оформлению и защите а также содержат примерный перечень тем дипломных проектов рекомендуемую литературу и критерии оценки дипломных проектов. Организация выполнения дипломного проекта 4 1.1 Цели и задачи дипломного проекта 1.3 Основные этапы выполнения дипломного проекта 1.
47560. Принципи та технології легування, спеціальні сталі 198.5 KB
  Спеціальні сталі це сталі властивості яких на відміну від звичайних вуглецевих сталей обумовлені як способом виробництва так і способом обробки та хімічним складом. В останньому випадку сталі називають легованими і вони є найбільш розповсюдженими спеціальними сталями....
47561. Разработка и принятие управленческих решений по организации изготовления или сборки машиностроительных изделий. Методические указания 420 KB
  Разработка управленческого решения должна осуществляться до начала организации изготовления или сборки изделия и направлена на эффективное использование материальных энергетических трудовых и финансовых ресурсов в процессе изготовления или сборки изделия. Запас финансовой прочности изделия определяемый по формуле: Зф.= Nгод Nкр x 100 Nгод 2 где Nгод годовой объем изготовления изделия в штуках; Nкр критический объем изготовления...
47562. Методические указания. Менеджмент 164.5 KB
  Эффективный менеджер: роли и функции в организации профессиональные и личные качества. Анализ взаимосвязей внутренних переменных организации. Внешняя среда организации: основные характеристики; среда прямого воздействия. Эффективность системы планирования в организации.
47564. Понятие предмет и метод экономического анализа 47 KB
  Методом ЭА является системное комплексное изучение, измерение и обобщение влияние факторов на результаты деятельности предприятия путем обработки специальными приемами системных показателей, плана, учета, отчетности и других источников информации с целью повышения эффективности производства.