73703

Dектор электрической индукции и вектор поляризации

Лекция

Физика

Ранее были введены следующие два вектора: вектор электрической индукции и – вектор поляризации. Где проекция вектора на любое направление параллельное плоскости. Граничные условия для вектора так же выполняются т. Гаусса выполняется и для вектора но вектор не реагирует на внешние заряды – только на поляризационные.

Русский

2014-12-19

199 KB

1 чел.

Лекция №6.

Ранее были введены следующие два вектора:- вектор электрической индукции и  – вектор поляризации.

Вектор поляризации представляет собой некоторую векторную функцию от векторного аргумента , или по-другому:  не будем писать x, y, z 1, 2, 3, тогда .

Предположим, что  - непрерывна и имеет производные любого требуемого порядка. Разложим ее в ряд Тейлора в близи нуля, т.е. рассматриваемые нами поля довольно слабые для подобного приближения.  еще плюс 27 производных третьего порядка, плюс 81 производная четвертого порядка и т.д.

Допустим, что поле  мало тогда, с точки зрения математики, можно ограничиться линейными слагаемыми. А на физическом уровне это означает, что мы можем оборвать ряд на линейном слагаемом, если электронные облака получают очень маленькие смещения под действием поля . Числа, равные частным производным, обозначим следующим образом: ,   …

, т.е. в линейном приближении , а можно еще короче: , где суммирование проводится по повторяющимся индексам.

Набор из девяти величин  называется тензор поляризуемости.

Если мы захотим рассмотреть большие поля , то уже необходимо учитывать вторые частные производные, и ввести величину , тогда , где  будем считать равным нулю.

27 величин  называются тензором квадратичной поляризации. Эти тензоры измеряются для каждого вещества и заносятся в таблицы. Аналогичным образом расправимся с формулой . Они отличаются только буквами, следовательно можно повторить те же самые рассуждения, только будут другие буквы. В линейном приближении , где , 9 величин  называются тензором диэлектрической проницаемости. Если необходимо учесть квадратичные слагаемые, то с учетом нелинейных эффектов получим формулу , где .

Граничные условия для полей в диэлектрике.

Рассмотрим заряженную поверхность. Вокруг неё поля, создаваемые этой поверхностью, другие внешние поля (всё сложилось по принципу суперпозиции). Ранее мы выяснили как ведет себя вектор  вблизи заряженной поверхности, и получили две замечательные формулы:  и . Где  - проекция вектора  на любое направление, параллельное плоскости.

Теперь пусть эта заряженная поверхность находится внутри диэлектрика. Точно так же имеют место быть поле, создаваемое этой поверхностью, и другие внешние поля.. На этот раз  включает в себя заряды, внесённые на пластинку из вне и заряды поляризационные. Граничные условия для вектора  так же выполняются, т.к. поле  неподвижно:  

Мы знаем, что т. Гаусса выполняется и для вектора , но вектор  не реагирует на внешние заряды – только на поляризационные. Можем записать нечто похожее на формулу :

, но вот аналог формулы  мы пока записать не можем, т.к. мы не доказывали теорему о циркуляции для вектора  (мы не можем использовать ее для вывода соотношения тангенциальных составляющих).

Для вектора  можем воспроизвести весь вывод граничных условий как и для вектора , но будем писать только  (это следует из теоремы Гаусса) таким образом получим формулу: . Если , то нормальная компонента вектора  будет непрерывна, а для вектора  будет «скакать». Для вектора мы не доказывали теорему о циркуляции, поэтому вторую часть мы тоже оставляем пол сомнением.

Упростим задачу и вытащим из диэлектрика заряженную плоскость – останутся два диэлектрика с диэлектрическим проницаемостями  и  во внешнем электрическом поле.

Вблизи границы раздела двух диэлектриков нарисуем вектора  и  так, чтобы тангенциальные их составляющие были одинаковы. Введем углы  и  - углы с между векторами  и и нормалью к поверхности, тогда  (2).

Теперь рассмотрим соотношение . В этом случае нормальные компоненты вектора  непрерывны , поскольку . Значит имеет место быть равенство  (2).

Поделив выражения (1) и (2) друг на друга, получим следующее соотношение . Здесь нет величины , но есть углы  и . Значит с помощью формулы  можно определить как ломаются силовые линии напряженности электрического поля на границе двух диэлектриков.

Для векторов  и  можно написать граничные условия только для нормальных компонент.

Пример.

Рассмотрим равномерно заряженную сферу радиуса , которая находится внутри сферического слоя диэлектрика радиуса . Поля маленькие, поэтому можно работать в линейном приближении. Найдем поле  и потенциал на любом расстоянии от центра сферы.

  1.  : вектора  и  направлены одинаково - в радиальном направлении. Вычислим поток: . Воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора , получим соотношение:   , откуда . 
  2.  :  поток:   

т. Гаусса:   ,

.

  1.   :  для любого из векторов  или  поток равен нулю, поэтому поле .

Теперь построим график потенциала.

  1.  :  
  2.  (в диэлектрике): тащим заряд в бесконечность .
  3.  : перемещаем заряд из внутренней сферы в бесконечность, во внутренней сфере . .

Функция потенциала непрерывна, иначе мы могли бы получить конечную работу при бесконечно малом перемещении.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65731. Моделі та методи аналізу сервіс-орієнтованих інформаційно-обчислювальних систем 289.5 KB
  Математичне моделювання є одним з найбільш поширених методів що дозволяє вирішити цю задачу. Використання ж методів імітаційного моделювання не дозволяє отримати формалізовані залежності між показниками якості та параметрами системи.
65732. ПЕДАГОГІЧНІ УМОВИ ПІДВИЩЕННЯ КВАЛІФІКАЦІЇ ВЧИТЕЛІВ МИСТЕЦЬКИХ ДИСЦИПЛІН У СИСТЕМІ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ОСВІТИ 170.5 KB
  У сучасному постіндустріальному суспільстві ідеал гармонійно розвинутої особистості також набуває нового змісту тому система художньоестетичного виховання потребує появи вчителя нової формації особливо вчителя мистецьких дисциплін який має вирішувати ряд основних завдань...
65733. ФУНКЦІЇ ОРГАНІВ ДОСУДОВОГО СЛІДСТВА В КРИМІНАЛЬНОМУ ПРОЦЕСІ УКРАЇНИ 182 KB
  У науці кримінального процесу концепція щодо визначення кримінальнопроцесуальних функцій має більш як сторічну історію. Це пояснюється насамперед тим що правильне визначення кримінально-процесуальних функцій та їх...
65734. Активізація залучення прямих іноземних інвестицій в економіку України в умовах глобальної конкуренції 265.5 KB
  В умовах глобальної конкуренції роль прямих іноземних інвестицій ПІІ полягає в залученні не лише необхідних обсягів капіталу а й сучасних технологій методів управління та висококваліфікованих менеджерів. Разом з тим глобалізація світогосподарських взаємин за участю прямих іноземних інвестицій...
65735. Удосконалення розрахунку напружено-деформованого стану мостових конструкцій з урахуванням динамічного впливу вантажних поїздів 697.5 KB
  Штучні споруди є невід’ємною та важливою складовою транспортної системи країни однак до цього часу в Україні відсутні рекомендації з визначення швидкісних режимів руху поїздів мостами. Більш ніж 10 залізничних мостів в Україні внаслідок наявності дефектів є бар’єрними об’єктами що призводить...
65736. ЖАНРОВІ МОДИФІКАЦІЇ В ПОЕЗІЇ В. СКОТТА ТА ПОЕТІВ-«ЛЕЙКІСТІВ» 139.5 KB
  Скотта і поетів лейкістів яких об’єднували схожі світоглядні позиції та напрямки естетичних пошуків ще недостатньо повно висвітлені в науці особливо в аспекті засвоєння народних традицій що вплинули на картину світу британського романтизму на його ранньому етапі й зумовили подальші художні відкриття.
65737. МОДЕЛЮВАННЯ І ПРОГНОЗУВАННЯ ДІЇ НЮХОВОГО НАНОБІОСЕНСОРА НА ОСНОВІ МОЛЕКУЛИ БІЛКА ТИПУ GPCR 481.5 KB
  Причинами цього є поперше те що сучасна кремнієва електроніка досягає межі мініатюризації і для виведення її на якісно новий рівень розвитку створення так званого квантового комп'ютера необхідна нова фізична елементна база з елементами розміру порядку нанометра тобто розміру молекули.
65738. Робота та розрахунок сталевих нагельних з’єднань дерев’яних конструкцій за повторних навантажень 1.33 MB
  Велике значення мають дослідження міцнісних і деформативних характеристик нагельних з'єднань дерев'яних елементів при одноразових та повторних навантаженнях оскільки при експлуатації значна кількість дерев'яних конструкцій знаходяться саме в таких умовах.
65739. ПРАВОВЕ РЕГУЛЮВАННЯ ПРОТИДІЇ ІНФОРМАЦІЙНИМ ВІЙНАМ В УКРАЇНІ 155.5 KB
  Незважаючи на надзвичайну важливість забезпечення належного функціонування всіх сфер життєдіяльності людини суспільства та держави необхідність ефективного забезпечення інформаційної безпеки держави зокрема шляхом вироблення надійного механізму протидії інформаційним війнам...