73703

Dектор электрической индукции и вектор поляризации

Лекция

Физика

Ранее были введены следующие два вектора: вектор электрической индукции и вектор поляризации. Где проекция вектора на любое направление параллельное плоскости. Граничные условия для вектора так же выполняются т. Гаусса выполняется и для вектора но вектор не реагирует на внешние заряды только на поляризационные.

Русский

2014-12-19

199 KB

1 чел.

Лекция №6.

Ранее были введены следующие два вектора:- вектор электрической индукции и  – вектор поляризации.

Вектор поляризации представляет собой некоторую векторную функцию от векторного аргумента , или по-другому:  не будем писать x, y, z 1, 2, 3, тогда .

Предположим, что  - непрерывна и имеет производные любого требуемого порядка. Разложим ее в ряд Тейлора в близи нуля, т.е. рассматриваемые нами поля довольно слабые для подобного приближения.  еще плюс 27 производных третьего порядка, плюс 81 производная четвертого порядка и т.д.

Допустим, что поле  мало тогда, с точки зрения математики, можно ограничиться линейными слагаемыми. А на физическом уровне это означает, что мы можем оборвать ряд на линейном слагаемом, если электронные облака получают очень маленькие смещения под действием поля . Числа, равные частным производным, обозначим следующим образом: ,   …

, т.е. в линейном приближении , а можно еще короче: , где суммирование проводится по повторяющимся индексам.

Набор из девяти величин  называется тензор поляризуемости.

Если мы захотим рассмотреть большие поля , то уже необходимо учитывать вторые частные производные, и ввести величину , тогда , где  будем считать равным нулю.

27 величин  называются тензором квадратичной поляризации. Эти тензоры измеряются для каждого вещества и заносятся в таблицы. Аналогичным образом расправимся с формулой . Они отличаются только буквами, следовательно можно повторить те же самые рассуждения, только будут другие буквы. В линейном приближении , где , 9 величин  называются тензором диэлектрической проницаемости. Если необходимо учесть квадратичные слагаемые, то с учетом нелинейных эффектов получим формулу , где .

Граничные условия для полей в диэлектрике.

Рассмотрим заряженную поверхность. Вокруг неё поля, создаваемые этой поверхностью, другие внешние поля (всё сложилось по принципу суперпозиции). Ранее мы выяснили как ведет себя вектор  вблизи заряженной поверхности, и получили две замечательные формулы:  и . Где  - проекция вектора  на любое направление, параллельное плоскости.

Теперь пусть эта заряженная поверхность находится внутри диэлектрика. Точно так же имеют место быть поле, создаваемое этой поверхностью, и другие внешние поля.. На этот раз  включает в себя заряды, внесённые на пластинку из вне и заряды поляризационные. Граничные условия для вектора  так же выполняются, т.к. поле  неподвижно:  

Мы знаем, что т. Гаусса выполняется и для вектора , но вектор  не реагирует на внешние заряды – только на поляризационные. Можем записать нечто похожее на формулу :

, но вот аналог формулы  мы пока записать не можем, т.к. мы не доказывали теорему о циркуляции для вектора  (мы не можем использовать ее для вывода соотношения тангенциальных составляющих).

Для вектора  можем воспроизвести весь вывод граничных условий как и для вектора , но будем писать только  (это следует из теоремы Гаусса) таким образом получим формулу: . Если , то нормальная компонента вектора  будет непрерывна, а для вектора  будет «скакать». Для вектора мы не доказывали теорему о циркуляции, поэтому вторую часть мы тоже оставляем пол сомнением.

Упростим задачу и вытащим из диэлектрика заряженную плоскость – останутся два диэлектрика с диэлектрическим проницаемостями  и  во внешнем электрическом поле.

Вблизи границы раздела двух диэлектриков нарисуем вектора  и  так, чтобы тангенциальные их составляющие были одинаковы. Введем углы  и  - углы с между векторами  и и нормалью к поверхности, тогда  (2).

Теперь рассмотрим соотношение . В этом случае нормальные компоненты вектора  непрерывны , поскольку . Значит имеет место быть равенство  (2).

Поделив выражения (1) и (2) друг на друга, получим следующее соотношение . Здесь нет величины , но есть углы  и . Значит с помощью формулы  можно определить как ломаются силовые линии напряженности электрического поля на границе двух диэлектриков.

Для векторов  и  можно написать граничные условия только для нормальных компонент.

Пример.

Рассмотрим равномерно заряженную сферу радиуса , которая находится внутри сферического слоя диэлектрика радиуса . Поля маленькие, поэтому можно работать в линейном приближении. Найдем поле  и потенциал на любом расстоянии от центра сферы.

  1.  : вектора  и  направлены одинаково - в радиальном направлении. Вычислим поток: . Воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора , получим соотношение:   , откуда . 
  2.  :  поток:   

т. Гаусса:   ,

.

  1.   :  для любого из векторов  или  поток равен нулю, поэтому поле .

Теперь построим график потенциала.

  1.  :  
  2.  (в диэлектрике): тащим заряд в бесконечность .
  3.  : перемещаем заряд из внутренней сферы в бесконечность, во внутренней сфере . .

Функция потенциала непрерывна, иначе мы могли бы получить конечную работу при бесконечно малом перемещении.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70667. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЖЕЛТУХА 72 KB
  Большая группа болезней билиарной системы и поджелудочной железы сопровождается развитием механической непроходимости желчных протоков проявляющейся появлением у больного желтушной окрашенности кожи и склер что ошибочно привело к объединению всех этих заболеваний...
70668. ОПУХОЛИ И КИСТЫ СРЕДОСТЕНИЯ 207.28 KB
  Под средостением следует понимать комплекс органов и нервно-сосудистых образований, заключенных между обеими средостенными плеврами и окруженных значительным количеством клетчатки.
70669. ОСТРЫЙ И ХРОНИЧЕСКИЙ ХОЛЕЦИСТИТ 100.5 KB
  Исследование органов брюшной полости: осмотр: форма живота участие в дыхании видимое увеличение желчного пузыря; пальпация: а тонус брюшных мышц локализация болезненности пальпация...
70670. ПАНКРЕАТИТ 91.5 KB
  Железа располагается позади желудка, в сальниковой сумке, забрюшинно; спереди и сзади покрыта расходящимися листками брыжейки поперечно-ободочной кишки; позади нее располагается солнечное сплетение.
70671. Перитониты. Анатомия и физиология брюшины 108.5 KB
  Брюшина это серозный покров стенок париетальная брюшина и органов брюшной полости висцеральная брюшина. Нижний этаж брюшной полости может быть осмотрен после того как большой сальник и поперечно-ободочная кишка будут отвернуты вверх.
70672. ПОВРЕЖДЕНИЯ ЖИВОТА 144 KB
  Ранение тканей брюшной стенки. Повреждение органов брюшной полости. Повреждение органов брюшной полости и забрюшинного пространства. Клиника повреждений брюшной полости зависит от: характера травмы локализации повреждения.
70673. ОНКОПАТОЛОГИЯ ЛЕГКИХ ТРАХЕИ И КРУПНЫХ БРОНХОВ 388.98 KB
  В зависимости от характера роста опухоли выделяют три анатомические формы рака легкого. Рост опухоли происходит кнаружи от стенки бронха. Выделяют две разновидности этой опухоли: солитарную и мультицентрическую.
70674. ПОВРЕЖДЕНИЯ ГРУДИ 176.5 KB
  Повреждения груди относятся к категории тяжелых травм мирного и военного времени. Обращает на себя внимание что и сегодня до 15 пострадавших умирают не из-за тяжести и обширности повреждения а от вторичных в большинстве случаев устранимых причин.
70675. ОСЛОЖНЕНИЯ ЯЗВЕННОЙ БОЛЕЗНИ 72.5 KB
  Язвенная болезнь заболевание в основе которого лежит образование и долгое не заживление дефекта слизистой и других слоев желудка и 12 п. К местным факторам принадлежат: 1 повышение кислотно-ферментативного воздействия на слизистые...