73703

Dектор электрической индукции и вектор поляризации

Лекция

Физика

Ранее были введены следующие два вектора: вектор электрической индукции и вектор поляризации. Где проекция вектора на любое направление параллельное плоскости. Граничные условия для вектора так же выполняются т. Гаусса выполняется и для вектора но вектор не реагирует на внешние заряды только на поляризационные.

Русский

2014-12-19

199 KB

1 чел.

Лекция №6.

Ранее были введены следующие два вектора:- вектор электрической индукции и  – вектор поляризации.

Вектор поляризации представляет собой некоторую векторную функцию от векторного аргумента , или по-другому:  не будем писать x, y, z 1, 2, 3, тогда .

Предположим, что  - непрерывна и имеет производные любого требуемого порядка. Разложим ее в ряд Тейлора в близи нуля, т.е. рассматриваемые нами поля довольно слабые для подобного приближения.  еще плюс 27 производных третьего порядка, плюс 81 производная четвертого порядка и т.д.

Допустим, что поле  мало тогда, с точки зрения математики, можно ограничиться линейными слагаемыми. А на физическом уровне это означает, что мы можем оборвать ряд на линейном слагаемом, если электронные облака получают очень маленькие смещения под действием поля . Числа, равные частным производным, обозначим следующим образом: ,   …

, т.е. в линейном приближении , а можно еще короче: , где суммирование проводится по повторяющимся индексам.

Набор из девяти величин  называется тензор поляризуемости.

Если мы захотим рассмотреть большие поля , то уже необходимо учитывать вторые частные производные, и ввести величину , тогда , где  будем считать равным нулю.

27 величин  называются тензором квадратичной поляризации. Эти тензоры измеряются для каждого вещества и заносятся в таблицы. Аналогичным образом расправимся с формулой . Они отличаются только буквами, следовательно можно повторить те же самые рассуждения, только будут другие буквы. В линейном приближении , где , 9 величин  называются тензором диэлектрической проницаемости. Если необходимо учесть квадратичные слагаемые, то с учетом нелинейных эффектов получим формулу , где .

Граничные условия для полей в диэлектрике.

Рассмотрим заряженную поверхность. Вокруг неё поля, создаваемые этой поверхностью, другие внешние поля (всё сложилось по принципу суперпозиции). Ранее мы выяснили как ведет себя вектор  вблизи заряженной поверхности, и получили две замечательные формулы:  и . Где  - проекция вектора  на любое направление, параллельное плоскости.

Теперь пусть эта заряженная поверхность находится внутри диэлектрика. Точно так же имеют место быть поле, создаваемое этой поверхностью, и другие внешние поля.. На этот раз  включает в себя заряды, внесённые на пластинку из вне и заряды поляризационные. Граничные условия для вектора  так же выполняются, т.к. поле  неподвижно:  

Мы знаем, что т. Гаусса выполняется и для вектора , но вектор  не реагирует на внешние заряды – только на поляризационные. Можем записать нечто похожее на формулу :

, но вот аналог формулы  мы пока записать не можем, т.к. мы не доказывали теорему о циркуляции для вектора  (мы не можем использовать ее для вывода соотношения тангенциальных составляющих).

Для вектора  можем воспроизвести весь вывод граничных условий как и для вектора , но будем писать только  (это следует из теоремы Гаусса) таким образом получим формулу: . Если , то нормальная компонента вектора  будет непрерывна, а для вектора  будет «скакать». Для вектора мы не доказывали теорему о циркуляции, поэтому вторую часть мы тоже оставляем пол сомнением.

Упростим задачу и вытащим из диэлектрика заряженную плоскость – останутся два диэлектрика с диэлектрическим проницаемостями  и  во внешнем электрическом поле.

Вблизи границы раздела двух диэлектриков нарисуем вектора  и  так, чтобы тангенциальные их составляющие были одинаковы. Введем углы  и  - углы с между векторами  и и нормалью к поверхности, тогда  (2).

Теперь рассмотрим соотношение . В этом случае нормальные компоненты вектора  непрерывны , поскольку . Значит имеет место быть равенство  (2).

Поделив выражения (1) и (2) друг на друга, получим следующее соотношение . Здесь нет величины , но есть углы  и . Значит с помощью формулы  можно определить как ломаются силовые линии напряженности электрического поля на границе двух диэлектриков.

Для векторов  и  можно написать граничные условия только для нормальных компонент.

Пример.

Рассмотрим равномерно заряженную сферу радиуса , которая находится внутри сферического слоя диэлектрика радиуса . Поля маленькие, поэтому можно работать в линейном приближении. Найдем поле  и потенциал на любом расстоянии от центра сферы.

  1.  : вектора  и  направлены одинаково - в радиальном направлении. Вычислим поток: . Воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора , получим соотношение:   , откуда . 
  2.  :  поток:   

т. Гаусса:   ,

.

  1.   :  для любого из векторов  или  поток равен нулю, поэтому поле .

Теперь построим график потенциала.

  1.  :  
  2.  (в диэлектрике): тащим заряд в бесконечность .
  3.  : перемещаем заряд из внутренней сферы в бесконечность, во внутренней сфере . .

Функция потенциала непрерывна, иначе мы могли бы получить конечную работу при бесконечно малом перемещении.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8928. Інвестиційна політика в галузі енергозбереження 122 KB
  Тема 9. Інвестиційна політика в галузі енергозбереження З таблиці 2 теми 1 бачимо, що обсяг капіталовкладень, які необхідні для забезпечення ефективної політики в галузі енергозбереження на Україні, становить у розрахунку на 2005 рік...
8929. Утилізація вторинних енергоресурсів 284.5 KB
  Утилізація вторинних енергоресурсів Будь-які енергоносії, чи енергія у формі тепла або стиснених газів, що отримуються внаслідок основних технологічних процесів, наприклад, коксування вугілля, металургійних процесів, роботи ГТУ чи ТЕС, називаються в...
8930. Лекции по теории автоматов. Логические основы цифровых автоматов 620.5 KB
  Лекции по теории автоматов. Логические основы цифровых автоматов. Учебное пособие для студентов очной и заочной форм обучения специальностям в области вычислительной техники, информатики и управления..
8931. Нетрадиційні та поновлювані джерела енергії 644 KB
  Нетрадиційні та поновлювані джерела енергії Сучасна енергетика базується на викопному органічному паливі: камяному вугіллі, нафті та газі. Розвіданих і прогнозних запасів викопного палива при сучасних темпах енергоспоживання достатньо на 90-15...
8932. Біогазова технологія утилізації органічних відходів і виробництва енергії 581 KB
  Біогазова технологія утилізації органічних відходів і виробництва енергії Біогаз - енергоносій, який є сумішшю метану (60 - 70%), діоксиду вуглецю (30 - 40%), невеликої кількості сірководню, водню, аміаку та оксиду азоту(5%). Склад бі...
8933. Технология производства сырокопченых колбас 159.5 KB
  Технология производства сырокопченых колбас. Сырокопченые колбасы - изделия, приготовленные из мясного фарша, соли, пряностей, в оболочке подвергнутой созреванию 8 - 10 суток, холодному копчению при 18 - 250С и сушке до 1,5 мес...
8934. Сущность государства, основные характеристики 167.18 KB
  Сущность государства, основные характеристики. Введение Вопросы о государстве, его понятии, сущности и роли в обществе с давних пор относятся к числу основополагающих. Это объясняется по меньшей мере тремя причинами. Во-первых, названные...
8935. Судебная реформа 1860-70 х гг 295.72 KB
  Судебная реформа 1860-70х гг. Введение Судебная реформа XIX века, в России реформа судебной системы и судопроизводства. Вызванная развивавшимися в стране капиталистическими отношениями, судебная реформа отразила классо...
8936. Становление и развитие Республики Хакасия (1992-2001 годы) 154.5 KB
  Становление и развитие Республики Хакасия (1992-2001 годы) Введение Образование нового государства на карте после распада СССР, повлекло за собой процесс изменения и модернизации, как в политическом строе, так и обустройстве отдельных регионал...