73709

Закон Джоуля-Ленца для участка цепи

Лекция

Физика

Проводимость шариков много больше проводимости земного шара. Будем считать что в среде выполняется закон Ома в дифференциальной форме где проводимость среды в данной точке. Проводимость анизотропных сред. линейная проводимость квадратичная проводимость.

Русский

2014-12-19

387 KB

0 чел.

Лекция №12.

Рассмотрим закон Джоуля - Ленца для участка цепи, когда на нем действуют электрические и сторонние силы напряженностью  и  соответственно. Мы хотим найти удельную мощность, которая выделяется в бесконечно маленьком объемчике вблизи выбранной точки.

Известно, что мощность можно записать как скалярное произведение силы на скорость . Учитывая, что  и  коллинеарные с , мощность, выделяемую при движении одного носителя заряда можно записать так .

А теперь запишем мощность , выделяемую в объеме , заряд в котором равен :  . Величину, равную  будем называть плотностью мощности, где  - модуль вектора плотности тока.

Формула  была получена для маленького объема в среде, а теперь представим обозримый проводник – тонкую проволоку.

Найдем работу, которую совершают электрические и сторонние силы по перемещению заряда в проволоке . Здесь  - работа электрических сил по перемещению единичного положительного заряда, а  - работа сторониих сил по перемещению единичного положительного заряда. По определению мощности найдем .

Токи в массивных проводниках.

Приведем общие примеры.

Имеется бесконечная поводящая седа, н.р. земной шар. В ней есть два хороших проводника в виде шариков, расположенных на расстоянии  друг от друга, известен их радиус . Проводимость шариков много больше проводимости земного шара. Проводники соединены с источником эдс . Найдем сопротивление между шариками. Для этого опишем ток, который показал бы амперметр.

Ток – поток вектора  через некоторую поверхность . Поскольку ток потечет во всех направлениях, то выберем замкнутую поверхность  в виде концентрической сферы вокруг одного из шариков. Будем считать, что в среде выполняется закон Ома в дифференциальной форме , где  - проводимость среды в данной точке.

Итак, с одной стороны .

С другой стороны:

Шарики – это хорошие проводники, помещенные в плохой диэлектрик, значит их можно рассматривать как конденсатор с “утечкой”, тогда  - заряд на конденсаторе .  

Теперь в выражении  посчитаем емкость.

Среду можно охарактеризовать диэлектрической проницаемостью  - в диэлектрике поля в  раз ослабляются .

Сделаем оценки:

Пусть , найдем емкость двух шариков на расстоянии, без диэлектрика:   Если шарики далеко, то потенциал в любой точке поверхности  создается полями обоих шариков, причем поле дальнего шарики много меньше поля, создаваемого шариком, окруженным поверхностью . Поэтому в вакууме приближенно  .

В диэлектрике емкость возрастает в  раз .

, тогда  - сюда не вошло расстояние между шариками, значит, как бы далеко не были воткнуты проводники в землю – сопротивление будет одно и тоже!

Теперь мы доказали, что если требуется передать напряжение, в качестве одного из двух проводов можно использовать землю.

Проводимость анизотропных сред.

Если записать закон Ома в дифференциальной форме в некоторой точке , то в общем  случае функция  имеет довольно сложный вид.

  1.   Будем считать вектор  коллинеарным с вектором , тогда  . Разложим функцию  в ряд Тейлора в близи нуля, считая, что  мало  

Пусть рассматриваемый нами материал не сверхпроводник, тогда слагаемое . Введем следующие обозначения ,   , тогда для не сверхпроводника имеет быть место равенство  

Числа и для каждого проводника свои, но их можно измерить.  - линейная проводимость, - квадратичная проводимость.

Если  , то проводник линейный. Если  и  сравнимы, то проводник нелинейный.

Для линейного проводника закон Ома в дифференциальной форме выглядит следующим образом .

  1.  Рассмотрим проводимость анизотропных сред (кристаллы).

.

Возьмем какой-нибудь кристалл и померим его проводимость в разных направлениях:

Подключим прибор последовательно и померим проводимость между гранями, перпендикулярными , , . Полученные значения будут не обязательно одинаковы.

Померим проводимость в направлении телесной диагонали,  - компоненты одинаковы. В таком случае компоненты регистрируемого тока можно записать следующим образом:  Поскольку  то  , значит ток потечет не в направлении вектора , а в сторону.

Запишем закон Ома в случае, когда вектор  неколлинеарный с вектором .

 

разложим  в ряд Тейлора в близи нуля как функцию трех переменных:

Пусть мы исследуем не сверхпроводник, и нет токов при отсутствии полей, тогда слагаемые  равны нулю.

Введем обозначения  и  , тогда  

- тензор линейной проводимости (тензор II ранга)

- тензор нелинейной проводимости (тензор III ранга)

Если проводник линейный , то закон Ома для анизотропной среды имеет вид: .

Процессы при разрядке и зарядке конденсаторов.

Разрядка конденсатора

Пусть у нас есть конденсатор емкостью  на котором заряд .

Соберем цепь  

И посмотрим как будет меняться сила тока  от времени.

Выберем сечение проводника и посмотрим, как соотносятся заряд на конденсаторе и заряд, который проходит через данное сечение в единицу времени (сила тока). Сколько протекло заряда в единицу времени, на столько же и уменьшился заряд на конденсаторе:   .

Знак минус, потому что убыль заряда на конденсаторе.

Запишем соотношение между емкостью  и разностью потенциалов : . Теперь запишем закон Ома, таким образом свяжем ток в проводнике и разность потенциалов: .

Теперь решим дифференциальное уравнение:

 .

При  , значит , .

Величина  - постоянная времени. Предположим, что в данный момент времени ток во всех точках цепи одинаков – такие токи называются квазистационарными. 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37162. Феодальная раздробленность, ее причины и последствия 12.55 KB
  После смерти Ярослава Мудрого в развитии государства усиливаются центробежные тенденции начинается один из сложнейших периодов истории древней Руси период феодальной раздробленности растянувшийся на несколько веков. Процесс феодальной раздробленности на Руси был обусловлен укреплением власти крупнейших феодалов на местах и зарождением местных административных центров. Период феодальной раздробленности охватывает в целом XIIXV вв. когда уже начался процесс феодальной консолидации число их приближалось к 250.
37163. Три основных центра Руси. Владимирское и Галицко-Волынское княжетсва. Новгородская феодальная республика 29.58 KB
  Под влияние ростовосуздальского князя попали Рязань и Муром. Хотя власть великого князя безвозврат но ушла в прошлое но княжение в Киеве подчеркивало старшинство князя. Последующие поколения русских князей назы вавшие свои княжества великими а себя великими князьями та кого пиетета к титулу великого киевского князя уже не испытывали. Он претендуя на титул велико го князя всех земель Руси в 1169 году захватил Киев и учинил там полный разгром превзойдя в этом половцев.
37164. Установление монголо-татарского ига и его последствия для народов Руси 21.29 KB
  Организация монгольского войска была основана на десятичном принципе 10 100 1000 и т. войска Чингисхана вторглись в Среднюю Азию. Вслед за Средней Азией был захвачен Северный Иран после чего войска Чингисхана совершили грабительский поход в Закавказье. Битва между русскополовецкими и монгольскими войсками произошла 31 мая 1223 г.
37165. Предпосылки объединения русских земель в XIV в. Начало возвышения Московского княжества 20.47 KB
  Предпосылки объединения русских земель в XIV в. В то же время стержнем политической жизни этого периода становится объединительный процесс русских земель. Территориальным ядром формирования русской народности и Русского государства становится ВладимироСуздальская земля в которой постепенно возвышается Москва превращаясь в центр политического объединения русских земель. В условиях феодальной раздробленности и агрессии немецких рыцарских орденов южные и югозападные земли в том числе и Киев вошли в состав Княжества Литовского поэтому...
37166. Образование централизованного Российского государства. Иван Третий. Свержение ордынского ига 13.64 KB
  Завершение процесса объединения русских земель вокруг Москвы в централизованное государство приходится на годы правления Ивана III 1462 1505 гг. и Василия III 1505 1533 гг. На протяжении 150 лет до Ивана III шло собирание русских земель и сосредоточение власти в руках Московских князей. При Иване III великий князь возвышается над остальными князьями не только количеством силы и владений но и объемом власти.
37167. Россия при Иване Четвертом. Избранная Рада. Реформы 17.36 KB
  Борьба эта протекала на глазах малолетнего Ивана IV. вокруг молодого Ивана IV сложился совет близких к нему людей получивший название “Избранная радаâ€. Костомарова который считал что “этот государь всю жизнь находился под влиянием то тех то других†и “что дела составившие славу царствования до падения Сильвестра исходили от этого последнего и его кружка и совершались не только не по его Ивана IV указанию но часто против желанияâ€. Провозглашая эти реформы правительство Ивана IV изображало их как мероприятия цель которых...
37168. Иван Грозный в фильме Эйзенштейна. Опричнина, ее суть и последствия 16.5 KB
  Иван Грозный в фильме Эйзенштейна. Иван Грозный в фильме Эйзенштейна Смотрите фильм в папке Фильм Сергея Эйзенштейна ИВАН ГРОЗНЫЙ 1944 Опричнина К 1557 г. При решении этого вопроса произошел разрыв Ивана Грозного с Избранной Радой которая в отличии от намерений царя завоевать Ливонию предлагала овладеть Крымом. Несогласие в политических взглядах усугубилось смертью жены Ивана Грозного Анастасии в которой обвиняли Сильвестра и Адашева.
37169. Смутное время в истории России. Польско-шведская интервенция. Народные ополчения 24.35 KB
  Смутное время в истории России. В условиях всеобщего недовольства на западных границах России появляется самозванец выдававший себя за чудесно спасшегося в Угличе царевича Дмитрия сына Ивана Грозного. Шведские войска оккупировали значительную часть севера России и захватили Новгород. В России росло недовольство.
37170. Начало династии Романовых. Россия в первой половине XVII в 21.22 KB
  Россия в первой половине XVII в. Россия в XVII в. Главной тенденцией политического развития России в первой половине XVII в. Внешняя политика в XVII в.