73718

Уравнения Ньютона-Эйлера

Лекция

Физика

В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора

Русский

2014-12-19

661 KB

7 чел.

85

ЛЕКЦИЯ  11

Уравнения Ньютона-Эйлера

      В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора. С вычислительной точки зрения применение этих уравнений представляет большие трудности при решении задачи в реальном времени. Для обеспечения управления в реальном времени была разработана модель динамики движения манипулятора, не учитывающая кориолисовы и центробежные силы. При быстром движении манипулятора ошибки в реализуемых силах и моментах, обусловленные неучетом центробежных и кариолисовых сил, не удается компенсировать за счёт управления с обратной связью из-за слишком больших величин требуемых для этого корректирующих моментов.

      Для упрощения вычислений пользуются формулой Ньютона-Эйлера, в основе которых лежит второй закон Ньютона.

 Для вывода этих уравнений обратимся к подвижной системе координат.

Вращающиеся системы координат

Рисунок 11.1. Вращающаяся система координат

      Рассмотрим две системы координат (рис. 11.1): - неподвижная инерционная система координат, - вращающаяся система координат. Начала этих координат совпадают и расположены в точке О, а оси , ,  вращаются относительно осей , , .

      Пусть  и - тройки единичных векторов, направленных вдоль основных  осей систем  и   соответственно. Положение точки r, неподвижной относительно системы координат , можно описать следующими двумя способами:

                                           ,                                         (11-1)

                                        .                                  (11-2)

      Найдём скорость точки r. Поскольку обе системы координат взаимно вращаются, скорость точки r(t) будут различны в этих системах. Примем, что    - скорость в неподвижной системе координат ;            (11-3)

        - скорость в подвижной вращающейся системе

                     координат .                                                                 (11-4)

      Тогда  из выражения (11-1) получаем скорость точки r(t) в системе координат :

             .       (11-5)

      Дифференцируя равенство (11-2), получаем скорость точки r(t) в системе координат :

.                                                                                                                           

                                                                                                                          (11-6)

      С учетом равенств (11-2) и (11-6) получим следующее выражение для скорости точки r(t) в системе координат :

.

                                                                                                                          (11-7)

 Здесь трудно вычислить производные , в связи с тем что векторы  вращаются относительно векторов .

      Чтобы найти соотношения между скоростями точки r в неподвижной и вращающейся системах координат, предположим, что система  вращается вокруг некоторой оси OQ, проходящей через точку О с угловой скоростью  (рис. 11.2).

      Угловая скорость вращения системы  представляет собой по определению вектор длины , направленный вдоль оси OQ в соответствии с правилом правой руки.

Рисунок 11.2. Скорость во вращающейся системе координат

 Скорость точки, положение которой задаётся вектором s в системе координат равна:

                                                      .                                            (11-8)

      Поскольку производная вектора определяется равенством:                       

                                              ,                              (11-9)

справедливость выражения (7-8) можно доказать, убедившись, что:

                                           .                           (11-10)

      Поскольку равенство векторов обеспечивается совпадением их длин и направлений, векторы в левой и правой частях равенства (11-10) одинаковы по величине и их направления совпадают. Длина вектора   равна:

                                                .                                   (11-11)

      Если величина  достаточно мала, то из рис. 11.2 очевидно, что:

                                                .                                      (11-12)

      Следовательно, длина векторов в левой и правой частях равенства (11-10) равны. В соответствии с определением векторного произведения вектор   перпендикулярен вектору s и лежит в плоскости окружности (рис. 11.2).

      Применив формулу (11-8) к единичным векторам  из равенства (11-7), получаем:

      . (11-13)

      Это основное соотношение, определяющие связь между скоростями одной и той же точки во вращающейся и неподвижной системах координат. Продифференцировав левую и правую части равенства (11-13), получим:

               (11-14)

      Равенство (11-14) представляет собой теорему Кориолиса. Первое слагаемое в правой части – ускорение точки в системе . Второе слагаемое описывает кориолисово ускорение. Третье слагаемое – центростремительное ускорение, направленное к оси вращения и перпендикулярное ей. Четвёртое слагаемое исчезает при постоянной угловой скорости.

 

Лекция 12

Подвижные системы координат

      Подвижные системы координат могут участвовать как во вращательном, так и в поступательном движениях относительно некоторой неподвижной инерциальной системы координат.  На рис. 12.1 изображена подвижная система координат , которая совершает вращательное и поступательное движения относительно инерциальной системы координат . Положение материальной точки р, обладающей масcой m, относительно систем координат  и  задается векторами r и  r* соответственно. Положение точки О* в системе координат  определяется вектором h.

Рисунок 12.1. Подвижная система координат

      Соотношения между векторами r и r*  даётся выражением (см. рис. 12.1):

                                                     .                                             (12-1)

 Если система координат  движется относительно системы , то:

                                      ,                          (12-2)

 где  и  - скорости точки р в системах координат  и  соответственно, а  - скорость точки  0* в системе координат .

      С учетом равенства (11-13) выражение (12-2) представим:

                                .             (12-3)

      Аналогично ускорение точки р в системе координат :

                                 ,               (12-4)

где  и - ускорения точки р в системах координат  и  соответственно, а - ускорение системы координат  в инерциальной системе координат .

      С учетом (11-14) равенство (12-4) можно представить в виде:

              .      (12-5)

      Полученные соотношения для подвижных систем координат применима к системам координат  звеньев манипулятора.

 

Кинематика звеньев

      Выведем уравнения, основывающиеся на полученных ранее соотношениях для подвижной системы координат и описывающие кинематику звеньев манипулятора в базовой системе координат.

      Известно, что ортонормированная система координат  связана с осью i-го сочленения (рис. 12.2).

Рисунок 12.2. Взаимосвязь систем координат,

имеющих начала в точках 0, 0* и 0'

      Системы координат   и  связаны  с -м  и  i-м звеньями и имеют начала в точках 0* и 0' соответственно. Положение точек  0'  и 0*  в базовой системе координат определяется векторами рi и рi-1 соответственно. Относительное положение точек 0' и 0* характеризуется в базовой системе координат вектором .

      Предположим, что система координат  имеет относительно базовой системы координат  линейную скорость  и угловую скорость . Пусть   и  - угловые скорости точки 0' в системах координат  и  соответственно. Тогда линейная скорость  и угловая скорость  координат  относительно базовой системы координат с учетом равенства (12-3) определяются выражениями:

                                       ,                           (12-6)

                                                 ,                                      (12-7)

где    означает скорость в движущейся системе координат . Линейное ускорение  и угловое ускорение   системы координат  относительно базовой системы координат с учетом равенства (12-5) определяются выражениями:

                                         (12-8)

                                                                                        (12-9)

      Пользуясь равенством (11-13), находим угловое ускорение системы координат  относительно системы координат :

                                       .                                  (12-10)

      В результате равенство (12-9) можно представить в следующем виде:

                                 .                              (12-11)

      Как уже говорилось, системы координат  и  в соответствии с алгоритмом формирования систем координат звеньев манипулятора связаны с -м  и  i-м звеньями соответственно. Если i-е сочленение – поступательное, то i-е звено совершает поступательное движение вдоль оси   со скоростью  относительно -го звена. Если i-е сочленение – вращательное, то i-е звено вращается вокруг оси  с угловой скоростью  относительно -го звена.

      Таким образом,

                     .         (12-12)

Здесь - величина угловой скорости вращения i-го звена относительно системы координат . Аналогично:

                   .        (12-13)

      С учетом  равенств (12-12) и (12-13) формулы (12-7) и (12-11) могут быть представлены в следующем виде:

            ;          (12-14)

   .(12-15)

      С учетом равенства (11-8) линейные скорость и ускорение i-го звена относительно -го можно представить в следующем виде:

                 . (12-16)

.

                                                                                                                        (12-17)

      Используя равенства (12-16) и (12-7), выражение (12-6) для линейной скорости  i-го звена  относительно базовой системы координат можно представить в виде:

         .(12-18)

      Выражение (12-8) для линейного ускорения i-го звена  относительно базовой системы координат с учетом следующих свойств векторного произведения:

                                  ,                            (12-19)

                                                             (12-20)

и равенств (12-12) – (12-17) преобразуется к виду:

                                                                                                                          (12-35)

      Заметим, что , если i-е сочленение – поступательное. Равенства (12-14), (12-15), (12-18) и (12-21), описывающие кинематику движения i-го звена, потребуется нам при выводе уравнений динамики манипулятора.

Лекция 13

Рекуррентные уравнения динамики манипулятора

[Рекурретный (recurrens) – возвращающийся]. Рекуррентные уравнения – уравнения приведения, сводящие вычисления n-го члена последовательности  к  вычислению нескольких предыдущих ее членов.

      Основываясь на полученных выше кинематических соотношениях, воспользуемся принципом Д'Аламбера для вывода уравнений динамики движения манипулятора. Принцип Д'Аламбера позволяет применить известные условия статического равновесия к задачам динамики за счет рассмотрения (наряду с внешними действующими на механическую систему силами) сил инерции, препятствующих движению. Принцип Д'Аламбера выполняется для механической системы в любой момент времени. По сути это несколько модифицированный второй закон Ньютона, формулируемый следующим образом:

      «Алгебраическая сумма внешних сил и сил инерции, действующих на тело в любом направлении, равна нулю».

      Рассмотрим i-е звено (рис. 8.1). Пусть точка О' совпадает с центром масс этого звена. Устанавливая соответствие между рис. 11.4 и 13.1, введем следующие обозначения (все векторы заданы в базовой системе координат):  

Рисунок 13.1. Силы и моменты, действующие на i-е звено

     - масса i-го звена;

      - положение центра масс i-го звена в базовой системе координат;

      - положение центра масс i-го звена относительно начала

            системы координат ;

                       - положение начала i-й системы координат относительно

                                начала -й системы координат;

               - линейная скорость центра масс i-го звена;

         - линейное ускорение центра масс i-го звена;

                        -суммарная внешняя сила, приложенная к центру масс

                               i-го звена;

                       -суммарный момент внешних сил, приложенных к i-му

                               звену;

                         - матрица инерции i-го звена относительно его центра

                                масс в базовой системе координат;

                        - сила, с которой -е звено действует на i-е звено в

                                системе координат ;

                        - момент, вызванный действием -го звена на i-е  

                                звено в системе координат .

      Пренебрегая силами трения в сочленениях, применив принцип Д'Аламбера к i-му звену, получаем:

                                         ,                                       (13-1)

                             .                         (13-2)

      Входящие в эти формулы линейные скорость и ускорение центра масс i-го звена в соответствии с равенствами (12-32) и (12-35) определяются выражениями:

                                        ,                                             (13-3)

                         .                             (13-4)

      Суммарная сила и момент , приложенные к i-му звену, обусловлены действием на него силы тяжести, а также сил со стороны соседних -го  и  -го  звеньев. Таким образом:

                                             ,                                             (13-5)

                        (13-6)

      Эти уравнения можно представить в рекуррентной форме, воспользовавшись тем, что:

                                  ,                              (13-7)

                      .                (13-8)

      Полученными уравнениями, имеющими рекуррентную форму, можно воспользоваться для вычисления сил и моментов , действующих на звенья n-звенного манипулятора. Для этого достаточно учесть, что  и  представляют собой соответственно силу и момент, с которыми объект манипулирования действует на схват манипулятора. Момент, создаваемый приводом i-го сочленения, должен быть равен сумме проекции момента  на ось  и момента вязкого трения в i-м сочленении (если сочленение – вращательное). Если же i-е сочленение – поступательное, оно реализует смещение на  единиц длины относительно системы координат  вдоль оси . В этом случае сила , создаваемая в этом сочленении, должна быть равна в системе координат  сумме проекции силы  на ось  и силы вязкого трения. Таким образом, момент (сила) , создаваемый приводом i-го сочленения, определяется формулой:

           ,       (13-9)

где - коэффициент вязкого трения в i-м сочленении.

      Если основание манипулятора закреплено на платформе и 0-е звено неподвижно, то ,  ,  и  с  учетом силы тяжести:

                              ,   где  .           (13-10)

      Таким образом, для исследователя существует возможность выбора одной из трех следующих форм представления уравнений движения манипулятора:

  1.  удобная для анализа, но неэффективная в вычислительном плане форма Лагранжа-Эйлера;
  2.  эффективная с вычислительной точки зрения, но малопригодной для анализа форма Ньютона-Эйлера;
  3.  достаточно удобные для анализа при умеренных вычислительных затратах обобщенные уравнения Д'Аламбера.

Лекция 14

Планирование траекторий манипулятора

      Планирование траекторий движения манипулятора – это задача выбора закона управления, обеспечивающего движение манипулятора вдоль некоторой заданной траектории. Перед началом движения манипулятора важно знать:

  1.  существуют ли на его пути какие-либо препятствия;
  2.  накладываются ли какие-либо ограничения на траекторию схвата.

      В зависимости от ответов на эти вопросы выбирается один из четырех типов управления манипулятором (табл. 14.1).

Таблица 14.1. Типы управления манипулятором

Препятствия на пути манипулятора

Присутствуют

Отсутствуют

Ограничения на траекторию манипулятора

Присутствуют

 I. Автономное планирование траектории, обеспечиваю-щее обход препятствий, плюс регулирование дви-жения вдоль выбранной траектории в процессе работы манипулятора

II. Автономное плани-рование траектории плюс регулирование движения вдоль выб-ранной траектории в процессе работы манипулятора

Отсутствуют

III. Позиционное управление плюс обнаружение и обход препятствий в процессе движения

IV. Позиционное управление

      Рассмотрим планирование траектории манипулятора при отсутствии препятствий (II и IV тип). Задача состоит в разработке математического аппарата для выбора и описания желаемого движения манипулятора между начальной и конечной точками траектории.

      При планировании траекторий обычно применяется один из двух подходов:

  1.  Задается точный набор ограничений (например, непрерывность и гладкость) на положение, скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в некоторых (называемых узловыми) точках траектории. Планировщик траекторий после этого выбирает из некоторого класса функций (как правило, среди многочленов, степень которых не превышает некоторое заданное n) функцию, проходящую через узловые точки и удовлетворяющую в них заданным ограничениям. Определение ограничений и планирование траектории производится в присоединенных координатах.
  2.  Задается желаемая траектория манипулятора в виде некоторой аналитически описываемой функции, как, например, прямолинейную траекторию в декартовых координатах. Планировщик производит аппроксимацию заданной траектории в присоединенных или декартовых координатах.

      Планирование в присоединенных переменных обладает тремя преимуществами:

  1.  задается поведение переменных, непосредственно управляемых в процессе движения манипулятора;
  2.  планирование траектории может осуществляться в реальном времени;
  3.  траектории в присоединенных переменных легче планировать.
  4.   Должны быть сведены к минимуму бесполезные движения типа «блуждания».

Рисунок 14.1. Блок-схема планировщика траекторий

      Недостаток – сложность определения положения звеньев и схвата в процессе движения. Это необходимо для предотвращения столкновения с препятствием.

      В общем случае основной алгоритм формирования узловых точек траектории в пространстве присоединенных переменных весьма прост:  

   ;

   цикл: ждать следующего момента коррекции;

   ;

  =заданное положение  манипулятора в  пространстве присоединенных переменных

              в момент времени ;

     Если , выйти из процедуры;

     Выполнить цикл.

      Здесь – интервал времени между двумя последовательными  моментами коррекции параметров движения манипулятора.

      Из алгоритма видно, что все вычисления производятся для определения траекторной функции , которая должна обновляться в каждой точке коррекции параметров движения манипулятора.

      На планируемую траекторию накладывается четыре ограничения:

  1.  Узловые точки должны легко вычисляться нерекуррентным способом.
  2.  Промежуточные положения должны определяться однозначно.
  3.  Должна быть обеспечена непрерывность присоединенных координат и их двух первых производных, чтобы планируемая траектория в пространстве присоединенных переменных была гладкой.
  4.  

      Перечисленным ограничениям удовлетворяют траектории, описываемые последовательностями полиномов.

      В общем случае планирование траекторий в декартовых координатах состоит из двух последовательных шагов:

  1.  формирование последовательности узловых точек в декартовом пространстве, расположенных вдоль планируемой траектории схвата;
  2.  выбор некоторого класса функций, аппроксимирующих участки траектории между узловыми точками в соответствии с некоторым критерием (например, прямые, дуги круга, параболы и т.п.).

      Первый подход позволяет обеспечить высокую точность движения вдоль заданной траектории. Однако, при отсутствии датчиков положения схвата в декартовых координатах, для перевода декартовых координат в присоединенные требуется большое количество вычислений, что замедляет время движения манипулятора. Поэтому используется второй подход – декартовы координаты узловых точек преобразуются в соответствующие присоединенные координаты с последующим проведением интерполяции в пространстве присоединенных переменных полиномами низкой степени. Это сокращает вычисления и позволяет учесть ограничения динамики манипулятора. Но точность  движения снижается.

Сглаженные траектории в пространстве

присоединенных переменных

      Планирование сглаженных траекторий в пространстве присоединенных переменных следует проводить с учетом следующих соображений:

  1.  В момент поднятия объекта манипулирования движение схвата должно быть направлено от объекта;
  2.  Допустимое движение ухода задается на нормали к поверхности, на которой расположен объект, траектория схвата должна проходить через эту точку.
  3.  Для участка подхода к заданному конечному положению: схват должен пройти через точку подхода, расположенную на нормали к поверхности, на которую должен быть помещен объект манипулирования.
  4.  Траектория движения манипулятора должна проходить через четыре заданные точки: начальную точку, точку ухода, точку подхода и конечную точку (рис. 9.2).
  5.  На траекторию накладываются условия:
    1.  начальная точка: заданы скорость и ускорение (обычно нулевые);
    2.  точки ухода: непрерывность положения, скорости и ускорения;
    3.  точка подхода: непрерывность положения, скорости и ускорения;
    4.  конечная точка: заданы скорость и ускорение (обычно нулевые).
  6.  Значения присоединенных координат должны лежать в пределах физических и геометрических ограничений каждого из сочленений манипулятора.
  7.  При определении времени движения необходимо учесть:
    1.  время прохождения начального и конечного участков траектории выбираются с учетом требуемой скорости подхода и ухода схвата, и представляет собой некоторую константу, зависящую от характеристик силовых приводов сочленений
    2.  время движения по среднему участку траектории определяется максимальными значениями присоединенных скоростей и ускорений каждого сочленения.

Рисунок 14.2. Ограничения по положению для траектории в пространстве присоединенных переменных

      Для проведения интерполяции траектории по заданным узловым точкам нужно выбрать полиномную функцию степени не выше n.

      Например, описание i–го сочленения полиномом седьмой степени:

      ,  (14-1)

в котором неизвестные коэффициенты  определяются из заданных граничных условий и условий непрерывности. Однако полином такой высокой степени трудно вычислить. Нужно разбить траекторию движения на несколько участков и интерполировать каждый участок полиномом низкой степени.

      Например, траектория изменения каждой присоединенной переменной разбивается на три участка (4-3-4). Первый участок, задающий движение между начальной точкой и точкой ухода, описывается полиномом четвертой степени. Второй (средний) участок – между точкой ухода и точкой подхода – описывается полиномом третьей степени. Последний участок – полиномом четвертой степени.

Расчет 4-3-4 - траектории

      Для определения N траекторий присоединенных переменных для каждого участка траектории, воспользуемся нормированием времени . Нормированное время изменяется от t=0 (начальный момент каждого участка) до t=1 (конечный момент каждого участка).

Обозначения:

 t– нормированное время, ;

         - реальное время (сек);

          - момент окончания i–го участка траектории;

         -интервал реального времени, затраченного на

                                 прохождение i–го участка траектории;

                                .

     Траектория движения j–й присоединенной переменной задается в виде последовательности полиномов :

            (1-й участок),         (14-2)

                           (2-й участок)          (14-3)

          (последний участок), (14-4)

где i–й коэффициент j–го участка траектории рассматриваемой присоединенной переменной.

      Граничные условия выбранной системы полиномов:

  1.  Начальное положение = .
    1.  Значение начальной скорости = (обычно нулевое).
    2.  Значение реального ускорения =  (обычно нулевое)
    3.  Положение в точке ухода = .
    4.  Непрерывность по положению в момент, т.е. .
    5.  Непрерывность по скорости в момент ,  т.е. .
    6.  Непрерывность по ускорению в момент , т.е. .
    7.  Положение в точке = .
    8.  Непрерывность по положению в момент , т.е. .
    9.  Непрерывность по скорости в момент , т.е. .
    10.  Непрерывность по ускорению в момент , т.е. .
    11.  Конечное положение =
    12.  Значение конечной скорости =  (обычно нулевое).
    13.  Значение конечного ускорения = (обычно нулевое).

Лекция 15

Граничные условия для 4-3-4-траекторий

      Граничные условия для 4-3-4-траекторий показаны на рис. 15.1.

Рисунок 15.1. Граничные условия для 4-3-4-траектории в пространстве присоединенных переменных

      Первую и вторую производные рассматриваемых полиномов относительно реального времени можно представить в следующем виде:

    (15-1)

;

      ,  (15-2)

                                                       .

      Для писания  первого участка траектории используется полином четвертой степени:

                 ,     .          (15-3)

                       .                (15-4)

                                .                      (15-5)

  1.  Для t=0 (начальная точка данного участка траектории). Из граничных условий в этой точке следует:

                                    ,                    (15-6)

                  .    (15-7)

      Отсюда имеем    и

                            ,       (15-8)

что позволяет получить .

      Подставляя найденные значения коэффициентов в равенство (15-3), получим:

     ,    .      (15-9)

      2. Для t=1 (конечная точка данного участка траектории). На этом участке действует условие непрерывности по скорости и ускорению, т.е. скорость и ускорение в конце первого участка траектории должны совпадать со скоростью и ускорением в начале второго участка. В конце первого участка скорость и ускорение соответственно равны:

                        ,             (15-10)

                             .                (15-11)

      Для описания второго участка траектории используется полином третьей степени:

                      ,    .         (15-12)

  1.  Для t=0 (точка ухода). Пользуясь равенствами (9-5) и (9-6) в этой точке, имеем:

                                        ,                                      (15-13)

                      .          (15-14)

      Отсюда следует ,

                                                (15-15)

и, следовательно, .

      Поскольку скорость и ускорение в этой точке должны совпадать соответственно со скоростью и ускорением в конечной точке предыдущего участка траектории, то должны выполняться равенства:

                                          и    ,                    (15-16)

которые соответственно приводят к следующим условиям:

     , (15-17)

или

                                                (15-18)

и                          ,         (15-20)

или                             .                   (15-21)

  1.  Для t=1 (точка подхода). В этой точке скорость и ускорение должны совпасть  со скоростью и ускорением в начальной точке следующего участка траектории. Для рассматриваемой точки имеем:

                              ,                               (15-22)

,  (15-23)

                .        (15-24)

      Для описания последнего участка траектории используется полином четвертой степени:

                 ,      .    (15-25)

Если в этом равенстве заменить t на  и рассматривать зависимость от новой переменной , тем самым мы  произведем сдвиг по нормированному времени: если переменная t изменяется на интервале , то переменная изменяется на интервале . Равенство (10-25) при этом примет вид:

           ,    .  (15-26)

      Пользуясь равенствами (10-1) и (10-2), найдем скорость и ускорение на последнем участке:

                     ,             (15-27)

                                .                  (15-28)

  1.  Для (конечная точка рассматриваемого участка траектории). В соответствии с граничными условиями в этой точке имеем:

                                                    ,                                    (15-29)

                                                  .                                      (15-30)

      Отсюда следует:

                                                    .

      Далее,

                                                                                    (15-31)

и, следовательно

                                                      .

  1.  Для   (начальная точка последнего участка траектории). Условия непрерывности скорости и ускорения в точке подхода записываются следующим образом:

                                    и      ,                 (15-32)

или

                      (15-33)

и

                           .               (15-34)

      Приращение присоединенной переменной на каждом участке траектории можно найти по следующим формулам:

         ,          (15-35)

         ,                           (15-37)

         .     (15-38)

     Все неизвестные коэффициенты в полиномах, описывающих изменение присоединенной переменной, могут быть определены путем совместного решения уравнений (15-35), (15-18), (15-20), (15-37), (15-33) и (15-38). Подставляя эту систему уравнений в матричной форме получим:

                                                       ,                                              (15-39)

где

                      (15-40)

                      ,                     (15-41)

                         .                      (15-42)

      Таким образом, задача планирования траектории (для каждой присоединенной переменной) сводится к решению векторного уравнения (10-39):

                                                                                           (15-43)

или

                                                 .                                                (15-44)

      Структура матрицы С позволяет легко найти неизвестные коэффициенты. После определения коэффициентов производим обратную замену, состоящую в подстановке   в равенстве (15-26). Тогда получим:

    (15-45)

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69390. Зовнішні запам’ятовуючі пристрої (ЗЗП) 1.86 MB
  Тут розрізняють такі класи: магнітні ЗЗП Оптичні Напівпровідникові За способом доступу до інформації А послідовні ЗЗП типу стрічки Б з прямим доступом За способом запису інформації А з одноразовим записом Б з багаторазовим записом з можливістю перезапису інформації...
69391. Накопичувачі на магнітних барабанах 1.17 MB
  Накопичувачі на магнітних стрічках Носієм інформації є гнучка магнітна стрічка основою є пластмасова стрічка покрита з обох сторін тонким шаром магнітної плівки поверх якої наноситься тонкий шар захисного лаку.
69393. Лазерні принтери (електро-графічні принтери) 42 KB
  Пристрої введення виведенення мови Спілкування користувача із комп’ютером мовою голосом вважається найбільш перспективним з часу початку широкого застосування комп’ютерів однак реалізувати цю задачу ефективними засобами не вдалося проектувальникам і до сьогоднішнього часу і в даний час...
69395. Інтерфейс ПП IBM 360-370 57 KB
  Він передбачає взаємодію на магістралі канали введення виведення та периферійних пристроїв які в даному інтерфейсі називаються абонентами. Абоненти фізично під’єднуються до магістралі короткими відведеннями.
69397. Иностранные инвестици 1.03 MB
  Инвестиционная деятельность неотъемлемая часть в функционировании предприятия. Любое предприятие в результате своего функционирования сталкивается с необходимостью вложения средств в свое развитие или выхода из кризисной ситуации
69398. Анализ и синтез системы автоматического регулирования (САР) с заданными показателями качества 1.22 MB
  Проектируемая САР должна поддерживать погрешность на заданном уровне вне зависимости от действия возмущений. Для анализа и синтеза САР в работе применен метод логарифмических амплитудных характеристик (ЛАХ) системы. Он является наиболее удобным благодаря простоте, наглядности и точности