73726

Управление роботами и робототехническими системами

Конспект

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Современный промышленный робот – универсальный, оснащенный компьютером манипулятор, состоящий из нескольких твердых звеньев, последовательно соединенных вращательными или поступательными сочленениями.

Русский

2014-12-19

499 KB

61 чел.

21

Е.С.Шаньгин

УПРАВЛЕНИЕ  РОБОТАМИ  

И  

РОБОТОТЕХНИЧЕСКИМИ    СИСТЕМАМИ

Конспект  лекций

30 лекций

Уфа-2005


СОДЕРЖАНИЕ

 Лекция 1

Введение. Основные сведения о дисциплине. Краткая характеристика основных разделов. Классификация роботов по назначению.

Стр. 4

 Лекция 2

Кинематика манипулятора. Основные задачи кинематики манипулятора Прямая задача кинематики. Матрицы сложных поворотов.

Стр. 8

 Лекция 3

Матрица поворота вокруг произвольной оси. Представление матриц поворота через углы Эйлера.

Стр. 13

 Лекция 4

Геометрический смысл матриц поворота. Свойства матриц поворота. Однородные координаты и матрицы преобразований.

Стр. 17

 Лекция 5

Звенья, сочленения и их параметры. Представление Денавита-Хартенберга. Алгоритм формирования систем координат звеньев.

Стр. 20

 Лекция 6

Уравнение кинематики манипулятора. Классификация манипуляторов. Обратная задача кинематики. Метод обратных преобразований.

Стр. 29

 Лекция 7

Геометрический подход. Определение различных конфигураций манипулятора. Решение обратной задачи кинематики для первых трех сочленений. Решение для первого сочленения. Решение для второго сочленения.

Стр. 37

 Лекция 8

Решение для третьего сочленения. Решение обратной задачи кинематики для последних трех сочленений. Решение для четвертого сочленения. Решение для пятого сочленения  Решение для шестого сочленения.

Стр. 44

 Лекция 9

Уравнения вида конфигурации для определения индикаторов конфигурации манипулятора. Машинное моделирование. Динамика манипулятора. Метод Лагранжа-Эйлера. Скорость произвольной точки звена манипулятора.

Стр. 52

Лекция 10

Кинетическая энергия манипулятора. Потенциальная энергия манипулятора. Уравнения движения манипулятора. Уравнения движения манипулятора с вращательными сочленениями.

Стр. 60

Лекция 11

Уравнения Ньютона-Эйлера. Вращающиеся системы координат.

Стр. 72

Лекция 12

Подвижные системы координат. Кинематика звеньев.

Стр. 75

Лекция 13

Рекуррентные уравнения динамики манипулятора.

Стр. 80

Лекция 14

Планирование траекторий манипулятора. Сглаженные траектории в пространстве присоединенных переменных. Расчет 4-3-4-траектории.

Стр. 83

Лекция 15

Граничные условия для 4-3-4-траектории.

Стр. 89

Лекция 16

Управление манипуляторами промышленного робота. Методы вычисления управляющих моментов. Передаточная функция одного сочленения.

Стр. 95


 Лекция 17

Устройство позиционирования для одного сочленения манипулятора. Критерии работоспособности и устойчивости.

Стр. 101

Лекция 18

Компенсация в системах с цифровым управлением. Зависимость момента от напряжения. Управление манипулятором с переменной структурой. Адаптивное управление. Адаптивное управление по заданной модели. Адаптивное управление с авторегрессивной моделью.

Стр. 106

Лекция 19

Адаптивное управление по возмущению. Независимое адаптивное управление движением.

Стр. 112

Лекция 20

Очувствление. Введение. Датчики измерения в дальней зоне. Триангуляция. Метод подсветки.

Стр. 116

Лекция 21

Измерение расстояние по времени прохождения сигнала. Очувствление в ближней зоне. Индуктивные датчики. Датчики Холла.

Стр. 122

Лекция 22

Емкостные датчики. Ультразвуковые датчики. Оптические датчики измерений в ближней зоне.

Стр. 127

Лекция 23

Тактильные датчики. Дискретные пороговые датчики. Аналоговые датчики. Силомоментное очувствление. Элементы датчика и схвата, встроенного в запястье. Выделение сил и моментов.

Стр. 132

Лекция 24

Системы технического зрения. Получение изображения.

Стр. 138

Лекция 25

Методы освещения. Стереоизображение. Системы технического зрения высокого уровня. Сегментация. Проведение контуров и определение границ.

Стр. 143

Лекция 26

Определение порогового уровня. Глобальные и локальные пороги. Применение движения. Описание, Дескрипторы границы.

Стр. 149

Лекция 27

Сигнатуры. Дескрипторы области. Текстура. Скелет области. Сегментация и описание трехмерных структур. Описание трехмерной сцены плоскими участками. Применение градиента.

Стр. 153

Лекция 28

Разметка линий и соединений. Обобщенные конусы. Распознавание. Интерпретация.

Стр. 160

Лекция 29

Языки программирования роботов. Характеристики роботоориентированных языков. Определение положения. Определение движения. Очувствление и управление. Системные средства программирования.

Стр. 166

Лекция 30

Моделирование рабочего пространства. Описание задачи сборки. Синтез программы. Искусственный интеллект и планирование задач в робототехнике. Поиск пространства решений. Экспертные системы и системы представления знаний.

Стр. 172

Литература

Стр. 179

Лекция 1

Введение

«Одна машина может выполнять работу сотни обыкновенных людей, но никакая машина не заметит одного выдающегося человека».

Элберт Хаббард.

Слово «робот» происходит от чешского слова «robota», означающего работу. Впервые это слово прозвучало в пьесе К.Чапека «Р.У.Р» в 1921г.

Современное значение слова «робот» - автоматическое устройство, которое выполняет функции, обычно приписываемые человеку. В соответствии с этим определением стиральная машина является роботом.

Более точное определение промышленных роботов: «перепрограммируемый многофункциональный манипулятор, предназначенный для осуществления различных, заранее заданных перемещений материалов, деталей, инструментов или специальных приспособлений с целью выполнения различных работ».

Современный промышленный робот – универсальный, оснащенный компьютером манипулятор, состоящий из нескольких твердых звеньев, последовательно соединенных вращательными или поступательными сочленениями.

Первые роботы, с которых началась современная робототехника, появились сразу после второй мировой войны. В конце 40-х годов в Окриджской и Аргоннской национальных лабораториях были начаты исследовательские программы по созданию дистанционно управляемых механических манипуляторов для работы с радиоактивными материалами. Разрабатывались манипуляторы копирующего типа, предназначенные для точного воспроизведения движений руки и кисти человека-оператора. В систему входили задающий и копирующий манипуляторы. Позднее путем установления механических связей между задающим и копирующим манипуляторами была введена обратная связь, позволяющая оператору ощущать силы взаимодействия между копирующим манипулятором и его рабочей средой. В середине 50-х годов механические способы введения обратной связи были заменены электрическими и гидравлическими.

После этого были разработаны манипуляторы с компьютером, способные выполнять автономно повторяющиеся операции. От специализированных автоматических машин эти роботы отличались возможностью смены выполняемых операций.

В начале 60-х годов была разработана механическая рука с тактильными датчиками (чувствительными к весу, усилию, температуре и т. п.). В последствии (в конце 60-х) к этому добавлялись «глаза» и «уши» – телекамера с микрофонами.

В 70-х годах началась разработка и промышленное использование манипуляторов для сборочных операций. Совершенствуются методы управления.

В настоящее время робототехника представляет собой значительно более обширную область науки, чем можно было себе представить всего несколько лет назад. Она включает вопросы кинематики, динамики, планирования стратегий, языков программирования и искусственного интеллекта.

Системы и комплексы, автоматизированные с помощью роботов, называют роботизированными. Роботизированные системы и комплексы, в которых роботы выполняют основные функции, называют робототехническими.

Роботы находят применение в других (кроме промышленности) областях: транспорте (беспилотная авиация, луноходы и т.п.), в сельском хозяйстве, в здравоохранении (протезирование, микрохирургия, и т.п.), в сфере обслуживания (бытовые машины, спасательные работы, торговые автоматы), космос, подводные аппараты и т.п.

Рисунок 1.1. Функциональная схема робота

Классификация роботов по назначению

Промышленные роботы (ПР) составляют 85-90% всех роботов. Например, в ФРГ  ПР применяются:

Керамическая промышленность: выдавливание керамического сырья, загрузка вальцовых (крокетных) машин, извлечение сформованных изделий, складирование, покрытие глазурью путем окунания, нанесение глазури пульверизатором, шлифовка изделия после обжига, загрузка и разгрузка печей.

Стекольная промышленность: загрузка и разгрузка машин.

Швейная промышленность: загрузка швейных машин.

Деревообрабатывающая промышленность: покрытие лаком, сборка изделий, забивка гвоздей, закручивание винтов.

Производство и обработка кожи: загрузка машин.

Резинообрабатывающая промышленность: распознавание образов, манипулирование шинами.

Асбестообрабатывающая промышленность: разрезка, обточка, шлифовка, штукатурка.

Обработка пластиков:  загрузка сырья, разгрузка машин.

Мясообрабатывающая промышленность: рубка мяса.

      По степени универсальности:

универсальные (для выполнения разных операций совместно с различными видами оборудования);

специализированные (выполняет одну операцию из нескольких возможных с различным оборудованием);

специальные (выполняет конкретную операцию с одним типом оборудования).

      По виду технологических операций:

осуществляющие основные технологические операции;

выполняющие вспомогательные технологические операции по обслуживанию технологического оборудования (средства автоматизации).

      По показателям, определяющим их конструкцию:

тип приводов робота (электрический, гидравлический, пневматический);

грузоподъемность (сверхлегкие – до 1 кг; легкие – от 1 до 10 кг; средние 10¸200 кг; тяжелые – 200¸1000 кг; сверхтяжелые – свыше 1000 кг);

количество манипуляторов (от 1 до 4 рук);

тип и параметры рабочей зоны манипуляторов (зоны рабочего пространства, которые может достать манипулятор при неподвижном основании);

рабочая зона манипулятора – это пространство, в котором находится его рабочий орган при всех возможных положениях звеньев манипуляторов.          Форма рабочей зоны определяется, во-первых, типом системы координат (прямоугольная, цилиндрическая, сферическая, угловая (ангулярная) и различные их комбинации). Во-вторых, она зависит от числа степеней подвижности манипулятора (от 1 до 6, свыше 6 их мало, не более 2%);

подвижность робота определяется наличием или отсутствием у него устройства передвижения (подвижный или стационарный). Подвижные имеют любые типы устройств перемещения:  колесные, гусеничные, шагающие, воздушные, ракетные и т.п.;

по способу размещения стационарные и подвижные роботы бывают напольными, подвесными (перемещаются по монорельсу), встраиваемые в другое оборудование (в станок или др.);

по исполнению робота - зависит от назначения (нормальное, пылезащитное, теплозащитное, влагозащитное, взрывобезопасное и т.п.).

По способу управления:

с программным управлением;

с адаптивным управлением;

с интеллектуальным управлением.

Управление по отдельным степеням подвижности может быть непрерывным (контурным) и дискретным (позиционным).

Простейший вариант дискретного (позиционного) управления является цикловое, при котором количество точек позиционирования по каждой степени подвижности минимально, т. е. чаще всего ограничиваются двумя – начальной и конечной.

К важным параметрам систем управления роботов, определяющим их эксплутационные возможности, относятся объём памяти УУ, типы и количество каналов связи с внешним оборудованием (способы программирования).

По быстродействию движений:

малое быстродействие – до 0,5 м/с;

среднее – линейные скорости от 0,5 до 1 м/с (~80 % роботов);

высокое – свыше 1 м/с (~20 % роботов).

По точности движений:

малая точность – при линейной погрешности от 1мм и выше;

средняя – от 0,1 до 1 мм (больше всего роботов);

высокая – менее 0,1мм.

Параметры, определяющие технический уровень роботов:

надёжность;

число одновременно работающих степеней подвижности;

время программирования;

удельная грузоподъёмность (отнесённая к массе робота);

выходная мощность манипулятора (произведение грузоподъёмности на скорость перемещения), отнесённая к мощности его приводов;

относительные оценки габаритных параметров и т. п.

Эти параметры служат критериями качества, предназначенные для их оптимизации при проектировании и сравнительной оценки роботов.

Лекция 2

Кинематика манипулятора

Предметом кинематики манипулятора является аналитическое описание геометрии движения манипулятора относительно некоторой заданной абсолютной системы координат без учёта сил и моментов, порождающих это движение. Таким образом, задачей кинематики является аналитическое описание пространственного расположения манипулятора в зависимости  от времени и, в частности, установление связи между значениями присоединённых координат манипулятора  и  положением и ориентацией его схвата в декартовом пространстве.

Механический манипулятор можно рассматривать  как разомкнутую цепь, которая состоит из нескольких твёрдых звеньев, последовательно соединенных вращательными или поступательными сочленениями, приводимых в движение силовыми приводами.

Основные задачи кинематики манипулятора:

Для конкретного манипулятора по известному вектору присоединённых углов (обобщённых координат q(t)=(q1(t),q2(t),...,qn(t))g) и заданным геометрическим параметром звеньев (n – число степеней свободы) определить положение и ориентацию схвата манипулятора относительно абсолютной системы координат.

При известных геометрических параметрах звеньев найти все возможные векторы присоединённых переменных манипулятора, обеспечивающие заданное положение и ориентацию схвата относительно абсолютной систем координат.

Первую из этих задач принято называть прямой, а вторую – обратной задачей кинематики манипулятора.

Рисунок 2.1. Схема взаимосвязи прямой и обратной задач кинематики

Для описания взаимного пространственного положения двух смежных звеньев используют однородную матрицу преобразования размерностью 4´4.

                            Прямая  задача кинематики

Для систематического и обобщённого подхода к описанию и представлению расположения звеньев манипулятора (исполнительных механизмов робота) относительно заданной абсолютной системы координат применяют матричную и векторную алгебру.

Звенья манипулятора могут совершать вращательное и/или поступательное движение относительно абсолютной системы координат, оси которой параллельны осям сочленений звеньев. Прямая задача кинематики сводится к определению матрицы преобразования, устанавливающей связь между абсолютной и связанной системами координат. Для описания вращательного движения связанной системы отсчёта относительно абсолютной используется матрица поворота (вращения) размерностью 3´3. Для поступательного движения используется матрица однородного преобразования размерностью 4´4.

Матрицы поворота (вращения).

Матрицу поворота размерностью 3´3 можно определить как матрицу преобразования трёхмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его из повернутой (связанной) системы отсчёта OUVW в абсолютную систему координат OXYZ. На рис.2.2 показаны две правые прямоугольные системы координат: система координат OXYZ с осями OX, OY, OZ и система OUVW с осями OU, OV, OW. Начала этих систем совпадают и расположены в точке О.

Рисунок 2.2. Абсолютная и связанная системы координат

      Система OXYZ фиксирована в трёхмерном пространстве и принята за абсолютную. Система координат OUVW вращается относительно абсолютной и физически рассматривается как связанная система координат. Это означает, что она жёстко связанна с твёрдым телом (например, самолётом) и движется вместе с ним.

Пусть (ix, jy, kz) и (iu, jv, kw) – единичные векторы, направленные вдоль своей системы OXYZ и OUVW соответственно. Некоторую точку P в пространстве можно характеризовать координатами относительно любой из указанных систем:

       puvw = (pu, pv, pw)T        и     pxyz = (px, py, pz)T                     (2-1)

где T - означает операцию транспонирования.

Задача состоит в том, чтобы определить матрицу R размерностью 3´3, которая преобразует координаты puvw в координаты вектора p системе OXYZ после того, как система OUVW будет повёрнута, т.е.:

                                                 pxyz = Rpuvw .                                          (2-2)

Заметим, что физически точка p вращается вместе с системой координат OUVW.

Из определения компонент  вектора имеем:

                                         puvw = pu×iu+pv×jv+pw×kw,                                  (2-3)

где pu, pv, и pw представляют собой составляющие вектора p вдоль осей OU, ОV, ОW соответственно, или проекции вектора p на эти оси. Используя определение скалярного произведения и равенства (2-3), получаем:

px = ix × p = ix × iu × pu + ix × jv × pv + ix × kw × pw,

py = jy × p = iy × iu × pu + jy × jv × pv + jy × kw × pw,              

                          pz = kz × p = kz × iu × pu + kz × jv × pv + kz × kw × pw.               (2-4)

или в матричной форме:

                   .                (2-5)

С учётом этого выражения матрица R в равенстве (2-2) примет вид:

                             .                        (2-6)

Аналогично, координаты puvw можно получить из координат pxyz:

                                                                puvw = Q ×pxyz ,                                     (2-7)

или

                      .               (2-8)

Поскольку операция скалярного произведения коммутативна, то из соотношений (2-6)…(2-8) следует

                                                                   Q = R-1 = RT,                                   (2-9)

                                                             QR = RTR = R-1×R = I3,                      (2-10)

где I3 – единичная матрица размерностью 3´3.

Преобразование, определяемое формулой (2-9) или (2-10), называется ортогональным преобразованием.

Особый интерес представляет матрица поворота системы OUVW относительно каждой из трёх основных системы OXYZ. Если положение системы OUVW в пространстве изменяется за счёт поворота этой системы на угол a  вокруг оси OX, то в системе отсчёта OXYZ изменяются и координаты (px, py, pz)T точки (pu, pv, pw). Соответствующая матрица преобразования Rx,a называется матрицей поворота вокруг оси OX на угол a. Основываясь на полученных выше результатах, для матрицы Rx,a  имеем:

                                                      pxyz = R x,a ×puvw,                                        (2-11)

причём  ix  iu,  и

             .         (2-12)

Рисунок 2.3. Вращающаяся система координат

Аналогично, трёхмерные (размерностью 3´3) матрицы поворота вокруг оси OY на угол j и вокруг оси OZ на угол q  имеют соответственно вид (рис.2.3).

   ,     .    (2-13)

Матрицы Rx,a,  Ry,j  и  Rz,q  называют матрицами элементарных поворотов.

Матрицы сложных поворотов

Описание последовательности конечных поворотов относительно основных осей системы OXYZ можно получить путём перемножения матриц элементарных поворотов. Поскольку операция перемножения матриц некоммутативна, здесь существенна последовательность выполнения поворотов.

Например, матрица поворота, представляющего собой результат последовательного выполнения поворотов сначала на угол a вокруг оси OX, затем на угол q  вокруг оси OZ, затем на угол j вокруг оси OY имеет вид:

R = R y,j ×R z,q ×R x,a = =

      =,      (2-14)

где Сj = cosj ; Sj = sinj ; Cq = cosq ; Sq = sinq ; Ca = cosa ; Sa = sina.

Она отличается от матрицы, описывающей результат поворота сначала на угол j вокруг оси OY, затем q вокруг оси OZ и, наконец, на угол a относительно оси OX. В этом случае результирующая матрица поворота имеет вид:

R = R x,a ×R z,q × R y,j = =

 =.        (2-15)

Наряду с вращением относительно осей абсолютной системы координат OXYZ подвижная система отсчёта OUVW может совершать поворот вокруг собственных осей. В этом случае результирующая матрица поворота может быть получена с использованием следующих правил:

Вначале обе системы координат совпадают, и, следовательно, матрица поворота представляет собой единичную матрицу размерностью 3´3.

Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из основных осей системы OXYZ, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить слева на соответствующую матрицу элементарного поворота.

Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из своих основных осей, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить справа на соответствующую матрицу элементарного поворота.

Пример. Требуется найти матрицу поворота, являющегося результатом последовательного выполнения поворотов сначала на угол j, вокруг оси OY, затем на угол q вокруг оси OW на угол a вокруг оси OU.

Решение:

            R = R y,j × I3 ×R w,q ×R u,a = R y,j × I3 ×R w,q ×R u,a =

          = =

   =.

Матрица результирующего поворота такая же, как (2-14), но последовательность поворотов отличается в последовательности, результатом которой является выражение (2-14).

Лекция 3

Матрица поворота вокруг произвольной оси

В ряде случаев подвижная система координат OUVW может совершать поворот на угол j относительно произвольной оси r, представляющей собой единичный вектор с компонентами rx, ry и rz, выходящие из начала координат О. Это применяется тогда, когда нужно упростить последовательность поворотов относительно основных осей систем координат OXYZ и/или OUVW. Их можно заменить одним поворотом системы OUVW вокруг оси r (рис. 3.1).

Чтобы получить матрицу поворота R r,j , можно сначала произвести ряд поворотов относительно осей системы OXYZ, чтобы совместить ось r с осью OZ. Затем произвести требуемый поворот вокруг оси r на угол j и опять ряд поворотов относительно системы OXYZ, возвращающих ось OZ в исходное положение.

 

 

Рисунок 3.1.  Вращение вокруг произвольной оси

Из рис. 3.1 видно, что совмещение осей OZ и r может быть реализовано с помощью поворота на угол a относительно оси OX, тогда ось r в результате окажется в плоскости XZ, а затем на угол -b, вокруг оси OY, тогда в результате оси OZ и r совпадут. После поворота на угол j относительно OZ или r проведём прежнюю операцию в обратном порядке с обратными знаками. Результирующая матрица поворота равна:

R r,j  = R x,-a × R y,b  × R z,j × R y,-b  × R x,a  =

Из этого легко определить, что:

sina = ; cosa =; sinb  = rx; cosb =.

Подстановка этих равенств в предыдущее выражение  дает:

,  (3-1)

где Vj = vers j= 1– cosj.

Это очень полезная матрица поворота.

Представление матриц поворота через углы Эйлера

Матричное описание вращения твёрдого тела упрощает многие операции; однако, для того, чтобы полностью описать ориентацию вращающегося твёрдого тела, необходимо использовать все девять элементов матрицы поворота. Непосредственно эти элементы не составляют полной системы обобщённых координат, с помощью которых можно описать ориентацию вращающегося твёрдого тела относительно абсолютной системы координат.

В качестве обобщённых координат можно использовать углы Эйлера j, q и y.

Таблица 3.1. Три системы углов Эйлера

1

2

3

Последова-тельность поворотов

На j вокруг оси OZ

На j вокруг оси OZ

На y вокруг оси OX

На q вокруг оси OU

На q вокруг оси OV

На q вокруг оси OY

На y вокруг оси OW

На y вокруг оси OW

На j вокруг оси OZ

      Первая из систем углов Эйлера обычно используется при описании движения гироскопов и соответствует следующей последовательности поворотов (рис. 3.2):

Поворот на угол j вокруг оси OZ (Rz,).

Поворот на угол q вокруг повёрнутой оси OU (Ru,q).

Поворот на угол y вокруг повёрнутой оси OW (Rw,y).

Рисунок 3.2. Первая система углов Эйлера

Результирующая матрица поворота имеет следующий вид:

Rj,q,y = R z,j ×R u,q ×R w,y  = =

=.            (3-2)

Поворот, описываемый матрицей Rj,q,y , может быть также получен в результате выполнения последовательности следующих поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: сначала на угол y вокруг оси OZ , затем на угол q  вокруг оси OX, затем на угол j вокруг оси OZ.

На рисунке 3.3 показана вторая система углов Эйлера, определяемая следующей последовательностью поворотов:

Поворот на угол j  вокруг оси OZ (Rz,j).

Поворот на угол q  вокруг оси OV (Rv,q).

Поворот на угол y  вокруг повёрнутой оси OW (Rw,y).

Результирующая матрица поворота имеет следующий вид:

Rj,q,y = R z,j ×R v,q ×R w,y  = =

=.           (3-3)

Поворот, описываемый матрицей Rj,q,y для этой системы углов Эйлера, может быть получен также в результате выполнения последовательных поворотов: на угол y вокруг оси OZ, на угол q вокруг оси OY, на угол j вокруг оси OZ.

Рисунок 3.3. Вторая система углов Эйлера

Ещё одну систему углов Эйлера составляют так называемые углы крена, тангажа  и  рыскания. Эти углы обычно применяются в авиации для описания движения самолётов.

Они соответствуют следующей последовательности поворотов:

Поворот на угол y  вокруг оси OX (R x,y ) – рыскание.

Поворот на угол q вокруг оси OY (R y,q ) – тангаж.

Поворот на угол j вокруг оси OZ (R z,j ) – крен.

Результирующая матрица поворота имеет вид:

 Rj,q,y = R z,j  ×R y,q  ×R x,y  ==

= .         (3-4)

Поворот, описываемый матрицей Rj,q,y в переменных «крен, тангаж, рыскание» может быть также получен в результате выполнения следующей последовательности поворотов вокруг осей абсолютной и подвижной систем координат: на угол j вокруг оси OZ, затем на угол q вокруг повёрнутой оси OV, на угол y вокруг повёрнутой оси OU (продольная ось аппарата – Z) (рис. 3.4).

Рисунок 3.4. Крен, тангаж, рысканье (третья система углов Эйлера)

Лекция 4

Геометрический смысл матриц поворота

Пусть точка p в системе отсчёта OUVW имеет координаты (1, 0, 0), т. е. puvw = iu. Тогда первый столбец матрицы поворота представляет собой координаты этой точки относительно системы отсчёта OXYZ. Аналогично, выбирая в качестве p векторы (0, 1, 0)Т и (0, 0, 1)Т, легко видеть, что второй и третий столбцы матрицы поворота представляют собой координаты единичных векторов в направлении осей OV и OW системы OUVW относительно системы отсчёта OXYZ.

Таким образом, если заданы абсолютная система отсчёта OXYZ и матрица поворота, то векторы-столбцы этой матрицы задают в системе OXYZ координаты единичных векторов в направлении основных осей системы OUVW. Это позволяет определить положение осей системы координат OUVW относительно абсолютной системы координат. Таким образом, матрица поворота определяет положение основных осей повёрнутой системы координат относительно абсолютной системы координат.

Поскольку операция обращения матрицы поворота совпадает с операцией транспонирования, то векторы – строки матрицы поворота задают направление основных осей абсолютной системы координат OXYZ в повёрнутой системе координат OUVW.

Такая геометрическая интерпретация матрицы поворота даёт ключ к решению многих задач кинематики манипулятора.

Свойства матриц поворота

Каждый столбец матрицы поворота представляет собой единичный вектор в направлении соответствующей оси повёрнутой системы отсчёта, заданной своими координатами относительно абсолютной системы координат.

      Каждая строка матрицы поворота представляет собой единичный вектор в направлении соответствующей оси абсолютной системы координат, заданной своими координатами относительно повёрнутой системы отсчёта OUVW.

Поскольку каждый столбец и строка представляет собой координаты единичного вектора, длина векторов, определяемых строками и столбцами матрицы поворота, равна 1. Детерминант матрицы поворота равен +1 для правосторонней системы отсчёта и -1 –  для левосторонней.

Поскольку столбцы (строки) матрицы поворота являются векторами, составляющими ортонормированный базис, скалярное произведение векторов, определяемых двумя различными столбцами (строками), равно нулю.

Операция обращения матрицы поворота совпадают с операцией транспонирования: R-1 =RT  и  RRT = I3, где I3 – единичная матрица размерностью 3´3.

Свойства 3 и 4 особенно полезны для проверки результатов умножения двух матриц поворота и при поиске строки или столбца матрицы поворота, в котором сделана ошибка.

Однородные координаты и матрицы преобразований

Поскольку трёхмерная матрица поворота не несёт информации о поступательном перемещении и используемом масштабе, вектор координат р= (рx, рy, рz)T в трёхмерном пространстве дополняют четвёртой координатой (или компонентой) так, что он принимает вид:  = (wрx, wрy, wрz, w)T. Тогда вектор  выражен в однородных координатах.

Описание точек трёхмерного пространства однородными координатами позволяет ввести в рассмотрение матричные преобразования, содержащие одновременно поворот, параллельный перенос, изменение масштаба и преобразование перспективы.

В общем случае изображение N-мерного вектора размерностью N+1 называется представлением в однородных координатах. При таком  представлении преобразование N-мерного вектора производится в (N+1)-мерном пространстве, а физический N-мерный вектор получается делением однородных координат на (N+1)-ю компоненту .

Так, вектор р = (рx, рy, рz)T положения в трёхмерном пространстве в однородных координатах представляется расширенным вектором (wрx, wрy, wрz, w)T.

Физические координаты связанны с однородными следующим образом:

              рx = ,     рy= ,     рz= ,

где w – четвёртая компонента  вектора однородных координат (масштабирующий множитель).

Если w = 1, то однородные координаты вектора положения совпадают  с его физическими координатами.

Однородная матрица преобразования представляет собой матрицу размерностью 4´4, которая преобразует вектор, выраженный в однородных координатах, из одной системы отсчёта в другую.

Однородная матрица преобразования может быть разбита на четыре подматрицы:

      Т =  =.  (4-1)

      Верхняя левая подматриа размерностью 3×3 представляет собой матрицу поворота; верхняя правая подматрица размерностью 3×1 представляет собой вектор положения начала координат повернутой системы отсчета относительно абсолютной; Нижняя левая подматрица размерностью 1×3 задает преобразование перспективы; четвертый диагональный элемент является глобальным масштабирующим множителем. Однородная матрица преобразования позволяет выявить геометрическую связь между связанной системой отсчёта OUVW и абсолютной системой OXYZ.

      Если вектор р трехмерного пространства выражен в однородных координатах, т.е. , то, используя понятие матрицы преобразования можно сформировать однородную матрицу преобразования Тпов, задающую преобразование поворота и имеющую размерность 4×4. Однородная матрица поворота получается соответствующим расширением обычной матрицы поворота, имеющей размерность 3×3. Так, однородное представление для матриц (2-12) и (2-13) имеет следующий вид:

,            ,       

             .                                                        (4-2)

      Эти матрицы размерностью 4×4 называются однородными матрицами элементарных поворотов. Однородная матрица преобразования переводит вектор, заданый однородными координатами в системе отсчета OUVW, в абсолютную систему координат OXYZ, т.е. при :

                                                                                    (4-3)

и                                     .                                              (4-4)

Лекция 5

Звенья, сочленения и их параметры

      Механический манипулятор состоит из звеньев, соединенных вращательными или поступательными сочленениями (рис. 3.1). Каждая пара, состоящая из звена и сочленения, обеспечивает одну степень свободы. Следовательно, манипулятор с N степенями свободы содержит N пар «звено-шарнир». Звено 0 соединено с основанием, где обычно размещается инерциальная система координат динамической системы, а последнее звено снабжено рабочим инструментом.

Звенья и сочленения нумеруются по возрастанию от стойки к схвату манипулятора. Каждое звено соединено не более чем с двумя другими так, чтобы не образовывалось замкнутых цепей.

      В общем случае два звена соединяются элементарным сочленением, имеющим две соприкасающиеся поверхности, скользящие друг относительно друга.

Рисунок 5.1. Звенья и сочленения манипулятора Пума

      Известно всего шесть различных элементарных сочленений: вращательное, поступательное (призматическое), цилиндрическое, сферическое, винтовое и плоское (рис. 5.2.).

      Из перечисленных типов сочленений в манипуляторах обычно используются только вращательные и поступательные. В месте соединения двух звеньев определяется ось i-го сочленения (рис. 5.3). Эта ось имеет две пересекающие ее нормали, каждая из которых соответствует одному из звеньев (звена i-1 и звена i), определяется величиной di – расстоянием между этими нормалями, отсчитываемым вдоль оси сочленения.

Рисунок 5.2. Элементарные сочленения

      Присоединенный угол Qi между нормалями измеряется в плоскости, перпендикулярной оси сочленения. Таким образом, di  и Qi  можно назвать  расстоянием  и  углом между смежными звеньями. Они определяют относительное положение соседних звеньев.

Рисунок 5.3. Система координат и ее параметры

 

      Звено i (i=1, 2, 3, ….,  6) соединено не более чем с двумя звеньями (i-1-м и   i+1-м звеньями). Таким образом, в точках соединения i-го звена с двумя соседними определены две оси сочленения. Важное свойство звеньев с точки зрения кинематики состоит в том, что они сохраняют неизменной конфигурацию относительного расположения соседних сочленений, характеризуемую параметрами  ai  и i. В качестве параметра ai выбрано кратчайшее расстояние между осями  zi-1  и  zi  i-го и  i+1-го сочленений соответственно, измеряемое вдоль их общей нормали. Угол i – угол  между осями сочленений, измеряемый в плоскости, перпендикулярной их общей нормали. Таким образом, ai  и  можно рассматривать соответственно как длину и угол скрутки  i–го звена. Эти параметры характеризуют конструктивные особенности i–го звена.

      Итак, с каждым звеном манипулятора связаны четыре параметра: ai , αi  di, Qi. Если для этих параметров установить правило выбора знаков , то они составят набор, достаточный для описания кинематической схемы каждого звена манипулятора. Эти параметры можно разделить на две пары: параметры звена (ai, αi), которые  характеризуют конструкцию звена, и параметры сочленения (di, Qi), характеризующие относительное положение соседних звеньев.

Представление Денавита – Хартенберга

Для описания вращательных и поступательных связей между соседними звеньями Денавит и Хартенберг предложили матричный метод последовательного построения систем координат, связанных с каждым звеном кинематической цепи. Смысл представления Денавита–Хартенберга (ДХ-представление) состоит в формировании однородной матрицы преобразования, имеющей размерность 4×4 и описывающей положение системы координат каждого звена относительно системы координат предыдущего звена. Это дает возможность последовательно преобразовать координаты схвата манипулятора из системы отсчета, связанной с последним звеном, в базовую систему отсчета, являющейся инерциальной системой координат для рассматриваемой динамической системы.

Каждая система координат формируется на основе следующих трех правил:

1) ось zi-1направлена вдоль оси i–го   сочленения;

2) ось xi перпендикулярна оси  zi-1 и направлена от нее;

3) ось yi дополняет оси  xi,  zi  до правой декартовой системы координат.

ДХ–представление твердых звеньев зависит от четырех геометрических параметров, соответствующих каждому звену. Эти четыре параметра полностью описывают любое вращательное или поступательное движение и определяются в соответствии с рис. 5.4 следующим образом:

 Qi – присоединенный угол, на который надо повернуть ось xi-1вокруг  оси  zi-1,  чтобы она стала сонаправлена с осью xi (знак определяется в соответствии с правилом правой руки);  

di   - расстояние  между  пересечением оси   zi-1   с  осью  xi  и  началом  (i-1)-й  системы координат, отсчитываемое вдоль  оси zi-1 ;

ai - линейное смещение – расстояние между пересечением оси zi-1 с осью xi и началом i-й системы координат, отсчитываемое вдоль оси  xi, т. е. кратчайшее расстояние между осями  zi-1  и  zi;

αi   - угловое смещение - угол, на который надо повернуть ось zi-1 вокруг оси  xi, чтобы она стала сонаправленной с осью zi (знак определяется в соответствии с правилом правой руки).

      Для вращательных сочленений параметры  di,   ai  и  αi  являются характеристикамисочленения, постоянными для данного типа робота. В то же время  Qi  является переменной величиной, изменяющейся при движении (вращении) i-го звена относительно (i-1)-го.

Алгоритм формирования систем координат звеньев

Для каждого звена манипулятора с n степенями свободы этот алгоритм формирует ортонормированную систему координат. Системы координат нумеруются в порядке возрастания от основания к схвату манипулятора. Взаимное расположение соседних звеньев описывается однородной матрицей преобразования размерностью 4х4.

Параметры   систем  координат   звеньев   манипулятора   Пума

Сочленение i

Пределы измерения

1

90

-90

0

0

-160-+160

2

0

0

431,8 мм

149,09 мм

-225-45

3

90

90

-20,32 мм

0

-45-225

4

0

-90

0

433,07 мм

-110-170

5

0

90

0

0

-100-100

6

0

0

0

56,25 мм

-266-266

 

Рисунок 5.4. Формирование систем координат звеньев

для манипулятора Пума

 Шаг 1. Формирование базовой системы координат.

Сформировать правую ортонормированную систему координат (х0, y0, z0), связанную с основанием, ось  z0  вдоль оси 1-го сочленения к «плечу» манипулятора. Оси х0  и  y0  выбираются произвольно при условии их перпендикулярности оси z0.

Шаг 2. Начало и цикл.  Для всех i ( i=1,2 … n-1) выполнить шаги 3-6.

Шаг 3. Формирование осей сочленения. Направить ось zi вдоль оси движения (вращательного или поступательного) i+1-го сочленения.

Шаг 4. Формирование начала i-й системы координат. Расположить начало i-й системы координат на пересечении осей zi и zi-1 или на пересечении общей нормали к осям  zi  и  zi-1 с  осью  zi.

Шаг 5. Формирование оси xi. Выбрать единичный вектор xi следующим образом: xi = ±( zi-1 × zi)/ || zi-1 × zi || или вдоль общего перпендикуляра к осям zi-1  и  zi, если они параллельны.

Шаг 6. Формирование оси yi Положить yi = +( zi × xi)/ ||zi ×xi|| , получив тем самым правостороннюю систему координат.

Шаг 7. Формирование системы координат схвата. Как правило, n-е сочленение является вращательным. Сформировать ось zn, направив ее вдоль оси zn-1 и от робота. Выбрать ось хn так, чтобы она была перпендикулярна осям zn-1 и zn.

Шаг 8. Определение параметров звеньев и сочленений.  Для каждого i 

(i =1…n) выполнить шаги 9-12.

Шаг 9. Определение di Расстояние di – от начала (i-1)-й системы координат до пересечения оси zi-1 с осью xi и началом i-й системы координат, отсчитываемой вдоль оси zi-1. Если i-е соединение – поступательное, то di – присоединенная переменная.

Шаг 10. Определение ai - расстояния между пересечением оси zi-1 с осью xi и началом i-й системы координат, отсчитываемой вдоль оси  xi.

Шаг 11. Определение Qi – угла поворота оси xi -1  вокруг оси zi-1, чтобы она стала сонаправлена с осью xi. Если  i -е сочленение – вращательное, то Qi-присоединенная переменная.

Шаг 12. Определение αi  – угла поворота оси zi -1 вокруг оси xi, чтобы она стала сонаправлена с осью zi .

После построения ДХ-координат для всех звеньев можно построить однородные матрицы преобразования, связывающие i-ю и (i-1)-ю системы координат:

i-1Ai= Tz,dTz,QTx,aTx,α

×=.    (5-1)

      Преобразуя (3-1), найдем, что матрица, обратная к   i-1Аi, имеет вид:

            ,         (5-2)

где - константы, а - присоединенная переменная, если рассматриваемое сочленение – вращательное.

      Используя матрицу , можно связать однородные координаты  рi точки р относительно i-й системы координат (точка р покоится в i–й системе координат)с односторонними координатами этой точки относительно (i-1)-й системы тсчета, связанной с (i-1)-м звеном. Эта связь устанавливается равенством:

                                             ,                                             (5-3)

где  и   .

      Для шестизвенного манипулятора Пума были определены шесть матриц , соответствующие показанным на рис. 5.4. системам координат. Эти матрицы представлены ниже:

,

,                  ,

 ,                     

  ,                            ,

,

,

где  

                   ;  ; ; .


Чувствитель-ные устройства

Вычислитель-ное устройство

сполнитель-ные устройства

Манипуля-торы

Внешняя среда

Опера-тор

Пульт управле-ния

Устройство передвижения

Устройство управления

Исполнительные устройства

Прямая задача кинематики

Параметры звеньев

Присоединённые углы (обобщённые координаты) q1(t),q2(t),...,qn(t)

Положение и ориентация схвата

Параметры звеньев

Обратная задача кинематики

Присоединённые углы (обобщённые координаты) q1(t),q2(t),...,qn(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79610. АБАНДОН В ТЕОРИИ И ПРАКТИКЕ СТРАХОВАНИЯ 145 KB
  Развитие страхования в экономике России являющееся основанием для проявления к нему все большего интереса со стороны в том числе и правовой науки определяет актуальность рассмотрения не только вопросов общей теории страхового права элементов договора страхования и иных аспектов правового...
79611. РОЛЬ ФИЗИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ В СОВЕРШЕНСТВОВАНИИ ЛИЧНОСТНЫХ КАЧЕСТВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОММУНИКАБЕЛЬНОСТИ ЮРИСТОВ 76.5 KB
  Интересно отметить что характер учебной деятельности студентов ЮИ ИГУ во многом совпадает с характером деятельности некоторых военных специалистов несущих службу в условиях эмоционального напряжения.
79612. СИСТЕМА ПРАВА 122.5 KB
  Данная тема связана с характеристикой внутреннего строения позитивного права. Позитивное право представляет собой определенную систему, системное образование, и, как всякое системное образование, состоит из взаимосвязанных между собой элементов.
79613. ПОНЯТИЕ КРИМИНАЛЬНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЛЮДЕЙ. КРИМИНАЛЬНАЯ ЭКСПЛУАТАЦИЯ В УГОЛОВНОМ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВЕ РОССИИ 77.5 KB
  На сегодняшний день актуальность проблемы торговли людьми не вызывает сомнений. Данная проблема является многосторонней. Она требует комплексного подхода в ее разрешении, поскольку зачастую данный вид организованной преступной деятельности имеет транснациональный характер...
79614. КОНКУРЕНЦИЯ И КОЛЛИЗИЯ УГОЛОВНО-ПРАВОВЫХ НОРМ 76.5 KB
  Анализ судебной практики показывает что очень часто при применении уголовно-правовых норм следственно-судебными органами допускаются ошибки. В частности много ошибок возникает в процессе квалификации преступления когда решается вопрос о том какая норма закона должна быть применена в данном конкретном случае.
79616. О ДЕЯТЕЛЬНОСТИ РЫНКОВ НА ТЕРРИТОРИИ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ 103 KB
  Настоящий Закон определяет основные требования к организации и деятельности рынков, расположенных на территории Иркутской области (далее – область), в целях обеспечения санитарно-эпидемиологического благополучия населения, удовлетворения потребностей жителей области в качественных товарах и безопасности для здоровья населения продукции, реализуемой на рынках.
79617. ОБ ОБЩИХ ПРИНЦИПАХ ОРГАНИЗАЦИИ МЕСТНОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 78.5 KB
  С момента принятия Федерального закона Об общих принципах организации местного самоуправления РФ прошло уже почти восемь лет наработана определенная практика его применения которая выявила некоторые серьезные проблемы функционирования местного самоуправления.
79618. КОНЦЕПЦИЯ ЧАСТНОПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ ПО ПОВОДУ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ 99 KB
  Причиной для написания настоящей статьи послужила непрекращающаяся дискуссия о месте и значении частноправовых средств в регулировании общественных отношений по поводу природы. Особенность природы состоит в том, что она не имеет собственно вещный характер в абсолютном смысле этого слова...