73727

Динамика тела с одной неподвижной точкой

Лекция

Физика

Будем рассматривать движение тела под действием системы n заданных сил показанных на рис. Для составления дифференциальных уравнений движения тела с одной неподвижной точкой применим теорему об изменении кинетического момента системы теорему моментов относительно неподвижной точки...

Русский

2014-12-19

1.29 MB

2 чел.

ЛЕКЦИЯ 9

д) динамика тела с одной неподвижной точкой

В Кинематике было показано, что движение тела с одной неподвижной точкой представляет непрерывную последовательность бесконечно малых вращений вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через данную неподвижную точку. При этом, угловая скорость вращения тела  направлена вдоль мгновенной оси вращения p, которая непрерывно изменяет своё положение, как по отношению к неподвижной системе отсчёта Ox1y1z1, так и по отношению к самому телу, c которым связана подвижная система отсчёта Oxyz (рис.1).

  

                                                            

                                             z1                       z

           p                         A             

                                          

 x                              

                               O                            y1                                           

                                                         

       x1                                                                     y                            

                                   Рис.1

                                 

Будем рассматривать движение тела под действием системы n заданных сил, показанных на рис.1 и силы реакции неподвижной, гладкой опоры в т. О (эта сила на рисунке не показана). Для составления дифференциальных уравнений движения тела с одной неподвижной точкой применим теорему об изменении кинетического момента системы (теорему моментов) относительно неподвижной точки О (Лекция 8,  (10)), записав её, предварительно, в иной форме.  Обозначим конец вектора буквой А и будем рассматривать вектор как радиус - вектор т. А, т. е. . В этом случае теорема об изменении кинетического момента системы (Лекция 8, (10)) примет следующий вид:

                                                            (1)

Равенство (1) выражает теорему моментов, записанную в форме теоремы Резаля: Скорость конца вектора кинетического момента тела относительно неподвижной точки О равна векторной сумме моментов всех сил, действующих на тело относительно этой же точки. При этом в правую часть равенства (1) будут входить моменты только заданных сил, поскольку . Следует иметь в виду, что размерность вектора  не совпадает с размерностью обычной скорости точки.

Равенство (1) записано относительно неподвижной системы отсчёта Ox1y1z1. Запишем теорему Резаля относительно подвижной системы отсчёта Oxyz, жёстко связанной с телом. При этом, для упрощения дальнейших выкладок, примем, что оси подвижной системы координат совпадают с главными осями инерции тела в точке О.

Пусть т. А движется относительно подвижной системы координат по некоторой кривой, показанной на рис.1 сплошной линией. Это будет траектория её относительного движения. Относительная скорость точки А будет направлена по касательной к этой траектории. Переносной траекторией т. А будет являться некоторая условная кривая, полученная в предположении, что т. А жёстко связана с подвижной системой отсчёта (телом). На рис. 1 эта траектория изображена пунктирной линией, и переносная скорость  точки А будет направлена по касательной к этой линии. По формулам сложного движения точки векторы относительной и переносной скоростей точки А определяются следующим образом:

  ,  ,                    (2)

где в первом равенстве (2) символом  обозначается "локальная" производная по времени, которая учитывает быстроту изменения по времени соответствующей переменной величины только по отношению к подвижной системе отсчёта. На основании теоремы сложения скоростей точки в сложном движении, учитывая равенства (2) получим:

                                                      (3)

Спроектируем левую и правую части векторного равенства (3) на оси подвижной декартовой системы координат Oxyz , жёстко связанной с телом. Сначала найдём проекции векторов и  на эти оси координат. Используем для этого векторные формулы, которые следуют из определения вектора кинетического момента системы (Лекция 7, (9)), вектора момента количества движения точки (Лекция 5, (17)) и векторной формулы Эйлера для скорости точки тела:

                                                    (4)

Раскладываем соответствующие векторные произведения по осям подвижной декартовой системы координат

   (5)

Далее действуем следующим образом. Используя первое и второе из равенств (5), раскладываем соответствующие определители по элементам первой строки, т. е. по единичным векторам координатных осей. Скалярные коэффициенты при каждом единичном векторе представляют проекцию данного векторного произведения на соответствующую координатную ось. Из второго равенства (5) находим проекции вектора скорости k - й точки тела на оси подвижной системы координат. Затем, подставляя эти проекции в первое равенство (5), и учитывая выражение кинетического момента тела относительно т. О из (4), найдём проекции кинетического момента на оси подвижной системы координат Oxyz. Опуская выкладки, запишем окончательные выражения этих проекций:

                       ,                                   (6)

 где  это, соответственно, осевые и центробежные моменты инерции тела, определяемые формулами (10) (Лекция 8).

Принимая, наконец, во внимание, что подвижные оси координат являются главными осями инерции, приравняем нулю все центробежные моменты инерции в выражениях (6), которые, после этого, примут простой вид:

                                           (7)

Подставляя найденные значения проекций вектора (7) в последнее из равенств (5), определим проекции вектора  на подвижные оси координат Oxyz:

                                                         (8)

Теперь запишем векторное равенство (3) в  проекциях на оси подвижной системы координат, используя соотношения (7) и (8):

                                           (9)

Дифференциальные уравнения (9) называются динамическими уравнениями Эйлера.

Следует отметить, что данная система уравнений, в общем случае, не является замкнутой, поскольку моменты сил, входящие в правые части уравнений (9), могут зависеть от параметров, определяющих положение тела в пространстве. Для получения замкнутой системы уравнений, определяющих движение тела с одной неподвижной точкой, найдём зависимость между проекциями угловой скорости тела на оси подвижной системы координат Oxyz и величинами, определяющими положение тела по отношению к неподвижной системе координат Ox1y1z1. В качестве таких величин возьмём косинусы углов, образованных единичными векторами подвижных осей координат с направлением неподвижной оси z1. Обозначим эти углы через 1, 2 , 3 (рис.1). Данные углы однозначно определяют положение тела в пространстве в любой момент времени.

По аналогии с левой частью равенства (3), где записана производная по времени от вектора кинетического момента тела , найдём производную по времени от единичного вектора  неподвижной оси z1. Учтём, при этом, что эта производная будет равна нулю, как производная от постоянного вектора:

                                                 (10)

Проектируя левую и правую части второго равенства (10) на оси подвижной декартовой системы координат Oxyz, и учитывая, что проекциями единичного вектора  на эти оси являются его направляющие косинусы  , находим:

                                                 (11)

Кинематические соотношения (11) называются уравнениями Пуассона. Вместе с динамическими уравнениями Эйлера они образуют замкнутую систему уравнений для исследования движения тела с одной неподвижной точкой. Следует отметить, что помимо уравнений (9) и (11), для описания движения тела с одной неподвижной точкой используются и другие системы уравнений.

 Пример. В качестве примера применения полученных уравнений движения тела с одной неподвижной точкой рассмотрим движение однородного тела, обладающего осевой симметрией, вокруг неподвижной точки О, совпадающей с его центром тяжести. Будем считать, что движение тела происходит под действием сил тяжести и реакции идеальной шарнирной опоры в точке О. Для этого случая имеем:

                                     (12)

                                             z                z1

                                                        p         

                                     x1            h                                   

                                                               O                 y       

                                                                       y1

                                            x

            

                                                             Рис.2

Направим подвижную ось z вдоль оси симметрии тела, выбрав начала подвижной и неподвижной декартовых осей координат в т. О. (рис.2). В силу осевой симметрии однородного тела, его осевые моменты инерции относительно осей перпендикулярных оси симметрии и проходящих через центр тяжести тела, будут равны. Введём обозначения:

                                                                           (13)

Прежде всего, отметим, что динамические уравнения Эйлера (9), при условиях (12), образуют замкнутую систему уравнений, из которой можно найти проекции угловой скорости тела на оси подвижной системы координат. С учётом равенств (12) и (13) эти уравнения примут следующий вид:

                                                       (14)

Из последнего уравнения системы (14) получаем:

                                       ,                                  (15)

где постоянная интегрирования. Угловая скорость вращения телавокруг своей оси симметрии называется угловой скоростью собственного вращения. Далее можно было бы подставить найденное значение в первые два уравнения системы (14) и найти оставшиеся проекции угловой скорости и . Однако, для выяснения характера движения тела, в данном случае, поступим по - другому.

Из векторной записи теоремы моментов (Лекция 7 (10)), с учётом условия получим:

                                                                       (16)

Таким образом, в данном случае, вектор кинетического момента тела относительно неподвижной системы координат сохраняет как свою численную величину, так и своё направление. Воспользовавшись этим, направим ось z1 неподвижной декартовой системы координат вдоль вектора  (рис.2).  

Из рисунка видно, что проекция вектора  на подвижную ось z  , где угол  называется углом нутации. С другой стороны, согласно формулам (7) эта же проекция  . Приравнивая друг к другу правые части данных двух равенств, и принимая во внимание значения  из (13) и  из (15), найдём :

                                                                    (17)

Таким образом, из выражения (17) следует, что при движении симметричного тела вокруг неподвижной точки О, лежащей на его оси симметрии, эта ось будет вращаться вокруг неподвижной оси z1,описывая конус с углом  при вершине. Угловая скорость вращения подвижной оси симметрии z тела вокруг неподвижной оси z1 называется угловой скоростью прецессии.

Умножим левую и правую части первого уравнения системы (14) на

, а левую и правую части второго уравнения этой системы на , и сложим соответственно левые и правые части этих уравнений. В результате получим:

                                (18)

На основании равенств (15) и (18) заключаем, что численное значение угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси p, направленной по направлению вектора  остаётся постоянным, т. е.:

                                                    (19)

Определим угловую скорость прецессии. Эта угловая скорость будет равна угловой скорости вращательного движения единичного вектора вокруг оси z1. Найдём скорость конца данного вектора, продифференцировав его по времени, аналогично дифференцированию единичного вектора неподвижной оси z1 (10).

                                                             (20)

Локальная производная от вектора равна нулю, так как этот вектор не изменяется относительно подвижной системы координат Oxyz. Приняв во внимание данный результат, определим абсолютное значение скорости конца вектора :

                                                                 (21)

В формуле (21) численное значение угловой скорости тела  постоянно. Так же будет постоянным угол между векторами  и , поскольку постоянна проекция вектора  на подвижную ось z . Вследствие изложенного, имеем:

                                                                                   (22)

Из равенства (22) следует, что угловая скорость вращения вектора , а значит, и угловая скорость прецессии так же будет постоянной. Найдём эту угловую скорость, поделив скорость конца векторана радиус окружности h, которую он описывает. Как следует из рис.2, . На этом основании получим:

                                       (23)

  Таким образом, можно сделать следующий общий вывод относительно исследованного движения тела. Движение однородного осесимметричного тела относительно неподвижной точки, совпадающей с его центром тяжести, представляет совокупность двух вращений: собственного вращения тела вокруг оси симметрии z c постоянной угловой скоростью , и вращения данного тела вместе с осью симметрии так же с постоянной угловой скоростью (угловой скоростью прецессии) вокруг неподвижной оси z1 .

е) приближённая теория гироскопов

Если для тела, изображённого на рис.2, предположить, что угловая скорость собственного вращения значительно больше угловой скорости прецессии , то такое тело будем называть гироскопом. При этом неподвижная точка О не обязательно совпадает с центром тяжести гироскопа, но обязательно находится на его оси симметрии. Для решения многих, практически важных, задач исследования движений гироскопов используется приближённая теория не связанная с интегрированием системы дифференциальных уравнений (9), (11).

Для построения этой теории примем, что угол нутации  гироскопа остаётся практически постоянным. В силу этого, вектор угловой скорости гироскопа  будет суммой векторов угловых скоростей собственного вращения  и прецессии . Введём обозначения: , . На основании сказанного, имеем:

                                                                                     (24)

Так как по условию то векторы угловой скорости  и кинетического момента гироскопа практически совпадают с  осью симметрии z гироскопа. На этом основании можно записать:

                                                                (25)

В дальнейшем ось симметрии гироскопа будем называть осью гироскопа.

Запишем теорему Резаля (1) для гироскопа с учётом равенств (25):

                             ,                             (26)

где  , как и раньше, представляет скорость конца вектора кинетического момента тела (в данном случае его приближённого значения). Из равенства (26) следует общее свойство движения оси гироскопа: Если на гироскоп действуют какие - либо силы, то направление прецессионного движения его оси совпадает с направлением главного вектора этих сил относительно данной неподвижной точки. Так как ось гироскопа z вращается вокруг неподвижной оси z1 с угловой скоростью, описывая конус, то приближённый вектор кинетического момента гироскопа  будет вращаться с такой же угловой скоростью вокруг оси z1. Скорость т. А конца этого вектора, с учётом равенств (25), можно представить по формуле Эйлера в следующем виде:

                                                             (27)

Подставив данное выражение  в равенство (26), и заменяя приближённое равенство точным, получим основное уравнение приближённой теории гироскопов:

                                                    (28)

Равенство (28) можно так же рассматривать как условие, определяющее суммарный (главный)  момент внешних сил  относительно неподвижной точки О, необходимый для создания заданного прецессионного движения гироскопа. При этом на те тела (приспособления), которые создают это прецессионное движение (вынужденная прецессия), будет действовать такой же главный момент по абсолютной величине, но противоположный по направлению. Этот момент , равный

                                                                 (28*)

называется гироскопическим моментом. Гироскопический момент будет стремиться повернуть ось гироскопа кратчайшим образом в ту сторону, что бы векторы и были направлены в одну сторону (правило Н. Е. Жуковского).

 Приведём некоторые примеры.

Пример 1. Рассмотрим движение гироскопа вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром тяжести. Примером такого движения может служить движение детского волчка, остриё оси которого попало в углубление (ямку) (рис.3).          

                                                                      z1             z

                                                                           

                                                  A        

                                               С

                               

                                     O                            y1  

                                                 

Рис.3                                             x1  

                                       

На рис.3 показано, что скорость конца вектора кинетического момента тела направлена в сторону вектора момента силы тяжести тела относительно т. О. Таким образом, ось волчка будет описывать круговой конус, двигаясь против стрелки часов, если смотреть с положительного направления неподвижной оси z1. Найдём угловую скорость  прецессии, взяв левую и правую части векторного равенства (28) по абсолютной величине, и принимая во внимание, что  :

                      

Из полученного уравнения определяем угловую скорость прецессии:

                                                                                    (29)

Формула (29) полностью соответствует наблюдениям за движением волчка. При больших начальных значениях угловой скорости собственного вращения  угловая скорость прецессии   крайне незначительна. Может быть даже так, что ось волчка, практически, не движется, находясь в вертикальном положении. Затем, по мере уменьшения  вследствие трения, ось волчка начинает вращаться всё быстрее, описывая конус с увеличивающимся углом раствора. На угловую скорость прецессии существенное влияние оказывает расстояние ОС от центра тяжести волчка С до неподвижной точки О. Как следует из формулы (29), угловая скорость прецессии прямо пропорциональна этому расстоянию.

 Пример 2 (вынужденная прецессия)

Под вынужденной прецессией гироскопа будем понимать любой поворот его оси вследствие движения связей, наложенных на эту ось. Простейшими примерами вынужденной прецессии являются поворот оси маховика двигателя автомобиля , при движении автомобиля по криволинейному участку дороги, или поворот колёсной пары вагона при его движении по криволинейному участку рельсового пути. В этих случаях вынужденная прецессия осуществляется путём поворота оси подшипников, в которых закреплена ось маховика или колёсной пары. Согласно правилу Жуковского, на подшипники будут действовать дополнительные  силы,  момент которых определяется формулой (28*).

Рассмотрим схему, представленную на рис.4. Тяжёлый маховик весом вращается с угловой скоростью  вокруг своей оси АВ, закреплённой в подшипниках. В некоторый момент времени ось подшипников z начинает поворачиваться вокруг вертикальной неподвижной оси z1, проходящей через центр тяжести маховика С, с угловой скоростью . Момент инерции маховика относительно его оси z равен . Определить давление маховика на подшипники, если АС=СВ=l.

                                          z1 

                                                                             

                       A                                                               B

                                                C                                           z 

                                                                           

                                                      

                                                        Рис.4                                               

                                                      

Найдём численное значение возникающего гироскопического момента относительно т. С, используя его векторную формулу (28*):

                           (30)

С другой стороны этот же момент . Приравнивая друг к другу правые части данных двух равенств, при условии , найдём:

                                                                                     (31)

Как следует из рис.4, давления на подшипники А и В соответственно равны:

                                     (32)

Из равенств (32) следует, что давления маховика на подшипники могут быть направлены в одну сторону, если , и в разные стороны, если. Однако, в любом случае . Чтобы представить, каких величин могут достигать добавочные гироскопические давления  на подшипники, подсчитаем их величину для случая: , , , . Подставляя эти значения в формулу (31), получим .

Гироскопы нашли большое применение как навигационные приборы (гирокомпасы) и как главная часть приборов, управляющих движением различных летательных и плавательных аппаратов (самолётов, ракет, подводных лодок, торпед и др.). В гирокомпасах используется свойство гироскопа с неподвижным центром тяжести сохранять положение своей оси в пространстве. Для целей управления, в основном, используются различные виды вынужденной прецессии гироскопа (реакция гироскопа на вынужденную прецессию).      

ЛЕКЦИЯ 10

2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии системы.

а) вычисление кинетической энергии тела для некоторых случаев его движения

Специфика применения теоремы об изменении кинетической энергии системы к изучению движения тела состоит в умении вычислять кинетическую энергию тела в различных его движениях. Рассмотрим примеры вычисления кинетической энергии тела при его поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях:

 при поступательном движении тела  скорости всех его точек одинаковы в каждый данный момент времени; на этом основании, из формулы (14) (Лекция 7), получим:

                    ,                  (1)

где V скорость любой точки тела.

 при вращательном движении тела (рис.1, Лекция 8)) скорости его точек Vk=hk. На этом основании, из формулы (14) (Лекция 7), следует:

                                 (2)

 при плоскопараллельном движении примем без доказательства, что кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии его поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг подвижной оси, проходящей через центр масс; на этом основании запишем:

                  ,                         (3)

где VC скорость центра масс тела, IC момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.

 при движении тела с одной неподвижной точкой его кинетическая энергия будет вычисляться так же, как и при вращательном движении (2), только в этой формуле момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения z заменяется моментом инерции тела относительно мгновенной оси p. Однако, поскольку мгновенная ось вращения тела непрерывно изменяет своё положение, как в пространстве, так и по отношению к самому телу, то для практического использования формула типа (2) не пригодна. Поэтому для вычисления кинетической энергии тела с одной неподвижной точкой непосредственно используем формулу (14), Лекция 7, в которой скорости точек тела определим по их проекциям на оси подвижной декартовой системы координат, жёстко связанной с телом (рис.1, и вторая из формул (5),Лекция 9).

Опуская выкладки, запишем окончательную формулу для определения кинетической энергии тела с одной неподвижной точкой:

, (4)

где , соответственно, осевые и центробежные моменты инерции тела, определяемые формулами (10) (Лекция 8). Если подвижные оси координат являются главными осями инерции для неподвижной точки тела, то, в этом случае, центробежные моменты инерции обратятся в ноль, и формула (4) примет следующий вид:

                                                            (5)   

б) определение работы сил, приложенных к вращающемуся телу.

Найдём элементарную работу силы Fi, приложенной к некоторой i-той точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, совмещённой с координатной осью z . Используя формулу (4) (Лекция 6), находим:

                              ,                     (6)

где проекция силы на касательную к окружности, радиуса ri, dsi бесконечно малая дуга окружности, на которую переместится точка приложения i-й силы за бесконечно малое время dt, d  элементарный угол поворота тела за это время. Покажем, что произведение  равно моменту силы Fi относительно оси z. Для этого на рис.1 представлена окружность радиуса ri, по которой перемещается точка приложения i-й силы, и её составляющая F1i, расположенная в плоскости этой окружности. По определению момента силы относительно оси (Лекция 1, раздел 1, пункт 6), момент силы Fi относительно оси z равен:

                         (7)                  

                                                                                                  

                                                              

                                                   

                          hi        ri   F1      90  

                                                     

                                            

                                         Mi      F1i

                

                           Рис.1

Таким образом, на основании равенства (7) выражение (6) примет следующий вид:

                                                                   (8)

При повороте тела на угол  работа силы Fi равна:

                                                                  (9)

Работа А всех сил, приложенных к вращающемуся телу, при его повороте на угол  определяется формулой:

                                                            (10)

3. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения тела.

Рассмотрим плоское движение тела, точки которого движутся параллельно координатной плоскости xOy. Кинематически такое движение тела представляет одновременную совокупность двух движений: поступательного со скоростью, равной скорости произвольной его точки (полюса), и вращательного вокруг подвижной оси перпендикулярной плоскости xOy, проходящей через полюс. При динамическом изучении плоского движения тела в качестве полюса берётся центр масс (центр тяжести) тела. Тогда поступательное движение тела будет описываться дифференциальными уравнениями движения его центра масс, получаемыми из векторного равенства (22) (Лекция 7), путём его проектирования на оси координат, при условии, что zC=const.

Вращательное движение тела вокруг подвижной оси zz, проходящей через его центр масс, описывается дифференциальным уравнением вращательного движения тела вокруг этой оси. Это дифференциальное уравнение, в данном случае, будет таким же, как уравнение (5) (Лекция 8). На основании изложенного, имеем три дифференциальных уравнения, описывающих плоское движение твёрдого тела:

                 (11)

Пример. Задача о гибком вале турбины Лаваля

 В данном примере рассматривается вращение диска паровой турбины Лаваля, находящемся на упруго деформируемой оси вращения ADB, при условии, что центр тяжести диска C не совпадает с осью вращения (рис.2).  

                                                        z   

                                                     А

                                                                                                        

                                                                                   

                                                                                                                                         

                                                       O             C                 y                                                       

                                                          D                           

                                                                                                    

                                      x                              

                                                     В         

                                                           Рис. 2

Эта задача интересна тем, что при достаточно больших угловых скоростях вращения диска турбины, происходит приближение центра тяжести диска к его геометрической оси вращения АОВ (авто центрирование диска). В результате устраняются нежелательные динамические эффекты (возрастание динамических нагрузок на подшипники), связанные с увеличением расстояния центра тяжести вращающегося тела до его оси вращения.

  1.  Постановка задачи

Будем рассматривать движение диска турбины отдельно от вала. На это тело действуют следующие силы: - вес диска;; активные силы, вращающие диск турбины (эти силы условно заменяются вращающим моментом ); силы сопротивления вращению диска (эти силы условно заменяются моментом сопротивления ); силы реакции вала в точке D, которые состоят из вертикальной составляющей (на рисунке не показана) и силы упругости , действующей на диск за счёт прогиба вала AOD. Будем считать величину OD прогиба вала (рис.2) небольшой. Вследствие этого, примем, что упругая сила подчиняется закону Гука, и пропорциональна величине прогиба. Введя вектор (рис.2), запишем выражение упругой силы в следующей векторной форме:

                                                                            (12)

Начальные условия задачи формулировать не будем, так как, в данном случае, наибольший интерес представляет принципиальный характер движения диска турбины.  

  1.  Математическое решение задачи

Считая, что диск совершает плоское движение, для изучения этого движения применим систему уравнений (11). При этом, последнее уравнение данной системы интегрировать не будем, заранее полагая, что вращение диска является равномерным (в этом случае =). Угол поворота диска будем определять углом , образованным отрезком OD или вектором с осью x. (рис.2). Для равномерного вращения диска получим:

                                                                                     (13)

 

С учётом действующих сил, имеем:

              (14)

Выразим координаты точки С диска через координаты его геометрического центра D. Из рис.2 видно: , где . Проектируя данное векторное равенство на оси x и y получим:

                                                             (14)

Проекции вектора на оси координат найдём из рис.2 по формулам: , (15)

где - угол между векторами  и  . Таким образом, с учётом (15), для равенств (14) получим:

                   (16)

Подставляя выражения (14) и (16), с учётом равенства (13), в первые два уравнения системы (11), и деля их левые и правые части на массу диска М, приведём эти уравнения к следующему виду:

                               ,                    (17)

где

                                                                                             (18)

Уравнения (17) аналогичны дифференциальному уравнению вынужденных колебаний точки без учёта сопротивления (Лекция 4 , (3)) и решаются точно так же как и данное уравнение. Поэтому сразу приведём вид их общего решения:

                           (19)

Таким образом, законы изменения координат геометрического центра диска турбины представляют наложение двух гармонических колебаний: собственных колебаний, происходящих с циклической частотой k, и вынужденных колебаний, происходящих с циклической частотой, равной угловой скорости вращения диска .

  1.  Анализ полученного решения

Так же как и в случае вынужденных колебаний точки (Лекция 4), в данном случае, наибольший интерес представляет анализ вынужденных колебаний геометрического центра диска D. При этом, собственные колебания можно не учитывать, так как, во-первых, они являются затухающими, а, во-вторых, можно положить А12=0 путём соответствующего выбора начальных условий. Поэтому выражения (19) можно переписать следующим образом:

                                                  (20)

Определим выражения синуса и косинуса угла  по проекциям вектора  на оси  x и y (рис.2). Для этого определим величину отрезка OD, равного , по формуле . Подставив в эту формулу выражения координат точки D (20), получим:

                                                             (21)

На основании соотношений (20) и (21), для синуса и косинуса угла получим выражения:

                

   (22)

Отсюда следует, что угол может быть только нулём или величиной кратной . Это означает, что точки O, C, и D лежат на одной прямой, которая вращается вместе с диском с угловой скоростью .

                                                                       

                                                                           

                                                                                                    O

                             C                                                          C                          

                       D                                                      D  

                  O   

                           Рис.3                                                          Рис.4

 Учитывая сказанное выше, найдём расстояние ОС от геометрической оси вращения диска до его центра тяжести (рис.3).

Как видно из рис.3, и с учётом формулы (21), это расстояние определяется следующим образом:

                                                (23)

Если , то прогиб вала OD >0 и OC > OD (рис.3). Если же , то прогиб вала OD <0. Это означает, что прогиб происходит в сторону противоположную показанной на рис.3. При неизменном направлении вектора  расстояние OC < OD (рис.4). Значение угловой скорости , соответствующее резонансу, называется критической угловой скоростью.

Из вышеизложенного следует практически важный вывод: если угловая скорость вращения диска турбины превышает критическую угловую скорость, то расстояние от геометрической оси вращения до его центра тяжести становится меньше расстояния от геометрической оси вращения до геометрического центра диска. С дальнейшим увеличением угловой скорости вращения центр тяжести диска начнёт неограниченно приближаться к геометрической оси вращения. Это явление носит название автоматического центрирования.

В турбине Лаваля рабочая угловая скорость выбирается равной . В этом случае, подсчёт по формуле (23) даёт , т. е. неточность в центровке диска турбины уменьшается в 48 раз.

4. Общий случай движения твёрдого тела. Условия равновесия тела.

Как следует из кинематики твёрдого тела, движение тела, в общем случае, представляет непрерывную совокупность двух движений: поступательного движения со скоростью некоторой точки тела, принятой за полюс, и непрерывной последовательности бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращений, проходящих через полюс.  Поэтому, при динамическом изучении движения тела в общем случае необходимо связать движение некоторой точки этого тела и угловую скорость его мгновенного вращения с силами и моментами сил, действующих на тело.

Для этого в качестве полюса удобно взять центр масс тела, применив к изучению  его движения дифференциальные уравнения движения центра масс. В этом случае векторное равенство (22) (Лекция 7) проектируется на оси неподвижной декартовой системы координат. Изучение вращательного движения тела вокруг мгновенной оси, проходящей через его центр масс, аналогично изучению движения тела вокруг неподвижной точки (в данном случае центра масс) (Лекция 9, система уравнений (9), (11)).

На основании вышеизложенного, произвольное движение тела будет описываться следующей системой дифференциальных уравнений:

                            (24)

                                         (25)

                         ,                        (26)

где в уравнениях (24) штрихами отмечены координаты точки относительно неподвижных осей координат, а в уравнениях (25), (26) индексами x, y, z  отмечены проекции вектора мгновенной угловой скорости вращения тела на оси подвижной системы координат, жёстко связанной с телом.

Из системы уравнений (24), (25), как частный случай, вытекают аналитические условия равновесия твёрдого тела. В самом деле, чтобы тело находилось в покое по отношению к некоторой неподвижной системе координат необходимо, во - первых, чтобы его центр масс находился в покое в течении сколь угодно длительного промежутка времени, а, во - вторых, чтобы его угловая скорость так же была равна нулю в течении сколь угодно длительного промежутка времени.

Для этого необходимо выполнение условий:

                        (27)

В равенствах (27) штрихи, отмечающие подвижные координаты отброшены, так как при данных условиях система координат, жёстко связанная с телом, также будет неподвижной. Подставляя условия (27) в систему уравнений (24), (25), получим шесть аналитических условий (уравнений), описывающих равновесие свободного твёрдого тела:

                     (28)

Система аналитических условий равновесия свободного тела (28) эквивалентна двум векторным условиям, которые получаются из векторных соотношений (22) (Лекция 7) и (3) (Лекция 9) при условиях: . Подставляя эти условия в указанные выше соотношения, получим векторную форму записи условий равновесия свободного тела:

                                                         (29)

Общие условия равновесия свободного тела (28) или (29) позволяют исследовать равновесие тела под действием любой системы сил, как это было показано в разделе "Статика".

                 

ЛЕКЦИЯ 11

Общие принципы механики

  1.  Классификация связей. Обобщённые координаты

В разделе «Статика» под связями понимались тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве, т. е. предполагалось непосредственное (механическое) взаимодействие между данным телом и связями, наложенными на это тело. В «Динамике» даётся более широкое понятие связей, как любых ограничений, налагаемых на перемещения и скорости точек системы. В этом случае связями могут быть некоторые, заранее введённые уравнения, связывающие определённой зависимостью координаты точек системы и проекции скоростей этих точек. Приведём классификацию связей.

а) Связи, налагающие ограничения только на координаты точек системы называются геометрическими. Уравнения геометрических связей  могут содержать только координаты и время. Так, например, деформируемая по некоторому закону поверхность, по которой движется точка, является геометрической связью.

б) Связи, налагающие ограничения, как на координаты точек системы, так и на их скорости, называются кинематическими. Уравнения кинематических связей  содержат координаты, производные от координат по времени и время. Так на ракету, которая должна сбить самолёт, налагается кинематическая связь в виде условия, согласно которому её скорость всё время должна быть направлена на самолёт. В некоторых случаях, кинематические связи можно свести к геометрическим путём интегрирования уравнений этих связей.

в) Геометрические связи и интегрируемые кинематические связи называются голономными связями. Неинтегрируемые кинематические связи называются неголономными связями.

г) Связи, не изменяющиеся с течением времени, называются стационарными. Уравнения стационарных связей не содержат в явном виде время. Связи, изменяющиеся с течением времени называются нестационарными. Уравнения нестационарных связей явно содержат время. Так, например, если точка перемещается по неподвижной фиксированной синусоиде (рис.1), то уравнение связи в неявной форме имеет вид . Такая связь является стационарной. Если та же синусоида представляет бегущую вправо волну, то уравнение связи в неявной форме будет иметь вид  (1 и 2  волновые числа). Данная связь является нестационарной.

                                       

                          y

                                                                          

                                         M,t

                                                                                                x

 

                                                         Рис.1

                                              

д) Геометрические связи могут быть удерживающими и неудерживающими. Удерживающие связи сохраняются при любых положениях системы. Уравнения этих связей записываются в виде равенств. Неудерживающие связи при некоторых положениях системы не сохраняются. Уравнения таких связей записываются в виде неравенств. Например, нить математического маятника является неудерживающей связью; её уравнение ( длина нити). Если нить заменить невесомым стержнем, то связь станет удерживающей; её уравнение .

Отметим, что любую неудерживающую связь можно сделать удерживающей путём введения дополнительных условий, не искажающих движения точек системы. Так нить математического маятника будет удерживающей связью при условии, что она находится в натянутом состоянии.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением наиболее простого и весьма распространённого класса связей, каким являются голономные, стационарные и удерживающие связи. Материальные системы с наложенными голономными связями будем называть голономными системами. Для таких систем можно получить уравнения движения или равновесия, не содержащие заранее неизвестных сил реакций связей. Это существенно упрощает решение многих важных задач механики.

Поскольку при наложении связей движение точек системы ограничивается, то возникает вопрос, нельзя ли определять положение точек системы меньшим количеством параметров, чем при использовании обычных координат, например, декартовых. Для ответа на этот вопрос рассмотрим классический пример системы, которая называется двойным математическим маятником (рис.2). Эта система состоит из двух, находящихся в вертикальной плоскости материальных точек, соединённых между собой

                                                                                                              

                                                                                   x

                                     О

                                          l1

                                           1    m1                 

                                                               2      l2

                                                                      m2

                                y

                                                           Рис.2

нитью длиной l2 и подвешенных на нити длиной l1. Нити считаются невесомыми и нерастяжимыми. На данную систему двух материальных точек наложены следующие связи: 1) связи, являющиеся условием нахождения точек только в координатной плоскости xOy; уравнения этий связей  z1=z2=0; 2) связь в виде нити длиной l1, наложенная на точку массы m1; уравнение этой связи  x12+y12= l12; 3) связь в виде нити длиной l2, наложенная на точку массы m2; уравнение этой связи  (x2-x1)2+(y2-y1)2= l22. Таким образом, имеем голономную систему двух материальных точек с четырьмя связями.

Для определения положения такой системы в пространстве необходимо было бы задать 23=6 декартовых координат. Однако, при наложенных на точки системы связях, эти координаты не являются независимыми. Например, координаты второй материальной точки могут быть выражены через координаты первой точки (рис.2)по формулам:

                         (1)

Учитывая, кроме того, что координаты первой точки могут быть выражены через один параметр 1 (рис.2)по формулам:

                      ,                            (2)

видим, что координаты точек выражаются только через два независимых параметра 1 и 2. Это значит, что с учётом уравнений z1=z2=0, положение системы определяется двумя независимыми параметрами, которыми являются углы 1 и 2 отклонения нитей от вертикали.

Независимые параметры, полностью определяющие положение системы в любой момент времени, называются обобщёнными координатами этой системы. Обобщёнными координатами могут быть прямолинейные и криволинейные координаты, угловые координаты, площади фигур и т. д. Количество обобщённых координат данной системы называется числом степеней свободы этой системы. В общем случае, число обобщённых координат (число степеней свободы) и число декартовых координат, определяющих положение системы, связаны следующим соотношением:

                                            p=N - s ,                                                   (3)   

где p  число обобщённых координат, N  число декартовых координат, определяющих положение системы, s  число связей. В рассмотренном выше примере, N=6, s=4, p=6 - 4=2.

  1.  Возможные (виртуальные) перемещения системы. Принцип возможных перемещений

При действии на точки (тела) системы заданных активных сил эти точки (тела) получают некоторые перемещения, допускаемые голономными связями, наложенными на точки (тела) этой системы. При изменении заданных активных сил точки (тела) системы получат, вообще говоря, другие перемещения, допускаемые теми же, наложенными на них, связями. Если рассматривать перемещение системы за бесконечно малый промежуток времени, то каждое бесконечно малое перемещение любой точки системы, допускаемое связями, наложенными на эту точку, в данный момент времени называется возможным (виртуальным) перемещением этой точки системы. Совокупность таких перемещений для всех точек (тел) системы в данный момент времени называется возможным перемещением системы.

Для системы, изображённой на рис.2, возможными перемещениями точек являются их бесконечно малые перемещения в плоскости xOy перпендикулярные соответствующим нитям. Для точки, находящейся на какой-либо гладкой поверхности, её возможными перемещениями будут любые бесконечно малые перемещения, лежащие в касательной плоскости к поверхности в данной точке и т. д. Ясно, что при наложенных голономных связях не все возможные перемещения точек (тел) системы будут независимыми. Независимых друг от друга возможных перемещений точек системы будет столько, сколько обобщённых координат(степеней свободы) имеет данная система. Так для двойного математического маятника, изображённого на рис.2, независимых возможных перемещений два, что совпадает с числом степеней свободы этой системы. Чтобы отличить возможные перемещения точек системы от действительных, первые будем обозначать символом , а вторые, как и ранее, символом дифференциала d.

Для дальнейших доказательств дадим более общее понятие идеальных связей, которое уже использовалось при рассмотрении теоремы об изменении кинетической энергии системы (см. Лекция 7). Идеальными связями называются такие связи, для которых сумма элементарных работ их сил реакций на любом возможном перемещении системы (возможных работ) равна нулю, т. е.  (через Nk обозначена равнодействующая всех сил реакций связей, приложенных к к-й точке системы).

Докажем следующее условие равновесия для системы с голономными, стационарными и идеальными связями: Для равновесия механической системы с голономными, стационарными и идеальными связями необходимо и достаточно, что бы сумма возможных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю.

Доказательство необходимости: Приложим к каждой точке системы равнодействующую всех активных сил Fk и равнодействующую всех сил реакций связей Nk (k=1,2,…n, где n-число точек системы). Тогда необходимым условием равновесия системы, является условие равновесия каждой её точки. На основании известной аксиомы статики это условие может быть записано в следующем виде:

                                                                                   (4)

Умножим, скалярно, левую и правую части этих равенств на возможные перемещения точек системы, и просуммируем их левые и правые части по точкам системы:

                                                             (5)

Последняя сумма равенства (5) представляет сумму работ всех сил реакций связей, приложенных к точкам системы. На основании данного выше определения идеальных связей, эта сумма равна нулю, т. е. . Первая сумма равенства (5) представляет сумму работ всех активных сил, приложенных к точкам системы. Таким образом, необходимость выполнения условия равновесия системы доказана, т. е. .

Доказательство достаточности: Предположим, что условие  выполняется, но система пришла в движение из состояния покоя. В этом случае одно из возможных перемещений каждой точки системы реализуется в действительном перемещении , направленном по направлению равнодействующей Rk сил Fk и Nk, причём:

                           , k=1,2,…n                                   (6)

Умножим скалярно левую и правую части векторных равенств (6) на векторы действительных перемещений  точек системы, и просуммируем их левые и правые части по точкам системы:

                                               (7)

По определению идеальных связей . Сумма, стоящая в правой части равенства (7), будет положительной величиной, так как векторы Rk и направлены по одной прямой в одну сторону (см. выше) и их скалярное произведение положительно. На этом основании, из равенства (7) следует:

                                                                                 (8)

Таким образом, для одного из возможных перемещений системы получили противоречие с ранее введённым условием и предположением об отсутствии равновесия системы при выполнении этого условия. Это значит, что условие

                                                                                       (9)

является необходимым и достаточным условием равновесия механической системы с голономными, стационарными и идеальными связями.

Сформулированное выше условие равновесия известно как принцип возможных перемещений. При практическом применении уравнения (9) возможные перемещения точек системы выражаются через независимые возможные перемещения системы, обусловленные изменением обобщённых координат. Тогда равенство (9) будет иметь место только в том случае, когда коэффициенты при независимых возможных перемещениях системы будут равны нулю. Это даст столько уравнений, сколько степеней свободы имеет данная механическая система.

ЛЕКЦИЯ 12

3. Принцип Даламбера

Принцип Даламбера позволяет дать общий подход к составлению уравнений движения механической системы, используя для этого уравнения статики. Получим этот принцип в виде удобном для совместного применения с принципом возможных перемещений. Для этого сначала получим принцип Даламбера для одной несвободной материальной точки. В качестве примера рассмотрим движение точки по гладкой поверхности под действием одной активной силы F (см. рис.1).                                               

                                                       

                                                                 

                                                                                          

                                                                                                              

                                                            

                                                                                                  

                                                                          Рис.1

                                          

                                                                     

Освободив точку от связи (гладкой поверхности) запишем основное уравнение динамики точки в следующем виде:

                                                                            (1)

Введём обозначение:

                                                                                (2)

Величина имеет размерность силы и называется силой инерции. В отличие от обычных физических сил, обусловленных взаимодействием между материальными объектами, силы инерции на тела не действуют и, с этой точки зрения, являются фиктивными. Из равенства (2) следует, что силы инерции направляются противоположно ускорению точки (рис.1). С учётом выражения (2), равенство (1) можно записать в виде векторного уравнения равновесия сходящейся системы сил:

                                                                     (3)

Равенство (3) и выражает принцип Даламбера для одной материальной точки.

Применительно к механической системе принцип Даламбера записывается в виде условий равновесия для произвольной пространственной системы сил (Лекция 10, (28) или (29)), включающей все внешние силы, внутренние силы и силы инерции, приложенные к точкам или телам системы. В этом случае, по свойству внутренних сил , , и векторные условия равновесия примут следующий вид:

    (4)

Условия (4), записанные в аналитической форме, приводят, в общем случае, к шести скалярным условиям аналогичным условиям равновесия (28) (Лекция 10). Эти условия дают общий подход к составлению уравнений движения механической системы в виде уравнений её равновесия под действием внешних сил и фиктивных сил инерции.

 В качестве примера применения принципа Даламбера для материальной системы рассмотрим задачу определения сил реакций связей, наложенных на тело, равномерно вращающееся вокруг неподвижной оси (рис.2).

                                                     z    B

                                                                   

                                                          rk                  

                                                                   k      mk     

                                                                 h      

                                                                      C                   

                                                    A

 Рис.2                                          xC           yC             y  

                             x       

                                                           

На рис.2 изображено тело, равномерно вращающееся с угловой скоростью вокруг неподвижной оси АВ, закреплённой в подпятнике А и подшипнике В. Ось вращения тела совпадает с координатной осью z. На тело действует система n внешних сил, включающих активные силы и силы сопротивления, а так же, отдельно показанные, силы реакции подпятника и подшипника. Применяя принцип Даламбера, присоединим к каждой материальной точке тела массы mk силы инерции, направленные противоположно ускорениям точек (при равномерном вращении тела ускорения его точек направлены по радиусам окружностей к их центрам, лежащим на оси вращения).

Запишем условия равновесия (4) полученной системы сил в проекциях на оси декартовой системы координат, показанной на рис.2:

                       (5)

Из последнего уравнения системы (5) следует, что для создания равномерного вращения тела вокруг оси z сумма моментов относительно этой оси активных сил и сил сопротивления должна быть равна нулю. Из третьего уравнения системы (5) определяется проекция реакции подпятника на ось z:

                                                                         (6)

Для решения оставшейся системы четырёх уравнений найдём суммы проекций на координатные оси и суммы моментов относительно координатных осей всех сил инерций, выразив их через угловую скорость . С этой целью, вначале найдём векторную сумму всех сил инерции, т. е. главный вектор сил инерции , используя равенства (3) и (24) (Лекция 7):

               (7)

Таким образом, главный вектор сил инерции (векторная сумма всех сил инерции) определяется как сила инерции, условно приложенная к центру масс системы, если бы в нём была сосредоточена масса всей системы. Найдём теперь проекции ускорения центра масс С системы на оси координат, принимая во внимание, что точка С движется равномерно по окружности радиуса h (рис.2), т. е. её ускорение равно нормальному ускорению. Численное значение этого ускорения . Введя на рис.2 угол между положительным направлением оси x и радиусом окружности, проведённым в текущее положение т. С, найдём:

                        (8)

           

             

Теперь, проектируя векторное равенство (7) на оси x и  y, с учётом (8), найдём проекции векторной суммы всех сил инерции на эти оси координат:

                 (9)

Суммы моментов сил инерции относительно осей x и  y найдём, используя аналитические формулы моментов силы относительно координатных осей

(). Проекции сил инерции, приложенных к каждой материальной точке тела массы mk, находятся так же как проекции главного вектора сил инерции (9). Численное значение силы инерции, приложенной к точке тела массы mk  при его равномерном вращении равно:, где rk - радиус окружности, по которой движется  к - я точка тела. На основании вышеизложенного получим:

                 

Последние суммы в полученных выражениях представляют центробежные моменты инерции (см. Лекция 8, (10)). На этом основании, выражения суммы моментов сил инерции относительно осей x и  y можно записать в следующем виде:

                      (10)

Подставив найденные выражения суммы проекций на координатные оси и суммы моментов относительно координатных осей всех сил инерций (9) и (10) в оставшиеся неиспользованными уравнения системы (5), решим их относительно остальных проекций сил реакции подпятника и подшипника:

  (11)

Таким образом, соотношения (6) и (11) полностью решают поставленную задачу определения реакций связей (подпятника и подшипника), наложенных на равномерно вращающееся тело. Если в этих соотношениях угловую скорость вращения тела положить равной нулю, то оставшиеся в них слагаемые будут определять силы реакции подшипника и подпятника для покоящегося тела. Такие реакции связей будем называть статическими реакциями. Реакции, определяемые формулами (11), будем называть динамическими реакциями. Как видно из этих формул, динамические реакции могут значительно превышать статические, при больших угловых скоростях вращения тела или при больших отклонениях центра масс тела от его геометрической оси вращения (в данном случае оси z).

Если угловая скорость вращения тела не равна нулю, то динамические реакции могут быть равны статическим (практически, близкими к статическим) в том случае, когда центр масс тела находится на его оси вращения, т. е. xC=0, yC=0, и центробежные моменты инерции Ixz=Iyz=0. В этом случае ось вращения тела z будет главной центральной осью инерции (Лекция 8, раздел 1, пункт б). Можно показать, что если ось вращения тела не является главной центральной осью инерции, то её можно сделать такой путём добавления к телу, в определённых местах, двух точечных масс (см. С.М. Тарг Краткий курс теоретической механики: М.: Высшая школа, 1986. 416 с.). На этой теории основана важная техническая задача динамического уравновешивания вращающихся масс, или динамической балансировки вращающихся тел.

Далее рассмотрим применение принципа Даламбера для механической системы совместно с принципом возможных перемещений, записав равенство (3) для каждой точки системы и умножив его левую и правую части на возможные перемещения точек системы:

      , k=1,2,…n                     

Просуммировав левые и правые части всех n равенств данного вида, и принимая во внимание определение идеальных связей, придём к уравнению, являющемуся аналогом принципа возможных перемещений (Лекция 11, (9)):

                                                    (5)

С учётом выражения (2), уравнение (5) можно представить в следующем виде:

                                                        (6)

Уравнение (5) или (6) известно как уравнение Даламбера-Лагранжа или общее уравнение динамики. Это уравнение формально используется так же, как и принцип возможных перемещений , но с прибавлением к активным силам сил инерции. Конечно, следует иметь в виду, что общее уравнение динамики, в отличие от принципа возможных перемещений, применяется для исследования движения систем.

  1.  Обобщённые силы

Как уже было сказано выше, при практическом применении принципа возможных перемещений или общего уравнения динамики, возможные перемещения точек системы выражаются через независимые возможные перемещения системы, обусловленные изменением обобщённых координат. Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек, к которым приложено n активных сил. Система имеет s степеней свободы. Согласно сказанному, выразим радиус- векторы точек через обобщённые координаты qi, число которых равно числу степеней свободы данной системы (i=1,2,…s):

                                      (7)

Найдём возможные перемещения точек системы, выразив их через возможные изменения обобщённых координат, так же  как полные дифференциалы функций (7).

         , k=1,2,…n         (8)

Умножим скалярно левую и правую части равенств (8) на соответствующую активную силу Fk и просуммируем соответственно их левые и правые части:      

                     

Собирая в правой части этого равенства слагаемые, содержащие возможные изменения одинаковых обобщённых координат, получим следующее выражение:

 (9)

В правой части равенства (9) выражения

                       , i=1,2,…s                                    (10)

называются обобщёнными активными силами, соответствующими i-й обобщённой координате. На основании выражений (10), равенство (9) перепишется в следующем виде:

                     (11)

Равенство (11), с учётом (10), представляет выражение суммы возможных работ всех активных сил, действующих на механическую систему, через обобщённые координаты этой системы. Из равенства (11) следует, что выражения вида Qiqi (i=1,2,…s) имеют размерность работы. Однако, поскольку обобщённые координаты системы qi и их возможные изменения qi могут иметь произвольную геометрическую размерность, то размерность обобщённой силы Qi, в общем случае, может не совпадать с размерностью обычной силы. Это совпадение будет только в том случае, когда обобщённая координата qi имеет размерность длины.

На основании равенства (11), можно получить простое правило определения каждой обобщённой активной силы. Для этого необходимо дать системе такое возможное перемещение, при котором изменялась бы только данная обобщённая координата qi. Тогда в правой части равенства (20) пропадут все слагаемые, кроме одного Qiqi (i=1,2,…s), а в левой части этого равенства сумма возможных работ будет определяться на перемещении, при котором изменяется только данная обобщённая координата qi. В этом случае для обобщённой активной силы получим следующее выражение:

                              ,                           (12)

где означает возможное перемещение k-й материальной точки при изменении только i-й обобщённой координаты.

Аналогично равенству (11), полученному для активных сил, записывается сумма возможных работ всех сил инерции, прикладываемых к точкам системы, согласно принципу Даламбера:

    ,   (13)

где величины Qiин (i=1,2,…s) называются обобщёнными силами инерции и определяются следующими выражениями:

     , i=1,2,…s                 (14)

  1.  Общее уравнение динамики в обобщённых координатах и уравнения Лагранжа.

Подставим в общее уравнение динамики (5) выражения суммы возможных работ всех активных сил (11) и сил инерции (13), в результате чего это уравнение примет следующий вид:

(15)

Так как возможные изменения обобщённых координат независимы друг от друга, то равенство (15) имеет место только в том случае, если коэффициенты при каждом независимом возможном перемещении системы равны нулю. Отсюда получим систему s уравнений:

                    (16)

Если система находится в равновесии, то все обобщённые силы инерции Qiин=0 (i=1,2,…s), и из уравнений (16) будут следовать уравнения равновесия системы, выражающие принцип возможных перемещений в обобщённых координатах.

Уравнения (16) удобнее составлять, если обобщённые силы инерции выразить через кинетическую энергию системы (Лекция 7, (14)). Для этого обобщённые силы инерции Qiин выразим через квадраты скоростей точек системы, представив эти силы по формулам (14), с учётом:

                                                           (17)

Дальнейшие преобразования выражения (17) проводятся с помощью следующих дифференциальных тождеств:

                              (18)

                         

Первое и третье из тождеств (18) очевидны. Для доказательства второго из них выразим скорости точек системы через обобщённые координаты, продифференцировав по времени выражения радиус-векторов точек (7), и сравним полученные выражения с частными производными от радиус-векторов точек по обобщённым координатам:

                               (19)

Величины (i=1,2,…s), входящие сомножителями в правые части равенств (19), называются обобщёнными скоростями, соответствующими i-й обобщённой координате. Дифференцируя левую и правую части равенства (19) по каждой из обобщённых скоростей, придём ко второму из тождеств (18).

На основании тождеств (18), выражения обобщённых сил инерции (17) приводятся к следующему виду:

                    (20)

Используя, наконец, независимость операций суммирования и дифференцирования, придём к следующему выражению для обобщённых сил инерции:

, i=1,2,…s        (21)  

Таким образом, обобщённые силы инерции оказались выражены через кинетическую энергию T механической системы, что и требовалось получить. Подставляя выражения сил инерции (21) в уравнения (16), и перенося обобщённые активные силы Qi в правые части этих уравнений, получим следующую систему уравнений:

                        , i=1,2,…s                           (22)

Уравнения (22) называются уравнениями Лагранжа второго рода, или, просто, уравнениями Лагранжа.

Если на точки системы действуют потенциальные активные силы, то в этом случае обобщённая активная сила Qi может быть выражена через потенциальную энергию этих сил. Рассматривая элементарные действительные перемещения точек приложения потенциальных активных сил, найдём сумму элементарных работ этих сил, используя формулы (Лекция 6, (36), (38)):

                      ,                   (23)

где dПk бесконечно малое приращение потенциальной энергии k-й активной силы при бесконечно малом действительном перемещении её точки приложения. Тогда, рассматривая потенциальную энергию всех активных сил как функцию обобщённых координат системы, запишем:

                 (24)

Сравнивая выражение (24), записанное для действительного перемещения системы, с аналогичным уравнением (11), записанным для любого возможного перемещения системы (в том числе и для действительного перемещения), получим выражения обобщённых сил, соответствующих данным обобщённым координатам системы:

                            , i=1,2,…s                                     (25)

Подставляя выражения Qi (25) в уравнения (22), и, принимая во внимание, что потенциальная энергия Пi зависит только от обобщённых координат системы, приведём их к следующему виду:

                           , i=1,2,…s ,                        (26)

где L  называется функцией Лагранжа, которая определяется как разность кинетической и потенциальной энергий системы:

                                                                                   (27)

Уравнения (26) являются уравнениями Лагранжа, описывающими движение механической системы в потенциальных силовых полях.

Уравнения Лагранжа позволяют достаточно просто получить систему дифференциальных уравнений движения любой материальной системы с голономными связями относительно её обобщённых координат. Эти дифференциальные уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, так как кинетическая энергия системы зависит только от обобщённых координат и скоростей.

ЛЕКЦИЯ 13

6. Уравнения Гамильтона

Уравнения Лагранжа (Лекция 12, (22), (26)) являются системой s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Гамильтоном был указан способ сведения этой системы уравнений к системе 2s дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого он ввёл, кроме обобщённых координат qi и обобщённых скоростей , ещё s новых переменных pi , определяемых по формулам:

                       , i=1,2,…s                                   (1)

Величины pi называются обобщёнными импульсами системы, соответствующими данным обобщённым координатам qi этой системы. Кроме этого вводится функция Гамильтона H, определяемая выражением:

                                                                       (2)

Эта функция называется ещё гамильтонианом системы. Для механической системы со стационарными голономными связями функция Лагранжа L зависит только от обобщённых координат и скоростей, а гамильтониан H должен быть выражен через обобщённые координаты и импульсы. Таким образом, имеем:

                                                      (3)

На основании равенств (Лекция 12, (26), (27)), и (1) - (3) найдём выражения обобщённых скоростей и импульсов через гамильтониан системы H. Для этого определим сначала полный дифференциал функции H из равенства (3), а затем сравним его с полным дифференциалом H из равенства (2):

    (4)

С учётом выражений (1), в правой части равенства (4) уничтожаются суммы, содержащие . Приравнивая в равенстве (4) слева и справа коэффициенты при dqi и dpi, получим соотношения:

                                                              (5)

После подстановки выражений  из (5) и из (1) в уравнения (26) (Лекция 12),  приведём эти s уравнений второго порядка к системе 2s уравнений первого порядка:

                             , i=1,2,…s                      (6)                   

Уравнения (6) называются каноническими уравнениями Гамильтона. Эти уравнения эквивалентны уравнениям Лагранжа (26) (Лекция 12) . Можно показать, что для голономных связей гамильтониан системы H=T является полной механической энергией системы.

Примеры

Рассмотрим приёмы составления дифференциальных уравнений движения механической системы с использованием уравнений Даламбера-Лагранжа, Лагранжа 2-го рода и Гамильтона на примере механической системы, показанной на рис.1.

                                 y                               s2

                                                     M            

                                        s1                    

                                                                G2       G1

                                                                                               x

                                                        Рис.1

На рисунке изображена треугольная призма весом G1, которая может скользить без трения по гладкой горизонтальной поверхности. По наклонной грани призмы скользит без трения тело М весом G2. Определить движение данной механической системы. Вначале получим дифференциальные уравнения движения тел этой системы.

а) решение с помощью уравнения Даламбера-Лагранжа.

Данная система имеет две степени свободы, и её положение будем определять двумя обобщёнными координатами s1 и s2, показанными на рис.1. Составим для этой системы два уравнения вида (Лекция 12, (16)):

                                                  (7)

Определим обобщённые активные силы и обобщённые силы инерции, по формулам (12) (Лекция 12). Для определения обобщённой активной силы Q1 дадим всем точкам системы возможные перемещения, соответствующие возможному изменению только обобщённой координаты s1. При этом, система получит поступательное перемещение, как одно твёрдое тело, все точки которого переместятся по горизонтали на вектор , например, вправо. При таком перемещении работы активных сил G1 и G2 будут равны нулю и, согласно (12) (Лекция 12), Q1=0. Для определения обобщённой активной силы Q2 дадим точкам системы возможные перемещения, соответствующие возможному изменению только обобщённой координаты s2. В этом случае получит поступательное перемещение только тело М на вектор , направленный вдоль наклонной грани призмы, например, влево. При таком перемещении совершит возможную работу только активная сила G2:

                                                                (8)

На основании формул (12) (Лекция 12) обобщённая сила Q2  будет равна:                             

                                                                            (9)

Аналогично предыдущему поступим при определении обобщённых сил инерции и . Направим силы инерции противоположно тем направлениям, в которых соответствующие обобщённые координаты возрастают. При этом силу инерции тела М разложим на две составляющие: переносную силу инерции  и относительную силу инерции  (рис.1). Кориолисова сила инерции равна нулю, так как равно нулю кориолисово ускорение точек тела М (подвижная система отсчёта, связанная с призмой, движется поступательно). При возможном изменении только обобщённой координаты s1 возможная работа сил инерции и обобщённая сила инерции соответственно равны:

                                 (10)

При возможном изменении только обобщённой координаты s2, соответственно, получим:

          (11)

Подставляя полученные выражения обобщённых активных сил и сил инерции в уравнения (7), приведём их к следующему виду:

                                                (12)

                         

б) решение с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода.

Используем уравнения вида (22) (Лекция 12), поскольку обобщённые активные силы Q1 и Q2 были уже определены в п. а. Для выбранных обобщённых координат s1 и s2 эти уравнения запишутся в следующем виде:

                           (13)

Вычислим кинетическую энергию системы в произвольный момент времени, выразив её через обобщённые координаты и обобщённые скорости. Так как тела системы совершают поступательное движение, то их суммарная кинетическая энергия будет равна:

                                                                          (14)

где , а  определяется по формуле сложения скоростей точки в сложном движении (рис.1):

(15)

На этом основании, кинетическая энергия системы (14) примет следующее выражение:

                                   (16)

Используя это выражение, вычислим все производные, входящие в уравнения (13):

(17)

Подставим полученные выражения производных от кинетической энергии системы в уравнения (13), учтя, при этом, значения обобщённых активных сил Q1 и Q2, полученные в п. а. В результате, придём к следующей системе дифференциальных уравнений относительно обобщённых координат s1 и s2:  

                                                (18)

                         

Как и следовало ожидать, эти уравнения полностью совпадают с аналогичными им уравнениями (12), полученными в п.а другим методом. Таким образом, имеется возможность проверки правильности составления дифференциальных уравнений движения механической системы с помощью вышеуказанных двух методов: общего уравнения механики (уравнения Даламбера-Лагранжа), записанного в обобщённых координатах, и уравнений Лагранжа 2-го рода.

в) решение с помощью уравнений Гамильтона

В предыдущих двух способах составления дифференциальных уравнений движения механической системы получается система двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщённых координат. Рассмотрим ещё один способ получения дифференциальных уравнений движения системы с помощью уравнений Гамильтона, который приведёт к системе четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Согласно (6) и выбранным обобщённым координатам s1 и s2, эти уравнения примут следующий вид:

                           (19)

Приведём последовательность составления дифференциальных уравнений движения механической системы с помощью уравнений Гамильтона.

Вначале составим гамильтониан системы H, выразив его через обобщённые координаты и обобщённые скорости. Учтём, что в данном примере связи голономные и H=T. Кинетическая энергия системы Т была определена ранее (16), а потенциальная энергия системы П=-G2s2sin, если поверхность нулевого потенциала силы G2 провести через начало отсчёта координаты s2 (рис.1). На основании изложенного, для гамильтониана системы получим следующее выражение:

     (20)

Затем составляем функцию Лагранжа L по формуле (27) (Лекция 12), так же выразив её через обобщённые координаты и обобщённые скорости:

       (21)

Далее по формулам (1) определяем обобщённые импульсы рi, соответствующие каждой обобщённой координате (i=1,2):

           (22)

После этого решаем систему уравнений (22) относительно обобщённых скоростей  и , выражая их через обобщённые импульсы:

    (23)

Подставив значения обобщённых скоростей из (23) в выражение гамильтониана (20), приведём его к следующему виду:

(24)

Подставив это выражение гамильтониана H в уравнения (19), получим окончательно:

                      ,                                       (25)

при этом, для обобщённых скоростей получим соответствующие выражения по формулам (23). Следовательно, уравнения Гамильтона относительно обобщённых скоростей могут быть использованы для проверки правильности составления выражений, связывающих обобщённые скорости с обобщёнными импульсами.

Таким образом, применение уравнений Гамильтона (19) для решения данной задачи привело к системе четырёх дифференциальных уравнений первого порядка (23), (25). Решение этой системы несколько проще, чем решение системы двух дифференциальных уравнений второго порядка, например, (18). Приведённый способ составления дифференциальных уравнений движения системы оказывается особенно удобным для численного интегрирования этой системы уравнений, так как она уже оказывается записанной в форме Коши, применяемой для численного интегрирования.

г) интегрирование полученных дифференциальных уравнений движения системы

Начнём с интегрирования системы уравнений (12), или (18). Для этого разрешим одну из данных систем относительно  и :

                         (26)

Далее, методом понижения порядка, проинтегрируем каждое из уравнений (26):

                                         (27)

                                        

В равенствах (27) величины Ск (к=1,2…4) являются постоянными интегрирования.

Проинтегрируем теперь систему уравнений (23), (25). Из уравнений (25) находим обобщённые импульсы:

                                                 (28)

Подставив их в выражения (23), находим обобщённые скорости:

                                (29)

Ещё раз интегрируя полученные уравнения по времени, найдём обобщённые координаты как функции времени:

               (30)

Таким образом, функции (27), (29) и (30) отличаются друг от друга только различными обозначениями постоянных интегрирования. Эти постоянные, как обычно, определяются начальными условиями задачи, т.е. заданием начальных значений обобщённых координат и обобщённых скоростей.

ЛЕКЦИЯ 14

  1.  Принцип Гамильтона (принцип наименьшего действия)

Рассмотренные выше принципы механики, такие как, принцип Даламбера, принцип возможных перемещений и, вытекающие из них, общее уравнение механики, уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона, относятся к, так называемым, дифференциальным принципам. Они выводились при рассмотрении мгновенного состояния системы при бесконечно малых возможных перемещениях системы из этого состояния. Однако дифференциальные уравнения движения системы можно получить из другого принципа, в котором рассматривается движение системы за конечный промежуток времени и возможные перемещения системы в этом промежутке. Такого рода принципы известны как интегральные принципы.

Одним из таких интегральных принципов является принцип Гамильтона. Прежде всего, дадим некоторые понятия, характеризующие движение системы за данный промежуток времени. В каждый данный момент времени положение (конфигурация) системы полностью определяются значениями обобщённых координат qi (i=1,2,…s), где s число степеней свободы системы. Это s мерное пространство будем называть пространством конфигураций. В частности, для свободной материальной точки s=3, q1=x, q2=y, q3=z пространство конфигураций является трёхмерным. Для механической системы, изображённой на рис.1 (Лекция 13) (s=2, q1=s1, q2=s2), пространство конфигураций является двумерным. Положение системы в данный момент времени условно можно изобразить точкой М(q1, q2,…qs) в пространстве конфигураций. Такая точка называется изображающей точкой.

С течением времени состояние системы изменяется, и изображающая точка будет описывать в пространстве конфигураций некоторую кривую. Эту кривую, будем называть траекторией движения системы (по аналогии с траекторией движения точки) в пространстве конфигураций. Время t, при этом, рассматривается как параметр. Рассмотрим перемещение изображающей точки из положения М0 при t0=0 в положение М1 при t=t1 (рис.1).

                                                         

                                                  М',t         II               M1

                                                                              I

                                          M0                      M,t

                                                                          

                                                              Рис.1                                  

Пусть, при этом, действительное движение происходит по кривой I (прямой путь). Наряду с действительной траекторией I, рассмотрим одну из возможных траекторий II, допускаемую наложенными на систему связями, и проходящую через те же две точки вблизи действительной траектории. Эту траекторию будем называть окольной (окольный путь).

 Если на действительной траектории взять текущую точку М в момент t и в этот момент времени дать системе возможное перемещение, при котором она переместится на окольную траекторию в точку М', то отрезок ММ' при фиксированном t изобразит возможное перемещение системы в данный момент времени.

Поставим теперь задачу  определить действительную траекторию системы среди окольных. Начнём с рассмотрения некоторых математических операций, которые понадобятся в дальнейшем. Пусть система имеет s степеней свободы, и радиус-векторы точек системы выражены через s обобщённых координат и время:

                                                          (1)

Найдём возможное изменение радиус-векторов точек при фиксированном t по формулам (8) (Лекция 12) :

                                                                      (2)

Математическую операцию нахождения возможного изменения какой-нибудь величины будем называть операцией варьирования. Эта операция

аналогична операции взятия полного дифференциала при t=const. 

Пусть qi(t,)  однопараметрическое семейство траекторий, соединяющих точки М0 и М1 (). Перемещению системы вдоль какой-либо траектории (действительной или окольной) будет соответствовать изменение обобщённых координат только за счёт времени при =const, а перемещению системы с одной траектории на другую при данном t соответствует  только изменение параметра . Тогда вариация i-й обобщённой координаты будет равна:

                                                                             (3)

Найдём производную по времени от координаты qi (напомним, что в этом случае =const):

                                              (4)

Аналогично равенству (4), с учётом выражений (3), (4), найдём производную по времени от функции qi:

             , или

                                                                       (5)

Полученное соотношение называется перестановочной операцией дифференцирования и варьирования.

Покажем справедливость данной перестановочной операции для радиус- векторов точек. Для этого продифференцируем по времени функции (1) и (2):

                                                                    (6)

 

С другой стороны, принимая во внимание первое из равенств (6), найдём вариацию от функции:

(7)

Вычитаем, соответственно, из левой и правой части второго равенства (6) левую и правую части равенства (7):

                     (8)

В силу перестановочности операций дифференцирования и варьирования (5) правая часть выражения (8) обращается в нуль. В результате, перестановочность операций дифференцирования и варьирования для радиус-векторов точек доказана:

                                                                         (9)

Следует подчеркнуть, что эта операция справедлива только для механических систем с идеальными голономными связями.

Вернёмся к поставленной задаче определения действительной траектории среди всех окольных. Запишем общее уравнение механики для действительного движения в форме (Лекция 12, (6)) и рассмотрим интеграл:

                                                  (10)

В интеграле (10) преобразуем первое слагаемое:

                            (11)

Правую часть равенств (11) проинтегрируем по частям, приняв  ,  и воспользовавшись известным правилом интегрирования по частям :

              (12)

Первое слагаемое в правой части равенств (12) обращается в нуль, так как возможные перемещения системы при t=0 и t=t1 равны нулю (см. рис.1). Второе слагаемое запишем с учётом перестановочности операций дифференцирования и варьирования в следующем виде:

                  (13)

После этого, на основании равенств (11) - (13), уравнение (10) примет следующий вид:

                                                         (14)

В таком виде уравнение (14) выражает «принцип наименьшего действия» Гамильтона для механических систем с голономными идеальными связями: На действительной траектории системы обращается в нуль интеграл от функции.

Если силы, действующие на систему, являются потенциальными, то в этом случае (Лекция 12, (23)) сумма возможных работ всех активных сил будет равна взятому со знаком минус возможному изменению потенциальной энергии системы:

                                                             (15)

В этом случае уравнение (14) примет следующий вид:

                                                                        (16)

Вводя функцию Лагранжа в соответствии с равенством (27) (Лекция 12), и с учётом независимости операций интегрирования и варьирования (напомним, что при варьировании время фиксировано), окончательно получим:

                                                                                      (17)

Условия (14) или (17) являются необходимыми условиями действительного движения системы. Покажем, что эти условия являются и достаточными. Для этого достаточно получить уравнения движения системы из принципа Гамильтона в форме (14) или (17).Запишем подынтегральное выражение в уравнении (14) как функцию обобщённых координат, обобщённых скоростей и времени, т. е.

,     (18)

где второе из равенств (18) записано на основании соотношения (13) (Лекция 12). В этом случае принцип Гамильтона примет следующий вид:

                                                    (19)

Найдём вариацию от функции  :

                                                    (20)

Подставим это выражение Т в равенство (19) и проинтегрируем по частям функцию  (по аналогии с (12)):

      (21)

С учётом выражений(20) и (21), уравнение (19) представится в следующем виде:         

                                   (22)

Отсюда следует:

                              ,

или, в силу независимости вариаций qi:

                                                              (23)

Эти уравнения можно переписать в обычном виде, совпадающем с основной формой уравнений Лагранжа 2-го рода (22) (Лекция 12). Тем самым доказана достаточность выполнения принципа Гамильтона для действительного движения системы. Окончательно, принцип Гамильтона можно сформулировать следующим образом: Действительное движение системы с голономными идеальными связями между двумя заданными положениями отличается от возможных движений системы между этими же положениями за тот же промежуток времени, тем, что на действительном движении  интеграл

                                    .  

125


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48448. Філософія і медицина Стародавнього світу 85.83 KB
  Філософія і медицина Стародавнього світу План: Огляд індійських філософських вчень Загальна характеристика китайської філософії Антична філософія: періодизація проблеми особистості Рекомендована література Філософія: Навчальний посібник Л. Практикум з філософії: Методичний посібник для викладачів та студентів ВНЗ. літра по філософії Давньої Греції і Риму Зміст лекції В історії філософської думки існує проблема існування індійської філософії т. актуальним є питання:Чи можна взагалі Для розуміння ролі філософії в індійській...
48449. Загальна характеристика підприємництва 38.3 KB
  за згодою партнерів; ліквідується в разі смерті або виходу з бізнесу одного з партнерів строк дії необмежений якщо корпорація не ліквідується за рішенням відповідних державних органів ...
48451. ЕВОЛЮЦІЯ ТЕРМІНА ПІДПРИЄМЕЦЬ 35.94 KB
  Адам Сміт 1768 Підприємець власник підприємства який простує на економічний ризик із метою реалізації певної комерційної ідеї та отримання прибутку плануючи та організовуючи для цього виробництво. Сей 1803 Підприємець це людина яка вміє поєднувати та комбінувати чинники виробництва. Френсіс Уокер 1876 Підприємець це особа не обов’язково власник що створює підприємство й управляє його діяльністю для отримання доходу.
48452. Теорія ймовірностей 467.82 KB
  Функція розподілу випадкової величини та її властивості. Статистична функція розподілу Лекція 11 Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу. Довірчі інтервали для параметрів нормального розподілу. Поняття статистичної гіпотези. Функція розподілу випадкової величини та її властивості.
48453. Популяція як елементарна еволюційна одиниця. Елементарний еволюційний матеріал 85.34 KB
  При вивченні еволюційного процесу важливе значення має дослідження генофонду популяції сукупність генотипів усіх особин. Таким чином виникає генетична гетерогенність популяції. Завдяки панміксії вільному схрещуванню складна генетична структура популяції знаходиться в стані динамічної рівноваги. Разом з тим не завжди навіть усередині популяції панміксія буває повною.
48454. Лекція як форма викладення навчального матеріалу 240.5 KB
  Лекція - це логічно викладений, системно послідовний комплекс усних методів навчання (інформаційне повідомлення, пояснення, розповідь, бесіда), спрямований на реалізацію студентами репродуктивної або продуктивної творчої активності.
48456. Возрастная психология как наука 592 KB
  Возрастная психология изучает возрастные особенности психических процессов возможности усвоения знаний ведущие факторы развития личности и т. Единство возрастной и педагогической психологии в том что у них общие объекты изучения ребенок подросток юноша взрослый человек которые являются объектами изучения возрастной психологии если изучаются в плане динамики возрастного развития и объектами изучения педагогической психологии если рассматриваются как обучающиеся и воспитуемые в процессе целенаправленных...