73731

Тепловое излучение и люминесценция

Лекция

Физика

Окисляющийся на воздухе фосфор светится за счет энергии выделяемой при химическом превращении. Если распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны состояние системы тело излучение будет равновесным. Нарушено и тело излучает энергии больше чем поглощает. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излучаемой телом энергии.

Русский

2014-12-19

346 KB

0 чел.

Тепловое излучение и люминесценция

Энергия, расходуемая светящимся телом на излучение, может пополняться из различных источников. Окисляющийся на воздухе фосфор светится за счет энергии, выделяемой при химическом превращении. Такой вид свечения называется хемилюминесценцией. Свечение, возникающее при различных видах самостоятельного газового разряда, носит название электролюминесценции. Свечение твердых тел, вызванное бомбардировкой их электронами, называют катодо-люм и не сценцией. Испускание телом излучения некоторой характерной для него длины волны λ1 можно вызвать, облучая это тело (или облучив предварительно) излучением длины волны λ2, меньшей чем λ1. Такие процессы объединяются под названием фотолюминесценции.

Самым распространенным является свечение тел, обусловленное их нагреванием. Этот вид свечения называется тепловым (или температурным) излучением. Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако при невысоких температурах излучаются практически лишь длинные (инфракрасные) электромагнитные волны.

Окружим излучающее тело непроницаемой оболочкой с идеально отражающей поверхностью (рис. 154). Воздух из оболочки удалим. Отраженное оболочкой излучение, упав на тело, поглотится им (частично или полностью). Следовательно, будет происходить непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излучением. Если распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны, состояние системы тело — излучение будет равновесным. Опыт показывает, что единственным видом излучения, которое может находиться в равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение. Все остальные виды излучения оказываются неравновесными.

Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающими телами обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры. Допустим, что равновесие между телом и излучением (см. рис. 1) нарушено и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к понижению температуры. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излучаемой телом энергии. Температура тела будет понижаться до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, т. е. количество излучаемой энергии окажется меньше, чем поглощаемой, температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. Таким образом, нарушение равновесия в системе тело — излучение вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие.

Иначе обстоит дело в случае любого из видов люминесценции. Покажем это на примере хемилюминесценции. Пока протекает обусловливающая излучение химическая реакция, излучающее тело все больше и больше удаляется от первоначального состояния. Поглощение телом излучения не изменит направления реакции, а наоборот приведет к более быстрому (вследствие нагревания) протеканию реакции в первоначальном направлении. Равновесие установится лишь тогда, когда будет израсходован весь запас реагирующих веществ и свечение, обусловленное химическими процессами, заменится тепловым излучением.

Итак, из всех видов излучения равновесным может быть только тепловое излучение. К равновесным состояниям и процессам применимы законы термодинамики. Следовательно, и тепловое излучение должно подчиняться некоторым общим закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики. К рассмотрению этих закономерностей мы и перейдем.

Закон Кирхгофа

Для характеристики теплового излучения, мы будем пользоваться величиной потока энергии, измеряемой в ваттах.

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π), называют энергетической светимостью тела Rэ.

Излучение состоит из волн различных частот ω (или длин λ). Обозначим поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела в интервале частот dω, через dRω (чтобы не усложнять обозначений, мы опустили индекс «э» при R). При малой величине интервала dω поток dRω будет пропорционален dω

(1)

Величина rω называется испускательной способностью тела. Опыт показывает, что испускательная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом, rω есть функция частоты и температуры. Соответственно и энергетическая светимость является функцией температуры.

Зная испускательную способность, можно вычислить энергетическую светимость:

  (2)

(чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от температуры, мы их снабдили индексом «T»).

Излучение можно характеризовать вместо частоты со длиной волны λ. Участку спектра будет соответствовать интервал длин волн . Определяющие один и тот же участок величины и  связаны простым соотношением, вытекающим из формулы: λ = c/v = 2πс/ω. Дифференцирование дает:

  (3)

Знак минус в этом выражении не имеет существенного значения, он лишь указывает на то, что с возрастанием одной из величин, ω или λ, другая величина убывает. Поэтому знак минус в дальнейшем мы не будем писать.

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал , может быть по аналогии с (1) представлена в виде:

 (4)

Если интервалы d и d, входящие в выражения (1) и (4), связаны соотношением (3), т. е. относятся к одному и тому же участку спектра, то величины dRω и dRλ, должны совпадать:

.

Заменив в последнем равенстве d согласно (3), получим:

,

откуда

С помощью (5) можно перейти от rλ к rω и наоборот.

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии ω, обусловленный электромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале . Часть этого потока ω будет поглощена телом. Безразмерная величина

 (6)

называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность зависит от температуры тела. Следовательно, аωТ есть функция частоты и температуры.

По определению аωТ не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего упавшее на него излучение всех частот, аωТ = 1. Такое тело называют абсолютно черным. Тело, для которого аωТ = аТ = const < 1, называется серым.

Между испускательной и поглощательной способностью любого тела имеется определенная связь. В этом можно убедиться, рассмотрев следующий эксперимент. Пусть внутри замкнутой оболочки, поддерживаемой при постоянной температуре Т, помещены несколько тел (рис. 2). Полость внутри оболочки эвакуирована, так что тела могут обмениваться энергией между собой и с оболочкой лишь путем испускания и поглощения электромагнитных волн. Опыт показывает, что такая система через некоторое время придет в состояние теплового равновесия — все тела примут одну и ту же температуру, равную температуре оболочки T. В таком состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью rωТ, теряет в единицу времени с единицы поверхности больше энергии, чем тело, обладающее меньшей rωТ. Поскольку температура (а следовательно и энергия) тел не меняется, то тело; испускающее больше энергии, должно и больше поглощать, т. е. обладать большей аωТ. Таким образом, чем больше испускательная способность тела rωТ, тем больше и его поглощательная Способность аωТ. Отсюда вытекает соотношение:

,

где индексы 1, 2, 3 и т. д. относятся к разным телам.

Кирхгоф сформулировал следующий закон: отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же, (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

 (7)

Сами величины rωТ и аωТ, взятые отдельно, могут меняться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для всех тел. Это означает, что тело, сильнее поглощающее какие-либо лучи, будет эти лучи сильнее и испускать (не следует смешивать испускание лучей с их отражением).

Для абсолютно черного тела по определению аωТ = 1. Следовательно, нз формулы (7) вытекает, что rωТ для такого тела равна f(ω,Т). Таким образом, универсальная функция Кирхгофа f(ω,Т) есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты — f(ω,Т). В экспериментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны — φ(λ,Т). Обе функции связаны друг с другом формулой

,  (8)

аналогичной формуле (5). Согласно (8) для того, чтобы по известной функции f(ω,Т) найти φ(λ,Т), нужно заменить в f(ω,Т) частоту ω через 2πс/λ и получившееся выражение умножить на 2πс/λ2:

 (9)

Для нахождения f(ω,Т) по известной φ(λ,Т) нужно воспользоваться соотношением:

 (10)

Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способность аωТ,  близкую к единице, лишь в ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу.

Такое устройство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием (рис. 3). Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти обратно из отверстия, претерпевает многократные отражения. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все излучение любой частоты поглощается такой полостью. Согласно закону Кирхгофа испускательная способность такого устройства очень близка к f(ω,Т), причем Т означает температуру стенок полости. Таким образом, если стенки полости под-церживать при некоторой температуре Т, то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя болометром интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально вид функции f(ω, Т) или φ(λ,Т). Результаты таких опытов приведены на рис. 4. Разные кривые относятся к различным значениям температуры Т абсолютно черного тела. Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре.

Кривые на рис. 4 очень похожи на кривые распределения молекул газа по скоростям. Правда, есть и существенное отличие. В то время как кривые распределения по скоростям для разных температур пересекают друг друга (охватываемые ими площади одинаковы), кривые спектрального распределения излучения абсолютно черного тела для более низких температур целиком лежат внутри кривых, соответствующих более высоким температурам (как мы увидим в следующем параграфе, площадь, охватываемая этими кривыми, пропорциональна четвертой степени температуры).

Из рис. 4 следует, что энергетическая светимость абсолютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличением температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

Закон Стефана — Больцмана и закон Вина

Теоретическое объяснение излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики — оно привело к понятию квантов энергии.

Долгое время многочисленные попытки получить теоретически вид функции f(ω, Т) не давали общего решения задачи. Стефан (1879), анализируя экспериментальные данные, пришел к выводу, что энергетическая светимость Rэ любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов. Больцман (1884), исходя из термодинамических соображений, получил теоретически для энергетической светимости абсолютно черного тела следующее значение:

 (11)

где σ —постоянная величина, Т — абсолютная температура. Таким образом, заключение, к которому Стефан пришел для нечерных тел (с абсолютно черными телами он не экспериментировал), оказалось справедливым лишь для абсолютно черных тел.

Соотношение (11) между энергетической светимостью абсолютно черного тела и его абсолютной температурой получило название закона Стефана — Больцмана. Константу σ называют постоянной Стефана — Больцмана. Ее экспериментальное значение равно:

  (12)

Вин (1893), воспользовавшись, кроме термодинамики, электромагнитной теорией, показал, что функция спектрального распределения должна иметь вид:

  (13)

где F — неизвестная функция отношения частоты к температуре.

Согласно формуле (9) для функции φ(λ,Т) получается выражение:

  (14)

где ψ(λТ) — неизвестная функция произведения КТ.

Соотношение (4) позволяет установить зависимость между длиной волны λm, на которую приходится максимум функции φ(λ,Т), и температурой. Продифференцируем (14) по λ:

  (15)

Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию ψ(λT). При длине волны λт, соответствующей максимуму функции φ(λ,T), выражение (15) должно обращаться в нуль:

.

Поскольку, как следует из опыта, λm≠∞, должно выполняться условие: Ψ(λтТ) = 0. Решение последнего уравнения относительно неизвестного λтТ дает для этого неизвестного некоторое число, которое мы обозначим буквой b. Таким образом, получается соотношение:

 (16)

которое носит название закона   смещения   Вина. Экспериментальное значение константы b равно:

b=2,90∙107Å∙град=2,90∙103мк∙град   (17)

Формула Рэлея — Джииса

Рэлей и Джинс сделали попытку определить функцию f(ω,T), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половникам kT— одна половинка на электрическую, вторая—на магнитную энергию волны (напомним, что по классическим представлениям на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT).

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью и = и(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией и (ω,Т), определяемой условием: duω = и(ω,Т)dω, где duω — доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dω. Полная плотность энергии может быть представлена в виде:

 (18)

Равновесная плотность энергии излучения и(Т) зависит только от температуры и не зависит ют свойств стенок полости. Это следует из термодинамических соображений. Рассмотрим две полости, стенки которых изготовлены из разных материалов и имеют первоначально одинаковую температуру. Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, u1(Т)> u2(Т). Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. 5) и тем самым позволим стенкам полостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению u1 > u2, поток энергии из первой полости во вторую должен быть больше, чем поток, текущий во встречном направлении.

В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет повышаться. Стенки же первой полости станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они будут охлаждаться. Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобрести различные температуры — это запрещено вторым началом термодинамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости u1 и и2 должно быть признано неправомерным. Вывод о равенстве u1(Т) и и2(Т) распространяется на каждую спектральную составляющую u(ω,Т).

Независимость равновесного излучения от природы стенОк полости можно пояснить следующими соображениями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую на них энергию Фэ и испускали бы такой же по величине поток энергии Фэ. Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю аФэ упавшего на них потока Фэ и отразят поток, равный (1—аэ. Кроме того, они излучат поток аФэ (равный поглощенному потоку). В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии Фэ = (1—аэ + аФэ, такой же, какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки.

Равновесная плотность энергии излучения и связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела R*э простым соотношением, которое мы сейчас выведем.

В случае плоской волны (т. е. когда энергия переносится волной в одном, определяемом вектором k направлении) плотность потока энергии I может быть представлена как произведение плотности энергии и на скорость волны с: I = си. Через каждую точку внутри полости проходит бесчисленное количество волн, направления которых равномерно распределены в пределах телесного угла 4л. Поток энергии I = си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в пределах телесного угла dQ будет заключен поток энергии, плотность которого равна:

.

Возьмем на поверхности полости элементарную площадку ΔS . Эта площадка посылает в пределах телесного угла  в направлении, образующем с нормалью угол , поток энергии:

По всем направлениям, заключенным в пределах телесного угла 2π, площадка ΔS посылает поток энергии:

.

Вместе с тем поток Фэ должен быть таким, какой излучали бы абсолютно черные стенки. Последний же поток по определению равен R*эΔS. Следовательно,

   (19)

Соотношение (19) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Отсюда вытекает, что

   (20)

Рэлей и Джине исходили из того, что равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Такое представление оправдывается тем, что замена поглощающих стенок полости идеально отражающими стенками не изменяет плотности энергии равновесного излучения. Возникновение стоячих волн возможно лишь при выполнении определенных условий.  Пусть полость имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b и с. Совместим с ребрами параллелепипеда координатные оси х, у, z . Условие возникновения стоячей волны вдоль оси х имеет вид:

(21)

где kx — модуль волнового вектора, совпадающий в дан
ном случае с проекцией волнового вектора на ось
х. За-
метим, что данная стоячая волна образована наложением двух бегущих волн, для которых значения
kx отличаются знаком. Для стоячих волн, устанавливающихся вдоль оси у или оси z, должны выполняться условия, аналогичные (21). Если волновой вектор к не совпадает с направлением ни одной из координатных осей, условия, аналогичные (21), должны выполняться одновременно для всех трех проекций вектора к:

(22)

В этом случае стоячая волна с данным значением (т. е. k) представляет собой суперпозицию восьми бегущих волн одинаковой длины, но различных направлений, для которых проекции волнового вектора равны:

Одинаковые по модулю векторы k, соответствующие восьми приведенным выше комбинациям чисел kx, ky и kz, располагаются в разных октантах. Векторы (1) и (8) имеют противоположные направления; то же самое относится к векторам (2) и (7), (3) и (6), а также (4) и (5). Векторы (1) и (2) симметричны относительно координатной плоскости yz, векторы (1) и (3) — относительно плоскости xz и т. д.

Каждая тройка чисел т1 т2 и т3 определяет возможное значение волнового числа:

По определению k = 2π/λ = ω/с. Следовательно, каждой тройке чисел m1 m2 и m3 соответствует возможное значение частоты стоячей волны ω (или длины волны λ). Определим количество возможных частот dNω, попадающих в интервал dω. Для этого возьмем прямоугольную систему координат с осями kx, ky, kz (рис. 6). Такую систему называют координатной системой в k-пространстве. Каждой стоячей волне с данным значением k будет соответствовать в k-пространстве точка с координатами, определяемыми условиями (22) (точки размещаются в октанте с положительными kx, ky, kz). Плотность этих точек в к-пространстве равна  (объем прямоугольного параллелепипеда с вершинами, помещающимися в соседних точках, равен ; в пределы такого параллелепипеда попадает одна точка).

Количество волн dNk, для которых мо
дуль волнового вектора лежит в пределах от
k до k + dk, равно количеству точек в ⅛ объема шарового слоя толщины dk (см рис. 6):

   (23)

(V — объем полости). Произведя в (23) замену: k = ω/с, dk = dω/c, найдем число волн dNω, частоты которых попадают в интервал от ω до ω + dω:

  (24)

Вдоль заданного направления могут распространяться две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (52.7) умножить на два. Число колебаний (52.7) пропорционально объему полости V. Поэтому можно говорить о числе колебаний dnω, приходящихся на единицу объема полости. Учтя оба направления поляризации, получим:

  (25)

Умножив (25) на среднюю энергию одного колебания, получим приходящуюся на интервал частот dω энергию излучения, заключенную в единице объема, т. е. u(ω,T)dω. Исходя из закона равнораспределения энергии по степеням свободы, Рэлей и Джине приписали каждому колебанию энергию, равную kT (см. выше). В этом случае

или

    (26)

Перейдя от и(ω,Т) к f(ω,Т) по формуле (26), получим:

Выражение (26), равно как и (25), называется формулой Рэлея — Джинеса. Заметим, что функция (26) удовлетворяет полученному Вином условию (25).

Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (см. рис. 7), на котором сплошной линией изображена экспериментальная кривая, пунктиром — кривая, построенная по формуле Рэлея — Джинса).

Интегрирование выражения (23) или (24) по со в пределах от 0 до ∞ дает для равновесной плотности энергии и(Т) и для энергетической светимости R*э бесконечно большие значения.- Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях и(Т).

Формула Планка

Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистической физики и электродинамики.

В 1900 г. Планку удалось найти вид функции f(ω,T), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии ε (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

 (27)

Коэффициент пропорциональности ħ получил впоследствии название постоянной Планка. Определенное из опыта значение равно:

 (28)

В механике есть имеющая размерность «энергиях X время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют квантом действия. Заметим, что размерность ħ совпадает с размерностью момента импульса.

Если излучение испускается порциями ħω, то его энергия εn должна быть кратной этой величине:

  (29)

Согласно закону Больцмана вероятность Рп того, что энергия излучения имеет величину еп, определяется выражением:

 (30)

Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Рп должна быть равна единице. Действительно, сумма Рп представляет собой вероятность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак,

,

откуда

.

Подставив найденное значение А в формулу (53.4), получим:

.

Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени. Произведем через равные промежутки времени Δt очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значений на число измерений N, мы найдем среднее по врег мени значение энергии . При очень большом N количество измерений Nn, которые дадут результат εп, будет равно NPn. Поэтому

  (31)

Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты со определяется следующим выражением:

  (32)

Чтобы произвести вычисления, обозначим bw/kT = х и допустим, что величина х может изменяться, принимая непрерывный ряд значений. Тогда выражение для ё можно записать в виде:

(33)

Выражение, стоящее под знаком логарифма, представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии, равным е-x. Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле

.

Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив дифференцирование, получим:

.

Наконец, заменив х его значением ħω/kT, получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты ω:

  (34)

Заметим, что при ħ, стремящемся к нулю, формула (26) переходит в классическое выражение . В этом можно убедиться, положив , что выполняется тем точнее, чем меньше ħ. Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно kT.

Заменив в формуле Рэлея — Джинса kT выражением (34), получим формулу, найденную Планком:

  (35)

Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ∞. Она удовлетворяет критерию Вина (26). При условии, что ħω/kT<1 (малые частоты или большие длины волн),  можно положить равным приближенно 1 + ħω/kТ, в результате чего формула (53.9) переходит в формулу Рэлея — Джинса. Это следует также непосредственно из того, что при указанном условии выражение (35) приближенно равняется kT.

Осуществив преобразование по формуле (35), получим:

 (36)

На рис. 8 сопоставлены графики функций (35) и (36), построенные для одной и той же температуры (5000° К). Масштабы по оси абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением λ = 2πс/ω значения λ и ω совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота ωm, соответствующая максимуму f(ω,Т), не совпадает с 2πсm, где λm — длина волны, отвечающая максимуму φ(λ,Т).

Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение:

.

Введем вместо ω безразмерную переменную х = ħω/kT. Подстановка ω = (kT/ħ)x, = (kT/ħ)dx преобразует формулу для R*э к виду:

.

Определенный интеграл в последнем выражении может быть вычислен. Он равен π4/15 = 6,5. Подставив его значение, мы придем к закону Стефана — Больцмана:

 (37)

Подстановка в эту формулу численных значений k, с и ħ дает для постоянной Стефана — Больцмана величину 5,6696∙10-8 вт/м2∙град4, очень хорошо согласующуюся с экспериментальным значением (37).

В заключение найдем значение постоянной в законе смещения Вина (16). Для этого продифференцируем функцию (36) по λ и приравняем получившееся выражение нулю:

.

Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 и λ = ∞ соответствуют минимумам функции φ(λ,T). Значение λm, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначив 2πħc/kTλm = x, получим уравнение:

.

Решение этого трансцендентного уравнения дает х = 4,965. Следовательно, 2πħc/kTλm = 4,965, откуда

.

Подстановка численных значений ħ, с и k дает для b величину 2,90∙103 мк∙град, совпадающую с экспериментальным значением (17).

Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.


Рис.1.
Равновесное излучение

Рис.2. закон Кирхгофа

Рис.3 Модель АЧТ Михельсона

Рис.4. Экспериментальные кривые излучения АЧТ

Рис.5. Равновесное состояние черных тел

Рис.6. k-пространство

Рис.7. Согласование закона Рэлея-Джинса с экспериментом

Рис.8 Иллюстрация формулы Планка


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29254. СУБЪЕКТ и ОБЪЕКТ КУЛЬТУРЫ 27 KB
  Субъект культуры в культурологическом понимании какаялибо социальная общность или конкретный индивид реализующий в практической деятельности культуросозидающее начало потребление и духовное освоение объектов культуры воспроизводство себя как человека определенной исторической эпохи. В культурологическом понимании объект культуры элемент фрагмент бытия культуры являющийся сферой реализации активности и историческим результатом практической деятельности субъекта культуры.
29255. ипология культуры (типы культур) 36 KB
  Типология культур строится на основании нескольких критериев: связь с религией культуры религиозные и светские; региональная принадлежность культуры культуры Востока и Запада средиземноморская латиноамериканская; региональноэтническая особенность русская французская; принадлежность к историческому типу общества культура традиционного индустриального постиндустриального общества; хозяйственный уклад культура охотников и собирателей огородников земледельцев скотоводов индустриальная культура; сфера общества или вид...
29256. Зигмунд Фрейд (1856—1939) 43.5 KB
  Перенося психоанализ на область этнографии истории религии биографий великих деятелей культуры Фрейд и его последователи рассматривают культуру как проекцию индивидуальной психики на общественный экран. Фрейд создал Венское психоаналитическое общество 1908 известность и влияние которого постепенно распространились по Европе и Америке куда Фрейд выезжал для чтения лекций. Важным вкладом Фрейда в культурологию стали его исследования так называемого подсознательного той иррациональной и темной части человеческой психики где...
29257. ФУНКЦИИ КУЛЬТУРЫ 33.5 KB
  совокупность ролей которые выполняет культура по отношению к сообществу людей. Четвертый и последующие уровни функций культуры связаны с дифференциацией культуры на специализированные функциональные сегменты: экономическая культура военная культура культура торговли религиозная культура педагогическая культура и т. системы критериев качества осуществления тех или иных социальных функций культура труда и потребления культура быта культура языка культура научного мышления культура худож.
29258. Йохан Хейзинга (1872-1945) 46 KB
  Игра старше культуры игра предшествует культуре игра творит культуру таков лейтмотив концепции Хейзинги. Свой интерес к человеку играющему Хейзинга обосновывает следующим образом: люди оказались не столь разумными как наивно внушал светлый 18 век в своем почитании Разума. Человек играющий выражает такую же существенную функцию жизнедеятельности как и человек созидающий и должен занять свое место рядом с Homo faber.
29259. Христианский тип культуры 31 KB
  Православие как культурноисторический феномен. В целом несмотря на большое влияние Византии русская культура уже с первых шагов своего развития обнаруживает заметные черты своеобразия это проявилось и двоеверии – причудливом сплаве который образовало греческое православие и славянское язычество и в многоглавии первых русских соборов и в эпосе и в самом строе повседневной жизни оставшемся неизменным у подавляющего большинства населения. Православие хочет быть полным откровением христианства. По своему внутреннему упованию православие...
29261. Элитарная и массовая культура 36.5 KB
  Когда уровень образования населения растет круг потребителей высокой культуры расширяется. Одни и те же виды искусства могут принадлежать высокой и массовой культуре: классическая музыка высокой а популярная музыка массовой фильмы Феллини высокой а боевики массовой картины Пикассо высокой а лубок массовой. Однако существуют такие жанры литературы в частности фантастика детективы и комиксы которые всегда относят к популярной или массовой культуре но никогда к высокой. Органная месса Баха относится к высокой культуре но...
29262. Немецкий философ Карл Ясперс 40.5 KB
  Он также отвергал и материалистическое толкование истории марксизмом утверждая что в истории культуры значительную роль играют не экономические факторы а духовные. Марксом Ясперс отстаивает приоритет духовной составляющей в истории культуры а в полемике со Шпенглером утверждает ее единство. Таким образом Ясперс возвращается к линейной схеме истории культуры. Рисуя схему мировой истории К.