73735

Спектральный анализ и синтез детерминированных сигналов

Лекция

Физика

функций времени и спектрального разложения на синусоидальные и косинусоидальные составляющие это преобразования Фурье . Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерности спектрального анализа для систем базисных функций и рассматривает особенности выбора базисных систем при решении задач передачи и обработки сигналов. Представление 1 называют разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие требования : для любого сигнала ряд 1 должен сходиться; функции кt должны иметь...

Русский

2014-12-20

431.5 KB

6 чел.

Л 2,3,4

1.3 Спектральный анализ и синтез детерминированных сигналов.

Методы кусочной аппроксимации и другие методы аналитического описания сигналов не решают в полном объеме задач математического моделирования сложных сигналов, и , следовательно, задач прохождения сигналов через различные цепи. В некоторой степени эти проблемы разрешаются с помощью спектральной теории сигналов.

1.3.1. Элементы обобщенной спектральной теории сигналов.

а) Основные определения и понятия.

Обобщенной спектральной теорией называют совокупность методов представления сигналов в виде суммы ортогональных составляющих

     (1)

Наибольшее распространение получили методы, использующие представления сигналов в виде колебаний ( т.е. функций времени ) и спектрального разложения на синусоидальные и косинусоидальные составляющие ( это преобразования Фурье ). Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерности спектрального анализа для систем базисных функций и рассматривает особенности выбора базисных систем при решении задач передачи и обработки сигналов. Представление (1) называют разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие требования : для любого сигнала ряд (1) должен сходиться; функции  к(t) должны иметь простую аналитическую форму; коэффициенты ак должны вычисляться относительно просто. Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных функций. Условие ортогональности функций

     (2)

При i=k

                (3)

Число ck называют нормой базисной функции . Нормированная базисная функция

         (4)

Система нормированных базисных функций , удовлетворяющая одновременно и условию ортогональности, и условию нормировки

             (5)

где                         ,

называется ортонормированной.

Если под i или k понимать ток или напряжение, то равенство (3) имеет смысл энергии сигнала, выделенной сигналом k  на сопротивлении 1 Ом за время (t2-t1), а равенство (2) имеет смысл энергии взаимодействия сигналов i и k. Отсюда следует физический смысл понятий ортогональности и нормы функций : ортогональные сигналы не взаимодействуют между собой, а энергия нормированного сигнала равна 1.

б) Определение коэффициентов.

Рассмотрим, как определяют коэффициенты ак при разложении сигнала по системе ортонормированных функций. Представим сигнал

   (6)

Умножив обе части (6) на i(t) и проинтегрировав на интервале [t1,t2]  получим

 (*)

Из условия ортонормированности функций (5) следует, что в правой части соотношения (*) все интегралы при ik будут равны нулю, а при i=k один из них равен единице. Поскольку знак суммы в правой части (*) при этом исчезает, то

  (7)

Ортогональные разложения (6) называют обобщенным рядом Фурье, а коэффициенты (7) - обобщенным коэффициентом Фурье.

Ортонормированные функции удовлетворяют трем условиям: они должны иметь простую аналитическую форму; для любого сигнала ряд должен сходиться ; коэффициенты ak должны вычисляться относительно просто.

Выбор базисных ортонормированных функций - одна из ответственных задач и ее решение существенно зависит от характера преобразований сигналов в системе. Коэффициенты ak  представляют собой эффективные значения составляющих  спектра ( обобщенных гармоник), поэтому выделяемая на сопротивлении 1 Ом средняя мощность сигнала равна :

  (8)

Соотношение (8) называют равенством Парсеваля. Из него следует, что мощность сигнала равна сумме мощностей всех составляющих спектра.

в) Минимизация погрешности разложения.

Определим коэффициенты, минимизирующие погрешность ортогонального разложения. Используем для этого понятие среднеквадратичной погрешности :

  (9)

Для минимизации  необходимо решить систему уравнений вида

  (**)

Для этого, при условии  необходимо найти из решения     akопт, подставить значения этих коэффициентов в (9) и определить

  (10)

Эту задачу решил Фурье. Он показал, что оптимальными будут коэффициенты, определяемые по соотношению (7) ; если число членов ряда n< , то имеется некоторая среднеквадратическая погрешность , из-за которой

и    (11)

если же n , то это неравенство выраждается в равенство Парсеваля (8) и, следовательно, .

Таким образом, бесконечный ряд дает адекватное в среднеквадратическом смысле ортонормированное разложение сигнала.

г) Выбор числа членов ряда.

Для реальных сигналов всегда можно указать такое число n (обычно небольшое), при котором 80...... 90%  мощности заключено в составляющих спектра с номерами nk. Поэтому ряды, используемые на практике, конечны, а число членов ряда определяет допустимые среднеквадратические погрешности. Относительную погрешность разложения определяют как отношение n ошибки аппроксимации к мощности Р самого сигнала :

  (12)

Ошибка аппроксимации, т.е. величина n - это та часть мощности, которая оказывается за пределами используемой полосы частот и не учитывается при восстановлении сигнала. По допустимой относительной погрешности 0 из соотношения (n)= 0  нетрудно определить число n удерживаемых членов ряда.

д) Базисные сигналы.

В качестве базисных используют системы ортогональных функций Бесселя, Хаара, Уолша, системы ортогональных полиномов Лежандра, Чебышева, Эрмита, Лаггера и др. Примеры ортогональных разложений по таким функциям рассмотрим позднее. Реальные сигналы всегда ограничены во времени и имеют неограниченный спектр. Для удобства изучения сигналы часто рассматривают не на конечном интервале времени [t1,t2], а на полубесконечном [0,] или на бесконечном [-,]. Для определенности начало отсчета совмещают с началом сигнала или с серединой. Если сигнал имеет конечную длительность, то его рассматривают на интервале [0,T] или [-T/2,T/2].

Реальные сигналы случайны. Несмотря на это в теории часто рассматривают сигналы, полностью известные в любой момент. Такие сигналы называют детерминированными. Теория детерминированных сигналов, как теория первого приближения, удобна для решения простейших задач и полезна для развития теории случайных процессов.

е) Взаимная энергия и взаимная мощность.

Для изучения взаимосвязей сигналов используют два основных понятия: - взаимная энергия сигналов S1(t) и S2(t)

E12=   (13)

- взаимная мощность сигналов S1(t) и S2(t)

P12=    (14).

ж) Условия ортогональности и когерентности.

Различают сигналы ортогональные по энергии, когда E12=0 и ортогональные по мощности, когда P12=0. Для ортогональных сигналов средняя мощность и энергия суммы обладают свойством аддитивности (т.е. значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части). Это свойство записывается в виде соотношений:

P=

E=.

Сигналы, ортогональные по мощности, образуют более широкий класс, частью которого являются сигналы ортогональные по энергии, поскольку первые привязаны к конечным интервалам времени.

Из ортогональности по энергии следует ортогональность по мощности, но не наоборот, поскольку понятие ортогональности по энергии является более общим. Только на конечном интервале времени T< условия ортогональности по мощности и по энергии выполняются одновременно. Следовательно, ортогональность сигналов тесно связана с интервалом их определения.

Взаимные энергия и мощность характеризуют степень сходства сигналов. Если два сигнала полностью совпадают, то P12=P21=P, где Р - мощность любого из сигналов (S1 или S2).

Такие сигналы называются полностью когерентными. Для ортогональных по мощности сигналов P12=P21=0, следовательно ортогональные сигналы полностью некогерентны. Если 0<P12<P или 0<P21<P , то сигналы называют частично - когерентным.

з) oртогональность постоянной и переменной составляющих.

Большое значение имеет ортогональность постоянной S0 и переменной S1,n составляющих любого сигнала S(t)=S0+ S1,n(t) , где постоянная составляющая определяется как среднее значение сигнала на интервале [0,T]-S0= а переменная составляющая S1,n(t)=S(t)-S0.

Взаимная энергия постоянной и переменной составляющих

.

Следовательно, составляющие S0  и S1,n , ортогональны. Из их ортогональности следует, что среднее значение переменной составляющей

и что их прохождение через различные цепи может рассматриваться отдельно, а результат определяться простым суммированием.

1.3.2. Примеры базисных функций и полиномов.

а) Гармонические функции.

Из математики известны периодические функции sin и cos , описывающие гармонические колебания. Положем, что эти функции являются ортогональными и, одновременно, определим норму этих функций. Для этого воспользуемся соотношениями (2) и (3) :

,    (15)

где T=2/0 -период гармонического колебания, а k=0,1,2..., i=0,1,2... - целые числа. Равенства, аналогичные (15) имеют место как для функции sin, так и для cos, поскольку sint=cos(t -/2) ,а также для случая, когда, например, , а . Из (15) следует, что обе гармонические функции являются ортогональными с нормой ck=T/2 , определяемой периодом их повторения. Следовательно, система ортонормированных гармонических функций согласно (4) будет иметь   вид :

  (16)

На основании соотношений (6) и (7) любой периодический сигнал  S(t) = S(t+T) может быть представлен рядом из функций (16)

  (17)

где  k=0,1,2,3...          (18)

Ряд (17) называют тригонометрическим рядом Фурье с коэффициентами (18). Его можно представить и в других формах.

Если объединить функции sin и cos одной частоты в выражении (17), то это дает следующее его представление:

  (19)

где                                 (20)

В частном случае четной периодической функции, когда   S(t)=S(-t) из (18) следует, что bk=0, следовательно, и , и сигнал S(t) раскладывается только по косинусам. В случае же нечетной функции, когда S(-t)=S(t) , имеем ak=0, и ряд состоит только из синусоидальных гармоник.

Из сказанного следует, что периодические колебания полностью определяются коэффициентами всех гармоник. Т.е. амплитуды и фазы гармоник, зависящие от значений частоты, кратных основной частоте (частоте повторения сигнала S(t) ), дают эквивалентное представление периодических функций времени в частотной области.

б) экспоненциальные функции.

В ряде случаев, например, в теории цепей, удобнее иметь дело с комплексной или экспоненциальной формой ряда Фурье (т.е. ряда вида (6), выраженного через экспоненциальные функции комплексного переменного, определенные на интервале Т, являющемся периодом повторения сигнала S(t). Чтобы не повторяться в доказательстве условий ортонормированности для периодических экспоненциальных функций комплексного измененного, искомое разложение получим исходя из тригонометрического ряда Фурье. Для этого в выражении (17) представим функции sin и cos через экспоненты от мнимого аргумента по формуле Эйлера :

После группировки слагаемых и преобразований получим :

  (21)

Здесь

        (22)

- комплексная амплитуда k-й гармоники, а

           (23)

- ее комплексно-сопряженная величина.

Если обозначить сопряженную амплитуду через комплексную амплитуду с отрицательным индексом

                                   ,     

то обе суммы в (21) можно заменить суммированием по одной экспоненте при изменении индекса k от  до + (включая ноль).

В результате получим ряд Фурье в комплексной форме :

                        (24)

Для комплексных коэффициентов экспоненциального ряда Фурье после подстановки (22) и (23) в (18) находим

         (25)

                                       где .

Комплексные коэффициенты ряда Фурье, определяемые ими амплитуды и начальные фазы гармоник, или амплитуды косинусных и синусных гармоник связаны соотношением

и являются функциями равноотстоящих дискретных значений частоты, кратных частоте повторения сигнала (k- коэффициент кратности ). Комплексные коэффициенты, рассматриваемые как функции частоты, называют комплексным дискретным спектром; их составляющие, изображаемые графически в зависимости от дискретных значений частоты, т.е. A(k0) и (k0)- амплитудным и фазовым дискретным спектром, а составляющие a(k0)  и b(k0) - вещественным и мнимым дискретным спектром. Графики дискретных спектров состоят из отрезков вертикальных линий, пропорциональных значениям составляющих и расположенных в точках k0. Следовательно, периодические функции времени имеют дискретный или линейчатый частотный спектр. Вид этого спектра наглядно позволяет судить о свойствах периодической функции времени. Например, по скорости уменьшения амплитудного спектра можно судить о степени гладкости периодических функций, а по наличию или отсутствию гармоник на высоких частотах - есть ли участки с быстрыми изменениями.

Заметим, что амплитудный и фазовый спектры, равные

являются, соответственно, четной и нечетной функциями частоты.

в) Разложение по функциям Хаара.

Систему ортонормированных функций Хаара  можно использовать в качестве базисной при разложении в равномерно сходящийся ряд Фурье любой функции, непрерывной на отрезке [0,1]

где  

При использовании функций Хаара в качестве базисных для аппроксимации сигналов S(t) на отрезке [ 0,T] многочленами Фурье безразмерный аргумент x функций Хаара необходимо заменить на ct, где коэффициент c=1/T задает необходимый временной масштаб функций и имеет размерность времени в минус первой степени.

В определении функций Хаара используется понятие двоичных отрезков. Отрезки, которые можно получить делением отрезка [0,1] на  равных частей, называются двоичными. Эти отрезки считаются замкнутыми слева и открытыми справа, если их правый конец отличен от единицы. Если правый конец отрезка равен единице, то отрезок считается замкнутым и справа.

Таким образом, двоичные   отрезки - это [0,1], [0,1/2[, [1/2,1], [0,1/4[, [1/4,1/2[, [1/2,3/4[, [3/4,1], [0,1/8[... Отрезки [1/4,3/4[ или [5/8,7/8[ двоичными не считаются, т.к. они не являются следствием разбиения на  частей.

Для двоичных отрезков введем следующее обозначение :

  (26)

где m меняется от 1 до  , а n = 1,2,... (конечно, при  надо считать  замкнутым также справа, поскольку в этом случае ).

Для каждого n выполняется условие

Наряду с двойной нумерацией используют простую нумерацию, полагая , где . Правда, при такой нумерации m=2,3.....(отрезок n=1 отсутствует). Левую и правую половины  условимся обозначать  и , так, что

т.е. в качестве начала отсчета выбираем середину отрезка.

Систему функций Хаара  удобно строить группами : группа номер n содержит функций , m=1,2,3,..., , n=const причем первая функция  остается вне групп.

По определению функции Хаара задаются соотношением

    , при   ;                        (27)

Напомним, что номер функции в разложении Фурье .

Особенностью функций Хаара является сравнительная простота их получения (генерирования в разноустройствах). Базисную систему функций Хаара целесообразно использовать для анализа и синтеза импульсных сигналов конечной длительности.

Ниже изображены первые восемь функций этой системы.

г) Разложение по полиномам Лаггера.

Для анализа сигналов сложной формы целесообразно выбирать систему функций, обеспечивающую наиболее быструю сходимость ряда Фурье, (т.е. требующую наименьшего числа членов ряда для заданной точности представления колебания).

Сигналы, аналитические выражения которых описываются полиномами или произведениями полиномов на экспоненциальные функции, удобно аппроксимировать ортогональными полиномами ( или функциями) Лаггера.

Полиномы Лаггера являются решением специальных дифференциальных уравнений второго порядка и определяются следующим образом :

  (28)

При этом

Первые 10 порядков полиномов Лаггера имеют вид ( при k1):

L0(x)=1; L1(x)=-x+1; L2(x)=x2-4x+2; L3(x)=-x3+9x2-18x+6; L4(x)=x4-16x3+72x2-96x+24; L5(x)=x5+25x4-200x3+600x2-600x+120; L6(x)=x6-36x5+450x4-2400x3+5400x2-4320x+720; L7(x)=-x7+49x6-882x5+7350x4-29400x3+52920x2-35820x+5040;L8(x)=x8-64x7+1568x6-8816x5+117600x4-376320x3+564480x2-322560x+40320; L9(x)=-x9+81x8-2592x7+42336x6-381024x5+1905120x4-5080320x3+6531840x2-3265920x+362880.

Свойство полинома Лаггера Ln(0)=k!. Графики полиномов приведены на след. рис.

L2

 L4

L3

  

L5

Полиномы Лаггера ортогональны с весом P(x)=e-x, поскольку только при наличии сомножителя, выполняется условие ортогональности.

Следовательно, ортонормированную систему на интервале [0,[ образуют функции

         (29)

обладающие свойством .

Многочлены вида (29) называют функциями Лаггера. Они образуют полную систему ортонормированных функций. Если в формуле (6) принять , то коэффициенты этого ряда ak можно вычислить по формуле (7).

При аппроксимации функций времени безразмерный аргумент x функций Лаггера должен быть заменен на ct, где коэффициент задает необходимый временной масштаб функций и имеет размерность времени в минус первой степени.

На практике функции Лаггера часто применяют для исследования скачков сигнала, описываемых - функций и функций Хевисайда :

Эти функции часто применяют для описания процесса включения чего-либо.

1.3.3.  Спектральный анализ сигналов.

а) безфильтровый (алгоритмический) метод.

Рассмотрим структурную схему устройства для экспериментального определения коэффициентов разложения аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье (6) по заданной системе ортонормированных базисных функций :

Основными элементами здесь являются генераторы тех базисных функций, по которым производится разложение. Анализируемый сигнал одновременно подается на совокупность множительных звеньев, осуществляющих перемножение этого сигнала и соответствующей базисной функции. С выходов перемножителей сигналы поступают на интеграторы.

При таком методе обработки сигнала в конце промежутка времени интегрирования на выходе каждого интегратора возникает неизменный во времени уровень, величина которого в соответствии с формулой (7) в точности равна тому или иному коэффициенту обобщенного ряда Фурье.

Работоспособность системы в целом будет зависеть от того, насколько точно удается воссоздать базисные функции, а также от совершенства функционирования перемножителей и интеграторов.

Система, реализующая безфильтровый метод спектрального анализа, важна и в прикладном, и в теоретическом смысле. Анализируя ее еще раз убеждаемся, что вся информация, заключенная в сигнале, может быть представлена в виде хотя и бесконечной, но все же счетной совокупности чисел ak.

б) фильтровый метод.

Основан на использовании явления резонанса в высокодобротном контуре. Если на вход такого контура подать периодический сигнал, у которого одна из гармоник спектра вида (19) имеет частоту, совпадающую с резонансной частотой контура, то на выходе контура практически выделится только эта гармоника. При этом выделение гармоники тем лучше, чем меньше полоса пропускания контура по сравнению с частотным интервалом между соседними гармониками анализируемого сигнала.


S
0T

T

S0T

, при   .

,при   ;

  5(х)

  1(х)

      х

      х

  6(х)

  2(х)

      х

      х

  7(х)

      х

      х

      х

      х

  8(х)

  4(х)

  3(х)

1

1

1

1

1

1

1

1/2

1/2

1

1

1

-1

1/2

1/2

1/2

-

-

-2

-2

2

2

1/4

1/4

3/4

3/4

3/4

 

60

 

40

20

                

  0

-20

-40

-60

x

    1    2    3    4    5    6    7    8

  

1,0

lim(t,)

0

 

t0

х

1(t)

t0

0

s(t)

генер. функц.

2(t)

генер. функц.

1(t)

t1

t2

t1

t2

a2

a1

синхр.

г-ры

повтор.,

нормир.

ампл. сигн.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20513. Розбивання квадратних матриць на клітки другим способом 66.5 KB
  Матриці мають довготривалу історію застосування при розв'язуванні систем лінійних рівнянь. Поняття матриці яке вже не було похідним від поняття визначник з'явилось тільки в 1858 році в праці англійського математика Артура Келі. Термін матриця першим став вживатиДжеймс Джозеф Сильвестр який розглядав матрицю як об’єкт що породжує сімейство мінорів визначників менших матриць утворених викреслюванням рядків та стовпців з початкової матриці. LU розклад матриці представлення матриці у вигляді добутку нижньої трикутної матриці та...
20514. Розбивання квадратних матриць на клітки першим способом 41.5 KB
  Одним з найважливіших завдань є завдання знаходження вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. коефіцієнтів Х шукане рішення записане у вигляді стовпця з n елементів F стовпець вільних членів з mелементів. Якщо A прямокутна m ´ n матріца рангу до те рішення може не існувати або бути не єдиним. В разі неіснування рішення має сенс узагальнене рішення що дає мінімум сумі квадратів нев'язок див.
20515. Розміщення без повторень 18.84 KB
  формула для знаходження кількості розміщень без повторень: Перестановки без повторень комбінаторні сполуки які можуть відрізнятися одинвід одного лише порядком входять до них елементів.формула для знаходження кількості перестановок без повторень: .
20516. Розширення реального часу на DFD 37.5 KB
  Таким чином будьякий Webпроект сайтвізитка електронна вітрина електронний магазин форум електро нний журнал пошукова система тощо є інформаційною системою яка функціонує у глобальному інформаційному середовищі World Wide Web. Надалі їх будемо називати Webсистемами [6]. Оскільки життєвий цикл інформаційної системи по чинається з етапів системного аналізу та проектування [3] то й Webсистеми не можуть бути винятком. Для Webсистем особливо важливим є урахування таких інформаційних особливостей як залежність від часу.
20517. Словник даних. БНФ-нотація 41 KB
  БНФнотація. БНФнотация позволяет формально описать расщепление объединение потоков. Это определение может быть следующим: X=ABC; Y=AB; Z=BC Такие определения хранятся в словаре данных в так называемой БНФстатье. БНФстатья используется для описания компонент данных в потоках данных и в хранилищах.
20518. Специфікації керування. Побудова діаграм переходів станів. Символи STD. Таблиці і матриці переходів 30 KB
  Символи STD. Діаграми переходів станів STD відносять до групи специфікацій управління які призначені для моделювання і документування аспектів системи пов’язаних із часом або реакцією на події. STD подають процес функціонування системи як послідовність переходів з одного стану до іншого. До складу STD входять такі структурні одиниці:Стан може визначатися як стійкі внутрішні умови системи.
20519. Шаблони функцій (передача типу в функцію у вигляді параметру). Перевизначення шаблонів функцій. Передача у шаблони додаткових аргументів 27.5 KB
  Шаблони механізм C який дозволяє створювати узагальнені функції і класи які працюють з типами даних які передаються в параметрі. Можна наприклад створити функцію яка сортує масив цілих чисел а можна створити шаблон функції який буде сортувати масиви будьяких даних над якими задані операції порівняння і присвоєння. Шаблон функції виглядає так: template class Ідентифікатор_типу Тип_результату Назва_функціїСписок_параметрів { Тіло функції } Параметр Ідентифікатор_типу задає тип з яким працює функція. Всюди в тілі і заголовку...
20520. Эксплуатация и ремонт металлургических машин 1.54 MB
  Поэтому перед выполнением лабораторной работы необ ходимо ознакомиться с ее содержанием теоретической частью и методикой выполнения. Выполняться могут не все лабораторные работы но студен ты должны знать теоретический материал по всем лабораторным работам. Лабораторные работы выполняются самостоятельно студен тами в составе подгруппы в строгом соответствии с инструкциями в отведенные по расписанию часы занятий. Выполнение и оформление лабораторных работ Перед выполнением работы необходимо повторить учебный материал и накануне подробно...